อัตราผลตอบแทนภายใน ( IRR ) คือวิธีการคำนวณอัตราผลตอบแทนของการลงทุนคำว่า " ภายใน"หมายถึงการคำนวณที่ตัดปัจจัยภายนอกออกไป เช่นอัตราผลตอบแทนที่ปราศจากความเสี่ยงอัตราเงินเฟ้อต้นทุนของเงินทุนหรือ ความ เสี่ยง ทางการเงิน

วิธีการนี้สามารถนำไปใช้ได้ทั้งแบบย้อนหลัง (ex-post)หรือแบบล่วงหน้า (ex-ante ) หากนำไปใช้แบบล่วงหน้า อัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) จะเป็นการประมาณอัตราผลตอบแทนรายปีในอนาคต ส่วนหากนำไปใช้แบบย้อนหลัง จะเป็นการวัดผลตอบแทนการลงทุนที่เกิดขึ้นจริงจากการลงทุนในอดีต

เรียกอีกอย่างว่าอัตราผลตอบแทนกระแสเงินสดคิดลด (DCFROR) ^{[ 1 ]}หรืออัตราผลตอบแทน^{[ 2 ]}

IRR ของการลงทุนหรือโครงการคือ "อัตราผลตอบแทนทบต้นที่มีประสิทธิภาพรายปี" หรืออัตราผลตอบแทนที่ทำให้มูลค่าปัจจุบันสุทธิ (NPV) ของกระแสเงินสดทั้งหมด (ทั้งบวกและลบ) จากการลงทุนเท่ากับศูนย์^{[ 2 ] [ 3 ]}หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นอัตราดอกเบี้ยที่มูลค่าปัจจุบัน สุทธิ ของกระแสเงินสดในอนาคตเท่ากับการลงทุนเริ่มต้น^{[ 2 ] [ 3 ]}และยังเป็นอัตราดอกเบี้ยที่มูลค่าปัจจุบันรวมของต้นทุน (กระแสเงินสดติดลบ) เท่ากับมูลค่าปัจจุบันรวมของผลประโยชน์ (กระแสเงินสดบวก)

IRR แสดงถึงผลตอบแทนจากการลงทุนที่ได้รับเมื่อโครงการถึงจุดคุ้มทุน ซึ่งหมายความว่าโครงการนั้นคุ้มค่าเพียงเล็กน้อยเท่านั้น เมื่อ NPV แสดงค่าเป็นบวก แสดงว่าโครงการนั้นคาดว่าจะสร้างมูลค่า ในทางกลับกัน หาก NPV แสดงค่าเป็นลบ แสดงว่าโครงการนั้นคาดว่าจะขาดทุน โดยพื้นฐานแล้ว IRR หมายถึงอัตราผลตอบแทนที่ได้รับเมื่อ NPV ของโครงการถึงจุดที่เป็นกลาง ซึ่งก็คือจุดที่ NPV คุ้มทุนนั่นเอง^{[ 4 ]}

อัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) คำนึงถึงความชอบของเงินและการลงทุนในแง่ของเวลา ผลตอบแทนจากการลงทุนที่ได้รับในเวลาหนึ่งย่อมมีมูลค่ามากกว่าผลตอบแทนเดียวกันที่ได้รับในภายหลัง ดังนั้นผลตอบแทนที่ได้รับในภายหลังจะมี IRR ต่ำกว่าผลตอบแทนที่ได้รับในเวลาหนึ่ง หากปัจจัยอื่นๆ เท่ากัน การลงทุนในตราสารหนี้ที่มีเงินฝากครั้งเดียว และได้รับ ดอกเบี้ยในอัตราดอกเบี้ย ที่กำหนด ทุกช่วงเวลา โดยที่เงินฝากเริ่มต้นไม่เพิ่มขึ้นหรือลดลง จะมี IRR เท่ากับอัตราดอกเบี้ยที่กำหนด การลงทุนที่มีผลตอบแทนรวมเท่ากับการลงทุนก่อนหน้า แต่ได้รับผลตอบแทนล่าช้าออกไปหนึ่งหรือหลายช่วงเวลา จะมี IRR ต่ำกว่า

ในบริบทของการออมและการให้กู้ยืม IRR ยังถูกเรียกว่าอัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงอีก ด้วย

อัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) เป็นตัวชี้วัดความสามารถ ในการทำกำไร ประสิทธิภาพ คุณภาพ หรือผลตอบแทนจากการลงทุน ซึ่งแตกต่างจากมูลค่าปัจจุบันสุทธิ (NPV ) ที่เป็นตัวชี้วัด มูลค่าสุทธิหรือขนาดที่เพิ่มขึ้นจากการลงทุน

เพื่อเพิ่มมูลค่าของธุรกิจให้สูงสุด ควรลงทุนก็ต่อเมื่อผลกำไรที่วัดได้จากอัตราผลตอบแทนภายในนั้นสูงกว่าอัตราผลตอบแทนขั้นต่ำที่ยอมรับได้ หากอัตราผลตอบแทนภายในที่ประมาณการไว้ของโครงการหรือการลงทุน เช่น การสร้างโรงงานใหม่ สูงกว่า ต้นทุนเงินทุน ที่ บริษัทลงทุนในโครงการนั้น การลงทุนนั้นก็จะมีกำไร หากอัตราผลตอบแทนภายในที่ประมาณการไว้ต่ำกว่าต้นทุนเงินทุน โครงการที่เสนอไม่ควรดำเนินการ^{[ 5 ]}

การเลือกการลงทุนอาจอยู่ภายใต้ข้อจำกัดด้านงบประมาณ อาจมีโครงการที่แข่งขันกันและไม่สามารถดำเนินการพร้อมกันได้ หรืออาจมีข้อจำกัดในความสามารถของบริษัทในการบริหารจัดการหลายโครงการ ด้วยเหตุผลเหล่านี้ บริษัทต่างๆ จึงใช้ IRR ใน การจัดทำงบประมาณการลงทุนเพื่อเปรียบเทียบผลกำไรของโครงการลงทุน ทางเลือกต่างๆ ตัวอย่างเช่น บริษัทจะเปรียบเทียบการลงทุนในโรงงานใหม่กับการขยายโรงงานที่มีอยู่เดิมโดยพิจารณาจาก IRR ของแต่ละโครงการ เพื่อให้ได้ผลตอบแทน สูงสุด ยิ่ง IRR ของโครงการสูงเท่าไร โครงการนั้นก็ยิ่งน่าสนใจที่จะดำเนินการมากขึ้นเท่านั้น

