ในทฤษฎีจำนวนโดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีฟิลด์ชั้นท้องถิ่น กลุ่มการแตกแขนง ( ramification groups)คือการกรอง (filtration)ของกลุ่มกาโลอิส (Galois group)ของ ส่วนขยาย ฟิลด์ท้องถิ่นซึ่งให้ข้อมูลโดยละเอียดเกี่ยวกับ ปรากฏการณ์ การแตกแขนงของส่วนขยายนั้น

ในทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีการแตกแขนงของการประเมินค่าศึกษาเซตของการขยายค่าvของฟิลด์KไปยังการขยายLของKเป็นการสรุปทั่วไปของทฤษฎีการแตกแขนงของโดเมนเดเดคินด์^{[ 1 ] [ 2 ]}

โครงสร้างของเซตส่วนขยายจะเข้าใจได้ดีขึ้นเมื่อL / Kเป็นกาโลอิส

กลุ่มการแตกแขนง (Ramification groups) เป็นการพัฒนาต่อยอดจากกลุ่มกาลัว (Galois group) ${\displaystyle G}$ของจำกัด${\displaystyle L/K}$ส่วนขยายกาโลอิสของฟิลด์ท้องถิ่นเราจะเขียน${\displaystyle w,{\mathcal {O}__{L},{\mathfrak {p}}}$สำหรับการประเมินค่า วงแหวนของจำนวนเต็มและอุดมคติสูงสุดของมันสำหรับ${\displaystyle L}$ผลที่ตามมาจากการพิสูจน์ของเฮนเซลทำให้เราสามารถเขียนได้ว่า${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}={\mathcal {O}}_{K}[\alpha ]}$สำหรับบางคน${\displaystyle \alpha \in L}$ที่ไหน${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$คือวงแหวนของจำนวนเต็มของ${\displaystyle K}$[ ^{3 ] (}สิ่งนี้แข็งแกร่งกว่าทฤษฎีบทองค์ประกอบดั้งเดิม ) จากนั้น สำหรับจำนวนเต็มแต่ละจำนวน${\displaystyle i\geq -1}$เรากำหนด${\displaystyle G_{i}}$เพื่อเป็นชุดของทั้งหมด${\displaystyle s\in G}$ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขที่เทียบเท่ากันดังต่อไปนี้

• (ฉัน)${\displaystyle s}$ดำเนินการอย่างไม่ซับซ้อนบน${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {p}}^{i+1}.}$
• (ii)${\displaystyle w(s(x)-x)\geq i+1}$สำหรับทุกคน${\displaystyle x\in {\mathcal {O}}_{L}}$
• (iii)${\displaystyle w(s(\alpha )-\alpha )\geq i+1.}$

กลุ่ม${\displaystyle G_{i}}$เรียกว่า${\displaystyle i}$กลุ่มแตกแขนงลำดับที่ -thพวกมันก่อตัวเป็นลำดับการกรอง ที่ลดลง

${\displaystyle G_{-1}=G\supset G_{0}\supset G_{1}\supset \dots \{*\}.}$

ในความเป็นจริง ${\displaystyle G_{i}}$เป็นเรื่องปกติโดย (i) และไม่สำคัญสำหรับค่าที่มากพอ${\displaystyle i}$โดย (iii) สำหรับดัชนีต่ำสุด มักจะเรียกว่า${\displaystyle G_{0}}$กลุ่มย่อยความเฉื่อยของ${\displaystyle G}$เนื่องจากมีความเกี่ยวข้องกับการแยกส่วนของอุดมคติเฉพาะในขณะที่${\displaystyle G_{1}}$กลุ่มย่อยความเฉื่อยป่าของ${\displaystyle G}$ผลหาร${\displaystyle G_{0}/G_{1}}$เรียกว่า อัตราส่วนความเชื่อง

กลุ่มกาโลอิส${\displaystyle G}$และกลุ่มย่อยของมัน${\displaystyle G_{i}}$ศึกษาโดยใช้การกรองข้างต้น หรือโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ผลหารที่เกี่ยวข้อง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง

• ${\displaystyle G/G_{0}=\operatorname {Gal} (l/k),}$ที่ไหน${\displaystyle l,k}$คือฟิลด์ตกค้าง (จำกัด) ของ ${\displaystyle L,K}$[ ^{4 ]​}
• ${\displaystyle G_{0}=1\Leftrightarrow L/K}$ไม่แตกแขนง
• ${\displaystyle G_{1}=1\Leftrightarrow L/K}$มีการแตกแขนงอย่างเชื่อง (กล่าวคือ ดัชนีการแตกแขนงเป็นจำนวนเฉพาะเมื่อเทียบกับลักษณะตกค้าง)

การศึกษาเกี่ยวกับกลุ่มการแตกแขนงจะลดลงเหลือเพียงกรณีที่มีการแตกแขนงอย่างสมบูรณ์ เนื่องจากมี${\displaystyle G_{i}=(G_{0})_{i}}$สำหรับ${\displaystyle i\geq 0}$.

