การนับเป็นกระบวนการกำหนดจำนวนองค์ประกอบของเซตจำกัด ของวัตถุ กล่าวคือ การกำหนดขนาดของเซต วิธีการนับแบบดั้งเดิมประกอบด้วยการเพิ่มค่าตัวนับ (ในใจหรือพูดออกมา) อย่างต่อเนื่องทีละหน่วยสำหรับแต่ละองค์ประกอบของเซต ตามลำดับใดลำดับหนึ่ง ในขณะเดียวกันก็ทำเครื่องหมาย (หรือย้าย) องค์ประกอบเหล่านั้นเพื่อหลีกเลี่ยงการเยี่ยมชมองค์ประกอบเดียวกันมากกว่าหนึ่งครั้ง จนกว่าจะไม่มีองค์ประกอบที่ไม่ได้ทำเครื่องหมายเหลืออยู่ หากตั้งค่าตัวนับเป็นหนึ่งหลังจากเยี่ยมชมวัตถุชิ้นแรก ค่าหลังจากเยี่ยมชมวัตถุชิ้นสุดท้ายจะให้จำนวนองค์ประกอบที่ต้องการ คำที่เกี่ยวข้องคือการแจงนับซึ่งหมายถึงการระบุองค์ประกอบของเซตจำกัด (เชิงการจัดเรียง) หรือเซตอนันต์อย่างไม่ซ้ำกันโดยการกำหนดหมายเลขให้กับแต่ละองค์ประกอบ

การนับบางครั้งเกี่ยวข้องกับตัวเลขอื่นนอกเหนือจากหนึ่ง ตัวอย่างเช่น เมื่อนับเงินหรือทอนเงิน เราจะนับทีละสอง (2, 4, 6, 8, 10, 12, ...) หรือนับทีละห้า (5, 10, 15, 20, 25, ...)

มีหลักฐานทางโบราณคดีที่บ่งชี้ว่ามนุษย์นับเลขมาอย่างน้อย 50,000 ปีแล้ว^{[ 1 ]}วัฒนธรรมโบราณใช้การนับเลขเป็นหลักในการติดตามข้อมูลทางสังคมและเศรษฐกิจ เช่น จำนวนสมาชิกในกลุ่ม สัตว์ที่ถูกล่า ทรัพย์สิน หรือหนี้สิน (นั่นคือการบัญชี ) นอกจากนี้ยังพบกระดูกที่มีรอยบากในถ้ำชายแดนในแอฟริกาใต้ ซึ่งอาจบ่งชี้ว่ามนุษย์รู้จักแนวคิดเรื่องการนับเลขมาตั้งแต่ 44,000 ปีก่อนคริสตกาล^{[ 2 ]}การพัฒนาการนับเลขนำไปสู่การพัฒนาระบบสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ระบบตัวเลขและการ เขียน

การนับด้วยวาจาเกี่ยวข้องกับการพูดตัวเลขเรียงลำดับออกมาดัง ๆ หรือคิดในใจเพื่อติดตามความคืบหน้า โดยทั่วไปการนับแบบนี้จะใช้ ตัวเลข ฐาน 10เช่น "1, 2, 3, 4" เป็นต้น การนับด้วยวาจามักใช้กับวัตถุที่อยู่ตรงหน้าในปัจจุบันมากกว่าการนับสิ่งต่าง ๆ ในช่วงเวลาหนึ่ง เนื่องจากหลังจากหยุดชะงัก การนับจะต้องเริ่มต้นใหม่จากจุดที่หยุดไป ซึ่งเป็นตัวเลขที่ต้องบันทึกหรือจดจำไว้

การนับสิ่งของจำนวนน้อย โดยเฉพาะอย่างยิ่งในช่วงเวลาหนึ่ง สามารถทำได้อย่างมีประสิทธิภาพด้วยการใช้เครื่องหมายนับ : ทำเครื่องหมายสำหรับแต่ละจำนวน แล้วนับเครื่องหมายทั้งหมดเมื่อนับเสร็จแล้ว การนับแบบขีด (Tallying) คือการนับ ฐาน 1

การนับนิ้วเป็นวิธีที่สะดวกและเป็นที่นิยมสำหรับจำนวนน้อย เด็ก ๆ นับนิ้วเพื่ออำนวยความสะดวกในการนับและเพื่อดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างง่าย วิธีการนับนิ้วแบบเก่าใช้นิ้วทั้งสี่และกระดูกสามชิ้นในแต่ละนิ้ว ( กระดูกนิ้ว ) เพื่อนับถึงสิบสอง^{[ 3 ]}ระบบท่าทางมืออื่น ๆ ก็มีการใช้งานเช่นกัน ตัวอย่างเช่น ระบบของจีนซึ่งสามารถนับถึง 10 ได้โดยใช้เพียงท่าทางของมือข้างเดียว ด้วยระบบเลขฐานสองของนิ้วทำให้สามารถนับนิ้วได้ถึง1023 = 2 ¹⁰ − 1

