ในทางคณิตศาสตร์มิติของปริภูมิเวกเตอร์Vคือจำนวนสมาชิก (กล่าวคือ จำนวนเวกเตอร์) ของฐานของVเหนือฟิลด์ฐาน^{[ 1 ] [ 2 ]}บางครั้งเรียกว่ามิติฮาเมล (ตั้งชื่อตามเกออร์ก ฮาเมล ) หรือมิติพีชคณิต เพื่อแยกความแตกต่างจาก มิติประเภทอื่น

สำหรับปริภูมิเวกเตอร์ทุกปริภูมิจะมีฐานอยู่^{[ a ]}และฐานทั้งหมดของปริภูมิเวกเตอร์จะมีจำนวนสมาชิกเท่ากัน^{[ b ]}ดังนั้น มิติของปริภูมิเวกเตอร์จึงถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันกล่าวได้ว่าคือ${\displaystyle V}$มิติจำกัดถ้ามิติของมีค่าจำกัดและ${\displaystyle V}$มิติอนันต์ถ้ามิติของมันเป็น อนันต์

มิติของปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์สามารถเขียนได้เป็นหรืออ่านว่า "มิติของเหนือ" เมื่อสามารถอนุมานได้จากบริบท โดยทั่วไปแล้วจะเขียนมิติเป็นแทน ${\displaystyle V}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \dim _{F}(V)}$${\displaystyle [V:F],}$${\displaystyle V}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \dim(V)}$

ปริภูมิเวกเตอร์มี ฐานมาตรฐาน เป็นและดังนั้นโดยทั่วไปแล้วและโดยทั่วไปยิ่งกว่านั้นสำหรับฟิลด์ ใดๆ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$$${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right\}}$$${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{3})=3.}$${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{n})=n,}$${\displaystyle \dim _{F}(F^{n})=n}$${\displaystyle F.}$

จำนวนเชิงซ้อน เป็นทั้งปริภูมิเวกเตอร์จริงและปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อน มิติของจำนวนเชิงซ้อน ขึ้น อยู่กับฟิลด์ฐานเช่น และ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {C} )=2}$${\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} )=1}$

ปริภูมิเวกเตอร์เดียวที่มีมิติคือปริภูมิเวกเตอร์ที่ประกอบด้วยสมาชิกศูนย์เพียงตัวเดียว ${\displaystyle 0}$${\displaystyle \{0\},}$

ถ้าเป็นปริภูมิย่อยเชิงเส้นของแล้ว${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \dim(W)\leq \dim(V)}$

เพื่อแสดงว่าปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดสองปริภูมิเท่ากัน สามารถใช้เกณฑ์ต่อไปนี้ได้: ถ้าเป็นปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัด และเป็นปริภูมิย่อยเชิงเส้นของโดยที่ แล้ว${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \dim(W)=\dim(V),}$${\displaystyle W=V.}$

ปริภูมิมีฐานมาตรฐานโดยที่คือคอลัมน์ที่ ของเมทริกซ์เอกลักษณ์ ที่สอดคล้องกัน ดังนั้น จึงมีมิติ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\right\},}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n.}$

ปริภูมิเวกเตอร์สองปริภูมิที่มีมิติจำกัดเหนือที่มีมิติเท่ากัน จะเป็นไอโซม อร์ ฟิก กัน ฟังก์ชัน หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่างฐานของปริภูมิทั้งสอง สามารถขยายได้อย่างไม่ซ้ำกันเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่างปริภูมิเวกเตอร์ทั้งสอง ถ้าเป็นเซตใดๆ ปริภูมิเวกเตอร์ที่มีมิติเหนือสามารถสร้างได้ดังนี้: เลือกเซตของฟังก์ชันทั้งหมดเช่นสำหรับทุก ยกเว้นจำนวนจำกัดในฟังก์ชันเหล่านี้สามารถบวกและคูณกับสมาชิกของเพื่อให้ได้ปริภูมิเวกเตอร์ ที่ต้องการ${\displaystyle F}$${\displaystyle B}$${\displaystyle ||B|}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F(B)}$${\displaystyle f:B\to F}$${\displaystyle f(b)=0}$${\displaystyle b}$${\displaystyle B.}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$

