ในกลศาสตร์เชิงสถิติของ ระบบ กลศาสตร์ควอนตัมและทฤษฎีสนามควอนตัมคุณสมบัติของระบบที่อยู่ในสมดุลทางความร้อนสามารถอธิบายได้ด้วยวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าสถานะคูโบะ-มาร์ติน-ชวิงเกอร์ ( KMS ) ซึ่งเป็นสถานะที่สอดคล้องกับเงื่อนไข KMS

Ryogo Kuboได้นำเสนอเงื่อนไขนี้ในปี พ.ศ. 2490 ^{[ 1 ]} Paul C. Martin ^{และ Julian Schwinger ได้ใช้เงื่อนไขนี้ในปี พ.ศ. 2492 เพื่อกำหนดฟังก์ชัน Green ทางเทอร์โมไดนามิก [ 2 ]}และRudolf Haag , Marinus Winnink ^{และ Nico} Hugenholtz ได้ใช้เงื่อนไขนี้ในปี พ.ศ. 2510 เพื่อกำหนดสถานะสมดุลและเรียกเงื่อนไขนี้ว่าเงื่อนไข KMS ^{[ 3 ]}

กรณีที่ง่ายที่สุดในการศึกษาคือกรณีของ ปริภูมิฮิลเบิร์ตที่มีมิติจำกัดซึ่งจะไม่มีความซับซ้อน เช่นการเปลี่ยนเฟสหรือการแตกสมมาตรโดยธรรมชาติเมทริกซ์ความหนาแน่นของสถานะความร้อนกำหนดโดย

${\displaystyle \rho _{\beta ,\mu }={\frac {\mathrm {e} ^{-\beta \left(H-\mu N\right)}}{\mathrm {Tr} \left[\mathrm {e} ^{-\beta \left(H-\mu N\right)}\right]}}={\frac {\mathrm {e} ^{-\beta \left(H-\mu N\right)}}{Z(\เบต้า ,\mu )}}}$

โดยที่Hคือตัวดำเนินการแฮมิลโทเนียน และNคือตัวดำเนินการจำนวนอนุภาค (หรือ ตัวดำเนินการ ประจุหากเราต้องการใช้คำที่ทั่วไปกว่า) และ

${\displaystyle Z(\beta ,\mu )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {Tr} \left[\mathrm {e} ^{-\beta \left(H-\mu N\right)}\right]}$

คือฟังก์ชันการแบ่งส่วนเราสมมติว่าNสลับที่ได้กับHหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ จำนวนอนุภาคคงที่

ในภาพไฮเซนเบิร์กเมทริกซ์ความหนาแน่นไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา แต่ตัวดำเนินการนั้นขึ้นอยู่กับเวลา โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การแปลงตัวดำเนินการAด้วยค่า τ ในอนาคต จะได้ตัวดำเนินการ

${\displaystyle \alpha _{\tau }(A)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {e} ^{iH\tau }A\mathrm {e} ^{-iH\tau }}$.

การผสมผสานระหว่างการเลื่อนเวลาและการ"หมุน" สมมาตรภายใน ทำให้ได้ผลลัพธ์ที่ครอบคลุมมากขึ้น

${\displaystyle \alpha _{\tau }^{\mu }(A)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {e} ^{i\left(H-\mu N\right)\tau }A\mathrm {e} ^{-i\left(H-\mu N\right)\tau }}$

การคำนวณทางพีชคณิตเล็กน้อยแสดงให้เห็นว่าค่าที่คาดหวัง

${\displaystyle \left\langle \alpha _{\tau }^{\mu }(A)B\right\rangle _{\beta ,\mu }=\mathrm {Tr} \left[\rho \alpha _{\tau }^{\mu }(A)B\right]=\mathrm {Tr} \left[\rho B\alpha _{\tau +i\beta }^{\mu }(A)\right]=\left\langle B\alpha _{\tau +i\beta }^{\mu }(A)\right\rangle _{\beta ,\mu }}$