มีวิธีการวัด IRR สำหรับการลงทุนอย่างน้อยสองวิธี ได้แก่ IRR ของโครงการและ IRR ของส่วนของผู้ถือหุ้น IRR ของโครงการถือว่ากระแสเงินสดเป็นประโยชน์ต่อโครงการโดยตรง ในขณะที่ IRR ของส่วนของผู้ถือหุ้นจะพิจารณาผลตอบแทนสำหรับผู้ถือหุ้นของบริษัทหลังจากชำระหนี้แล้ว^{[ 6 ]}

แม้ว่า IRR จะเป็นหนึ่งในตัวชี้วัดที่นิยมใช้มากที่สุดในการทดสอบความเป็นไปได้ของการลงทุนและเปรียบเทียบผลตอบแทนของโครงการทางเลือกต่างๆ แต่การพิจารณา IRR เพียงอย่างเดียวอาจไม่ใช่แนวทางที่ดีที่สุดสำหรับการตัดสินใจลงทุน สมมติฐานบางประการที่ใช้ในการคำนวณ IRR นั้นไม่สามารถนำไปใช้กับการลงทุนได้เสมอไป โดยเฉพาะอย่างยิ่ง IRR สมมติว่าโครงการจะไม่มีกระแสเงินสดระหว่างกาล หรือกระแสเงินสดระหว่างกาลจะถูกนำไปลงทุนใหม่ในโครงการ ซึ่งไม่ใช่กรณีเสมอไป ความไม่สอดคล้องกันนี้ทำให้เกิดการประเมินอัตราผลตอบแทนสูงเกินไป ซึ่งอาจเป็นการแสดงมูลค่าของโครงการที่ไม่ถูกต้อง^{[ 7 ]}

IRR ใช้ในการประเมินการลงทุนในหลักทรัพย์ตราสารหนี้ โดยใช้ตัวชี้วัดต่างๆ เช่นผลตอบแทนเมื่อครบกำหนดไถ่ถอนและผลตอบแทนเมื่อไถ่ถอนก่อนกำหนด

ทั้งอัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) และมูลค่าปัจจุบันสุทธิ (NPV) สามารถนำไปใช้กับหนี้สินและการลงทุนได้ สำหรับหนี้สินนั้น อัตราผลตอบแทนภายในที่ต่ำกว่าย่อมดีกว่าอัตราผลตอบแทนภายในที่สูงกว่า

บริษัทต่างๆ ใช้ IRR ในการประเมินการออกหุ้นและการซื้อหุ้นคืน การซื้อหุ้นคืนจะประสบความสำเร็จหากการคืนเงินทุนให้กับผู้ถือหุ้นมี IRR สูงกว่าโครงการลงทุนหรือโครงการเข้าซื้อกิจการที่ราคาตลาดปัจจุบัน การระดมทุนสำหรับโครงการใหม่โดยการกู้ยืมเงินใหม่ก็อาจเกี่ยวข้องกับการวัดต้นทุนของหนี้ใหม่ในแง่ของผลตอบแทนเมื่อครบกำหนด (อัตราผลตอบแทนภายใน) ด้วยเช่นกัน

IRR ยังใช้สำหรับไพรเวทอิควิตี้จากมุมมองของหุ้นส่วนจำกัดในฐานะมาตรวัดประสิทธิภาพของหุ้นส่วนทั่วไปในฐานะผู้จัดการการลงทุน^{[ 8 ]}ทั้งนี้เนื่องจากหุ้นส่วนทั่วไปเป็นผู้ควบคุมกระแสเงินสด รวมถึงการเบิกเงินทุนที่หุ้นส่วนจำกัดได้ให้คำมั่นไว้

เมื่อกำหนดคู่ข้อมูล ( เวลากระแสเงินสด ) ที่แสดงถึงโครงการหนึ่งแล้ว มูลค่าปัจจุบัน สุทธิ (NPV)จะเป็นฟังก์ชันของอัตราผลตอบแทน อัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) คืออัตราที่ฟังก์ชันนี้มีค่าเป็นศูนย์ กล่าวคือ อัตราผลตอบแทนภายในเป็นคำตอบของสมการ NPV = 0 (โดยสมมติว่าไม่มีเงื่อนไขการเก็งกำไร)

กำหนดคู่ (ระยะเวลา, กระแสเงินสด) ( , ) โดยที่เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ จำนวนงวดทั้งหมด, และ, ( มูลค่าปัจจุบันสุทธิ ); อัตราผลตอบแทนภายในจะกำหนดโดยใน: ${\displaystyle n}$${\displaystyle C_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \operatorname {NPV} }$${\displaystyle r}$

${\displaystyle \operatorname {NPV} =\sum _{n=0}^{N}{\frac {C_{n}}{(1+r)^{n}}}=0}$

^{[ 2 ] [ 3 ]}

พหุนามตรรกยะนี้สามารถแปลงเป็นพหุนามสามัญที่มีรากเดียวกันได้โดยการแทนที่g (กำไร) ด้วยและคูณด้วยเพื่อให้ได้เงื่อนไขที่เทียบเท่ากันแต่เรียบง่ายกว่า ${\displaystyle 1+r}$${\displaystyle g^{N}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}C_{n}g^{Nn}=0}$

อัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) ที่เป็นไปได้คือค่าจริงของrที่สอดคล้องกับเงื่อนไขแรก และน้อยกว่ารากจริงของเงื่อนไขที่สองอยู่ 1 (นั่นคือสำหรับแต่ละรากg ) โปรดทราบว่าในทั้งสองสูตรคือการกลับค่าของการลงทุนเริ่มต้นเมื่อเริ่มโครงการ ในขณะที่คือมูลค่าเงินสดของโครงการเมื่อสิ้นสุดโครงการ หรือเทียบเท่ากับเงินสดที่ถอนออกมาหากโครงการถูกเลิกกิจการและจ่ายออกไปเพื่อให้มูลค่าของโครงการลดลงเหลือศูนย์ ในเงื่อนไขที่สองคือสัมประสิทธิ์นำหน้าของพหุนามสามัญในgในขณะที่คือ ค่า คง ที่${\displaystyle r=g-1}$${\displaystyle C_{0}}$${\displaystyle C_{N}}$${\displaystyle C_{0}}$${\displaystyle C_{N}}$

