ในโทโพโลยี ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ปริภูมิวงวน Ω Xของปริภูมิโท โพโลยี แบบมีจุดXคือปริภูมิของวงวน (ฐาน) ในX กล่าว คือ แผนที่แบบมีจุด ต่อเนื่องจากวงกลม แบบมีจุด S ¹ไปยังXซึ่งมีโทโพโลยีแบบกระชับและเปิด วงวนสองวงสามารถคูณกันได้โดยการต่อกันด้วยการดำเนินการนี้ ปริภูมิวงวนจะเป็นปริภูมิA _∞นั่นคือ การคูณนั้นเป็นการเชื่อมโยงแบบโฮโมโทปีที่สอดคล้องกัน

เซตของส่วนประกอบเส้นทางของ Ω X กล่าวคือ เซตของคลาสสมมูล โฮโมโทปีฐาน ของลูปฐานในXเป็นกลุ่มกลุ่มพื้นฐานπ ₁ ( X )

พื้นที่วนซ้ำของXถูกสร้างขึ้นโดยการประยุกต์ใช้ Ω เป็นจำนวนครั้งหนึ่ง

มีการสร้างที่คล้ายคลึงกันสำหรับปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่ไม่มีจุดฐาน ปริภูมิวงวนอิสระของปริภูมิเชิงทอพอโลยีXคือปริภูมิของแผนที่จากวงกลมS ¹ไปยังXที่มีทอพอโลยีแบบกระชับและเปิด ปริภูมิวงวนอิสระของXมักจะถูกแทนด้วย ${\displaystyle {\mathcal {L}}X}$

ในฐานะฟังก์ชันการสร้างพื้นที่วงวนอิสระนั้นเป็นตัวผกผันทางขวาของผลคูณคาร์ทีเซียนกับวงกลม ในขณะที่การสร้างพื้นที่วงวนนั้นเป็นตัวผกผันทางขวาของการแขวนลอยแบบลด รูป การผกผันนี้อธิบายถึงความสำคัญอย่างมากของพื้นที่วงวนในทฤษฎีโฮโมโทปีเสถียร (ปรากฏการณ์ที่เกี่ยวข้องในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์คือcurryingซึ่งผลคูณคาร์ทีเซียนเป็นตัวผกผันของฟังก์ชัน hom ) โดยทั่วไปแล้วสิ่งนี้เรียกว่าความเป็นคู่ของ Eckmann– Hilton

ปริภูมิวงวนเป็นปริภูมิคู่ขนานกับการแขวนลอยของปริภูมิเดียวกัน ความเป็นคู่ขนานนี้บางครั้งเรียกว่าความเป็นคู่ขนานของเอ็กมันน์-ฮิลตันข้อสังเกตพื้นฐานคือ

${\displaystyle [\Sigma Z,X]\approxeq [Z,\Omega X]}$

โดยที่คือเซตของคลาสโฮโมโทปีของแผนที่และคือการแขวนลอยของ A และแทนโฮมีโอเมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติ โฮมี โอเมอร์ฟิซึมนี้โดยพื้นฐานแล้วคือการแปลงเค อร์รี โดยพิจารณาโมดูลัสของผลหารที่จำเป็นในการแปลงผลคูณให้เป็นผลคูณลดรูป ${\displaystyle [A,B]}$${\displaystyle A\rightarrow B}$${\displaystyle \Sigma A}$${\displaystyle \approxeq }$

โดยทั่วไปแล้วไม่มีโครงสร้างกลุ่มสำหรับพื้นที่ใดๆและอย่างไรก็ตาม สามารถแสดงได้ว่าและมีโครงสร้างกลุ่มตามธรรมชาติเมื่อและชี้ไป ยัง และไอโซมอร์ฟิซึมที่กล่าวถึงข้างต้นเป็นของกลุ่มเหล่านั้น^{[ 1 ]} ดังนั้น การกำหนด( ทรงกลม) จะให้ความสัมพันธ์ ${\displaystyle [A,B]}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle [\Sigma Z,X]}$${\displaystyle [Z,\Omega X]}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z=S^{k-1}}$${\displaystyle k-1}$

${\displaystyle \pi _{k}(X)\approxeq \pi _{k-1}(\Omega X)}$.

สิ่งนี้เป็นผลมาจากกลุ่มโฮโมโทปีถูกกำหนดเป็นและทรงกลมสามารถได้มาจากการแขวนซึ่งกันและกัน กล่าวคือ^{[ 2 ]}${\displaystyle \pi _{k}(X)=[S^{k},X]}$${\displaystyle S^{k}=\Sigma S^{k-1}}$

• ความเป็นคาบของบอทท์
• พื้นที่ไอเลนเบิร์ก-แมคเลน
• ลูปอิสระ
• กลุ่มพื้นฐาน
• ข้อสันนิษฐานของเกรย์
• รายการโทโพโลยี
• กลุ่มลูป
• เส้นทาง (โทโพโลยี)
• สเปกตรัม (โทโพโลยี)
• ปริภูมิเส้นทาง (โทโพโลยีเชิงพีชคณิต)