ในการคำนวณระยะทางไกลที่สุดD ที่ผู้สังเกตการณ์ B สามารถมองเห็นยอดของวัตถุ L เหนือเส้นขอบฟ้าได้ ให้บวกระยะทางจากจุดทั้งสองไปยังเส้นขอบฟ้าเข้าด้วยกัน:

ดี = ดี + ดี แอ

ตัวอย่างเช่น สำหรับผู้สังเกตการณ์ B ที่มีความสูงhB = 1.70 เมตร ยืนอยู่บนพื้นดิน ขอบฟ้าจะอยู่ ห่างออกไป DB = 4.65 กิโลเมตร สำหรับหอคอยที่มีความสูงhL = 100 เมตร ระยะขอบฟ้าจะอยู่ห่างออกไป DL = กิโลเมตรผู้สังเกตการณ์บนชายหาดสามารถมองเห็นยอดหอคอยได้ตราบใดที่อยู่ห่างออกไปไม่เกิน40.35 กิโลเมตรในกลับกัน หากผู้สังเกตการณ์บนเรือ ( hB = เมตร) สามารถมองเห็นเพียงยอดต้นไม้บนชายฝั่งใกล้เคียง ( hL = 10 เมตรต้นไม้ เหล่า นั้นอาจอยู่ห่างออกไป ประมาณ DBL = 16         

จากภาพทางด้านขวา และใช้การประมาณค่าข้างต้นยอดประภาคารจะมองเห็นได้จากคนเฝ้าระวังบนหอสังเกตการณ์ที่อยู่บนยอดเสากระโดงเรือ ถ้า

${\displaystyle D_{\mathrm {BL} <3.57\,({\sqrt {h_{\mathrm {B} }}}+{\sqrt {h_{\mathrm {L} }}})\,,}$

โดยที่D มีหน่วยเป็นกิโลเมตร และh และh มีหน่วยเป็นเมตร

ยกตัวอย่างอีกกรณีหนึ่ง สมมติว่าผู้สังเกตการณ์คนหนึ่งซึ่งดวงตาอยู่สูงจากพื้นดิน 2 เมตร ใช้กล้องส่องทางไกลมองไปยังอาคารที่อยู่ไกลออกไป ซึ่งเขารู้ว่าอาคารนั้นมี 30 ชั้น แต่ละชั้นสูง 3.5 เมตร เขาจึงนับจำนวนชั้นที่มองเห็นได้และพบว่ามีเพียง 10 ชั้นเท่านั้น ดังนั้น 20 ชั้น หรือ 70 เมตรของอาคารนั้นถูกบดบังจากสายตาเขาด้วยความโค้งของโลก จากข้อมูลนี้ เขาจึงสามารถคำนวณระยะห่างของเขาจากอาคารได้:

${\displaystyle D\approx 3.57({\sqrt {2}}+{\sqrt {70}})}$

ซึ่งคิดเป็นระยะทางประมาณ 35 กิโลเมตร

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถคำนวณได้ว่ามองเห็นวัตถุที่อยู่ไกลออกไปเหนือเส้นขอบฟ้าได้มากน้อยเพียงใด สมมติว่าดวงตาของผู้สังเกตการณ์อยู่สูงจากระดับน้ำทะเล 10 เมตร และเขากำลังมองดูเรือลำหนึ่งที่อยู่ ห่างออกไป 20 กิโลเมตร เส้นขอบฟ้าของเขาคือ:

${\displaystyle 3.57{\sqrt {10}}}$

ห่างจากเขาประมาณ 11.3 กิโลเมตร เรืออยู่ ห่างออกไปอีก 8.7 กิโลเมตร ความสูงของจุดบนเรือที่ผู้สังเกตมองเห็นได้นั้นกำหนดโดย:

${\displaystyle h\approx \left({\frac {8.7}{3.57}}\right)^{2}}$

ซึ่งมีความสูงเกือบหกเมตรพอดี ผู้สังเกตการณ์จึงสามารถมองเห็นส่วนของเรือที่อยู่สูงกว่าระดับน้ำหกเมตรได้ ส่วนของเรือที่อยู่ต่ำกว่าระดับนี้จะถูกบดบังด้วยความโค้งของโลก ในสถานการณ์เช่นนี้ เรือจะอยู่ในสภาวะที่เรียกว่า " เรือคว่ำ" (hull-down )