โดยปกติแล้ว ระยะเวลาจะระบุเป็นปี แต่การคำนวณอาจง่ายขึ้นหากคำนวณโดยใช้ระยะเวลาที่ปัญหาส่วนใหญ่เกิดขึ้น (เช่น ใช้เป็นเดือนหากกระแสเงินสดส่วนใหญ่เกิดขึ้นเป็นรายเดือน) แล้วแปลงเป็นระยะเวลาหนึ่งปีในภายหลัง ${\displaystyle n}$${\displaystyle r}$

สามารถใช้ช่วงเวลาคงที่ใดก็ได้แทนช่วงเวลาปัจจุบัน (เช่น สิ้นสุดงวดหนึ่งของเงินรายปี ) โดยมูลค่าที่ได้จะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อมูลค่าปัจจุบันสุทธิ (NPV) เป็นศูนย์ เท่านั้น

ในกรณีที่กระแสเงินสดเป็นตัวแปรสุ่มเช่น ในกรณีของเงินบำนาญตลอดชีพ จะต้องนำ ค่าที่คาดหวังมาใช้ในสูตรข้างต้น

บ่อยครั้งที่ค่าของที่สอดคล้องกับสมการข้างต้นนั้นไม่สามารถหาได้โดยวิธีวิเคราะห์ในกรณีเช่นนี้จำเป็นต้องใช้ วิธีการเชิงตัวเลขหรือวิธีการเชิงกราฟ${\displaystyle r}$

หากการลงทุนสามารถกำหนดได้ตามลำดับกระแสเงินสด

ปี ( ) ${\displaystyle n}$	กระแสเงินสด ( ) ${\displaystyle C_{n}}$
0	−123400
1	36200
2	54800
3	48100

ดังนั้น IRR จึงคำนวณได้จากสูตร ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \operatorname {NPV} =-123400+{\frac {36200}{(1+r)^{1}}}+{\frac {54800}{(1+r)^{2}}}+{\frac {48100}{(1+r)^{3}}}=0.}$

ในกรณีนี้ คำตอบคือ 5.96% (จากการคำนวณ r = 0.0596)

เนื่องจากข้างต้นเป็นการแสดงออกของปัญหาทั่วไปในการหาคำตอบของสมการจึงมีวิธีการเชิงตัวเลข มากมาย ที่สามารถใช้ในการประมาณค่าได้ตัวอย่างเช่น การใช้วิธีซีแคนต์จะได้ว่า ${\displaystyle \operatorname {NPV} (r)=0}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle r_{n+1}=r_{n}-\operatorname {NPV} _{n}\cdot \left({\frac {r_{n}-r_{n-1}}{\operatorname {NPV} _{n}-\operatorname {NPV} _{n-1}}}\right).}$

โดยที่ถือเป็น ค่าประมาณลำดับ ^ที่ของ IRR ${\displaystyle r_{n}}$${\displaystyle n}$

สามารถหา ค่านี้ได้ในระดับความแม่นยำ ที่กำหนดได้ โปรแกรมบัญชีต่างๆ อาจมีฟังก์ชันสำหรับระดับความแม่นยำที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่นMicrosoft ExcelและGoogle Sheetsมีฟังก์ชันในตัวสำหรับการคำนวณ IRR ทั้งในช่วงเวลาคงที่และช่วงเวลาแปรผัน เช่น "=IRR(...)" และ "=XIRR(...)" ${\displaystyle r}$

ลักษณะการลู่เข้าเป็นดังนี้:

• ถ้าฟังก์ชันมีรากจริง เพียงรากเดียว ลำดับนั้นจะลู่เข้าสู่ค่า ได้อย่างแม่นยำ${\displaystyle \operatorname {NPV} (i)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$
• ถ้าฟังก์ชันมีรากจริงลำดับจะลู่เข้าสู่รากใดรากหนึ่ง และการเปลี่ยนค่าของคู่ค่าเริ่มต้นอาจเปลี่ยนรากที่ลำดับลู่เข้าได้${\displaystyle \operatorname {NPV} (i)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \scriptstyle r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}}$
• ถ้าฟังก์ชันไม่มีรากจริง ลำดับนั้นจะมีแนวโน้มเข้าสู่+ ∞${\displaystyle \operatorname {NPV} (i)}$

การมีหรือไม่มีอาจช่วยเร่งการบรรจบกันของไปยังได้ ${\displaystyle \scriptstyle {r_{1}>r_{0}}}$${\displaystyle \operatorname {NPV} _{0}>0}$${\displaystyle \scriptstyle {r_{1}<r_{0}}}$${\displaystyle \operatorname {NPV} _{0}<0}$${\displaystyle r_{n}}$${\displaystyle r}$

กรณีที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือกรณีที่กระแสการชำระเงินประกอบด้วยการไหลออกเพียงครั้งเดียว ตามด้วยการไหลเข้าหลายครั้งที่เกิดขึ้นในช่วงเวลาเท่าๆ กัน ในสัญลักษณ์ข้างต้น กรณีนี้สอดคล้องกับ:

${\displaystyle C_{0}<0,\quad C_{n}\geq 0{\text{ สำหรับ }}n\geq 1.\,}$

ในกรณีนี้ มูลค่าปัจจุบันสุทธิ (NPV) ของกระแสการชำระเงินเป็น ฟังก์ชัน นูนที่ลดลงอย่างเคร่งครัดของอัตราดอกเบี้ย ดังนั้นจึงมีคำตอบเดียวที่ไม่ซ้ำกันสำหรับอัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) เสมอ

เมื่อกำหนดค่าประมาณสองค่า สำหรับ IRR แล้วสมการวิธีซีแคนต์ (ดูด้านบน) จะให้ค่าประมาณที่ดีขึ้นเสมอวิธีนี้บางครั้งเรียกว่าวิธีลองผิดลองถูก (หรือวิธีลองผิดลองถูก) นอกจากนี้ยังสามารถหาสูตรการประมาณค่าแบบแม่นยำยิ่งขึ้นได้ เช่น สูตรซีแคนต์พร้อมการแก้ไข ${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle r_{3}}$

