โรส (คณิตศาสตร์)

Q: ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ โรส (คณิตศาสตร์)

ในทางคณิตศาสตร์เส้น โค้งรูป ดอกกุหลาบหรือโรโดเนียคือไซน์ที่กำหนดโดยฟังก์ชันโคไซน์หรือไซน์ โดยไม่มี มุมเฟสที่พล็อตในพิกัดเชิงขั้ว เส้นโค้งรูปดอกกุหลาบหรือ "โรโดเนีย"

Q: ข้อกำหนด

ดอกกุหลาบคือเซตของจุดในพิกัดเชิงขั้วที่ระบุโดยสม การเชิงขั้ว [ 2 ]

ดอกกุหลาบที่ระบุโดยฟังก์ชันไซน์ $r = cos(kθ)$ สำหรับค่าจำนวนตรรกยะต่างๆ ของความถี่เชิงมุม $k = ⁠ n / d ⁠$ เพื่อการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ที่ถูกต้อง $k$ ต้องแสดงในรูปแบบที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้

ในทางคณิตศาสตร์เส้น โค้งรูป ดอกกุหลาบหรือโรโดเนียคือไซน์ที่กำหนดโดยฟังก์ชันโคไซน์หรือไซน์ โดยไม่มี มุมเฟสที่พล็อตในพิกัดเชิงขั้ว เส้นโค้งรูปดอกกุหลาบหรือ "โรโดเนีย" ได้รับการตั้งชื่อโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีที่ศึกษาเส้นโค้งเหล่านี้ คือกุยโด กรันดีระหว่างปี ค.ศ. 1723 ถึง 1728 ^{[ 1 ]}

ภาพรวมทั่วไป

ข้อกำหนด

ดอกกุหลาบคือเซตของจุดในพิกัดเชิงขั้วที่ระบุโดยสมการเชิงขั้ว^{[ 2 ]}

r=a\cos(k\theta )

หรือในพิกัดคาร์ทีเซียนโดยใช้สมการพาราเมตริก

{\begin{aligned}x&=r\cos(\theta )=a\cos(k\theta )\cos(\theta )\\y&=r\sin(\theta )=a\cos(k\theta )\sin(\theta )\end{aligned}}

กุหลาบยังสามารถระบุได้โดยใช้ฟังก์ชันไซน์^{[ 3 ]}เนื่องจาก

\sin(k\theta )=\cos \left(k\theta -{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos \left(k\left(\theta -{\frac {\pi }{2k}}\right)\right)

.

ดังนั้น ดอกกุหลาบที่ระบุโดย $r = a sin(kθ)$ จึงเหมือนกับดอกกุหลาบที่ระบุโดย $r = a cos(kθ)$ ที่หมุนทวนเข็มนาฬิกาไป $⁠$ $π$ $/$ $2$ $k$ $⁠$ เรเดียน ซึ่งเป็นหนึ่งในสี่ของคาบของไซนูซอยด์ทั้งสอง

เนื่องจากมีการระบุโดยใช้ฟังก์ชันโคไซน์หรือไซน์ ดอกกุหลาบจึงมักแสดงเป็น กราฟ พิกัดเชิงขั้ว (แทนที่จะเป็นพิกัดคาร์ทีเซียน ) ของไซนูซอยด์ที่มีความถี่เชิงมุม k และแอมพลิจูด a $ซึ่ง$ กำหนดพิกัดรัศมี $r$ โดยกำหนดมุมเชิงขั้ว $θ$ $($ แม้ว่าเมื่อ $k$ เป็นจำนวนตรรกยะเส้นโค้งดอกกุหลาบสามารถแสดงในพิกัดคาร์ทีเซียนได้ เนื่องจากสามารถระบุเป็นเส้นโค้งพีชคณิตได้^[⁴^] )

คุณสมบัติทั่วไป

การแสดงภาพดอกกุหลาบในเชิงศิลปะด้วยการตั้งค่าพารามิเตอร์ที่แตกต่างกัน

ดอกกุหลาบมีความสัมพันธ์โดยตรงกับคุณสมบัติของคลื่นไซน์ที่ใช้กำหนดลักษณะของดอกกุหลาบนั้น