เนื่องจากการหักเหของแสงในชั้นบรรยากาศ ระยะทางไปยังเส้นขอบฟ้าที่มองเห็นได้จึงไกลกว่าระยะทางที่คำนวณจากเรขาคณิตอย่างง่าย หากพื้นดิน (หรือผิวน้ำ) เย็นกว่าอากาศด้านบน จะเกิดชั้นอากาศเย็นและหนาแน่นใกล้กับพื้นผิว ทำให้แสงหักเหลงด้านล่างขณะเดินทาง และด้วยเหตุนี้จึงหักเหไปตามความโค้งของโลกในระดับหนึ่ง ในทางกลับกัน หากพื้นดินร้อนกว่าอากาศด้านบน ซึ่งมักเกิดขึ้นในทะเลทราย จะเกิดปรากฏการณ์ตรงกันข้าม ทำให้เกิดภาพลวงตาเพื่อเป็นการชดเชยการหักเหโดยประมาณ นักสำรวจที่วัดระยะทางมากกว่า 100 เมตร จะหักค่าความคลาดเคลื่อนของความโค้งที่คำนวณได้ 14% และตรวจสอบให้แน่ใจว่าแนวสายตาอยู่ห่างจากพื้นดินอย่างน้อย 1.5 เมตร เพื่อลดข้อผิดพลาดแบบสุ่มที่เกิดจากการหักเหของแสง

หากโลกเป็นโลกที่ปราศจากอากาศเหมือนดวงจันทร์ การคำนวณข้างต้นก็จะถูกต้อง อย่างไรก็ตาม โลกมีชั้นบรรยากาศของอากาศซึ่งความหนาแน่นและดัชนีหักเหของแสงจะแตกต่างกันอย่างมาก ขึ้นอยู่กับอุณหภูมิและความดัน ทำให้แสงหักเหในระดับที่แตกต่างกัน ส่งผลต่อลักษณะของเส้นขอบฟ้า โดยปกติแล้ว ความหนาแน่นของอากาศเหนือพื้นผิวโลกจะมากกว่าความหนาแน่นที่ระดับความสูงที่สูงกว่า ทำให้ดัชนีหักเหของแสงใกล้พื้นผิวมากกว่าที่ระดับความสูงที่สูงกว่า ซึ่งทำให้แสงที่เดินทางในแนวนอนโดยประมาณหักเหลงด้านล่าง^{[ 8 ]}ทำให้ระยะทางจริงไปยังเส้นขอบฟ้ามากกว่าระยะทางที่คำนวณด้วยสูตรทางเรขาคณิต ภายใต้สภาวะบรรยากาศมาตรฐาน ความแตกต่างจะอยู่ที่ประมาณ 8% ซึ่งจะเปลี่ยนปัจจัย 3.57 ในสูตรเมตริกที่ใช้ข้างต้น เป็นประมาณ 3.86 ^{[ 6 ]}ตัวอย่างเช่น หากผู้สังเกตการณ์ยืนอยู่บนชายทะเล โดยที่ดวงตาอยู่สูงจากระดับน้ำทะเล 1.70 เมตร ตามสูตรทางเรขาคณิตอย่างง่ายที่ให้ไว้ข้างต้น เส้นขอบฟ้าควรอยู่ ห่างออกไป 4.7 กิโลเมตร อันที่จริง การหักเหของแสงในชั้นบรรยากาศทำให้ผู้สังเกตมองเห็นได้ไกลขึ้น 300 เมตร ส่งผลให้เส้นขอบฟ้าที่แท้จริงเคลื่อน ห่างจากผู้สังเกตไป 5 กิโลเมตร

การแก้ไขนี้สามารถนำไปใช้ได้ และมักจะนำไปใช้ เป็นค่าประมาณที่ดีพอสมควรเมื่อสภาพบรรยากาศใกล้เคียงกับมาตรฐานเมื่อสภาพการณ์ผิดปกติ ค่าประมาณนี้จะใช้ไม่ได้ผล การหักเหของแสงได้รับผลกระทบอย่างมากจากความแตกต่างของอุณหภูมิ ซึ่งอาจเปลี่ยนแปลงไปมากในแต่ละวัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งเหนือน้ำ ในกรณีที่รุนแรง โดยปกติในฤดูใบไม้ผลิ เมื่ออากาศอุ่นอยู่เหนือน้ำเย็น การหักเหของแสงสามารถทำให้แสงเดินทางตามพื้นผิวโลกได้หลายร้อยกิโลเมตร ในทางกลับกัน สถานการณ์จะตรงกันข้าม เช่น ในทะเลทราย ที่พื้นผิวร้อนมาก ดังนั้นอากาศร้อนที่มีความหนาแน่นต่ำจึงอยู่ใต้อากาศที่เย็นกว่า สิ่งนี้ทำให้แสงหักเหขึ้นด้านบน ทำให้เกิด ปรากฏการณ์ ภาพลวงตาที่ทำให้แนวคิดเรื่องเส้นขอบฟ้าไม่มีความหมาย ดังนั้น ค่าที่คำนวณได้สำหรับผลกระทบของการหักเหภายใต้สภาวะผิดปกติจึงเป็นเพียงค่าประมาณเท่านั้น^{[ 6 ]}อย่างไรก็ตาม มีความพยายามที่จะคำนวณค่าเหล่านี้ให้แม่นยำกว่าค่าประมาณอย่างง่ายที่อธิบายไว้ข้างต้น

