ในทางคณิตศาสตร์ ปัญหา คาดิสัน-ซิงเกอร์ซึ่งตั้งขึ้นในปี 1959 เป็นปัญหาในทฤษฎีบทวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันเกี่ยวกับว่าส่วนขยายบางอย่างของฟังก์ชันเชิงเส้น บางอย่าง บนพีชคณิต C* บางอย่างนั้น มีเพียงหนึ่งเดียวหรือไม่ ความเป็นหนึ่งเดียวนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วในปี 2013

ข้อความดังกล่าวเกิดขึ้นจากงานเกี่ยวกับพื้นฐานของกลศาสตร์ควอนตัมที่พอล ดิแรกทำในช่วงทศวรรษ 1940 และได้รับการกำหนดเป็นทางการในปี 1959 โดยริชาร์ด คาดิสันและอิซาดอร์ ซิงเกอร์ [ ^{1 ] ต่อ}มาปัญหาดังกล่าวได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเทียบเท่ากับปัญหาเปิดจำนวนมากในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ คณิตศาสตร์ประยุกต์ วิศวกรรมศาสตร์ และวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์^{[ 2 ] [ 3 ]}คาดิสัน ซิงเกอร์ และผู้เขียนส่วนใหญ่ในภายหลังเชื่อว่าข้อความดังกล่าวเป็นเท็จ^{[ 2 ] [ 3 ]}แต่ในปี 2013 ได้รับการพิสูจน์ว่าเป็นจริงโดยอดัม มาร์คัสแดเนียล สปีลแมนและนิคิล ศรีวัสตาวา [ ^{4 ] ซึ่ง} ได้รับ รางวัลโปลยาประจำปี 2014 สำหรับความสำเร็จนี้

วิธีแก้ปัญหานี้เป็นไปได้ด้วยการปรับปรุงใหม่โดย Joel Anderson ซึ่งแสดงให้เห็นในปี 1979 ว่า "สมมติฐานการปูทาง" ของเขา ซึ่งเกี่ยวข้องกับตัวดำเนินการบนปริภูมิฮิลเบิร์ตมิติจำกัดเท่านั้น เทียบเท่ากับปัญหา Kadison–Singer Nik Weaver ได้เสนอการปรับปรุงใหม่อีกครั้งในบริบทมิติจำกัด และเวอร์ชันนี้ได้รับการพิสูจน์ว่าเป็นจริงโดยใช้พหุนามสุ่ม^{[ 5 ]}

พิจารณาปริภูมิฮิลเบิร์ตแบบแยกส่วนได้ℓ ²และพีชคณิต C* สองตัวที่เกี่ยวข้องกัน ได้แก่ พีชคณิต${\displaystyle B}$ของตัวดำเนินการเชิงเส้นต่อเนื่อง ทั้งหมด ตั้งแต่ ℓ ²ถึง ℓ ²และพีชคณิต${\displaystyle D}$ของตัวดำเนินการเชิงเส้นต่อเนื่องแนวทแยงทั้งหมดจาก ℓ ²ถึง ℓ ² .

สถานะบนพีชคณิต C*${\displaystyle A}$เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นต่อเนื่อง${\displaystyle \varphi :A\to \mathbb {C} }$โดยที่${\displaystyle \varphi (I)=1}$(ที่ไหน${\displaystyle I}$(แสดงถึง เอกลักษณ์การคูณของพีชคณิต) และ${\displaystyle \varphi (T)\geq 0}$สำหรับทุกๆ${\displaystyle T\geq 0}$สถานะดังกล่าวเรียกว่าสถานะบริสุทธิ์หากเป็นจุดสุดขั้วในเซตของสถานะทั้งหมดบน${\displaystyle A}$(เช่น หากไม่สามารถเขียนเป็นผลรวมนูนของสถานะอื่นๆ ได้)${\displaystyle A}$)

ตามทฤษฎีบทของฮาห์น-บานาคฟังก์ชันใดๆ บน${\displaystyle D}$สามารถขยายไปถึง${\displaystyle B}$คาดิสันและซิงเกอร์ตั้งข้อสันนิษฐานว่า สำหรับกรณีของสถานะบริสุทธิ์ การขยายนี้มีเพียงหนึ่งเดียว กล่าวคือ ปัญหาของคาดิสัน-ซิงเกอร์ประกอบด้วยการพิสูจน์หรือหักล้างข้อความต่อไปนี้:

สู่ทุกสถานะที่บริสุทธิ์${\displaystyle \varphi }$บน${\displaystyle D}$มีสถานะพิเศษอยู่สถานะหนึ่งบน${\displaystyle B}$ที่ขยายออกไป${\displaystyle \varphi }$.