กลีบดอกไม้

กราฟของดอกกุหลาบประกอบด้วยกลีบดอกกลีบดอกคือรูปร่างที่เกิดจากกราฟของครึ่งรอบของฟังก์ชันไซน์ที่กำหนดลักษณะของดอกกุหลาบ (รอบคือส่วนหนึ่งของฟังก์ชันไซน์ที่มีความยาวหนึ่งคาบT = 2π / kและประกอบด้วยครึ่งรอบบวก ซึ่งเป็นเซตของจุดต่อเนื่องที่r ≥ 0และมีความยาวT / 2 = π / kและครึ่งรอบลบคืออีกครึ่งหนึ่งที่r ≤ 0 )
- รูปทรงของกลีบแต่ละกลีบเหมือนกันเนื่องจากกราฟของครึ่งรอบมีรูปทรงเดียวกัน รูปทรงนี้กำหนดโดยครึ่งรอบบวกที่มีจุดสูงสุดที่ $(a, 0) ซึ่งระบุโดย r = a cos(kθ) (ซึ่งถูกจำกัดโดยช่วงมุม -T/$ $4 \leq θ$ ≤ $T / 4) กลีบ ดอก$ มี $ความ สมมาตร เกี่ยว กับ แกน ขั้ว กลีบ ดอก อื่น ๆ$ ทั้งหมดเป็นการหมุน ของกลีบดอกนี้รอบขั้ว รวม $ถึง กลีบดอกสำหรับดอกกุหลาบ$ $ที่$ ระบุโดยฟังก์ชันไซน์ ที่ $มี$ ค่า $a$ และ $k เท่ากัน$ ^{[ 5 ]}
- ตามกฎการพล็อตจุดในพิกัดเชิงขั้ว จุดในครึ่งวงกลมลบไม่สามารถพล็อตที่มุมเชิงขั้วของมันได้ เนื่องจากพิกัดรัศมี $r$ ของจุดนั้น เป็นลบ จุดนั้นจะถูกพล็อตโดยการเพิ่ม $π$ เรเดียนให้กับมุมเชิงขั้วที่มีพิกัดรัศมี $| r |$ ดังนั้น ครึ่งวงกลมบวกและลบ จึงสามารถทับซ้อนกันได้ในกราฟของดอกกุหลาบ นอกจากนี้ ดอกกุหลาบยังถูกวาดอยู่ภายในวงกลม $r = a$
- เมื่อคาบ $T$ ของฟังก์ชันไซน์มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ $4π$ รูปทรงของกลีบดอกจะเป็นวงปิดวงเดียว วงปิดวงเดียวนี้เกิดขึ้นเนื่องจากช่วงมุมสำหรับการพล็อตแบบพิกัดเชิงขั้วคือ $2π$ $และความกว้างเชิงมุมของครึ่งรอบมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 2π$ $เมื่อ$ $T$ > $4π$ ( $หรือ | k$ | $< 1/2) การ พ ล็ อตครึ่งรอบจะมองเห็นได้ว่า เป็นการ หมุนวนออกจากขั้วในหลายรอบรอบขั้ว จนกระทั่งการพล็อตไปถึงวงกลมที่ล้อมรอบ จาก นั้น จะ$ หมุนวนกลับไปยังขั้ว ตัดกับตัวเองและก่อตัวเป็นวงปิดหนึ่งวงหรือมากกว่านั้นระหว่างทาง ดังนั้น กลีบดอกแต่ละกลีบจะเกิดเป็นสองวงเมื่อ $4π$ $<$ $T$ $\leq$ $8π$ $( หรือ 1/4 \leq |$ k $|$ $<$ $1/2$ $)$ $สาม$ $วง$ $เมื่อ$ $8π$ $<$ T $\leq$ $12π$ $($ $หรือ$ $1/6$ ≤ $|$ $k$ $|$ $<$ $1/4$ $)$ $เป็นต้น$ $ส่วน$ $ดอก$ $กุหลาบ$ $ที่$ $มี$ $เพียง$ $กลีบ$ $เดียว$ ที่ $มี$ $หลาย$ $วง$ $นั้น$ $จะ$ $พบ$ $ได้$ $เมื่อ$ $k$ $=$ $1/3$ $,$ $1/5$ $,$ $1/7$ $เป็นต้น$ $($ $ดู$ $รูป$ $ใน$ ส่วน $บทนำ$ $)$
- กลีบดอกกุหลาบจะไม่ตัดกันเมื่อความถี่เชิงมุม $k$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ มิฉะนั้น กลีบดอกจะตัดกัน

สมมาตร

ดอกกุหลาบทุกดอกแสดง สมมาตรอย่างน้อยหนึ่งรูปแบบเนื่องมาจากคุณสมบัติสมมาตรและเป็นคาบของคลื่นไซน์ที่เป็นพื้นฐาน

ดอกกุหลาบที่กำหนดโดย $r = a cos(kθ)$ จะสมมาตรเกี่ยวกับแกนเชิงขั้ว (เส้น $θ = 0$ ) เนื่องจากเอกลักษณ์a $cos (kθ) = a cos(- kθ)$ ซึ่งทำให้ดอกกุหลาบที่กำหนดโดยสมการเชิงขั้วทั้งสองนั้นทับซ้อนกัน