สำหรับตัวดำเนินการAและB สองตัวใดๆ และ τ จริงใดๆ (เนื่องจากเรากำลังทำงานกับปริภูมิฮิลเบิร์ตที่มีมิติจำกัด) เราใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าเมทริกซ์ความหนาแน่นสลับที่ได้กับฟังก์ชันใดๆ ของ ( H − μ N ) และร่องรอยเป็นวัฏจักร

ดังที่ได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ ในปริภูมิฮิลเบิร์ตที่มีมิติอนันต์ เราจะพบกับปัญหามากมาย เช่น การเปลี่ยนเฟส การแตกสมมาตรโดยธรรมชาติ ตัวดำเนินการที่ไม่ใช่คลาสร่องรอยฟังก์ชันพาร์ติชันที่ลู่เข้า เป็นต้น

ฟังก์ชันเชิงซ้อนของzลู่เข้าในแถบเชิงซ้อนในขณะที่ลู่เข้าในแถบเชิงซ้อนหากเราตั้งสมมติฐานทางเทคนิคบางประการ เช่นสเปกตรัมของH − μ Nมีขอบเขตล่าง และความหนาแน่นของมันไม่เพิ่มขึ้นแบบเลขชี้กำลัง (ดูอุณหภูมิ Hagedorn ) หากฟังก์ชันลู่เข้า แสดงว่าฟังก์ชันเหล่านั้นต้องเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ภายในแถบที่มันถูกกำหนดไว้ในฐานะอนุพันธ์ของมัน ${\displaystyle \left\langle \alpha _{z}^{\mu }(A)B\right\rangle }$${\displaystyle -\beta <\ฉัน {z}<0}$${\displaystyle \left\langle B\alpha _{z}^{\mu }(A)\right\rangle }$${\displaystyle 0<\ฉัน {z}<\beta }$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\left\langle \alpha _{z}^{\mu }(A)B\right\rangle =i\left\langle \alpha _{z}^{\mu }\left(\left[H-\mu N,A\right]\right)B\right\rangle }$

และ

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\left\langle B\alpha _{z}^{\mu }(A)\right\rangle =i\left\langle B\alpha _{z}^{\mu }\left(\left[H-\mu N,A\right]\right)\right\rangle }$

มีอยู่.

อย่างไรก็ตาม เรายังคงสามารถกำหนดสถานะ KMSว่าเป็นสถานะใดๆ ที่ตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้ได้

${\displaystyle \left\langle \alpha _{\tau }^{\mu }(A)B\right\rangle =\left\langle B\alpha _{\tau +i\beta }^{\mu }(A)\right\rangle }$

โดยที่และเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ของzภายในแถบโดเมนของพวกมัน ${\displaystyle \left\langle \alpha _{z}^{\mu }(A)B\right\rangle }$${\displaystyle \left\langle B\alpha _{z}^{\mu }(A)\right\rangle }$

${\displaystyle \left\langle \alpha _{\tau }^{\mu }(A)B\right\rangle }$และ เป็นค่า การกระจายขอบเขตของฟังก์ชันวิเคราะห์ที่กล่าวถึง ${\displaystyle \left\langle B\alpha _{\tau +i\beta }^{\mu }(A)\right\rangle }$

สิ่งนี้ให้ขีดจำกัดทางเทอร์โมไดนามิกที่เหมาะสมสำหรับปริมาตรขนาดใหญ่และจำนวนอนุภาคขนาดใหญ่ หากมีการเปลี่ยนเฟสหรือการแตกสมมาตรโดยธรรมชาติ สถานะ KMS จะไม่เป็นเอกลักษณ์

เมทริกซ์ความหนาแน่นของสถานะ KMS เกี่ยวข้องกับการแปลงเอกภาพซึ่งเกี่ยวข้องกับการเลื่อนเวลา (หรือการเลื่อนเวลาและ การแปลง สมมาตรภายในสำหรับศักยภาพทางเคมีที่ไม่เป็นศูนย์) ผ่านทฤษฎี Tomita– Takesaki

• รัฐกิบบส์