${\displaystyle r_{n+1}=r_{n}-\operatorname {NPV} _{n}\left({\frac {r_{n}-r_{n-1}}{\operatorname {NPV} _{n}-\operatorname {NPV} _{n-1}}}\right)\left(1-1.4{\frac {\operatorname {NPV} _{n-1}}{\operatorname {NPV} _{n-1}-3\operatorname {NPV} _{n}+2C_{0}}}\right),}$

(ซึ่งมีความแม่นยำที่สุดเมื่อ) ได้รับการพิสูจน์แล้วว่ามีความแม่นยำมากกว่าสูตรเซแคนต์เกือบ 10 เท่า สำหรับช่วงอัตราดอกเบี้ยและการคาดเดาเบื้องต้นที่หลากหลาย ตัวอย่างเช่น การใช้กระแสการชำระเงิน {−4000, 1200, 1410, 1875, 1050} และการคาดเดาเบื้องต้นและสูตรเซแคนต์ที่ได้รับการแก้ไข จะให้ค่าประมาณ IRR ที่ 14.2% (ข้อผิดพลาด 0.7%) เมื่อเทียบกับ IRR = 13.2% (ข้อผิดพลาด 7%) จากวิธีเซแคนต์ ${\displaystyle 0>\operatorname {NPV} _{n}>\operatorname {NPV} _{n-1}}$${\displaystyle r_{1}=0.25}$${\displaystyle r_{2}=0.2}$

หากนำไปใช้ซ้ำ ๆ ทั้งวิธีซีแคนต์หรือสูตรที่ปรับปรุงแล้วจะลู่เข้าสู่คำตอบที่ถูกต้องเสมอ

ทั้งวิธีเซแคนต์และสูตรปรับปรุงต่างอาศัยค่าประมาณเบื้องต้นของ IRR โดยสามารถใช้ค่าประมาณเบื้องต้นต่อไปนี้ได้:

${\displaystyle r_{1}=\left(A/|C_{0}|\right)^{2/(N+1)}-1\,}$

${\displaystyle r_{2}=(1+r_{1})^{p}-1\,}$

ที่ไหน

${\displaystyle A={\text{ ผลรวมของกระแสเงินเข้า }}=C_{1}+\cdots +C_{N}\,}$

${\displaystyle p={\frac {\log(\mathrm {A} /|C_{0}|)}{\log(\mathrm {A} /\ชื่อผู้ดำเนินการ {NPV} _{1,in})}}.}$

ในที่นี้หมายถึงมูลค่าปัจจุบันสุทธิ (NPV) ของกระแสเงินสดขาเข้าเท่านั้น (กล่าวคือ กำหนดและคำนวณ NPV) ${\displaystyle \operatorname {NPV} _{1,in}}$${\displaystyle \mathrm {C} _{0}=0}$

กระแสเงินสดอาจเกิดขึ้นได้ทุกเมื่อหลายปีหลังจากเริ่มต้นโครงการ และอาจไม่ใช่จำนวนเต็ม กระแสเงินสดควรได้รับการคิดลดด้วยตัวประกอบและสูตรคือ ${\displaystyle C_{n}}$${\displaystyle t_{n}}$${\displaystyle t_{n}}$${\displaystyle {\frac {1}{(1+r)^{t_{n}}}}}$

${\displaystyle \operatorname {NPV} =C_{0}+\sum _{n=1}^{N}{\frac {C_{n}}{(1+r)^{t_{n}}}}=0}$

สำหรับการหาคำตอบเชิงตัวเลข เราสามารถใช้วิธีของนิวตัน ได้

${\displaystyle r_{k+1}=r_{k}-{\frac {\operatorname {NPV} _{k}}{\operatorname {NPV} '_{k}}}}$

โดยที่อนุพันธ์ของและกำหนดโดย ${\displaystyle \operatorname {NPV} '}$${\displaystyle \operatorname {NPV} }$

${\displaystyle \operatorname {NPV} '=-\sum _{n=1}^{N}{\frac {C_{n}\cdot t_{n}}{(1+r)^{t_{n}+1}}}}$

สามารถกำหนด ค่าเริ่มต้น ได้โดย${\displaystyle r_{1}}$

${\displaystyle r_{1}={\frac {-1}{C_{0}}}\sum _{n=1}^{N}C_{n}-1}$

ในฐานะเครื่องมือที่ใช้ในการ ตัดสินใจ ลงทุนว่าโครงการใดสร้างมูลค่าเพิ่มหรือไม่ การเปรียบเทียบอัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) ของโครงการเดียวกับอัตราผลตอบแทนที่ต้องการ โดยแยกจากโครงการอื่น ๆ นั้น เทียบเท่ากับวิธีการมูลค่าปัจจุบันสุทธิ (NPV) หาก IRR ที่เหมาะสม (หากสามารถหาได้อย่างถูกต้อง) มากกว่าอัตราผลตอบแทนที่ต้องการ โดยใช้อัตราผลตอบแทนที่ต้องการในการคิดลดกระแสเงินสดเป็นมูลค่าปัจจุบัน NPV ของโครงการนั้นจะเป็นบวก และในทางกลับกัน อย่างไรก็ตาม การใช้ IRR ในการจัดลำดับโครงการตามลำดับความสำคัญจะไม่ให้ผลลัพธ์เช่นเดียวกับการใช้ NPV

เป้าหมายการลงทุนที่เป็นไปได้ประการหนึ่งคือการเพิ่มมูลค่าปัจจุบันสุทธิ (NPV) รวมของโครงการให้สูงสุด

เมื่อเป้าหมายคือการเพิ่มมูลค่ารวมให้สูงสุด อัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) ที่คำนวณได้ไม่ควรนำมาใช้ในการเลือกโครงการที่ไม่สามารถทำพร้อมกันได้

ในกรณีที่โครงการหนึ่งมีเงินลงทุนเริ่มต้นสูงกว่าโครงการที่สองซึ่งไม่สามารถทำพร้อมกันได้ โครงการแรกอาจมีอัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) ต่ำกว่า แต่มีมูลค่าปัจจุบันสุทธิ (NPV) สูงกว่า (การเพิ่มขึ้นของความมั่งคั่งของผู้ถือหุ้น) และควรได้รับการยอมรับมากกว่าโครงการที่สอง (โดยสมมติว่าไม่มีข้อจำกัดด้านเงินทุน)