ดอกกุหลาบที่กำหนดโดย $r = a sin(kθ)$ จะสมมาตรเกี่ยวกับเส้นแนวตั้ง $θ = ⁠ π / 2 ⁠$ เนื่องจากเอกลักษณ์ $a sin(kθ) = a sin(π - kθ)$ ซึ่งทำให้ดอกกุหลาบที่กำหนดโดยสมการเชิงขั้วทั้งสองนั้นทับซ้อนกัน

กุหลาบบางชนิดเท่านั้นที่มีความสมมาตรเมื่อเทียบกับเสา

กลีบดอกแต่ละกลีบมีความสมมาตรเกี่ยวกับเส้นที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางและยอดของกลีบ ซึ่งสะท้อนถึงความสมมาตรของครึ่งรอบของคลื่นไซน์พื้นฐาน ดอกกุหลาบที่ประกอบด้วยกลีบดอกจำนวนจำกัดนั้น โดยนิยามแล้วมีความสมมาตรแบบหมุนเนื่องจากแต่ละกลีบมีรูปร่างเหมือนกัน โดยกลีบดอกที่อยู่ติดกันจะหมุนไปในมุมเดียวกันรอบจุดศูนย์กลาง

กุหลาบที่มีค่า $k เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์$

เมื่อ $k$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ เส้นโค้งจะมีรูปร่างเหมือนดอกกุหลาบที่มีกลีบ $2k กลีบ$ หาก $k$ เป็นจำนวนคู่ และ มีกลีบ $k$ กลีบเมื่อ $k$ เป็นจำนวนคี่^[⁶^] คุณสมบัติของดอกกุหลาบเหล่านี้เป็นกรณีพิเศษของดอกกุหลาบที่มีความถี่เชิงมุม $k$ ที่เป็นจำนวนตรรกยะ ซึ่งจะกล่าวถึงในส่วนถัดไปของบทความนี้

ดอกกุหลาบถูกวาดอยู่ภายในวงกลมที่มีรัศมี $r = a$ ซึ่งสอดคล้องกับพิกัดรัศมีของยอดทั้งหมดของมัน

เนื่องจากการพล็อตพิกัดเชิงขั้วจำกัดเฉพาะมุมเชิงขั้วระหว่าง 0 ถึง $2π$ $ดังนั้นจึงมี 2π$ $/$ T $=$ $k$ $รอบ$ $ที่$ $แสดง ในกราฟ ไม่จำเป็นต้องพล็$ $อ$ ตจุดเพิ่มเติมเพราะพิกัดรัศมีที่ $θ$ $= 0$ มีค่าเท่ากับที่ $θ$ $= 2π$ $($ $ซึ่งเป็นจุดสูงสุดของครึ่งรอบบวกสองรอบที่แตกต่างกันสำหรับ ดอก$ กุหลาบที่ระบุโดยฟังก์ชันโคไซน์)

เมื่อkเป็นจำนวนคู่ (และไม่ใช่ศูนย์) ดอกกุหลาบจะประกอบด้วย กลีบดอก 2k กลีบโดยแต่ละกลีบแทนจุดสูงสุดใน ช่วงมุมเชิง ขั้ว 2πที่แสดงไว้ จุดสูงสุดแต่ละจุดสอดคล้องกับจุดที่อยู่บนวงกลมr = aส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดสูงสุดที่ต่อเนื่องกันจะก่อให้เกิดรูปหลายเหลี่ยม ด้าน เท่าที่มีจำนวนจุดยอดเป็นจำนวนคู่ โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ขั้วและรัศมีลากผ่านจุดสูงสุดแต่ละจุด และในทำนองเดียวกัน:
- ดอกกุหลาบเรียงตัวสมมาตรกับเสา
- ดอกกุหลาบเหล่านี้มีความสมมาตรเกี่ยวกับเส้นที่ลากผ่านขั้วและยอด (ผ่าน "กลาง" กลีบ) โดยมุมเชิงขั้วระหว่างยอดของกลีบดอกที่อยู่ติดกันคือ $⁠$ $2$ $π$ $/$ $2$ $k$ $⁠$ $=$ $⁠$ $π$ $/$ $k$ $⁠$ เรเดียน ดังนั้น ดอกกุหลาบเหล่านี้ จึงมีสมมาตรแบบหมุนลำดับ $2$ $k$
- ดอกกุหลาบมีความสมมาตรเกี่ยวกับเส้นแต่ละเส้นที่แบ่งครึ่งมุมระหว่างยอดที่ต่อเนื่องกัน ซึ่งสอดคล้องกับขอบเขตครึ่งรอบและเส้นตั้งฉากจากจุดศูนย์กลางไปยังด้านใดด้านหนึ่งของรูปหลายเหลี่ยมที่เกี่ยวข้อง