นอกจาก นี้ ยังสามารถใช้อุปกรณ์ต่างๆ เพื่อช่วยในการนับได้ เช่นเครื่องนับเลขและลูกคิด

การนับแบบรวมและการนับแบบไม่รวมเป็นวิธีการนับสองวิธีที่แตกต่างกัน สำหรับการนับแบบรวมนั้น จะนับหน่วยโดยเริ่มจากจุดเริ่มต้นของจุดเริ่มต้นและสิ้นสุดที่จุดสิ้นสุดของจุดสุดท้าย สำหรับการนับแบบไม่รวมนั้น จะนับหน่วยที่จุดสิ้นสุดของแต่ละช่วง ดังนั้นจุดเริ่มต้นจึงไม่ถูกนับรวม ส่งผลให้จำนวนที่นับได้จากการนับแบบรวมมักจะมากกว่าการนับแบบไม่รวมอยู่หนึ่งเสมอ สำหรับชุดจำนวนเดียวกันเห็นได้ชัดว่าการนำเลขศูนย์มาใช้ในเส้นจำนวนได้แก้ไขปัญหานี้แล้วอย่างไรก็ตาม การนับแบบรวมก็ยังคงมีประโยชน์สำหรับบางเรื่องอยู่

โปรดดูข้อผิดพลาดเสารั้ว (fencepost error ) ซึ่งเป็นข้อผิดพลาดประเภทหนึ่งที่คลาดเคลื่อนไปหนึ่งตำแหน่ง (off-by-one error ) ด้วย

การนับแบบรวมมักพบได้เมื่อกล่าวถึงเวลาในปฏิทินโรมันและภาษาโรมานซ์^{[ 4 ]}ใน ปฏิทิน โรมันโบราณ nones (หมายถึง "เก้า") คือ 8 วันก่อนidesโดยทั่วไปแล้ว วันที่จะถูกระบุเป็นวันที่นับรวมไปจนถึงวันถัดไป^{[ 4 ]}

ในปฏิทินพิธีกรรมของศาสนาคริสต์ Quinquagesima (หมายถึง 50) คือ 49 วันก่อนวันอาทิตย์อีสเตอร์ เมื่อนับแบบ "รวม" วันอาทิตย์ (วันเริ่มต้น) จะเป็นวันที่ 1และดังนั้นวันอาทิตย์ถัดไปจะเป็นวันที่แปดตัวอย่างเช่น วลีภาษาฝรั่งเศสสำหรับ " สองสัปดาห์ " คือquinzaine (15 [วัน]) และมีคำที่คล้ายกันในภาษากรีก (δεκαπενθήμερο, dekapenthímero),สเปน ( quincena ) และโปรตุเกส ( quinzena )

ในทางตรงกันข้าม คำภาษาอังกฤษ "fortnight" มาจาก "คืนสิบสี่คืน" เช่นเดียวกับคำโบราณ " sennight " ที่มาจาก "คืนเจ็ดคืน" คำภาษาอังกฤษเหล่านี้ไม่ใช่ตัวอย่างของการนับแบบรวม ในภาษาที่มีการนับแบบไม่รวม เช่น ภาษาอังกฤษ เมื่อนับแปดวัน "จากวันอาทิตย์" วันจันทร์จะเป็นวันที่ 1 วันอังคารเป็นวันที่ 2และวันจันทร์ถัดไปจะเป็นวันที่แปด เป็นเวลาหลายปี ที่ การใช้วลี "จากวันที่" หมายถึง "เริ่มต้นในวันถัดจากวันที่นั้น" เป็นมาตรฐานในกฎหมายอังกฤษปัจจุบันการปฏิบัติเช่นนี้ไม่เป็นที่ยอมรับแล้วเนื่องจากมีความเสี่ยงสูงที่จะเกิดความเข้าใจผิด^{[ 5 ]}

การนับอายุแบบเดียวกันนี้พบได้ในระบบการนับอายุของชาวเอเชียตะวันออกซึ่ง ถือว่า เด็กแรกเกิดมีอายุ 1 ขวบเมื่อแรกเกิด

ศัพท์ทางดนตรีก็ใช้การนับช่วงห่างระหว่างโน้ตในบันไดเสียงมาตรฐานเช่นกัน กล่าวคือ การขึ้นไปหนึ่งโน้ตเรียกว่าช่วงห่างที่สอง การขึ้นไปสองโน้ตเรียกว่าช่วงห่างที่สาม เป็นต้น และการขึ้นไปเจ็ดโน้ตเรียกว่าอ็อกเทฟ