ผลลัพธ์ที่สำคัญเกี่ยวกับมิติได้มาจากทฤษฎีบทอันดับ-มิติว่างสำหรับแผนที่เชิงเส้น

ถ้าเป็นส่วนขยายของฟิลด์แล้วโดยเฉพาะอย่างยิ่ง จะเป็นปริมาณเวกเตอร์เหนือนอกจากนี้ ปริมาณเวก เตอร์ ทุกตัวที่มีมิติ ก็เป็นปริมาณเวกเตอร์ที่มีมิติ ด้วยเช่นกัน มิติต่างๆ มีความสัมพันธ์กันด้วยสูตร โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ปริมาณเวกเตอร์เชิงซ้อนทุกตัวที่มีมิติจะเป็นปริมาณเวกเตอร์จริงที่มีมิติ${\displaystyle F/K}$${\displaystyle F}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle F}$${\displaystyle V}$${\displaystyle K}$$${\displaystyle \dim _{K}(V)=\dim _{K}(F)\dim _{F}(V)}$$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2n.}$

สูตรบางสูตรเชื่อมโยงมิติของปริภูมิเวกเตอร์กับจำนวนสมาชิกของฟิลด์ฐานและจำนวนสมาชิกของปริภูมิเวกเตอร์นั้นเอง ถ้าเป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์และถ้า มิติของถูกกำหนดโดยแล้ว: ${\displaystyle V}$${\displaystyle F}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \dim V,}$

ถ้า dim มีค่าจำกัดแล้ว${\displaystyle V}$${\displaystyle |V|=|F|^{\dim V}.}$

ถ้า dim เป็นอนันต์แล้ว${\displaystyle V}$${\displaystyle |V|=\max(|F|,\dim V)}$

ปริมาณเวกเตอร์สามารถมองได้ว่าเป็นกรณีเฉพาะของเมทริกซ์และในเมทริกซ์นั้นมีแนวคิดเรื่องมิติที่กำหนดไว้อย่างชัดเจนความยาวของโมดูลและอันดับของกลุ่มอาเบเลียนต่างก็มีคุณสมบัติหลายอย่างที่คล้ายคลึงกับมิติของปริมาณเวกเตอร์

มิติครัลล์ของวงแหวน สลับ ที่ ซึ่งตั้งชื่อตามโวล์ฟกัง ครัลล์ (Wolfgang Krull, 1899–1971) ถูกกำหนดให้เป็นจำนวนสูงสุดของการรวมอย่างเข้มงวดในลำดับที่เพิ่มขึ้นของอุดมคติเฉพาะในวงแหวน

มิติของปริภูมิเวกเตอร์อาจถูกกำหนดได้อีกวิธีหนึ่งโดยพิจารณาจากร่องรอยของตัวดำเนินการเอกลักษณ์ตัวอย่างเช่น ดูเหมือนจะเป็นนิยามแบบวนซ้ำแต่ก็ช่วยให้สามารถสรุปผลได้ในทางที่ดี ${\displaystyle \operatorname {tr} \ \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{2}}=\operatorname {tr} \left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)=1+1=2.}$

ประการแรก วิธีนี้ช่วยให้สามารถกำหนดแนวคิดของมิติได้ เมื่อมีร่องรอยแต่ไม่มีความรู้สึกถึงฐานตามธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น เราอาจมีพีชคณิต ที่มีแผนที่(การรวมสเกลาร์ เรียกว่าหน่วย ) และแผนที่(ที่สอดคล้องกับร่องรอย เรียกว่าหน่วยร่วม ) การประกอบกันเป็นสเกลาร์ (ซึ่งเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นบนปริภูมิ 1 มิติ) สอดคล้องกับ "ร่องรอยของเอกลักษณ์" และให้แนวคิดของมิติสำหรับพีชคณิตนามธรรม ในทางปฏิบัติ ในไบอัลจีบราแผนที่นี้จำเป็นต้องเป็นเอกลักษณ์ ซึ่งสามารถหาได้โดยการทำให้หน่วยร่วมเป็นมาตรฐานโดยการหารด้วยมิติ ( ) ดังนั้นในกรณีเหล่านี้ ค่าคงที่ของการทำให้เป็นมาตรฐานจึงสอดคล้องกับมิติ ${\displaystyle A}$${\displaystyle \eta :K\to A}$${\displaystyle \epsilon :A\to K}$${\displaystyle \epsilon \circ \eta :K\to K}$${\displaystyle \epsilon :=\textstyle {\frac {1}{n}}\operatorname {tr} }$