เมื่อเป้าหมายคือการเพิ่มมูลค่ารวมให้สูงสุด ไม่ควรใช้ IRR ในการเปรียบเทียบโครงการที่มีระยะเวลาต่างกัน ตัวอย่างเช่น มูลค่าปัจจุบันสุทธิ (NPV) ที่เพิ่มขึ้นจากโครงการที่มีระยะเวลานานกว่าแต่มี IRR ต่ำกว่า อาจมากกว่าโครงการที่มีขนาดใกล้เคียงกันในแง่ของกระแสเงินสดสุทธิรวม แต่มีระยะเวลาสั้นกว่าและมี IRR สูงกว่า

แม้ว่านักวิชาการจะนิยมใช้ NPV มาก แต่ผลสำรวจระบุว่าผู้บริหารนิยมใช้ IRR มากกว่า NPV ^{[ 9 ]}เห็นได้ชัดว่าผู้จัดการนิยมเปรียบเทียบการลงทุนที่มีขนาดต่างกันโดยพิจารณาจากผลการดำเนินงานการลงทุนที่คาดการณ์ไว้โดยใช้ IRR มากกว่าการเพิ่มมูลค่าสูงสุดให้กับบริษัทโดยใช้ NPV ความชอบนี้ทำให้เกิดความแตกต่างเมื่อเปรียบเทียบโครงการที่เลือกอย่างใดอย่างหนึ่ง

การเพิ่มมูลค่ารวมให้สูงสุดไม่ใช่เป้าหมายการลงทุนที่เป็นไปได้เพียงอย่างเดียว เป้าหมายทางเลือกอื่นอาจเป็นการเพิ่มผลตอบแทนระยะยาวให้สูงสุด ตัวอย่างเช่น เป้าหมายดังกล่าวจะนำไปสู่การเลือกโครงการใหม่ที่มีอัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) สูงที่สุดก่อนภายในงบประมาณที่มีอยู่ เพราะการเพิ่มโครงการเหล่านั้นจะช่วยเพิ่มผลตอบแทนระยะยาวโดยรวมให้สูงสุด

เพื่อให้เห็นภาพชัดเจน ลองพิจารณาผู้ลงทุนสองคน คือ Max Value และ Max Return Max Value ต้องการให้มูลค่าสุทธิของเธอเพิ่มขึ้นมากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ และจะลงทุนทุกบาททุกสตางค์ที่มีอยู่เพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้ ในขณะที่ Max Return ต้องการเพิ่มอัตราผลตอบแทนในระยะยาวให้สูงสุด และต้องการเลือกโครงการที่มีเงินลงทุนน้อยแต่ให้ผลตอบแทนสูงกว่า ทั้ง Max Value และ Max Return สามารถกู้ยืมเงิน จากธนาคาร ได้สูงสุด 100,000 ดอลลาร์สหรัฐ ในอัตราดอกเบี้ย 10 เปอร์เซ็นต์ต่อปี โดยจ่ายดอกเบี้ยเมื่อสิ้นปี

นักลงทุนที่ต้องการมูลค่าสูงสุดและผลตอบแทนสูงสุดจะได้รับข้อเสนอโครงการลงทุนสองโครงการ ได้แก่ โครงการ "ใหญ่คือดีที่สุด" และโครงการ "เล็กคือสวยงาม" โครงการ "ใหญ่คือดีที่สุด" ต้องการเงินลงทุน 100,000 ดอลลาร์สหรัฐในวันนี้ และนักลงทุนผู้โชคดีจะได้รับเงินคืน 132,000 ดอลลาร์สหรัฐในอีกหนึ่งปีข้างหน้า ส่วนโครงการ "เล็กคือสวยงาม" ต้องการเงินลงทุนเพียง 10,000 ดอลลาร์สหรัฐในวันนี้ และจะได้รับเงินคืน 13,750 ดอลลาร์สหรัฐในอีกหนึ่งปีข้างหน้า

ต้นทุนทางการเงินสำหรับนักลงทุนทั้งสองรายอยู่ที่ 10 เปอร์เซ็นต์

ทั้งแนวคิด "ใหญ่ยิ่งดี" และ "เล็กยิ่งสวย" ต่างก็มีค่า NPV เป็นบวก:

${\displaystyle \operatorname {NPV} ({\text{Big-Is-Best}})={\frac {132,000}{1.1}}-100,000=20,000}$

${\displaystyle \operatorname {NPV} ({\text{Small-Is-Beautiful}})={\frac {13,750}{1.1}}-10,000=2,500}$

และอัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) ของแต่ละโครงการนั้น (แน่นอน) สูงกว่าต้นทุนของเงินทุน:

${\displaystyle {\mathit {NPV}}({\text{Big-Is-Best}})={\frac {132,000}{1.32}}-100,000=0}$

ดังนั้น อัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) ของแนวคิด "ใหญ่คือดีที่สุด" คือ 32 เปอร์เซ็นต์ และ

${\displaystyle \operatorname {NPV} ({\text{Small-Is-Beautiful}})={\frac {13,750}{1.375}}-10,000=0}$

ดังนั้น อัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) ของแนวคิด "เล็กแต่สวยงาม" จึงอยู่ที่ 37.5 เปอร์เซ็นต์

ทั้งสองโครงการลงทุนนั้นเป็นที่ยอมรับได้สำหรับนักลงทุนทั้งสองราย แต่จุดพลิกผันอยู่ที่ว่าโครงการทั้งสองนี้ไม่สามารถดำเนินการพร้อมกันได้ เนื่องจากงบประมาณในการลงทุนมีจำกัดเพียง 100,000 ดอลลาร์สหรัฐ นักลงทุนจะเลือกโครงการใดโครงการหนึ่งอย่างมีเหตุผลได้อย่างไร?

