ในทางเรขาคณิตไฮโปไซคลอยด์ เป็น เส้นโค้งระนาบพิเศษที่เกิดจากร่องรอยของจุดคงที่บนวงกลม เล็ก ที่กลิ้งอยู่ภายในวงกลมใหญ่กว่า เมื่อรัศมีของวงกลมใหญ่เพิ่มขึ้น ไฮโปไซคลอยด์จะยิ่งคล้ายกับไซคลอยด์ที่เกิดจากการกลิ้งวงกลมบนเส้นตรง มากขึ้น

ไฮโปไซคลอยด์สองแฉกที่เรียกว่าคู่ Tusiได้รับการอธิบายครั้งแรกโดยนักดาราศาสตร์และนักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียในศตวรรษที่ 13 ชื่อNasir al-Din al-Tusi ใน Tahrir al-Majisti (คำอธิบายเกี่ยวกับ Almagest) [ 1 ] [ 2 ] จิตรกรชาวเยอรมันและนักทฤษฎียุคฟื้นฟู^{ศิลปวิทยาชาวเยอรมันAlbrecht Dürer ได้}อธิบายเอพิโทรคอยด์ในปี 1525 และต่อมา Roemer และ Bernoulli ได้มุ่งเน้นไปที่ไฮโปไซคลอยด์บางชนิดโดยเฉพาะ เช่น แอสโตรอยด์ ในปี 1674 และ 1691 ตามลำดับ^{[ 3 ]}

ถ้าวงกลมที่กลิ้งมีรัศมีrและวงกลมคงที่มีรัศมีR = krแล้ว สมการพาราเมตริกสำหรับเส้นโค้งสามารถกำหนดได้ดังนี้: หรือ: $${\displaystyle {\begin{aligned}&x(\theta )=(Rr)\cos \theta +r\cos \left({\frac {Rr}{r}}\theta \right)\\&y(\theta )=(Rr)\sin \theta -r\sin \left({\frac {Rr}{r}}\theta \right)\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}&x(\theta )=r(k-1)\cos \theta +r\cos \left((k-1)\theta \right)\\&y(\theta )=r(k-1)\sin \theta -r\sin \left((k-1)\theta \right)\end{aligned}}}$$

ถ้าkเป็นจำนวนเต็ม เส้นโค้งจะเป็นเส้นโค้งปิด และมี จุด ยอดแหลมk จุด (กล่าวคือ มุมแหลมที่เส้นโค้งไม่สามารถ หาอนุพันธ์ได้ ) โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับk = 2เส้นโค้งจะเป็นเส้นตรง และวงกลมเหล่านี้เรียกว่าคู่ Tusi Nasir al-Din al-Tusi เป็นคนแรกที่อธิบายไฮโปไซคลอยด์เหล่านี้และการประยุกต์ใช้ใน การพิมพ์ความเร็วสูง^{[ 4 ] [ 5 ]}

ถ้าเป็นจำนวนตรรกยะ เช่นในรูปเศษส่วนที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบ ได้ เส้นโค้งนั้นจะมีจุดแหลม${\displaystyle k}$${\displaystyle k=p/q}$${\displaystyle p}$

เพื่อปิดส่วนโค้งและทำให้รูปแบบซ้ำแรกสมบูรณ์:

• ${\displaystyle \theta }$=0 ถึง q การหมุน
• ${\displaystyle \alpha }$=0 ถึง p การหมุน
• จำนวนรอบทั้งหมดของวงกลมกลิ้ง = pq รอบ

ถ้าkเป็นจำนวนอตรรกยะ เส้นโค้งจะไม่ปิดลง และ จะเติมเต็มช่องว่างระหว่างวงกลมขนาดใหญ่กับวงกลมที่มีรัศมีR − 2r

ไฮโปไซค ลอยด์แต่ละอัน (สำหรับค่าr ใดๆ ) เป็นบราคิสโตโครนสำหรับศักยภาพแรงโน้มถ่วงภายในทรงกลมเอกพันธ์รัศมีR ^{[ 6 ]}