เมื่อkเป็นจำนวนคี่ ดอกกุหลาบจะประกอบด้วย กลีบ kกลีบ โดยแต่ละกลีบแทนยอด (หรือร่อง) ใน ช่วงมุมเชิง ขั้ว 2πที่แสดงไว้ ยอดแต่ละยอดจะสอดคล้องกับจุดที่อยู่บนวงกลมr = aครึ่งรอบบวกและลบของดอกกุหลาบเหล่านี้จะทับซ้อนกัน ซึ่งหมายความว่าในการวาดกราฟ จะต้องวาดเฉพาะครึ่งรอบบวกหรือครึ่งรอบลบเท่านั้นเพื่อให้ได้เส้นโค้งที่สมบูรณ์ (หรือเทียบเท่ากับการวาดเส้นโค้งที่สมบูรณ์โดยการวาดช่วงมุมเชิงขั้วต่อเนื่องใดๆ ที่มี ความยาว πเรเดียน เช่นθ = 0ถึงθ = π ^{[ 7 ]} ) ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อยอดที่ต่อเนื่องกันจะสร้างรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีจำนวนจุดยอดเป็นจำนวนคี่ และเช่นเดียวกัน:
- $ดอกกุหลาบเหล่านี้มีความสมมาตรเกี่ยวกับเส้น ตรง$ $แต่ละเส้น ที่$ ลากผ่านขั้วและจุดยอด (ที่ผ่านกลางกลีบดอก) โดยมุมเชิงขั้วระหว่างจุดยอดของกลีบดอกที่อยู่ติดกันมี ค่า $เท่ากับ$ $2π$ $/$ $k$ เรเดียน ดังนั้น ดอก กุหลาบเหล่านี้จึงมีสมมาตรแบบหมุนลำดับ $k$

กลีบดอกกุหลาบไม่ซ้อนทับกัน

ดอกกุหลาบสามารถระบุได้ด้วยเส้นโค้งพีชคณิตลำดับ $k + 1$ เมื่อ $k$ เป็นเลขคี่ และ $2(k + 1)$ เมื่อ $k$ เป็นเลขคู่^{[ 8 ]}

วงกลม

ดอกกุหลาบที่มี $k = 1$ คือวงกลมที่อยู่บนขั้ว โดยมีเส้นผ่านศูนย์กลางอยู่บนแกนขั้วเมื่อ $r = a cos(θ)$ วงกลมนี้เป็นกลีบดอกเดียวของเส้นโค้ง (ดูการก่อตัวของวงกลมในตอนท้ายของส่วนถัดไป) ในพิกัดคาร์ทีเซียน ค่าโคไซน์และไซน์ที่เทียบเท่ากันคือ

\left(x-{\frac {a}{2}}\right)^{2}+y^{2}=\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}

และ

x^{2}+\left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}

ตามลำดับ

ควอดริโฟเลียม

กุหลาบที่มี $k = 2$ เรียกว่า กุหลาบสี่กลีบ (quadrifolium)เพราะมี กลีบ $2k = 4$ กลีบ และจะเรียงตัวเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ค่าโคไซน์และไซน์จะมีลักษณะดังนี้

\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}=a^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)^{2}

และ

\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}=\left(2axy\right)^{2}

ตามลำดับ

ไตรโฟเลียม

กุหลาบที่มี $k = 3$ เรียกว่า trifolium ^{[ 9 ]}เพราะมี กลีบดอก $k = 3$ กลีบและจะก่อตัวเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเส้นโค้งนี้ยังเรียกว่า Paquerette de Mélibée ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ข้อกำหนดของโคไซน์และไซน์คือ

\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=a\left(x^{3}-3xy^{2}\right)

และ

\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=a\left(3x^{2}y-y^{3}\right)

ตามลำดับ^{[ 10 ]} (ดูการก่อตัวของไตรโฟเลียมในตอนท้ายของส่วนถัดไป)

อ็อกตาโฟเลียม

กุหลาบที่มี $k = 4$ เรียกว่าอ็อกตาโฟเลียม (octafolium)เพราะมี กลีบดอก $2k = 8$ กลีบ และจะเรียงตัวเป็นรูปแปดเหลี่ยมในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ค่าโคไซน์และไซน์จะระบุไว้ดังนี้