ตัวอย่างเช่น Max Value เลือก Big-Is-Best ซึ่งมีมูลค่าปัจจุบันสุทธิสูงกว่าที่ 20,000 ดอลลาร์สหรัฐ ในขณะที่ Max Return เลือก Small-Is-Beautiful เพราะให้ผลตอบแทนสูงกว่าที่ 37.5 เปอร์เซ็นต์ เมื่อเทียบกับผลตอบแทน 32 เปอร์เซ็นต์ที่ Big-Is-Best เสนอให้ ผลลัพธ์คือ ผู้ตัดสินใจแต่ละคนเลือกโครงการที่แตกต่างกันโดยไม่มีความขัดแย้ง

ทำไมสิ่งนี้จึงสมเหตุสมผลสำหรับนักลงทุนทั้งสองฝ่าย? คำตอบอยู่ที่ว่านักลงทุนไม่จำเป็นต้องลงทุนเต็มจำนวน 100,000 ดอลลาร์สหรัฐ Max Return พอใจที่จะลงทุนเพียง 10,000 ดอลลาร์สหรัฐในตอนนี้ เพราะ Max Return อาจหาเหตุผลเข้าข้างตัวเองโดยคิดว่าพรุ่งนี้อาจมีโอกาสใหม่ๆ ให้ลงทุนอีก 90,000 ดอลลาร์สหรัฐที่ธนาคารยินดีให้กู้ยืม โดยมีอัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) ที่สูงขึ้น แม้ว่าจะมีโครงการที่เหมือนกับ Small-Is-Beautiful เพียงเจ็ดโครงการ Max Return ก็ยังสามารถทำกำไรสุทธิ (NPV) ได้เท่ากับ Big-Is-Best ด้วยเงินลงทุนรวมเพียง 80,000 ดอลลาร์สหรัฐ และเหลือเงินอีก 20,000 ดอลลาร์สหรัฐในงบประมาณสำหรับโอกาสที่พลาดไม่ได้จริงๆ Max Value ก็มีความสุขเช่นกัน เพราะเธอได้เติมเต็มงบประมาณด้านเงินทุนของเธอทันที และตัดสินใจที่จะหยุดการลงทุนในช่วงที่เหลือของปี

เมื่อเครื่องหมายของกระแสเงินสดเปลี่ยนแปลงมากกว่าหนึ่งครั้ง เช่น เมื่อกระแสเงินสดที่เป็นบวกตามด้วยกระแสเงินสดที่เป็นลบ และจากนั้นตามด้วยกระแสเงินสดที่เป็นบวก (+ + − − − +) อัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) อาจมีค่าจริงหลายค่า ในชุดกระแสเงินสดเช่น (−10, 21, −11) ในตอนแรกมีการลงทุนเงิน ดังนั้นอัตราผลตอบแทนสูงจึงดีที่สุด แต่ต่อมาได้รับเงินมากกว่าที่มีอยู่ ดังนั้นจึงเป็นหนี้ ดังนั้นอัตราผลตอบแทนต่ำจึงดีที่สุด ในกรณีนี้ ยังไม่ชัดเจนด้วยซ้ำว่า IRR สูงหรือต่ำดีกว่ากัน

โครงการหนึ่งๆ อาจมีอัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) ที่แท้จริงหลายค่า เช่น ในตัวอย่างที่มีทั้ง 0% และ 10% ตัวอย่างของโครงการประเภทนี้ ได้แก่เหมืองเปิดและ โรง ไฟฟ้านิวเคลียร์ซึ่งมักจะมีกระแสเงินสดไหลออกจำนวนมากเมื่อโครงการสิ้นสุดลง

สมการ IRR สอดคล้องกับสมการพหุนามทฤษฎีบทของสเติร์มสามารถใช้ตรวจสอบว่าสมการนั้นมีคำตอบจริงเพียงหนึ่งเดียวหรือไม่ โดยทั่วไปแล้ว สมการ IRR ไม่สามารถแก้ได้โดยวิธีวิเคราะห์ แต่ต้องแก้โดยวิธีวนซ้ำเท่านั้น

ด้วยอัตราผลตอบแทนภายในหลายรายการ แนวทาง IRR ยังคงสามารถตีความได้ในลักษณะที่สอดคล้องกับแนวทางมูลค่าปัจจุบัน หากกระแสการลงทุนพื้นฐานได้รับการระบุอย่างถูกต้องว่าเป็นการลงทุนสุทธิหรือการกู้ยืมสุทธิ^{[ 10 ]}

ดู^{[ 11 ]}สำหรับวิธีการระบุ IRR ที่เกี่ยวข้องจากชุดโซลูชัน IRR หลายรายการ

ในบริบทของอคติจากการคัดเลือกผู้รอดชีวิตซึ่งทำให้ผลตอบแทนภายใน (IRR) ที่สูงของบริษัทไพรเวทอิควิตี้ขนาดใหญ่เป็นตัวแทนที่ไม่ดีของค่าเฉลี่ย ตามที่Ludovic Phalippouกล่าว ไว้

"...ตัวเลขพาดหัวข่าวที่มักแสดงอย่างเด่นชัดว่าเป็นอัตราผลตอบแทนในการนำเสนอและเอกสารนั้น แท้จริงแล้วคือ IRR IRR ไม่ใช่อัตราผลตอบแทน สิ่งที่บริษัท PE ขนาดใหญ่มีเหมือนกันคือการลงทุนในช่วงแรกๆ ของพวกเขาประสบความสำเร็จ ผู้ชนะในช่วงแรกเหล่านี้ได้กำหนด IRR ตั้งแต่เริ่มต้นของบริษัทเหล่านั้นให้อยู่ในระดับที่สูงและคงที่อย่างไม่เป็นธรรมชาติ คณิตศาสตร์ของ IRR หมายความว่า IRR ของพวกเขาจะคงอยู่ที่ระดับนี้ตลอดไป ตราบใดที่บริษัทเหล่านั้นหลีกเลี่ยงหายนะครั้งใหญ่ ในขณะเดียวกัน สิ่งนี้ก่อให้เกิดความไม่ยุติธรรมอย่างชัดเจน เพราะการปั่น IRR ใน LBO ในประเทศตะวันตกนั้นง่ายกว่าการลงทุน PE อื่นๆ นั่นหมายความว่าส่วนที่เหลือของอุตสาหกรรม PE (เช่นเงินทุนเพื่อการเติบโตของตลาดเกิดใหม่ ) ถูกกำหนดให้ดูแย่ไปตลอดกาลโดยไม่มีเหตุผลอื่นใดนอกจากการใช้ตัวชี้วัดประสิทธิภาพที่สามารถปั่นได้" ^{[ 12 ]}

