ในกลศาสตร์ท้องฟ้าวงโคจรเคปเลอร์(หรือวงโคจรแบบเคปเลอร์ซึ่งตั้งชื่อตามโยฮันเนส เคปเลอร์ นักดาราศาสตร์ชาวเยอรมัน ) คือการเคลื่อนที่ของวัตถุหนึ่งเทียบกับอีกวัตถุหนึ่ง ในรูปของวงรีพาราโบลาหรือไฮเปอร์โบลา ซึ่งก่อให้เกิด ระนาบวงโคจรสองมิติในปริภูมิสามมิติ วงโคจรเคปเลอร์อาจมีแนวโน้มเข้าใกล้เส้นตรง ได้ เช่นกัน ทฤษฎีนี้พิจารณาเฉพาะแรงดึงดูดแบบจุดระหว่างวัตถุสองชิ้น โดยไม่คำนึงถึงการรบกวนเนื่องจากปฏิสัมพันธ์ทางแรงโน้มถ่วงกับวัตถุอื่น แรง ต้านของบรรยากาศแรงดันรังสีจากดวงอาทิตย์ วัตถุศูนย์กลาง ที่ไม่เป็นทรงกลมและอื่นๆ ดังนั้นจึงกล่าวได้ว่าเป็นคำตอบของกรณีพิเศษของปัญหาวัตถุสองชิ้นซึ่งรู้จักกันในชื่อปัญหาเคปเลอร์ในฐานะทฤษฎีในกลศาสตร์คลาสสิกมันจึงไม่คำนึงถึงผลกระทบของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป วงโคจรแบบเคปเลอร์สามารถกำหนดพารามิเตอร์ได้เป็นองค์ประกอบวงโคจร หกส่วน ในหลายวิธี

ในการใช้งานส่วนใหญ่ จะมีวัตถุขนาดใหญ่เป็นศูนย์กลาง ซึ่งถือว่าจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุนั้นเป็นจุดศูนย์กลางมวลของระบบทั้งหมด วงโคจรของวัตถุสองชิ้นที่มีมวลใกล้เคียงกันสามารถอธิบายได้ว่าเป็นวงโคจรแบบเคปเลอร์รอบจุดศูนย์กลางมวลร่วมของพวกมัน หรือ ที่เรียกว่า แบรีเซ็นเตอร์

ตั้งแต่สมัยโบราณจนถึงศตวรรษที่ 16 และ 17 เชื่อกันว่าการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์เป็นไปตาม เส้นทาง วงกลม ที่สมบูรณ์แบบโดยมีศูนย์กลางอยู่ที่ดวงอาทิตย์ ตามที่นักปรัชญากรีกโบราณอย่างอริสโตเติลและปโตเล มีสอนไว้ การเปลี่ยนแปลงในการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ได้รับการอธิบายโดยเส้นทางวงกลมขนาดเล็กที่ซ้อนทับอยู่บนเส้นทางขนาดใหญ่ (ดูวงโคจรย่อย ) เมื่อการวัดดาวเคราะห์มีความแม่นยำมากขึ้นเรื่อยๆ จึงมีการเสนอการแก้ไขทฤษฎี ในปี ค.ศ. 1543 นิโคลาอุส โคเปอร์นิคัสได้ตีพิมพ์แบบ จำลอง ระบบสุริยะ แบบ เฮลิโอเซนทริก แม้ว่าเขายังคงเชื่อว่าดาวเคราะห์เคลื่อนที่ในเส้นทางวงกลมที่สมบูรณ์แบบโดยมีศูนย์กลางอยู่ที่ดวงอาทิตย์^{[ 1 ]}

ในปี ค.ศ. 1601 โยฮันเนส เคปเลอร์ได้รับข้อมูลการสังเกตการณ์ดาวเคราะห์อย่างละเอียดถี่ถ้วนจากไทโค บราเฮ เคปเลอร์ใช้เวลาห้าปีต่อมาในการพยายามปรับข้อมูลการสังเกตการณ์ดาวอังคาร ให้เข้ากับเส้นโค้งต่างๆ ในปี ค.ศ. 1609 เคปเลอร์ได้ตีพิมพ์ กฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์สองข้อแรกจากทั้งหมดสาม ข้อ กฎข้อแรกกล่าวว่า:

วงโคจรของดาวเคราะห์ทุกดวงเป็นรูปวงรีโดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จุดโฟกัส

โดยทั่วไปแล้ว เส้นทางการเคลื่อนที่ของวัตถุที่เคลื่อนที่แบบเคปเลอร์อาจเป็นรูปพาราโบลาหรือไฮเปอร์โบลาซึ่งจัดอยู่ในกลุ่มเส้นโค้งที่เรียกว่าภาคตัดกรวย ร่วมกับวงรีในทางคณิตศาสตร์ ระยะห่างระหว่างวัตถุศูนย์กลางกับวัตถุที่โคจรสามารถแสดงได้ดังนี้:

$${\displaystyle r(\theta )={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos(\theta )}}}$$

ที่ไหน:

• ${\displaystyle r}$คือระยะทาง
• ${\displaystyle a}$คือแกนกึ่งเอกซึ่งเป็นตัวกำหนดขนาดของวงโคจร
• ${\displaystyle e}$คือค่าความเยื้องศูนย์กลางซึ่งเป็นตัวกำหนดรูปร่างของวงโคจร
• ${\displaystyle \theta }$ค่าความผิดปกติที่แท้จริงคือ มุมระหว่างตำแหน่งปัจจุบันของวัตถุที่โคจรอยู่กับตำแหน่งในวงโคจรที่วัตถุนั้นอยู่ใกล้กับวัตถุศูนย์กลางมากที่สุด (เรียกว่าจุดใกล้ที่สุด )

อีกวิธีหนึ่ง สมการสามารถแสดงได้ดังนี้:

$${\displaystyle r(\theta )={\frac {p}{1+e\cos(\theta )}}}$$

โดยที่เรียกว่ากึ่งแกนลาตัสเรกตัมของเส้นโค้ง สมการรูปแบบนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งเมื่อต้องจัดการกับวิถีโค้งแบบพาราโบลา ซึ่งแกนกึ่งเอกมีค่าเป็นอนันต์ ${\displaystyle p}$

แม้ว่าเคปเลอร์จะพัฒนากฎเหล่านี้จากการสังเกต แต่เขาก็ไม่สามารถพัฒนาทฤษฎีเพื่ออธิบายการเคลื่อนที่เหล่านี้ได้^{[ 2 ]}ไอแซค นิวตันได้สร้างทฤษฎีดังกล่าวขึ้นเป็นครั้งแรกโดยอิงจากแนวคิดเรื่องแรงโน้มถ่วงทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปของอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์เป็นคำอธิบายปัจจุบันของแรงโน้มถ่วงในฟิสิกส์สมัยใหม่ปัญหาของวัตถุสองชิ้นในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปไม่มีคำตอบในรูปแบบปิด

ระหว่างปี ค.ศ. 1665 ถึง 1666 ไอแซค นิวตันได้พัฒนาแนวคิดหลายอย่างที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่ แรงโน้มถ่วง และแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ อย่างไรก็ตาม แนวคิดเหล่านี้ไม่ได้ถูกตีพิมพ์จนกระทั่งปี ค.ศ. 1687 ในหนังสือPrincipiaซึ่งเขาได้สรุปกฎการเคลื่อนที่และกฎแรงโน้มถ่วงสากล ของเขา ไว้ กฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองจากสามข้อของเขากล่าวว่า:

ความเร่งของวัตถุจะขนานและแปรผันตรงกับแรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุ มีทิศทางเดียวกับแรงลัพธ์ และแปรผันผกผันกับมวลของวัตถุ

$${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} =m{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}}$$

ที่ไหน:

• ${\displaystyle \mathbf {F} }$คือเวกเตอร์แรง
• ${\displaystyle m}$คือมวลของวัตถุที่แรงกระทำอยู่
• ${\displaystyle \mathbf {a} }$คือเวกเตอร์ความเร่ง ซึ่งเป็นอนุพันธ์อันดับสองของเวกเตอร์ตำแหน่งเทียบกับเวลา${\displaystyle \mathbf {r} }$

กล่าวโดยเคร่งครัดแล้ว สมการรูปแบบนี้ใช้ได้เฉพาะกับวัตถุที่มีมวลคงที่เท่านั้น ซึ่งเป็นความจริงตามสมมติฐานที่ทำให้ง่ายขึ้นที่กล่าวไว้ด้านล่าง