การเรียนรู้การนับเป็นก้าวสำคัญทางการศึกษาและพัฒนาการในวัฒนธรรมส่วนใหญ่ของโลก การเรียนรู้การนับเป็นก้าวแรกของเด็กในวิชาคณิตศาสตร์ และถือเป็นแนวคิดพื้นฐานที่สุดของวิชานี้ อย่างไรก็ตาม บางวัฒนธรรมในอเมซอนและออสเตรเลียตอนนอกไม่ได้นับเลข^{[ 6 ] [ 7 ]}และภาษาของพวกเขาก็ไม่มีคำบอกจำนวน

เด็กหลายคนอายุเพียง 2 ขวบก็มีความสามารถในการท่องรายการนับได้แล้ว (เช่น พูดว่า "หนึ่ง สอง สาม...") พวกเขายังสามารถตอบคำถามเกี่ยวกับลำดับของจำนวนน้อยๆ ได้ เช่น "อะไรมาหลังจากสาม ?" พวกเขายังสามารถชี้ไปที่วัตถุแต่ละชิ้นในชุดและท่องคำทีละคำได้อีกด้วย สิ่งนี้ทำให้ผู้ปกครองและนักการศึกษาหลายคนสรุปว่าเด็กรู้วิธีใช้การนับเพื่อกำหนดขนาดของชุด^{[ 8 ]}งานวิจัยชี้ให้เห็นว่าต้องใช้เวลาประมาณหนึ่งปีหลังจากเรียนรู้ทักษะเหล่านี้แล้ว เด็กจึงจะเข้าใจความหมายและเหตุผลที่ต้องทำตามขั้นตอนเหล่านั้น^{[ 9 ] [ 10 ]}ในระหว่างนี้ เด็กๆ เรียนรู้วิธีการตั้งชื่อจำนวนที่พวกเขาสามารถนับได้โดย ไม่ต้องดูจำนวน

ในทางคณิตศาสตร์ สาระสำคัญของการนับเซตและการหาผลลัพธ์nคือการสร้างความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่ง (หรือการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง) ระหว่างเซตเป้าหมายกับเซตย่อยของจำนวนเต็มบวก {1, 2, ..., n } ข้อเท็จจริงพื้นฐาน ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้โดยการอุปมานทางคณิตศาสตร์คือไม่มีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่าง {1, 2, ..., n } และ {1, 2, ..., m } เว้นแต่n = mข้อเท็จจริงนี้ (รวมถึงข้อเท็จจริงที่ว่าการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงสองแบบสามารถนำมาประกอบกันเพื่อให้ได้การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงอีกแบบหนึ่งได้) ทำให้มั่นใจได้ว่าการนับเซตเดียวกันด้วยวิธีที่แตกต่างกันจะไม่สามารถให้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันได้ (เว้นแต่จะเกิดข้อผิดพลาด) นี่คือทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์พื้นฐานที่ให้จุดประสงค์ของการนับ ไม่ว่าคุณจะนับเซต (จำกัด) ด้วยวิธีใด คำตอบก็เหมือนกัน ในบริบทที่กว้างขึ้น ทฤษฎีบทนี้เป็นตัวอย่างของทฤษฎีบทในสาขาคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง (แบบจำกัด) —ดังนั้น คณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง (แบบจำกัด) จึงบางครั้งถูกเรียกว่า "คณิตศาสตร์แห่งการนับ"

เซตจำนวนมากที่เกิดขึ้นในทางคณิตศาสตร์ไม่สามารถสร้างฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijection) กับ {1, 2, ..., n } สำหรับจำนวนธรรมชาติn ใดๆ ได้ เซต เหล่านี้เรียกว่าเซตอนันต์ในขณะที่เซตที่สามารถสร้างฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงได้ (สำหรับn บางค่า ) เรียกว่าเซตจำกัดเซตอนันต์ไม่สามารถนับได้ในความหมายปกติ เพราะประการหนึ่ง ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ที่รองรับความหมายปกติของเซตจำกัดนั้นใช้ไม่ได้กับเซตอนันต์ นอกจากนี้ นิยามที่แตกต่างกันของแนวคิดที่ใช้ในทฤษฎีบทเหล่านั้น แม้จะเทียบเท่ากันสำหรับเซตจำกัด แต่ก็ไม่เทียบเท่ากันในบริบทของเซตอนันต์