นอกช่วงความยาวคลื่นที่มองเห็นได้ การหักเหของแสงจะแตกต่างกัน สำหรับเรดาร์ (เช่น สำหรับความยาวคลื่น 300 ถึง 3  มม. หรือความถี่ระหว่าง 1 ถึง 100  GHz) รัศมีของโลกอาจถูกคูณด้วย 4/3 เพื่อให้ได้รัศมีที่มีประสิทธิภาพ ซึ่งจะให้ค่าตัวคูณ 4.12 ในสูตรเมตริก กล่าวคือ ขอบฟ้าของเรดาร์จะอยู่เลยขอบฟ้าทางเรขาคณิตไป 15% หรือเลยขอบฟ้าที่มองเห็นได้ไป 7% ค่าตัวคูณ 4/3 ไม่แน่นอน เนื่องจากในกรณีของการมองเห็น การหักเหของแสงขึ้นอยู่กับสภาพบรรยากาศ

วิธีการบูรณาการ—สวีร์

หากทราบโปรไฟล์ความหนาแน่นของบรรยากาศ ระยะทางdถึงขอบฟ้าจะกำหนดโดย^{[ 9 ]}

${\displaystyle d={{R}_{\text{E}}}\left(\psi +\delta \right)\,,}$

โดยที่R คือรัศมีของโลก, ψคือมุมเอียงของเส้นขอบฟ้า และδคือการหักเหของแสงที่เส้นขอบฟ้า มุมเอียงสามารถกำหนดได้ค่อนข้างง่ายจาก

${\displaystyle \cos \psi ={\frac {{R}_{\text{E}}{\mu }_{0}}{\left({{R}_{\text{E}}}+h\right)\mu }}\,,}$

โดยที่hคือความสูงของผู้สังเกตเหนือพื้นโลกμคือดัชนีหักเหของอากาศที่ความสูงของผู้สังเกต และคือดัชนีหักเหของอากาศที่พื้นผิวโลก

ต้องหาค่าการหักเหโดยการอินทิเกรต

${\displaystyle \delta =-\int _{0}^{h}{\tan \phi {\frac {{\text{d}}\mu }{\mu }}}\,,}$

ที่ไหน${\displaystyle \phi \,\!}$คือมุมระหว่างรังสีกับเส้นตรงที่ลากผ่านศูนย์กลางของโลก มุมψและ ψ คือมุมระหว่างรังสีกับเส้นตรงที่ลากผ่านศูนย์กลางของโลก${\displaystyle \phi \,\!}$มีความสัมพันธ์กันโดย

${\displaystyle \phi =90{}^{\circ }-\psi \,.}$

วิธีง่ายๆ—ยัง

แนวทางที่ง่ายกว่ามาก ซึ่งให้ผลลัพธ์ที่เหมือนกันกับวิธีการประมาณอันดับแรกที่อธิบายไว้ข้างต้น ใช้แบบจำลองทางเรขาคณิต แต่ใช้รัศมีR′ = 7/6 R ระยะห่างจากขอบฟ้าจะเป็น^{[ 6 ]}

${\displaystyle d={\sqrt {2R^{\prime }h}}\,.}$

โดยกำหนดให้รัศมีของโลกเท่ากับ 6371  กิโลเมตร โดยที่dมีหน่วยเป็นกิโลเมตร และhมีหน่วยเป็นเมตร

${\displaystyle d\approx 3.86{\sqrt {h}}\,;}$

โดยที่dมีหน่วยเป็นไมล์ และhมีหน่วยเป็นฟุต

${\displaystyle d\approx 1.32{\sqrt {h}}\,.}$

ในกรณีของเรดาร์โดยทั่วไปจะมีR′ = 4/3 R ซึ่งส่งผลให้ (โดยที่d มีหน่วย เป็นกิโลเมตร และhมีหน่วยเป็นเมตร) เป็น