พื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยไฮโปไซคลอยด์กำหนดโดย: ^{[ 3 ] [ 7 ]}

$${\displaystyle A={\frac {(k-1)(k-2)}{k^{2}}}\pi R^{2}=(k-1)(k-2)\pi r^{2}}$$

ความยาวส่วนโค้งของไฮโปไซคลอยด์กำหนดโดย: ^{[ 7 ]}

$${\displaystyle s={\frac {8(k-1)}{k}}R=8(k-1)r}$$

• ตัวอย่างไฮโปไซคลอยด์
• 
  k=3 → เดลทอยด์
• 
  k=4 → แอสโทรอยด์
• 
  k=5
• 
  k=6
• 
  k=2.1 = 21/10
• 
  k=3.8 = 19/5
• 
  k = 5.5 = 11/2
• 
  k=7.2 = 36/5

ไฮโปไซคลอยด์เป็น ไฮโปโทรคอยด์ชนิดพิเศษ ซึ่งเป็น รูเล็ตชนิดหนึ่งโดยเฉพาะ

รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีสามแฉก เรียกว่า รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า (deltoid )

เส้นโค้งไฮโปไซคลอยด์ที่มีสี่จุดยอดเรียกว่าแอสโทรอยด์

ไฮโปไซคลอยด์ที่มี "จุดยอด" สองจุด เป็นกรณีที่เสื่อมสภาพแต่ยังคงน่าสนใจมาก ซึ่งรู้จักกันในชื่อคู่ของทูซี (Tusi couple )

ไฮโปไซคลอยด์ใดๆ ที่มีค่าจำนวนเต็มkและ มีจุดยอด kจุด สามารถเคลื่อนที่เข้าไปอยู่ภายในไฮโปไซคลอยด์อีกอันที่มี จุดยอด k + 1 จุดได้อย่างพอดี โดยที่จุดยอดของไฮโปไซคลอยด์ที่เล็กกว่าจะสัมผัสกับไฮโปไซคลอยด์ที่ใหญ่กว่าเสมอ การเคลื่อนที่นี้ดูเหมือน "การกลิ้ง" แม้ว่าในทางเทคนิคแล้วจะไม่ใช่การกลิ้งในความหมายของกลศาสตร์คลาสสิก เนื่องจากเกี่ยวข้องกับการลื่นไถล

รูปทรงไฮโปไซคลอยด์สามารถเชื่อมโยงกับกลุ่มเอกภาพพิเศษซึ่งแสดงด้วย SU( k ) โดยประกอบด้วย เมทริกซ์เอกภาพขนาด k × k ที่ มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ 1 ตัวอย่างเช่น ค่าที่อนุญาตของผลรวมของสมาชิกแนวทแยงมุมสำหรับเมทริกซ์ใน SU(3) คือจุดในระนาบเชิงซ้อนที่อยู่ภายในไฮโปไซคลอยด์ที่มีสามจุดแหลม (เดลทอยด์) ในทำนองเดียวกัน การรวมสมาชิกแนวทแยงมุมของเมทริกซ์ SU(4) จะให้จุดที่อยู่ภายในแอสโตรอยด์ และอื่นๆ

ด้วยผลลัพธ์นี้ เราสามารถใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า SU( k ) พอดีภายใน SU( k+1 ) เป็นกลุ่มย่อยเพื่อพิสูจน์ว่าเอพิไซคลอยด์ที่มีkจุดแหลมเคลื่อนที่อย่างพอดีภายในเอพิไซคลอยด์ที่มีk +1 จุดแหลม^{[ 8 ] [ 9 ]}

เส้นโค้งวิวัฒนาการของไฮโปไซคลอยด์เป็นเส้นโค้งที่ขยายใหญ่ขึ้นของไฮโปไซคลอยด์เอง ในขณะที่เส้นโค้งอินโวลูตของไฮโปไซคลอยด์เป็นเส้นโค้งที่ย่อขนาดลงของตัวมันเอง^{[ 10 ]}

ฐาน ของไฮโปไซค ลอยด์ที่มีขั้วอยู่ตรงกลางของไฮโปไซคลอยด์นั้นมีลักษณะเป็นเส้นโค้งรูปดอกกุหลาบ