กฎแรงโน้มถ่วงของนิวตันกล่าวว่า:

มวลจุดทุก จุด ดึงดูดมวลจุดอื่นทุกจุดด้วยแรงที่ชี้ไปตามเส้นตรงที่ตัดผ่านจุดทั้งสอง แรงนี้เป็นสัดส่วนโดยตรงกับผลคูณของมวลทั้งสองและแปรผกผันกับกำลังสองของระยะห่างระหว่างมวลจุดทั้งสอง:

$${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$$

ที่ไหน:

• ${\displaystyle F}$คือขนาดของแรงโน้มถ่วงระหว่างมวลจุดสองจุด
• ${\displaystyle G}$คือค่าคงที่ความโน้มถ่วง
• ${\displaystyle m_{1}}$คือมวลของจุดมวลแรก
• ${\displaystyle m_{2}}$คือมวลของจุดมวลที่สอง
• ${\displaystyle r}$คือระยะห่างระหว่างจุดมวลสองจุด

จากกฎการเคลื่อนที่และกฎแรงโน้มถ่วงสากล นิวตันสามารถอนุมานกฎของเคปเลอร์ได้ ซึ่งเป็นกฎเฉพาะสำหรับการเคลื่อนที่ในวงโคจรในทางดาราศาสตร์ เนื่องจากกฎของเคปเลอร์ได้รับการสนับสนุนอย่างดีจากข้อมูลการสังเกตการณ์ ความสอดคล้องนี้จึงเป็นหลักฐานสนับสนุนที่แข็งแกร่งสำหรับความถูกต้องของทฤษฎีทั่วไปของนิวตัน และรวมกลศาสตร์ดาราศาสตร์และกลศาสตร์ทั่วไปเข้าด้วยกัน กฎการเคลื่อนที่เหล่านี้เป็นพื้นฐานของกลศาสตร์ดาราศาสตร์ สมัยใหม่ จนกระทั่งอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์นำเสนอแนวคิดของทฤษฎี สัมพัทธ ภาพพิเศษและ สัมพัทธภาพ ทั่วไปในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 สำหรับการใช้งานส่วนใหญ่ การเคลื่อนที่แบบเคปเลอร์ประมาณการการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์และดาวบริวารได้แม่นยำในระดับค่อนข้างสูง และถูกนำไปใช้อย่างกว้างขวางในดาราศาสตร์และพลศาสตร์ดาราศาสตร์

ในการหาการเคลื่อนที่ของวัตถุในระบบสองวัตถุสามารถใช้สมมติฐานแบบง่ายสองข้อได้ดังนี้:

1. วัตถุเหล่านี้มีสมมาตรทรงกลมและสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นมวลจุด
2. ไม่มีแรงภายนอกหรือภายในใด ๆ กระทำต่อวัตถุเหล่านั้น นอกเหนือจากแรงโน้มถ่วงระหว่างกัน

วัตถุทางดาราศาสตร์ขนาดใหญ่มีรูปร่างคล้ายทรงกลม ด้วยสมมาตร แรงโน้มถ่วงสุทธิที่ดึงดูดจุดมวลเข้าหาทรงกลมเนื้อเดียวกันจะต้องมีทิศทางเข้าสู่จุดศูนย์กลางทฤษฎีบทเปลือกทรงกลม (ซึ่งไอแซค นิวตันได้พิสูจน์ไว้เช่นกัน) กล่าวว่าขนาดของแรงนี้จะเท่ากับกรณีที่มวลทั้งหมดรวมอยู่ที่กึ่งกลางของทรงกลม แม้ว่าความหนาแน่นของทรงกลมจะแปรผันตามความลึก (เช่นเดียวกับวัตถุทางดาราศาสตร์ส่วนใหญ่) จากนี้จึงสรุปได้ทันทีว่าแรงดึงดูดระหว่างทรงกลมเนื้อเดียวกันสองลูกนั้นเสมือนว่ามวลของทั้งสองลูกรวมอยู่ที่จุดศูนย์กลาง

