ในทฤษฎีหมวดหมู่ชั้นสูงในคณิตศาสตร์โครงสร้างแบบจำลอง Joyal เป็น โครงสร้างแบบจำลองพิเศษบนหมวดหมู่ของเซตเชิงซิมพลิเชียล ประกอบด้วยมอร์ฟิซึมสามประเภทระหว่างเซตเชิงซิมพลิเชียล เรียกว่าไฟเบรชัน โคไฟเบรชันและสมมูลแบบอ่อนซึ่งมีคุณสมบัติตรงตามโครงสร้างแบบจำลอง วัตถุไฟเบรชันของมันคือหมวดหมู่ ∞ ทั้งหมด และนอกจากนี้ยังจำลองทฤษฎีโฮโมโทปีของคอมเพล็กซ์ CWจนถึงสมมูลโฮโมโทปีโดยที่การจับคู่ระหว่างเซตเชิงซิมพลิเชียลและคอมเพล็กซ์ CW นั้นกำหนดโดยการทำให้เป็นจริงทางเรขาคณิตและฟังก์ชันเอกพจน์ โครงสร้างแบบจำลอง Joyal ตั้งชื่อตามAndré Joyal

โครงสร้างของแบบจำลอง Joyal มีดังนี้:

• การเกิดไฟโบรซิสคือการเกิดไอโซไฟโบรซิส^{[ 1 ]}
• โคไฟเบรชันเป็นโมโนมอร์ฟิซึม^{[ 2 ]}
• ความสมมูลที่อ่อนแอคือความสมมูลเชิงหมวดหมู่ที่อ่อนแอ [ ^{3 ]}ดังนั้นจึงเป็นมอร์ฟิซึมระหว่างเซตซิมพลิเชียล ซึ่ง การรับ ^รู้ทางเรขาคณิตคือความสมมูลโฮโมโทปีระหว่างคอมเพล็กซ์ CW
• การ เกิด โคไฟเบรชันแบบเล็กน้อยเป็น ส่วนขยายภายใน ที่ไม่ก่อให้เกิดอาการเจ็บปวด

หมวดหมู่ของเซตเชิงซิมพลิเชียลที่มีโครงสร้างแบบจำลอง Joyal จะถูกแสดงด้วย(หรือเพื่อความสุขยิ่งขึ้น) ${\displaystyle \mathbf {sSet} }$${\displaystyle \mathbf {sSet} _{\mathrm {J} }}$${\displaystyle \mathbf {sSet} _{\mathrm {Joy} }}$

• วัตถุไฟแบรนต์ของโครงสร้างแบบจำลอง Joyal ดังนั้นเซตซิมพลิเชียลซึ่งมอร์ฟิซึมปลายทางเป็นไฟเบรชัน จึงเป็นหมวดหมู่อนันต์^{[ 3 ] [ 4 ] [ 1 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle X\xrightarrow {!} \Delta ^{0}}$
• วัตถุโคไฟแบรนต์ของโครงสร้างแบบจำลองจอยัล ซึ่งก็คือเซตซิมพลิเชียลที่มีมอร์ฟิซึมเริ่มต้นเป็นโคไฟแบรชัน ล้วนเป็นเซตซิมพลิเชียลทั้งสิ้น${\displaystyle X}$${\displaystyle \emptyset \xrightarrow {!} X}$
• โครงสร้างแบบจำลอง Joyal เป็นแบบซ้ายแท้ซึ่งเป็นผลมาจากวัตถุทั้งหมดเป็นโคไฟแบรนต์โดยตรง^{[ 5 ]}ซึ่งหมายความว่าความสมมูลเชิงหมวดหมู่ที่อ่อนแอจะถูกแทนที่ด้วยการผลักออกตามโคไฟแบรชัน (โมโนมอร์ฟิซึม) โครงสร้างแบบจำลอง Joyal ไม่ใช่แบบขวาแท้ ตัวอย่างเช่น การรวมเป็นความสมมูลเชิงหมวดหมู่ที่อ่อนแอ แต่การดึงกลับตามไอโซไฟแบรชันซึ่งคือไม่ใช่เนื่องจากจำนวนส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันที่แตกต่างกัน^{[ 6 ]}ตัวอย่างค้านนี้ใช้ไม่ได้กับโครงสร้างแบบจำลอง Kan–Quillenเนื่องจากไม่ใช่ไฟแบรชัน Kan แต่การดึงกลับของความสมมูลเชิงหมวดหมู่ที่อ่อนแอตามไฟแบรชัน Kan ซ้ายหรือขวาเป็นความสมมูลเชิงหมวดหมู่ที่อ่อนแออีกครั้ง^{[ 7 ]}${\displaystyle \Lambda _{1}^{2}\hookrightarrow \Delta ^{2}}$${\displaystyle \Delta ^{1}\cong \{0\rightarrow 2\}\hookrightarrow \Delta ^{2}}$${\displaystyle (0,1)\colon \Delta ^{0}+\Delta ^{0}\hookrightarrow \Delta ^{1}}$${\displaystyle \Delta ^{1}\cong \{0\rightarrow 2\}\hookrightarrow \Delta ^{2}}$
• โครงสร้างแบบจำลอง Joyal เป็นโครงสร้างแบบจำลอง Cisinskiและโดยเฉพาะอย่างยิ่งถูกสร้างขึ้นโดยโคไฟเบรชัน โคไฟเบรชัน (โมโนมอร์ฟิซึม) ถูกสร้างขึ้นโดยส่วนประกอบที่ขอบเขตและโคไฟเบรชันแบบไม่มีวัฏจักร (ส่วนขยายอะโนดีนภายใน) ถูกสร้างขึ้นโดยส่วนประกอบฮอร์นภายใน(ที่มีและ)${\displaystyle \partial \Delta ^{n}\hookrightarrow \Delta ^{n}}$${\displaystyle \Lambda _{k}^{n}\hookrightarrow \Delta ^{n}}$${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle 0<k<n}$
• ความเท่าเทียมกันเชิงหมวดหมู่ที่อ่อนแอถือเป็นขั้นสุดท้าย^{[ 8 ]}
• ส่วนขยายภายในที่ไม่ก่อให้เกิดความเจ็บปวดเป็นการเทียบเท่าเชิงหมวดหมู่ที่อ่อนแอ^{[ 9 ] [ 10 ]}
• ความสมมูลเชิงหมวดหมู่ที่อ่อนแอจะปิดภายใต้ผลคูณจำกัด^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}และ โค ลิมิตแบบกรองขนาด เล็ก ^{[ 14 ] [ 15 ]}
• เนื่องจากโครงสร้างแบบจำลอง Kan–Quillenยังมีโมโนมอร์ฟิซึมเป็นโคไฟเบรชัน^{[ 16 ]}และความสมมูลโฮโมโทปีอ่อนทุกประการเป็นความสมมูลเชิงหมวดหมู่อ่อน^{[ 17 ]}เอกลักษณ์จึงรักษาทั้งโคไฟเบรชันและโคไฟเบรชันแบบไม่มีวัฏจักร ดังนั้นในฐานะแอดจอยต์ซ้ายที่มีเอกลักษณ์เป็น แอด จ อยต์ ขวาจึงก่อให้เกิดการเชื่อมโยง Quillen${\displaystyle \operatorname {Id} \colon \mathbf {sSet} _{\mathrm {KQ} }\rightarrow \mathbf {sSet} _{\mathrm {J} }}$${\displaystyle \operatorname {Id} \colon \mathbf {sSet} _{\mathrm {J} }\rightarrow \mathbf {sSet} _{\mathrm {KQ} }}$