ข้อกล่าวอ้างนี้เป็นความจริง

ปัญหา Kadison–Singer มีคำตอบเชิงบวกก็ต่อเมื่อ "สมมติฐานการปูทาง" ต่อไปนี้เป็นจริง: ^{[ 6 ]}

สำหรับทุกๆ${\displaystyle \varepsilon >0}$มีจำนวนธรรมชาติอยู่${\displaystyle k}$ดังนั้นจึงเป็นดังนี้: สำหรับทุก ๆ${\displaystyle n}$และตัวดำเนินการเชิงเส้นทุกตัว${\displaystyle T}$บน${\displaystyle n}$ปริภูมิฮิลเบิร์ตมิติ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$เมื่อมีเลขศูนย์อยู่บนแนวทแยง จะมีการแบ่งส่วนของ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$เข้าไปข้างใน${\displaystyle k}$ชุด${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{k}}$โดยที่

${\displaystyle \|P_{A_{j}}TP_{A_{j}}\|\leq \varepsilon \|T\|{\text{ สำหรับ }}j=1,\ldots ,k.}$

ที่นี่${\displaystyle P_{A_{j}}}$หมายถึงการฉายภาพเชิงตั้งฉากบนปริภูมิที่เกิดจากเวกเตอร์หน่วยมาตรฐานที่สอดคล้องกับองค์ประกอบของ${\displaystyle A_{j}}$ดังนั้นเมทริกซ์ของ${\displaystyle P_{A_{j}}TP_{A_{j}}}$ได้มาจากเมทริกซ์ของ${\displaystyle T}$โดยการแทนที่แถวและคอลัมน์ทั้งหมดที่ไม่ตรงกับดัชนีใน${\displaystyle A_{j}}$โดย 0.ค่ามาตรฐานของเมทริกซ์${\displaystyle \|\cdot \|}$คือค่าบรรทัดฐานเชิงสเปกตรัมกล่าวคือค่าบรรทัดฐานของตัวดำเนินการเทียบกับค่าบรรทัดฐานแบบยุคลิดบน${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$.

โปรดสังเกตว่าในข้อความนี้${\displaystyle k}$อาจขึ้นอยู่กับเท่านั้น${\displaystyle \varepsilon }$ไม่ใช่บน${\displaystyle n}$.

ข้อความ " ความคลาดเคลื่อน " ต่อไปนี้ ซึ่งเทียบเท่ากับปัญหา Kadison–Singer อีกครั้งเนื่องจากงานก่อนหน้าของ Nik Weaver ^{[ 7 ]}ได้รับการพิสูจน์โดย Marcus/Spielman/Srivastava โดยใช้เทคนิคพหุนามสุ่ม:

สมมติว่าเวกเตอร์${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{m}\in \mathbb {C} ^{d}}$ได้รับพร้อมกับ${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}u_{i}u_{i}^{*}=I}$(เดอะ${\displaystyle d\times d}$เมทริกซ์เอกลักษณ์ ) และ${\displaystyle \|u_{i}\|_{2}^{2}\leq \delta }$สำหรับทุกคน${\displaystyle i}$ดังนั้นจึงมีการแบ่งส่วนของ${\displaystyle \{1,\ldots ,m\}}$แบ่งเป็นสองชุด${\displaystyle S_{1}}$และ${\displaystyle S_{2}}$โดยที่

${\displaystyle \left\|\sum _{i\in S_{j}}u_{i}u_{i}^{*}\right\|\leq {\frac {\left(1+{\sqrt {2\delta }}\right)^{2}}{2}}{\text{ for }}j=1,2.}$

ข้อความนี้บ่งบอกถึงสิ่งต่อไปนี้:

สมมติว่าเวกเตอร์${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{m}\in \mathbb {R} ^{d}}$ได้รับพร้อมกับ${\displaystyle \|v_{i}\|_{2}^{2}\leq \alpha }$สำหรับทุกคน${\displaystyle i}$และ

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\langle v_{i},x\rangle ^{2}=1\ {\text{ for all }}x\in \mathbb {R} ^{d}{\text{ with }}\|x\|=1.}$

ดังนั้นจึงมีการแบ่งส่วนของ${\displaystyle \{1,\ldots ,m\}}$แบ่งเป็นสองชุด${\displaystyle S_{1}}$และ${\displaystyle S_{2}}$โดยที่ สำหรับ${\displaystyle j=1,2}$:

${\displaystyle \left|\sum _{i\in S_{j}}\langle v_{i},x\rangle ^{2}-{\frac {1}{2}}\right|\leq 5{\sqrt {\alpha }}\ {\text{ for all }}x\in \mathbb {R} ^{d}{\text{ with }}\|x\|=1.}$

ในที่นี้ "ความคลาดเคลื่อน" จะปรากฏให้เห็นเมื่อ α มีขนาดเล็กพอ: รูปแบบกำลังสองบนทรงกลมหน่วยสามารถแบ่งออกเป็นสองส่วนที่เท่ากันโดยประมาณ กล่าวคือ ส่วนที่มีค่าไม่ต่างจาก 1/2 บนทรงกลมหน่วยมากนัก ในรูปแบบนี้ ทฤษฎีบทนี้สามารถใช้เพื่ออนุมานข้อความเกี่ยวกับการแบ่งกราฟบางส่วนได้^{[ 5 ]}

• Nicholas J. A. Harvey (July 11, 2013). "An introduction to the Kadison–Singer Problem and the Paving Conjecture"(PDF).