\left(x^{2}+y^{2}\right)^{5}=a^{2}\left(x^{4}-6x^{2}y^{2}+y^{4}\right)^{2}

และ

\left(x^{2}+y^{2}\right)^{5}=16a^{2}\left(xy^{3}-yx^{3}\right)^{2}

ตามลำดับ

เพนตาโฟเลียม

กุหลาบที่มี $k = 5$ เรียกว่าเพนตาโฟเลียม (pentafolium)เพราะมี กลีบดอก $k = 5$ กลีบ และจะเรียงตัวเป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ค่าโคไซน์และไซน์จะระบุไว้ดังนี้

\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}=a\left(x^{5}-10x^{3}y^{2}+5xy^{4}\right)

และ

\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}=a\left(5x^{4}y-10x^{2}y^{3}+y^{5}\right)

ตามลำดับ

โดเดคาโฟเลียม

กุหลาบที่มี $k = 6$ เรียกว่าโดเดคาโฟเลียม (dodecafolium)เพราะมี กลีบดอก $2k = 12$ กลีบ และจะเรียงตัวเป็นรูปสิบสองเหลี่ยมในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ค่าโคไซน์และไซน์จะระบุไว้ดังนี้

\left(x^{2}+y^{2}\right)^{7}=a^{2}\left(x^{6}-15x^{4}y^{2}+15x^{2}y^{4}-y^{6}\right)^{2}

และ

\left(x^{2}+y^{2}\right)^{7}=4a^{2}\left(3x^{5}y-10x^{3}y^{3}+3xy^{5}\right)^{2}

ตามลำดับ

พื้นที่ทั้งหมดและพื้นที่กลีบดอก

พื้นที่ทั้งหมดของดอกกุหลาบที่มีสมการเชิงขั้วในรูปแบบ $r = a cos(kθ)$ หรือ $r = a sin(kθ)$ โดยที่ $k$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ คือ^{[ 11 ]}

{\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }(a\cos(k\theta ))^{2}\,d\theta &={\frac {a^{2}}{2}}\left(\pi +{\frac {\sin(4k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{2}}&&\quad {\text{for even }}k\\[8px]{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }(a\cos(k\theta ))^{2}\,d\theta &={\frac {a^{2}}{2}}\left({\frac {\pi }{2}}+{\frac {\sin(2k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{4}}&&\quad {\text{for odd }}k\end{aligned}}

เมื่อ $k$ เป็น จำนวน คู่ $จะ$ มี กลีบ $ดอก$ $2k$ กลีบ และเมื่อ $k$ $เป็น$ จำนวนคี่ จะมี กลีบดอก $k$ $กลีบ$ ดังนั้นพื้นที่ของแต่ละกลีบดอก $คือ$ $⁠πa²$ $/$ $4k⁠$

ด้วยเหตุนี้ หากใครสักคนต้องการเล่นเกมยอดนิยม " เขารักฉัน...เขาไม่รักฉัน"กับดอกกุหลาบแบบข้างต้น แทนที่จะนับกลีบดอก พวกเขาสามารถคำนวณพื้นที่ของดอกกุหลาบเพื่อหาผลลัพธ์ของเกมได้

$กุหลาบที่มีค่า k$ เป็นจำนวนตรรกยะ

โดยทั่วไป เมื่อ $k$ เป็นจำนวนตรรกยะในรูปแบบเศษส่วนที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ $k = n/$ $d$ $โดย ที่ n และ d$ เป็น $จำนวน$ เต็มที่ $ไม่$ เป็นศูนย์ จำนวนกลีบดอกจะเป็นตัวส่วนของนิพจน์ $1/2$ $-$ $1$ $/$ $2k$ $=$ $n$ $-$ $d$ $/$ $2n$ $[$ $12$ ^] $ซึ่ง$ หมายความ^ว่า^{จำนวน}กลีบดอก^คือ $n$ $ถ้า$ $ทั้ง$ n $และ$ d $เป็น$ จำนวน $คี่$ และ $2n$ $ถ้า$ $เป็น$ $จำนวน$ $คี่$ $[$ ¹³^]

ในกรณีที่ทั้ง $n$ และ $d$ เป็นจำนวนคี่ ครึ่งรอบบวกและลบของไซนูซอยด์จะทับซ้อนกัน กราฟของดอกกุหลาบเหล่านี้จะเสร็จสมบูรณ์ในช่วงต่อเนื่องของมุมเชิงขั้วที่มีความยาว $dπ$ ^{[ 14 ]}