เส้นไอโซปติกของไฮโปไซคลอยด์ก็คือไฮโปไซคลอยด์นั่นเอง

ของเล่นสไปโรกราฟ สามารถวาดเส้นโค้งที่คล้ายกับไฮโปไซคลอย ด์ ได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สไปโรกราฟสามารถวาดไฮโปโทรคอยด์และเอปิโทรคอยด์ได้

โลโก้ ของ ทีม Pittsburgh Steelersซึ่งมีพื้นฐานมาจากSteelmarkนั้น ประกอบด้วยแอสโทรอยด์ สามอัน (ไฮโปไซคลอยด์ที่มีสี่แฉก ) ในคอลัมน์รายสัปดาห์ของเขาใน NFL.comที่ชื่อว่า "Tuesday Morning Quarterback" เกร็ก อีสเตอร์บรูคมักเรียกทีม Steelers ว่า Hypocycloids ทีมฟุตบอลCD Huachipato ของชิลี ได้นำโลโก้ของ Steelers มาใช้ในการออกแบบตราสัญลักษณ์ของทีม และเช่นเดียวกัน ตราสัญลักษณ์ของพวกเขาก็มีไฮโปไซคลอยด์อยู่ด้วย

ฉากรายการ The Price Is Rightซีซั่นแรกของ Drew Carey มีรูปดาวเคราะห์น้อยอยู่บนประตูหลักทั้งสามบาน ป้ายราคาขนาดใหญ่ และบริเวณแท่นหมุน รูปดาวเคราะห์น้อยบนประตูและแท่นหมุนถูกถอดออกเมื่อรายการเปลี่ยนไป ออกอากาศในระบบความคม ชัดสูงตั้งแต่ปี 2008 และปัจจุบันเหลือเพียงอุปกรณ์ประกอบฉากป้ายราคาขนาดใหญ่เท่านั้นที่มีรูปดาวเคราะห์น้อยอยู่^{[ 11 ]}

• ไซโคลกอน
• เอพิไซคลอยด์
• เอพิโทรคอยด์
• ธงของเมืองพอร์ตแลนด์ รัฐโอเรกอนซึ่งมีรูปทรงไฮโปไซคลอยด์^{[ 12 ]}
• ไฮโปโทรคอยด์
• รายชื่อฟังก์ชันคาบ
• เครื่องยนต์ไฮโปไซคลอยดัลของเมอร์เรย์ใช้คู่ทู ซี แทนข้อเหวี่ยง
• รูเล็ต (โค้ง)
• กรณีพิเศษ: คู่กระดูกทูซี , กระดูกแอสโตรอยด์ , กระดูกเดลทอยด์
• สไปโรกราฟ

• J. Dennis Lawrence (1972). แคตตาล็อกของเส้นโค้งระนาบพิเศษ . สำนักพิมพ์โดเวอร์. หน้า168, 171–173 . ISBN  0-486-60288-5.

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับไฮโปไซคลอยด์

• ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "ไฮโปไซคลอยด์" . แมทเวิลด์ .
• "ไฮโปไซคลอยด์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• โอคอนเนอร์, จอห์น เจ.; โรเบิร์ตสัน, เอ็ดมันด์ เอฟ. , "ไฮโปไซคลอยด์" , คลังเอกสารประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ MacTutor , มหาวิทยาลัยเซนต์แอนดรูว์ส
• เครื่องมือ JavaScript ฟรีสำหรับสร้างเส้นโค้งไฮโปไซลอยด์
• ภาพเคลื่อนไหวแสดงรูปทรงเอพิไซคลอยด์ เพอริไซคลอยด์ และไฮโปไซคลอยด์
• พล็อตไฮปไซคลอยด์— GeoFun
• สไนเดอร์, จอห์น. "ทรงกลมที่มีอุโมงค์บราคิสโตโครน"โครงการสาธิตวูลฟรามการสาธิตแบบวนซ้ำที่แสดงคุณสมบัติของบราคิสโตโครนของไฮโปไซคลอยด์