อีกด้วย,

“ปัญหาอีกประการหนึ่งเกี่ยวกับการนำเสนอผลการดำเนินงานของกองทุนบำเหน็จบำนาญคือ ผลตอบแทนถ่วงน้ำหนักตามเวลาสำหรับ PE นั้นไม่ใช่มาตรวัดผลการดำเนินงานที่เหมาะสมที่สุด การถามว่ากองทุนบำเหน็จบำนาญให้และได้รับผลตอบแทนเป็นดอลลาร์เท่าใดจาก PE เช่น MoM จะเหมาะสมกว่า ฉันได้ตรวจสอบเว็บไซต์ของกองทุนที่ใหญ่ที่สุด 15 กองทุนเพื่อรวบรวมข้อมูลเกี่ยวกับผลการดำเนินงานของพวกเขา มีเพียงไม่กี่กองทุนที่โพสต์ผลตอบแทนของกองทุน PE ออนไลน์ ในกรณีส่วนใหญ่ พวกเขาโพสต์ข้อมูลเกี่ยวกับผลการดำเนินงานในอดีตใน PE แต่ไม่มีอะไรที่ช่วยให้สามารถเปรียบเทียบได้อย่างมีความหมาย ตัวอย่างเช่น CalSTRS [กองทุนบำเหน็จบำนาญสาธารณะของแคลิฟอร์เนีย] ให้ข้อมูลเฉพาะ IRR สุทธิสำหรับแต่ละกองทุนที่พวกเขาลงทุน เนื่องจาก IRR มักจะทำให้เข้าใจผิดและไม่สามารถนำมารวมกันหรือเปรียบเทียบกับผลตอบแทนของตลาดหุ้นได้ ข้อมูลดังกล่าวจึงไร้ประโยชน์สำหรับการวัดผลการดำเนินงาน” ^{[ 13 ]}

อัตราผลตอบแทนภายในที่ปรับปรุงแล้ว (MIRR) พิจารณาต้นทุนของเงินทุนและมีจุดประสงค์เพื่อให้ข้อมูลที่ดีขึ้นเกี่ยวกับผลตอบแทนที่คาดว่าจะได้รับจากโครงการ โดยจะใช้อัตราคิดลดสำหรับการกู้ยืมเงินสด และคำนวณ IRR จากกระแสเงินสดของการลงทุน ซึ่งสามารถนำไปใช้ในชีวิตจริงได้ เช่น เมื่อลูกค้าวางเงินมัดจำก่อนการผลิตเครื่องจักรเฉพาะเครื่องหนึ่ง

เมื่อโครงการมี IRR หลายค่า การคำนวณ IRR ของโครงการโดยนำผลประโยชน์กลับมาลงทุนใหม่อาจสะดวกกว่า^{[ 14 ]}ดังนั้นจึงใช้ MIRR ซึ่งมีอัตราการลงทุนใหม่ที่สมมติขึ้น โดยปกติจะเท่ากับต้นทุนเงินทุนของโครงการ

Magni (2010) ได้นำเสนอแนวทางใหม่ที่เรียกว่าแนวทาง AIRR โดยอิงจากแนวคิดเชิงสัญชาตญาณของค่าเฉลี่ย ซึ่งช่วยแก้ปัญหาของ IRR ได้^{[ 15 ]}อย่างไรก็ตาม ความยากลำบากที่กล่าวมาข้างต้นเป็นเพียงข้อบกพร่องบางส่วนจากข้อบกพร่องมากมายของ IRR Magni (2013) ได้จัดทำรายการข้อบกพร่อง 18 ประการของ IRR อย่างละเอียด และแสดงให้เห็นว่าแนวทาง AIRR ไม่ก่อให้เกิดปัญหาของ IRR ^{[ 16 ]}

ในทางคณิตศาสตร์ สมมติว่ามูลค่าของการลงทุนมีการเติบโตหรือลดลงแบบทวีคูณตามอัตราผลตอบแทน บาง ค่า (ค่าใดๆ ที่มากกว่า −100%) โดยมีจุดไม่ต่อเนื่องสำหรับกระแสเงินสด และอัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) ของกระแสเงินสดชุดหนึ่งถูกกำหนดให้เป็นอัตราผลตอบแทนใดๆ ที่ส่งผลให้มูลค่าปัจจุบัน สุทธิ ( NPV)เป็นศูนย์ (หรือเทียบเท่ากับอัตราผลตอบแทนที่ส่งผลให้ค่าที่ถูกต้องเป็นศูนย์หลังจากกระแสเงินสดสุดท้าย)

ดังนั้น อัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) จึงได้มาจากมูลค่าปัจจุบันสุทธิ (NPV) ซึ่งเป็นฟังก์ชันของอัตราผลตอบแทน ฟังก์ชันนี้มีความต่อเนื่องเมื่ออัตราผลตอบแทนเข้าใกล้ -100% NPV จะเข้าใกล้ค่าอนันต์โดยมีเครื่องหมายเดียวกับกระแสเงินสดสุดท้าย และเมื่ออัตราผลตอบแทนเข้าใกล้ค่าอนันต์บวก NPV จะเข้าใกล้กระแสเงินสดแรก (กระแสเงินสดในปัจจุบัน) ดังนั้น หากกระแสเงินสดแรกและกระแสเงินสดสุดท้ายมีเครื่องหมายต่างกัน ก็จะมี IRR อยู่ ตัวอย่างของอนุกรมเวลาที่ไม่มี IRR:

• กระแสเงินสดติดลบเท่านั้น — มูลค่าปัจจุบันสุทธิ (NPV) จะติดลบไม่ว่าอัตราผลตอบแทนจะเป็นเท่าใดก็ตาม
• (−1, 1, −1) กระแสเงินสดบวกเล็กน้อยระหว่างกระแสเงินสดลบสองรายการ; NPV เป็นฟังก์ชันกำลังสองของ 1/(1 +  r ) โดยที่rคืออัตราผลตอบแทน หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ฟังก์ชันกำลังสองของอัตราส่วนลดr /(1 +  r ); NPV สูงสุดคือ −0.75 สำหรับr = 100%

ในกรณีที่กระแสเงินสดติดลบติดต่อกันหลายครั้ง ตามด้วยกระแสเงินสดเป็นบวกติดต่อกันหลายครั้ง ฟังก์ชันของอัตราผลตอบแทนที่ได้จะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและลดลงอย่างต่อเนื่องจากค่าอนันต์บวก (เมื่ออัตราผลตอบแทนเข้าใกล้ -100%) ไปจนถึงค่าของกระแสเงินสดแรก (เมื่ออัตราผลตอบแทนเข้าใกล้ค่าอนันต์) ดังนั้นจึงมีอัตราผลตอบแทนเพียงค่าเดียวที่ทำให้ฟังก์ชันนี้เป็นศูนย์ ด้วยเหตุนี้ อัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) จึงมีค่าเดียว (และเท่ากัน) แม้ว่าฟังก์ชันมูลค่าปัจจุบันสุทธิ (NPV) เองอาจไม่จำเป็นต้องลดลงอย่างต่อเนื่องตลอดทั้งโดเมน แต่ก็ลดลงอย่างต่อเนื่องที่ค่า IRR