สำหรับเซตซิมพลิเชียลและมอร์ฟิซึมของเซตซิมพลิเชียลเหนือ(เพื่อให้มีมอร์ฟิซึมและที่มี) เงื่อนไขต่อไปนี้เทียบเท่ากัน: ^{[ 18 ]}${\displaystyle B}$${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$${\displaystyle B}$${\displaystyle p\colon X\rightarrow B}$${\displaystyle q\colon Y\rightarrow B}$${\displaystyle p=q\circ f}$

• สำหรับซิมเพล็กซ์ ทุกตัว แผนที่เหนี่ยวนำจะเป็นความสมมูลเชิงหมวดหมู่แบบอ่อน${\displaystyle n}$${\displaystyle \sigma \colon \Delta ^{n}\rightarrow B}$${\displaystyle \Delta ^{n}\times _{B}\sigma \colon \Delta ^{n}\times _{B}X\rightarrow \Delta ^{n}\times _{B}Y}$
• สำหรับมอร์ฟิซึมทุกตัวแผนที่ที่เหนี่ยวนำจะเป็นสมมูลเชิงหมวดหมู่แบบอ่อน${\displaystyle g\colon A\rightarrow B}$${\displaystyle A\times _{B}g\colon A\times _{B}X\rightarrow A\times _{B}Y}$

มอร์ฟิซึมดังกล่าวเรียกว่าความสมมูลเชิงหมวดหมู่แบบอ่อนเฉพาะที่ (local weak categorical equivalence )

• ความสมมูลเชิงหมวดหมู่ที่อ่อนแอในระดับท้องถิ่นทุกรายการคือความสมมูลเชิงหมวดหมู่ที่อ่อนแอ^{[ 18 ]}

• Joyal, André (2008). "ทฤษฎีควาซีแคตตากอรีและการประยุกต์ใช้" (PDF )
• Lurie, Jacob (2009). ทฤษฎีโทพอสระดับสูง . วารสารคณิตศาสตร์ศึกษา. เล่มที่ 170. สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน . arXiv : math.CT/0608040 . ISBN 978-0-691-14049-0. MR  2522659 .
• Cisinski, Denis-Charles (30 มิถุนายน 2019). หมวดหมู่ระดับสูงและพีชคณิตโฮโมโทปิก (PDF)สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ISBN 978-1108473200.

• โครงสร้างแบบจำลองบนเซตเชิงซิมพลิเชียลที่n Lab
• ทฤษฎีโฮโมโทปีของหมวดหมู่อนันต์ที่เคโรดอน