เมื่อnเป็นเลขคู่และdเป็นเลขคี่ หรือในทางกลับกัน ดอกกุหลาบจะถูกวาดอย่างสมบูรณ์ในช่วงมุมเชิงขั้วต่อเนื่องที่มีความยาว2dπ ^{[ 15 ]} นอกจากนี้ ดอกกุหลาบยังสมมาตรเกี่ยวกับขั้วสำหรับทั้งข้อกำหนดโคไซน์และไซน์^{[ 16 ]}
- นอกจากนี้ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนคี่และ $d$ เป็นจำนวนคู่ ดอกกุหลาบที่กำหนดโดยสมการโคไซน์และไซน์เชิงขั้วที่มีค่า $a$ และ $k$ เท่ากัน จะทับซ้อนกัน สำหรับดอกกุหลาบสองดอกดังกล่าว ดอกกุหลาบที่กำหนดโดยฟังก์ชันไซน์จะทับซ้อนกับยอดของดอกกุหลาบที่กำหนดโดยโคไซน์บนแกนเชิงขั้วที่ $θ = ⁠ dπ / 2 ⁠$ หรือที่ $θ = ⁠ 3 dπ / 2 ⁠$ (ซึ่งหมายความว่าดอกกุหลาบ $r = a cos(kθ)$ และ $r = a sin(kθ) ที่มีค่า$ $k$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์จะไม่ทับซ้อนกัน)

ดอกกุหลาบถูกวาดอยู่ภายในวงกลมที่มีรัศมี $r = a$ ซึ่งสอดคล้องกับพิกัดรัศมีของยอดทั้งหมดของมัน

โดเรอร์ โฟเลียม

ดอกกุหลาบที่มี $k$ $= 1/2 เรียก$ ว่า Dürer folium ซึ่งตั้งชื่อตาม Albrecht Dürer จิตรกรและช่างแกะสลักชาวเยอรมัน $ดอกกุหลาบที่ระบุโดย r = a cos(θ$ $/$ 2 $)$ $และ$ r $=$ $a sin (θ / 2) จะ$ ทับ $ซ้อน กัน แม้ว่า a cos ($ $θ$ $/$ 2 $) \neq a$ $sin$ $($ $θ$ $/$ $2$ $)$ $ก็ตาม$ $ใน$ $พิกัด$ $คา$ $ร์$ $ที$ $เซียน$ ดอกกุหลาบจะถูก $ระบุ$ $เป็น$ ^{[ 17 ]}

\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(2\left(x^{2}+y^{2}\right)-a^{2}\right)^{2}=a^{4}x^{2}

เส้นโค้ง Dürer folium ยังเป็นเส้นโค้งที่แบ่งมุมออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กัน ได้อีกด้วย

ลิมาซง ไตรเซกทริกซ์

ดอกกุหลาบที่มี $k = 1/3 เป็น$ ลิมาซงไตรเซกทริกซ์ซึ่งมีคุณสมบัติของ เส้นโค้ง ไตรเซกทริก ซ์ที่สามารถใช้แบ่งมุมออกเป็นสามส่วน $เท่า ๆ$ $กัน$ $ได้$ ดอกกุหลาบนี้มีกลีบดอกเดียวที่มีสองวง (ดูภาพเคลื่อนไหวประกอบด้านล่าง)

ตัวอย่างของรูปดอกกุหลาบr

= cos(kθ)

ที่สร้างขึ้นโดยใช้เฟืองที่มีอัตราส่วนต่างกันรังสีที่แสดงคือแกนเชิงขั้วและ

θ = ⁠ π / 2 ⁠

การวาดกราฟเริ่มต้นที่

θ = 2 π

เมื่อ

k

เป็นจำนวนเต็ม

θ = 2 dπ

ในกรณีอื่น ๆ และดำเนินการตามเข็มนาฬิกาไปจนถึง

θ =

0

วงกลมk

= 1

(

n

= 1

,

d

= 1 )

ดอกกุหลาบจะสมบูรณ์เมื่อ

θ

=

π

(ครึ่งรอบของเฟืองที่เบากว่า

)

ลิมาซง ไตรเซกทริก

ซ์ k = 1/3

(

n

= 1,

d

= 3

)

มี กลีบ

ดอก หนึ่งกลีบที่มีสองห่วง

ดอกกุหลาบจะสมบูรณ์เมื่อ

θ

= 3π (

3/2 รอบเฟืองที่เบากว่า)

ใบสามแฉก

k = 3

(

n = 3

,

d = 1

) ดอกกุหลาบจะสมบูรณ์เมื่อ

θ = π

(ครึ่งรอบของเฟืองที่เบากว่า)

กลีบกุหลาบ 8 กลีบที่มี

k = 4/5

(

n = 4

,

d =

5

) แต่ละ

กลีบ

เป็นวงเดี่ยวที่ตัดกับกลีบอื่นๆ กุหลาบมีความสมมาตรเกี่ยวกับแกน กุหลาบสมบูรณ์ที่

θ = 10π ( ห้ารอบของ

การ

หมุนของเฟืองที่เบากว่า)