${\displaystyle d\approx 4.12{\sqrt {h}}\,;}$

ผลลัพธ์จากวิธีการของ Young ค่อนข้างใกล้เคียงกับผลลัพธ์จากวิธีการของ Sweer และมีความแม่นยำเพียงพอสำหรับวัตถุประสงค์หลายประการ

เส้นขอบฟ้าเป็นคุณลักษณะสำคัญของระนาบภาพในศาสตร์แห่งทัศนียภาพเชิงกราฟิกโดยสมมติว่าระนาบภาพตั้งฉากกับพื้น และPคือภาพฉายตั้งฉากของจุดสายตาOบนระนาบภาพ เส้นขอบฟ้าจะถูกกำหนดให้เป็นเส้นแนวนอนที่ผ่านจุดPจุดPเป็นจุดรวมสายตาของเส้นที่ตั้งฉากกับภาพ ถ้าSเป็นอีกจุดหนึ่งบนเส้นขอบฟ้า S ก็จะเป็นจุดรวมสายตาของเส้นทุกเส้นที่ขนานกับOSแต่บรู๊ค เทย์เลอร์ระบุว่าระนาบเส้นขอบฟ้าที่กำหนดโดยO นั้น และเส้นขอบฟ้าก็เหมือนกับ ระนาบอื่นๆ

ตัวอย่างเช่น คำว่าเส้นแนวนอน มักจะจำกัดความคิดของผู้เรียนไว้ที่ระนาบของเส้นขอบฟ้า และทำให้เขาจินตนาการว่าระนาบนั้นมีสิทธิพิเศษบางประการ ซึ่งทำให้รูปทรงในระนาบนั้นอธิบายได้ง่ายและสะดวกกว่ารูปทรงในระนาบอื่นใด โดยใช้เส้นแนวนอนเป็นเกณฑ์... แต่ในหนังสือเล่มนี้ ข้าพเจ้าไม่ได้แยกความแตกต่างระหว่างระนาบของเส้นขอบฟ้ากับระนาบอื่นใดเลย... ^{[ 10 ] [ 11 ]}

เรขาคณิตอันแปลกประหลาดของทัศนียวิทยาที่เส้นขนานมาบรรจบกันในระยะไกล กระตุ้นให้เกิดการพัฒนาเรขาคณิตเชิงฉาย (projective geometry ) ซึ่งกำหนดจุดที่เส้นขนานมาบรรจบกันที่ระยะอนันต์ ในหนังสือThe Geometry of an Art (2007) ของKirsti Andersenได้อธิบายถึงวิวัฒนาการของการวาดภาพทัศนียวิทยาและวิทยาศาสตร์จนถึงปี 1800 โดยสังเกตว่าจุดรวมสายตาไม่จำเป็นต้องอยู่บนเส้นขอบฟ้า ในบทที่ชื่อว่า "เส้นขอบฟ้า" John Stillwellเล่าถึงวิธีที่เรขาคณิตเชิงฉายนำไปสู่เรขาคณิตเชิงตกกระทบซึ่งเป็นการศึกษาเชิงนามธรรมสมัยใหม่เกี่ยวกับการตัดกันของเส้น Stillwell ยังได้สำรวจพื้นฐานของคณิตศาสตร์ในส่วนที่ชื่อว่า "กฎของพีชคณิตคืออะไร ?" "พีชคณิตของจุด" ซึ่งเดิมทีเสนอโดยKarl von Staudtเพื่อพิสูจน์สัจพจน์ของฟิลด์ได้ถูกแยกส่วนในศตวรรษที่ 20 ทำให้เกิดความเป็นไปได้ทางคณิตศาสตร์ที่หลากหลาย Stillwell กล่าวว่า

การค้นพบนี้เมื่อ 100 ปีที่แล้วดูเหมือนจะสามารถพลิกโฉมวงการคณิตศาสตร์ได้ แม้ว่าชุมชนคณิตศาสตร์จะยังไม่ยอมรับอย่างเต็มที่ก็ตาม ไม่เพียงแต่จะขัดกับแนวโน้มการเปลี่ยนเรขาคณิตให้เป็นพีชคณิตเท่านั้น แต่ยังชี้ให้เห็นว่าทั้งเรขาคณิตและพีชคณิตมีพื้นฐานที่เรียบง่ายกว่าที่เคยคิดไว้^{[ 12 ]}