ในทำนองเดียวกัน ในกรณีที่กระแสเงินสดเป็นบวกติดต่อกันหลายครั้ง ตามด้วยกระแสเงินสดเป็นลบติดต่อกันหลายครั้ง อัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) ก็จะมีค่าเฉพาะเช่นกัน

สุดท้ายนี้ ตามกฎเครื่องหมายของเดส์การ์ตจำนวนอัตราผลตอบแทนภายในจะไม่มีวันมากกว่าจำนวนการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายของกระแสเงินสด

มักมีการกล่าวกันว่า IRR ตั้งอยู่บนสมมติฐานว่ามีการนำกระแสเงินสดทั้งหมดกลับมาลงทุนใหม่จนถึงช่วงสุดท้ายของโครงการ ข้อกล่าวอ้างนี้เป็นประเด็นถกเถียงในเอกสารทางวิชาการมาโดยตลอด

แหล่งข้อมูลที่ระบุว่ามีข้อสมมติฐานที่ซ่อนอยู่ดังกล่าวได้ถูกอ้างถึงไว้ด้านล่าง^{[ 14 ] [ 17 ]}แหล่งข้อมูลอื่นๆ ได้โต้แย้งว่าไม่มีข้อสมมติฐานการลงทุนซ้ำ IRR ^{[ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]}

เพื่อให้เข้าใจที่มาของความสับสนนี้ ลองพิจารณาตัวอย่างพันธบัตรอายุ 3 ปี มูลค่าหน้าบัตร 1,000 ดอลลาร์ และอัตราดอกเบี้ยหน้าคูปอง 5% (หรือ 50 ดอลลาร์)

ดังที่เห็นได้ แม้ว่าผลตอบแทนรวมจะแตกต่างกัน แต่ IRR ยังคงเท่าเดิม กล่าวอีกนัยหนึ่ง IRR จะไม่เปลี่ยนแปลงไม่ว่าจะนำเงินไปลงทุนใหม่ในอัตราเดียวกันก็ตาม ไม่ว่าเงินจะถูกถอนออกมาเร็วหรือนำไปลงทุนใหม่ในอัตราเดียวกันและถอนออกมาในภายหลัง อัตราผลตอบแทนก็ยังคงเท่าเดิม

เพื่อให้เข้าใจเหตุผล เราจำเป็นต้องคำนวณมูลค่าปัจจุบัน (PV) ของกระแสเงินสดในอนาคต ซึ่งเป็นการคำนวณอัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) ซ้ำอีกครั้งด้วยตนเอง:

IRR สามารถใช้เพื่อวัดประสิทธิภาพการลงทุนทางการเงินแบบถ่วงน้ำหนักด้วยเงิน เช่น บัญชีซื้อขายหลักทรัพย์ของนักลงทุนรายบุคคล สำหรับสถานการณ์นี้ คำจำกัดความที่เทียบเท่า^{[ 24 ]} ที่เข้าใจง่ายกว่าของ IRR คือ "IRR คืออัตราดอกเบี้ยรายปีของบัญชีอัตราคงที่ (เช่นบัญชีออมทรัพย์ ในอุดมคติ ) ซึ่งเมื่อมีการฝากและถอนเงินเหมือนกับการลงทุนจริง จะมียอดคงเหลือสุดท้ายเท่ากับการลงทุนจริง" บัญชีอัตราคงที่นี้ยังเรียกว่าบัญชีอัตราคงที่จำลองสำหรับการลงทุน มีตัวอย่างที่บัญชีอัตราคงที่จำลองมียอดคงเหลือติดลบ แม้ว่าการลงทุนจริงจะไม่มีก็ตาม^{[ 24 ]} ในกรณีเหล่านั้น การคำนวณ IRR จะถือว่าอัตราดอกเบี้ยเดียวกันกับที่จ่ายให้กับยอดคงเหลือที่เป็นบวกจะถูกเรียกเก็บจากยอดคงเหลือที่เป็นลบ มีการแสดงให้เห็นแล้วว่าวิธีการคิดดอกเบี้ยแบบนี้เป็นสาเหตุหลักของปัญหา IRR ที่มีวิธีแก้ปัญหาหลายวิธี^{[ 25 ] [ 26 ]}หากแบบจำลองได้รับการแก้ไขเพื่อให้ต้นทุนการกู้ยืมที่จัดหาจากภายนอก (ซึ่งอาจเปลี่ยนแปลงไปตามเวลา) ถูกเรียกเก็บจากยอดคงเหลือติดลบ ดังเช่นที่เกิดขึ้นในชีวิตจริง ปัญหาของวิธีแก้ปัญหาหลายวิธีก็จะหายไป^{[ 25 ] [ 26 ]}อัตราที่ได้เรียกว่าอัตราเทียบเท่าคงที่ ( FREQ ) ^{[ 24 ]}

ในบริบทของการวัดผลการดำเนินงาน การลงทุน บางครั้งมีความคลุมเครือในคำศัพท์ระหว่างอัตราผลตอบแทน รายงวด เช่น IRR ตามที่กำหนดไว้ข้างต้น และผลตอบแทนในช่วงระยะเวลาการถือครอง คำว่าอัตราผลตอบแทนภายใน ( IRR)หรืออัตราผลตอบแทนภายในตั้งแต่เริ่มแรก ( SI-IRR)ในบางบริบทใช้เพื่ออ้างถึงผลตอบแทนที่ไม่คิดเป็นรายปีในช่วงเวลา โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับช่วงเวลาที่น้อยกว่าหนึ่งปี^{[ 27 ]}

• Bruce J. Feibel. การวัดผลการลงทุน . นิวยอร์ก: Wiley, 2003. ISBN 0-471-26849-6
• เรย์ มาร์ติน, การทบทวนอัตราผลตอบแทนภายใน

• การบรรยายเชิงโต้ตอบทางเศรษฐศาสตร์จากมหาวิทยาลัยเซาท์แคโรไลนา