$กุหลาบที่มีค่า k$ เป็นจำนวนอตรรกยะ

เส้นโค้งกุหลาบที่ระบุด้วยจำนวนอตรรกยะสำหรับ $k$ จะมีกลีบดอกจำนวนอนันต์^{[ 18 ]}และจะไม่มีวันสมบูรณ์ ตัวอย่างเช่น ไซนูซอยด์ $r = a cos(πθ)$ มีคาบ $T = 2$ ดังนั้น จะมีกลีบดอกในช่วงมุมเชิงขั้ว $- ⁠ 1 / 2 ⁠ \leq θ \leq ⁠ 1 / 2 ⁠$ โดยมียอดบนแกนเชิงขั้ว อย่างไรก็ตาม ไม่มีมุมเชิงขั้วอื่นใดในโดเมนของสมการเชิงขั้วที่จะพล็อตที่พิกัด $(a,0)$ โดยรวมแล้ว กุหลาบที่ระบุโดยไซนูซอยด์ที่มีความถี่เชิงมุมที่เป็นค่าคงที่อตรรกยะจะก่อตัวเป็นเซตที่หนาแน่น (นั่นคือ พวกมันเข้าใกล้การระบุทุกจุดในดิสก์ $r \leq a$ อย่างไม่จำกัด )

จำนวนการหมุนที่จำเป็นในการปิดเส้นโค้ง

จำนวนรอบการหมุน (หรือช่วงมุมทั้งหมด) ที่จำเป็นสำหรับเส้นโค้งของดอกโรโดเนียในการหมุนครบหนึ่งรอบสมบูรณ์นั้นขึ้นอยู่กับอัตราส่วน $k$ $= n$ $/ d เมื่อ k เป็น$ จำนวนเต็ม $เส้น$ โค้งจะปิดลงหลังจาก $π$ เรเดียนหาก $k$ เป็นจำนวนคี่ และหลังจาก $2π$ เรเดียนหาก $k$ เป็นจำนวนคู่ เมื่อ $k$ เป็นจำนวนตรรกยะ จำนวนรอบการหมุนทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับเส้นโค้งในการปิดจะคำนวณได้จาก $dπ$ $/$ $gcd(n,d)$ $หาก$ $nd$ $เป็น$ จำนวนคี่ และจาก $2dπ$ $/$ $gcd$ $(n,d)$ $ใน$ $กรณี$ อื่นๆ สูตรนี้จะกำหนดจำนวนเรเดียน (หรือรอบ) ที่จำเป็นสำหรับเส้นโค้งของดอกกุหลาบในการหมุนครบหนึ่งรอบสมบูรณ์ก่อนที่จะวนซ้ำ

ดูเพิ่มเติม

$Limaçon$ trisectrix - มีรูปร่างเหมือนดอก $กุหลาบ$ $ที่$ $มี$ $k = 1/3$
Quadrifolium – เส้นโค้งกุหลาบที่ $k =$ 2
เมารอร์ โรส
กุหลาบ (โทโพโลยี)
เซคทริกซ์แห่งแมคลาอริน
สไปโรกราฟ

หมายเหตุ

↑ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Rhodonea" , MacTutor History of Mathematics Archive , University of St Andrews
↑ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์โดยเอช. มาร์ติน คันดีและ เอพี โรลเลตต์ ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง ปี 1961 (สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด) หน้า 73
↑ "Rose (Mathematics)" . สืบค้นเมื่อ2021-02-02 .
↑ Robert Ferreol. "Rose" . สืบค้นเมื่อ2021-02-03 .
↑ Xah Lee. "Rose Curve" . สืบค้นเมื่อ2021-02-12 .
↑ Eric W. Weisstein. "Rose (Mathematics)" . Wolfram MathWorld . สืบค้นเมื่อ2021-02-05 .
↑ "จำนวนกลีบดอกของโรโดเนียพันธุ์ Curve ที่มีดัชนีเป็นเลขคี่" . ProofWiki.org . สืบค้นเมื่อ2021-02-03 .
↑ Robert Ferreol. "Rose" . สืบค้นเมื่อ2021-02-03 .
↑ "Trifolium" . สืบค้นเมื่อ 2021-02-02 .
↑เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์. “ปาเกเรตต์ เดอ เมลิเบ ” วุลแฟรมMathWorld สืบค้นเมื่อ2021-02-05 .
↑ Robert Ferreol. "Rose" . สืบค้นเมื่อ2021-02-03 .
↑ยาน วาสเซนนาร์. "โรโดเนีย" . สืบค้นเมื่อ2021-02-02 .
↑ Robert Ferreol. "Rose" . สืบค้นเมื่อ2021-02-05 .
↑ Xah Lee. "Rose Curve" . สืบค้นเมื่อ2021-02-12 .
↑ Xah Lee. "Rose Curve" . สืบค้นเมื่อ2021-02-12 .
↑ยาน วาสเซนนาร์. "โรโดเนีย" . สืบค้นเมื่อ2021-02-02 .
↑ Robert Ferreol. "Dürer Folium" . สืบค้นเมื่อ 2021-02-03 .
↑ Eric W. Weisstein. "Rose (Mathematics)" . Wolfram MathWorld . สืบค้นเมื่อ2021-02-05 .