นอกจากนี้ยังมีการกำหนดฟังก์ชันอีกด้วย${\displaystyle i_{G}(s)=w(s(\alpha )-\alpha ),s\in G}$(ii) ในการแสดงข้างต้น${\displaystyle i_{G}}$เป็นอิสระจากการเลือก${\displaystyle \alpha }$และยิ่งไปกว่านั้น การศึกษาเกี่ยวกับการกรอง${\displaystyle G_{i}}$โดยพื้นฐานแล้วเทียบเท่ากับของ${\displaystyle i_{G}}$[ ^{5 ]​}${\displaystyle i_{G}}$ตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้: สำหรับ${\displaystyle s,t\in G}$,

• ${\displaystyle i_{G}(s)\geq i+1\Leftrightarrow s\in G_{i}.}$
• ${\displaystyle i_{G}(tst^{-1})=i_{G}(s).}$
• ${\displaystyle i_{G}(st)\geq \min\{i_{G}(s),i_{G}(t)\}.}$

แก้ไขเครื่องทำให้สม่ำเสมอ${\displaystyle \pi }$ของ${\displaystyle L}$. แล้ว${\displaystyle s\mapsto s(\pi )/\pi }$กระตุ้นให้เกิดการฉีด${\displaystyle G_{i}/G_{i+1}\to U_{L,i}/U_{L,i+1},i\geq 0}$ที่ไหน${\displaystyle U_{L,0}={\mathcal {O}}_{L}^{\times },U_{L,i}=1+{\mathfrak {p}}^{i}}$(แผนที่จริง ๆ แล้วไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกตัวทำให้สม่ำเสมอ^{[ 6 ]} ) เป็นผลสืบเนื่องมาจากสิ่งนี้^{[ 7 ]}

• ${\displaystyle G_{0}/G_{1}}$เป็นวัฏจักรที่มีอันดับเป็นจำนวนเฉพาะ${\displaystyle p}$
• ${\displaystyle G_{i}/G_{i+1}}$เป็นผลผลิตจากกลุ่มวัฏจักรที่มีลำดับ${\displaystyle p}$.

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง${\displaystyle G_{1}}$เป็นกลุ่มpและ${\displaystyle G_{0}}$สามารถแก้ไขได้

กลุ่มการแตกแขนงสามารถนำมาใช้คำนวณค่าต่างๆ ได้${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{L/K}}$ของส่วนขยาย${\displaystyle L/K}$และส่วนขยายย่อย: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle w({\mathfrak {D}}_{L/K})=\sum _{s\neq 1}i_{G}(s)=\sum _{i=0}^{\infty }(|G_{i}|-1).}$

ถ้า${\displaystyle H}$เป็นกลุ่มย่อยปกติของ${\displaystyle G}$ดังนั้นสำหรับ${\displaystyle \sigma \in G}$,${\displaystyle i_{G/H}(\sigma )={1 \over e_{L/K}}\sum _{s\mapsto \sigma }i_{G}(s)}$[ ^{9 ]​}

เมื่อรวมสิ่งนี้เข้ากับข้างต้นจะได้: สำหรับส่วนขยายย่อย${\displaystyle F/K}$สอดคล้องกับ${\displaystyle H}$,

${\displaystyle v_{F}({\mathfrak {D}}_{F/K})={1 \over e_{L/F}}\sum _{s\not \in H}i_{G}(s).}$

ถ้า${\displaystyle s\in G_{i},t\in G_{j},i,j\geq 1}$, แล้ว${\displaystyle sts^{-1}t^{-1}\in G_{i+j+1}}$[ ^{10 ]}ในศัพท์เฉพาะของLazardสามารถเข้าใจได้ว่าหมายถึง^{พีชคณิต} Lie${\displaystyle \operatorname {gr} (G_{1})=\sum _{i\geq 1}G_{i}/G_{i+1}}$เป็นกลุ่มอาเบเลียน

ถ้า${\displaystyle u}$เป็นจำนวนจริง${\displaystyle \geq -1}$, อนุญาต${\displaystyle G_{u}}$แสดงถึง${\displaystyle G_{i}}$โดยที่iคือจำนวนเต็มที่น้อยที่สุด${\displaystyle \geq u}$กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ${\displaystyle s\in G_{u}\Leftrightarrow i_{G}(s)\geq u+1.}$กำหนด${\displaystyle \phi }$โดย^{[ 12 ]}

${\displaystyle \phi (u)=\int _{0}^{u}{dt \over (G_{0}:G_{t})}}$

โดยตามธรรมเนียมแล้ว${\displaystyle (G_{0}:G_{t})}$เท่ากับ${\displaystyle (G_{-1}:G_{0})^{-1}}$ถ้า${\displaystyle t=-1}$และเท่ากับ${\displaystyle 1}$สำหรับ${\displaystyle -1<t\leq 0}$[ ^{13 ]} จาก^นั้น${\displaystyle \phi (u)=u}$สำหรับ${\displaystyle -1\leq u\leq 0}$มันเป็นเรื่องทันทีที่${\displaystyle \phi }$เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด ดังนั้นจึงมีฟังก์ชันผกผันที่เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องเช่นกัน${\displaystyle \psi }$กำหนดไว้บน${\displaystyle [-1,\infty )}$. กำหนด ${\displaystyle G^{v}=G_{\psi (v)}}$. ${\displaystyle G^{v}}$จากนั้นจึงเรียกว่ากลุ่มการแตกแขนงลำดับที่vในระบบการกำหนดหมายเลขแบบบน กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ${\displaystyle G^{\phi (u)}=G_{u}}$. บันทึก${\displaystyle G^{-1}=G,G^{0}=G_{0}}$การกำหนดหมายเลขด้านบนนั้นถูกกำหนดเพื่อให้เข้ากันได้กับการเปลี่ยนไปใช้ผลหาร: ^{[ 14 ]}ถ้า${\displaystyle H}$เป็นเรื่องปกติใน${\displaystyle G}$, แล้ว

${\displaystyle (G/H)^{v}=G^{v}H/H}$สำหรับทุกคน${\displaystyle v}$

(ในขณะที่การกำหนดหมายเลขที่ต่ำกว่านั้นสอดคล้องกับการแบ่งกลุ่มย่อย)

• ส่วนขยายจำกัดของฟิลด์ท้องถิ่น