แนวคิดเรื่องการนับอาจขยายไปถึงเซตเหล่านี้ได้ในแง่ของการสร้าง (การมีอยู่ของ) ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงกับเซตที่เข้าใจได้ดีบางเซต ตัวอย่างเช่น ถ้าเซตหนึ่งสามารถจับคู่กับเซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดได้ เซตนั้นจะเรียกว่า " อนันต์ที่นับได้ " การนับแบบนี้แตกต่างอย่างพื้นฐานจากการนับเซตจำกัดตรงที่ การเพิ่มสมาชิกใหม่ลงในเซตไม่ได้ทำให้ขนาดของเซตเพิ่มขึ้นเสมอไป เพราะความเป็นไปได้ของการจับคู่กับเซตเดิมไม่ได้ถูกตัดออกไป ตัวอย่างเช่น เซตของจำนวนเต็ม ทั้งหมด (รวมถึงจำนวนลบ) สามารถจับคู่กับเซตของจำนวนธรรมชาติได้ และแม้แต่เซตที่ดูเหมือนจะใหญ่กว่ามาก เช่น เซตของลำดับจำกัดของจำนวนตรรกยะทั้งหมด ก็ยังคงเป็นอนันต์ที่นับได้ (เท่านั้น) อย่างไรก็ตาม มีเซตบางเซต เช่น เซตของจำนวนจริงที่สามารถแสดงให้เห็นได้ว่า "ใหญ่เกินไป" ที่จะจับคู่กับจำนวนธรรมชาติได้ และเซตเหล่านี้เรียกว่า " นับไม่ได้ " เซตที่มีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่างกันเรียกว่าเซตที่มีจำนวนสมาชิก เท่ากัน และในความหมายทั่วไป การนับเซตสามารถตีความได้ว่าเป็นการหาจำนวนสมาชิกของเซตนั้น นอกเหนือจากจำนวนสมาชิกที่กำหนดโดยจำนวนธรรมชาติแต่ละจำนวนแล้ว ยังมีลำดับชั้นของจำนวนสมาชิกอนันต์อีกมากมาย แม้ว่าจะมีจำนวนสมาชิกอนันต์เพียงไม่กี่จำนวนเท่านั้นที่ปรากฏในคณิตศาสตร์ทั่วไป (กล่าวคือ นอกเหนือจากทฤษฎีเซตที่ศึกษาจำนวนสมาชิกที่เป็นไปได้โดยตรง)

การนับ โดยส่วนใหญ่เป็นการนับเซตจำกัด มีการประยุกต์ใช้หลากหลายในทางคณิตศาสตร์ หลักการสำคัญประการหนึ่งคือ ถ้าเซตXและYมีจำนวนสมาชิกจำกัดเท่ากัน และฟังก์ชันf : X → Yเป็น ฟังก์ชัน หนึ่งต่อหนึ่ง (injective ) แล้ว ฟังก์ชันนั้นก็จะ เป็น ฟังก์ชันทั่วถึง (surjective) ด้วย และในทางกลับกัน ข้อเท็จจริงที่เกี่ยวข้องคือหลักการรังนกพิราบ (pigeonhole principle ) ซึ่งกล่าวว่า ถ้าเซตXและYมีจำนวนสมาชิกจำกัดnและmโดยที่n > mแล้ว ฟังก์ชันf : X → Y ใดๆ ก็จะไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (ดังนั้นจึงมีสมาชิกสองตัวที่แตกต่างกันในXที่fส่งไปยังสมาชิกตัวเดียวกันในY ) ซึ่งเป็นผลมาจากหลักการก่อนหน้านี้ เนื่องจากถ้าfเป็นฟังก์ชัน หนึ่งต่อหนึ่ง การจำกัดฟังก์ชัน นั้น ไปยังเซตย่อยSของXที่มี สมาชิก m ตัว ก็จะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งเช่นกัน ซึ่งการจำกัดนั้นจะเป็นฟังก์ชันทั่วถึง ขัดแย้งกับข้อเท็จจริงที่ว่า สำหรับxในXที่อยู่นอกSนั้นf ( x ) ไม่สามารถอยู่ในภาพของการจำกัดได้ การให้เหตุผลโดยการนับในลักษณะเดียวกันนี้สามารถพิสูจน์การมีอยู่ของวัตถุบางอย่างได้โดยไม่ต้องยกตัวอย่างอย่างชัดเจน ในกรณีของเซตอนันต์ หลักการนี้ยังสามารถนำไปใช้ได้แม้ในสถานการณ์ที่ไม่สามารถยกตัวอย่างได้

ขอบเขตของคณิตศาสตร์เชิงการนับแบบรวมนั้นเกี่ยวข้องกับการคำนวณจำนวนสมาชิกของเซตจำกัด โดยไม่ต้องนับจำนวนจริง ๆ ซึ่งโดยปกติแล้วการนับจำนวนจริงเป็นไปไม่ได้ เพราะมีการพิจารณาเซตจำกัดจำนวนอนันต์พร้อมกัน เช่น เซตของการเรียงสับเปลี่ยนของ {1, 2, ..., n } สำหรับจำนวนธรรมชาติn ใด ๆ