วัตถุขนาดเล็ก เช่นดาวเคราะห์น้อยหรือยานอวกาศมักมีรูปร่างที่เบี่ยงเบนไปจากทรงกลมอย่างมาก แต่แรงโน้มถ่วงที่เกิดจากความไม่สม่ำเสมอเหล่านี้โดยทั่วไปมีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับแรงโน้มถ่วงของวัตถุศูนย์กลาง ความแตกต่างระหว่างรูปร่างที่ไม่สม่ำเสมอและทรงกลมที่สมบูรณ์แบบจะลดลงตามระยะทาง และระยะทางวงโคจรส่วนใหญ่มีขนาดใหญ่มากเมื่อเทียบกับเส้นผ่านศูนย์กลางของวัตถุโคจรขนาดเล็ก ดังนั้นสำหรับการใช้งานบางอย่าง ความไม่สม่ำเสมอของรูปร่างสามารถละเลยได้โดยไม่ส่งผลกระทบต่อความแม่นยำอย่างมีนัยสำคัญ ผลกระทบนี้ค่อนข้างสังเกตได้สำหรับดาวเทียมเทียมของโลก โดยเฉพาะอย่างยิ่งดาวเทียมที่โคจรในวงโคจรต่ำ

ดาวเคราะห์หมุนรอบตัวเองด้วยอัตราที่แตกต่างกัน จึงอาจมีรูปร่างแบนเล็กน้อยเนื่องจากแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลาง ด้วยรูปร่างแบนเช่นนี้ แรงดึงดูดจะเบี่ยงเบนไปจากทรงกลมเนื้อเดียวกันเล็กน้อย ในระยะทางที่ไกลออกไป ผลกระทบของความแบนนี้จะแทบไม่มีนัยสำคัญ การเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ในระบบสุริยะสามารถคำนวณได้อย่างแม่นยำเพียงพอหากพิจารณาว่าพวกมันเป็นมวลจุด

วัตถุมวลจุดสองชิ้นที่มีมวลและเวกเตอร์ตำแหน่งและสัมพันธ์กับกรอบอ้างอิงเฉื่อย บางกรอบ จะได้รับแรงโน้มถ่วงกระทำต่อกัน: ${\displaystyle m_{1}}$${\displaystyle m_{2}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$

$${\displaystyle m_{1}{\ddot {\mathbf {r} }}_{1}={\frac {-Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$$$${\displaystyle m_{2}{\ddot {\mathbf {r} }}_{2}={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$$

โดยที่คือเวกเตอร์ตำแหน่งสัมพัทธ์ของมวล 1 เทียบกับมวล 2 ซึ่งแสดงได้ดังนี้: ${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}$$

และคือเวกเตอร์หน่วยในทิศทางนั้น และคือความยาวของเวกเตอร์นั้น ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$${\displaystyle r}$

เมื่อหารด้วยมวลของวัตถุทั้งสอง และลบสมการที่สองออกจากสมการแรก จะได้สมการการเคลื่อนที่สำหรับการเร่งความเร็วของวัตถุแรกเทียบกับวัตถุที่สอง:

${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$

1

โดยที่เป็นพารามิเตอร์ความโน้มถ่วง และ เท่ากับ ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle \alpha =G(m_{1}+m_{2})}$$

ในการใช้งานหลายๆ กรณี สามารถใช้สมมติฐานที่ทำให้ง่ายขึ้นข้อที่สามได้:

เมื่อเปรียบเทียบกับวัตถุศูนย์กลาง มวลของวัตถุที่โคจรรอบข้างนั้นน้อยมาก ในทางคณิตศาสตร์m ₁ >> m ₂ดังนั้นα = G ( m ₁ + m ₂ ) ≈ Gm ₁พารามิเตอร์ความโน้มถ่วงมาตรฐานดังกล่าวซึ่งมักใช้สัญลักษณ์α นั้น มีให้ใช้กันอย่างแพร่หลายสำหรับดวงอาทิตย์ ดาวเคราะห์ขนาดใหญ่ และดวงจันทร์ ซึ่งมีมวลมากกว่าดาวบริวารที่โคจรรอบ ข้างมาก${\displaystyle \mu =G\,M}$${\displaystyle M}$