ลิงก์ภายนอก

แอปเพล็ตสำหรับสร้างดอกกุหลาบโดยใช้พารามิเตอร์ $k$
พจนานุกรมภาพของเส้นโค้งระนาบพิเศษ โดย Xah Lee
ตัวอย่างการใช้งานแบบโต้ตอบด้วย JSXGraph
สร้างเส้นโค้งรูปดอกกุหลาบเป็นกราฟิกเวกเตอร์ (โดยใช้ฟังก์ชันไซน์)

[1] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Rhodonea" , MacTutor History of Mathematics Archive , University of St Andrews

[2] แบบจำลองทางคณิตศาสตร์โดยเอช. มาร์ติน คันดีและ เอพี โรลเลตต์ ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง ปี 1961 (สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด) หน้า 73

[3] "Rose (Mathematics)" . สืบค้นเมื่อ2021-02-02 .

[4] Robert Ferreol. "Rose" . สืบค้นเมื่อ2021-02-03 .

[5] Xah Lee. "Rose Curve" . สืบค้นเมื่อ2021-02-12 .

[6] Eric W. Weisstein. "Rose (Mathematics)" . Wolfram MathWorld . สืบค้นเมื่อ2021-02-05 .

[7] "จำนวนกลีบดอกของโรโดเนียพันธุ์ Curve ที่มีดัชนีเป็นเลขคี่" . ProofWiki.org . สืบค้นเมื่อ2021-02-03 .

[8] Robert Ferreol. "Rose" . สืบค้นเมื่อ2021-02-03 .

[9] "Trifolium" . สืบค้นเมื่อ 2021-02-02 .

[10] เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์. “ปาเกเรตต์ เดอ เมลิเบ ” วุลแฟรมMathWorld สืบค้นเมื่อ2021-02-05 .

[11] Robert Ferreol. "Rose" . สืบค้นเมื่อ2021-02-03 .

[12] ยาน วาสเซนนาร์. "โรโดเนีย" . สืบค้นเมื่อ2021-02-02 .

[13] Robert Ferreol. "Rose" . สืบค้นเมื่อ2021-02-05 .

[14] Xah Lee. "Rose Curve" . สืบค้นเมื่อ2021-02-12 .

[15] Xah Lee. "Rose Curve" . สืบค้นเมื่อ2021-02-12 .

[16] ยาน วาสเซนนาร์. "โรโดเนีย" . สืบค้นเมื่อ2021-02-02 .

[17] Robert Ferreol. "Dürer Folium" . สืบค้นเมื่อ 2021-02-03 .

[18] Eric W. Weisstein. "Rose (Mathematics)" . Wolfram MathWorld . สืบค้นเมื่อ2021-02-05 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[

[ 5 ]

[

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

]

ว่า

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

โรส (คณิตศาสตร์)

ภาพรวมทั่วไป

ข้อกำหนด

คุณสมบัติทั่วไป

กลีบดอกไม้

สมมาตร

กุหลาบที่มีค่าk เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์

วงกลม

ควอดริโฟเลียม

ไตรโฟเลียม

อ็อกตาโฟเลียม

เพนตาโฟเลียม

โดเดคาโฟเลียม

พื้นที่ทั้งหมดและพื้นที่กลีบดอก

กุหลาบที่มีค่า kเป็นจำนวนตรรกยะ

โดเรอร์ โฟเลียม

ลิมาซง ไตรเซกทริกซ์

กุหลาบที่มีค่า kเป็นจำนวนอตรรกยะ

จำนวนการหมุนที่จำเป็นในการปิดเส้นโค้ง

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

ลิงก์ภายนอก

ข้อมูลสำคัญจากบทความ

กุหลาบที่มีค่า $k เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์$

$กุหลาบที่มีค่า k$ เป็นจำนวนตรรกยะ

$กุหลาบที่มีค่า k$ เป็นจำนวนอตรรกยะ