ตัวดำเนินการไฮเปอร์ไซคลิก
ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ใน การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันตัวดำเนินการไฮเปอร์ไซคลิกบนปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโล ยี Xคือตัวดำเนินการเชิงเส้น ต่อเนื่อง T : X → Xที่มีเวกเตอร์x ∈ Xซึ่งลำดับ { T n x : n = 0, 1, 2, …} มีความหนาแน่น ในปริภูมิ Xทั้งหมดกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เซตย่อย ปิดที่ไม่เปลี่ยนแปลงที่เล็กที่สุดที่บรรจุxคือปริภูมิทั้งหมด เวกเตอร์ x ดัง กล่าวเรียกว่าเวกเตอร์ไฮเปอร์ไซคลิกไม่มีตัวดำเนินการไฮเปอร์ไซคลิกใน ปริภูมิ ที่มีมิติจำกัดแต่คุณสมบัติของไฮเปอร์ไซคลิกในปริภูมิที่มีมิติอนันต์ไม่ใช่ปรากฏการณ์ที่หายาก ตัวดำเนินการจำนวนมากเป็นไฮเปอร์ไซคลิก
ไฮเปอร์ไซคลิกซิตี้เป็นกรณีพิเศษของแนวคิดที่กว้างกว่าเกี่ยวกับการถ่ายทอดเชิงทอพอโลยี (ดูการผสมเชิงทอพอ โลยี ) และความเป็นสากลความเป็นสากลโดยทั่วไปเกี่ยวข้องกับชุดของการแมปจาก ปริภูมิ เชิงทอพอโลยี หนึ่ง ไปยังอีกปริภูมิหนึ่ง (แทนที่จะเป็นลำดับของกำลังของตัวดำเนินการเดียวที่แมปจากXไปยังX ) แต่มีความหมายคล้ายกับไฮเปอร์ไซคลิกซิตี้ ตัวอย่างของวัตถุสากลถูกค้นพบแล้วในปี 1914 โดย Julius Pál ในปี 1935 โดยJózef Marcinkiewiczหรือ MacLane ในปี 1952 อย่างไรก็ตาม จนกระทั่งช่วงทศวรรษ 1980 ที่ตัวดำเนินการไฮเปอร์ไซคลิกเริ่มได้รับการศึกษาอย่างเข้มข้นมากขึ้น
ตัวอย่าง
ตัวอย่างของตัวดำเนินการไฮเปอร์ไซคลิกคือตัวดำเนินการเลื่อนย้อน กลับสองเท่า บนปริภูมิของลำดับℓ² ซึ่ง ก็คือตัวดำเนินการที่รับลำดับ
- ( a , a , a , …) ∈ ℓ 2
ตามลำดับ
- (2 a , 2 a , 2 a , …) ∈ ℓ 2 .
เรื่องนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วในปี 1969 โดยโรเลวิช
ผลลัพธ์ที่ทราบ
- ในปริภูมิเฟรเชต์แบบแยกส่วนได้ที่มี มิติอนันต์ทุก ปริภูมิ จะมีตัวดำเนินการไฮเปอร์ไซคลิก ในทางกลับกัน ไม่มีตัวดำเนินการไฮเปอร์ไซคลิกในปริภูมิที่มีมิติจำกัด หรือในปริภูมิที่ไม่สามารถแยกส่วนได้
- ถ้าxเป็นเวกเตอร์ไฮเปอร์ไซคลิกแล้วT n xก็จะเป็นเวกเตอร์ไฮเปอร์ไซคลิกเช่นกัน ดังนั้นจึงมีเซตหนาแน่นของเวกเตอร์ไฮเปอร์ไซคลิกอยู่เสมอ
- ยิ่งไปกว่านั้น เซตของเวกเตอร์ไฮเปอร์ไซคลิกเป็น เซต G ที่เชื่อมต่อกัน เมื่อXเป็นปริภูมิเมตริกซ์และประกอบด้วยปริภูมิเวกเตอร์ หนาแน่นเสมอ จนถึง {0}
- Charles Read ( 1988 )ได้สร้างตัวดำเนินการบนℓ 1โดยที่เวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดเป็นแบบไฮเปอร์ไซคลิก ซึ่งเป็นตัวอย่างค้านสำหรับปัญหาปริภูมิย่อยไม่เปลี่ยนแปลง (และแม้แต่ปัญหาเซตย่อยไม่เปลี่ยนแปลง ) ในกลุ่มของปริภูมิบานาคปัญหาที่ว่าตัวดำเนินการดังกล่าว (บางครั้งเรียกว่าไฮเปอร์ทรานซิทีฟหรือออร์บิททรานซิทีฟ ) มีอยู่บนปริภูมิฮิลเบิร์ตที่แยกได้หรือไม่นั้น ยังคงเป็น ปัญหาที่ยัง ไม่ได้รับการแก้ไข (ณ ปี 2022)