อีกทางเลือกหนึ่ง อาจเป็นไปได้ที่จะหาผลรวมของตัวดำเนินการบนปริภูมิที่มีมิติอนันต์ ในกรณีนี้ ผลรวม (จำกัด) จะถูกกำหนดขึ้น แม้ว่าจะไม่มีมิติ (จำกัด) อยู่จริงก็ตาม และให้แนวคิดเกี่ยวกับ "มิติของตัวดำเนินการ" สิ่งเหล่านี้จัดอยู่ในกลุ่ม " ตัวดำเนินการ ชั้นผลรวม " บนปริภูมิฮิลเบิร์ตหรือโดยทั่วไปแล้วตัวดำเนินการนิวเคลียร์บนปริภูมิบานาค

การสรุปทั่วไปที่ละเอียดอ่อนกว่านั้นคือการพิจารณาร่องรอยของตระกูลตัวดำเนินการว่าเป็นมิติ "บิดเบี้ยว" ชนิดหนึ่ง สิ่งนี้เกิดขึ้นอย่างมีนัยสำคัญในทฤษฎีการแทนค่าซึ่งลักษณะเฉพาะของการแทนค่าคือร่องรอยของการแทนค่า ดังนั้นฟังก์ชันค่าสเกลาร์บนกลุ่ม ซึ่งค่าบนเอกลักษณ์คือมิติของการแทนค่า เนื่องจากแทนค่าส่งเอกลักษณ์ในกลุ่มไปยังเมทริกซ์เอกลักษณ์: ค่าอื่นๆของลักษณะเฉพาะสามารถมองได้ว่าเป็นมิติ "บิดเบี้ยว" และพบความคล้ายคลึงหรือการสรุปทั่วไปของข้อความเกี่ยวกับมิติไปยังข้อความเกี่ยวกับลักษณะเฉพาะหรือการแทนค่า ตัวอย่างที่ซับซ้อนของสิ่งนี้เกิดขึ้นในทฤษฎีของเหล้าเถื่อน : ตัวแปรคงที่ -คือมิติแบบไล่ระดับของการแทนค่าแบบไล่ระดับมิติอนันต์ของกลุ่มมอนสเตอร์และการแทนที่มิติด้วยลักษณะเฉพาะจะให้ชุด McKay–Thompsonสำหรับแต่ละองค์ประกอบของกลุ่มมอนสเตอร์^{[ 3 ]}${\displaystyle \chi :G\to K,}$${\displaystyle 1\in G}$${\displaystyle \chi (1_{G})=\operatorname {tr} \ I_{V}=\dim V.}$${\displaystyle \chi (g)}$${\displaystyle j}$

• มิติแฟรกทัล  – จำนวนจริงของมิติเชิงพื้นที่
• มิติครัลล์  – ในทางคณิตศาสตร์ หมายถึง มิติของวงแหวน
• ระดับ Matroid  – ขนาดสูงสุดของเซตอิสระของ Matroid
• อันดับ (พีชคณิตเชิงเส้น)  – มิติของปริภูมิคอลัมน์ของเมทริกซ์
• มิติเชิงทอพอโลยี  – นิยามของมิติของปริภูมิที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามทอพอโลยี หรือPages displaying short descriptions of redirect targetsเรียกอีกอย่างว่า มิติการปกคลุมของเลเบส

• Axler, Sheldon (2015). พีชคณิตเชิงเส้นที่ถูกต้อง . ตำราคณิตศาสตร์ระดับปริญญาตรี (ฉบับที่ 3). Springer . ISBN 978-3-319-11079-0.

• การบรรยายเรื่องพีชคณิตเชิงเส้นของ MIT ในหัวข้อความเป็นอิสระ ฐาน และมิติ โดย Gilbert Strangที่ MIT OpenCourseWare