ข้อสมมติฐานนี้ไม่จำเป็นต่อการแก้ปัญหาสองวัตถุแบบง่าย แต่จะทำให้การคำนวณง่ายขึ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งกับดาวเทียมที่โคจรรอบโลกและดาวเคราะห์ที่โคจรรอบดวงอาทิตย์ แม้แต่ มวลของ ดาวพฤหัสบดีก็ยังน้อยกว่าดวงอาทิตย์ถึง 1047 เท่า^{[ 3 ]}ซึ่งจะทำให้เกิดข้อผิดพลาด 0.096% ในค่าของ α ข้อยกเว้นที่น่าสนใจ ได้แก่ ระบบโลก-ดวงจันทร์ (อัตราส่วนมวล 81.3) ระบบพลูโต-ชารอน (อัตราส่วนมวล 8.9) และระบบดาวคู่ ภายใต้ข้อสมมติฐานเหล่านี้ สมการเชิงอนุพันธ์สำหรับกรณีสองวัตถุสามารถแก้ไขได้อย่างสมบูรณ์ทางคณิตศาสตร์ และวงโคจรที่ได้ซึ่งเป็นไปตามกฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเคปเลอร์เรียกว่า "วงโคจรของเคปเลอร์" วงโคจรของดาวเคราะห์ทั้งหมดเป็นวงโคจรของเคปเลอร์รอบดวงอาทิตย์ที่มีความแม่นยำสูง ความเบี่ยงเบนเล็กน้อยเกิดจากแรงดึงดูดระหว่างดาวเคราะห์ที่อ่อนกว่ามาก และในกรณีของดาวพุธเกิดจาก ทฤษฎีสั มพัทธภาพทั่วไปวงโคจรของดาวเทียมเทียมรอบโลกนั้น โดยประมาณแล้วเป็นวงโคจรแบบเคปเลอร์ที่มีการรบกวนเล็กน้อยเนื่องจากแรงดึงดูดของดวงอาทิตย์ ดวงจันทร์ และความแบนของโลก ในการใช้งานที่ต้องการความแม่นยำสูง ซึ่งต้องคำนวณสมการการเคลื่อนที่ด้วยวิธีเชิงตัวเลข โดยคำนึงถึงแรงโน้มถ่วงและแรงที่ไม่ใช่แรงโน้มถ่วงทั้งหมด (เช่นแรงดันรังสีจากดวงอาทิตย์และแรงต้านอากาศ ) แนวคิดวงโคจรแบบเคปเลอร์มีความสำคัญอย่างยิ่งและถูกนำมาใช้อย่างแพร่หลาย

วิถีโคจรแบบเคปเลอร์สามารถกำหนดได้ด้วยพารามิเตอร์หกตัว การเคลื่อนที่ของวัตถุในอวกาศสามมิติมีลักษณะเฉพาะด้วยเวกเตอร์ตำแหน่งและเวกเตอร์ความเร็ว เวกเตอร์แต่ละตัวมีสามองค์ประกอบ ดังนั้นจำนวนค่าทั้งหมดที่จำเป็นในการกำหนดวิถีโคจรผ่านอวกาศจึงมีหกค่า โดยทั่วไปแล้ววงโคจรจะถูกกำหนดด้วยองค์ประกอบหกตัว (เรียกว่าองค์ประกอบเคปเลอร์ ) ซึ่งสามารถคำนวณได้จากตำแหน่งและความเร็ว โดยสามในหกตัวได้กล่าวถึงไปแล้ว องค์ประกอบเหล่านี้สะดวกตรงที่ในหกตัวนั้น ห้าตัวจะไม่เปลี่ยนแปลงสำหรับวงโคจรที่ไม่ถูกรบกวน (ซึ่งแตกต่างอย่างสิ้นเชิงกับเวกเตอร์สองตัวที่เปลี่ยนแปลงอยู่ตลอดเวลา) ตำแหน่งในอนาคตของวัตถุภายในวงโคจรสามารถทำนายได้ และตำแหน่งและความเร็วใหม่ของวัตถุสามารถหาได้ง่ายจากองค์ประกอบวงโคจร

ปัจจัยสองประการกำหนดขนาดและรูปร่างของวิถีการเคลื่อนที่:

• แกนกึ่งเอก ( )${\displaystyle a}$
• ความแปลกประหลาด ( )${\displaystyle e}$

ปัจจัยสามประการกำหนดทิศทางของระนาบวงโคจร :

• ความเอียง ( ) กำหนดมุมระหว่างระนาบวงโคจรและระนาบอ้างอิง${\displaystyle i}$
• เส้นลองจิจูดของจุดขึ้น ( ) กำหนดมุมระหว่างทิศทางอ้างอิงและการตัดขึ้นของวงโคจรบนระนาบอ้างอิง (จุดขึ้น)${\displaystyle \Omega }$
• อาร์กิวเมนต์ของจุดใกล้ที่สุด ( ) กำหนดมุมระหว่างจุดขึ้นและจุดใกล้ที่สุด${\displaystyle \omega }$

และสุดท้ายนี้:

• ค่าความผิดปกติที่แท้จริง ( ) กำหนดตำแหน่งของวัตถุที่โคจรตามวิถีโคจร โดยวัดจากจุดใกล้ที่สุดของวงโคจร (periapsis) สามารถใช้ค่าอื่นแทนค่าความผิดปกติที่แท้จริงได้ โดยค่าที่ใช้กันทั่วไปคือค่าความผิดปกติเฉลี่ยและซึ่งเป็นเวลาตั้งแต่จุดใกล้ที่สุดของวงโคจร (periapsis)${\displaystyle \nu }$${\displaystyle M}$${\displaystyle T}$

เนื่องจาก, และเป็นเพียงการวัดเชิงมุมที่กำหนดทิศทางของวิถีโคจรในกรอบอ้างอิง จึงไม่จำเป็นอย่างยิ่งเมื่อกล่าวถึงการเคลื่อนที่ของวัตถุภายในระนาบวงโคจร ที่กล่าวถึงไว้ที่นี่เพื่อความสมบูรณ์ แต่ไม่จำเป็นสำหรับการพิสูจน์ด้านล่าง ${\displaystyle i}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \omega }$

สำหรับการเคลื่อนที่ภายใต้แรงสู่ศูนย์กลางใดๆ กล่าวคือ แรงที่ขนานกับr โมเมนตัมเชิงมุมสัมพัทธ์จำเพาะ จะคงที่: ${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}}$$${\displaystyle {\dot {\mathbf {H} }}={\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}\right)={\dot {\mathbf {r} }}\times {\dot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {0} +\mathbf {0} =\mathbf {0} }$$

เนื่องจากผลคูณเชิงเวกเตอร์ของเวกเตอร์ตำแหน่งและเวกเตอร์ความเร็วคงที่ ดังนั้นเวกเตอร์ทั้งสองต้องอยู่ในระนาบเดียวกันและตั้งฉากกับซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันเวกเตอร์เป็น เส้น โค้ง ระนาบ${\displaystyle \mathbf {H} }$

เนื่องจากสมการมีความสมมาตรรอบจุดกำเนิด จึงแก้ได้ง่ายกว่าในพิกัดเชิงขั้ว อย่างไรก็ตาม สมการ ( 1 ) หมายถึงความเร่งเชิงเส้นไม่ใช่ความเร่งเชิงมุมหรือเชิงรัศมีดังนั้นจึงต้องระมัดระวังเมื่อแปลงสมการ การแนะนำระบบพิกัดคาร์ทีเซียนและเวกเตอร์หน่วยเชิงขั้วในระนาบตั้งฉากกับ: ${\displaystyle \left({\ddot {\mathbf {r} }}\right),}$${\displaystyle \left({\ddot {\theta }}\right)}$${\displaystyle \left({\ddot {r}}\right)}$${\displaystyle ({\hat {\mathbf {x} }},{\hat {\mathbf {y} }})}$${\displaystyle ({\hat {\mathbf {r} }},{\hat {\mathbf {q} }})}$${\displaystyle \mathbf {H} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {r} }}&=\cos {\theta }{\hat {\mathbf {x} }}+\sin {\theta }{\hat {\mathbf {y} }}\\{\hat {\mathbf {q} }}&=-\sin {\theta }{\hat {\mathbf {x} }}+\cos {\theta }{\hat {\mathbf {y} }}\end{aligned}}}$$

เราสามารถเขียนฟังก์ชันเวกเตอร์และอนุพันธ์ของมันใหม่ได้ดังนี้: ${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} &=r\left(\cos \theta {\hat {\mathbf {x} }}+\sin \theta {\hat {\mathbf {y} }}\right)=r{\hat {\mathbf {r} }}\\{\dot {\mathbf {r} }}&={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {q} }}\\{\ddot {\mathbf {r} }}&=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}\right){\hat {\mathbf {q} }}\end{aligned}}}$$

(ดู " แคลคูลัสเวกเตอร์ ") เมื่อแทนค่าเหล่านี้ลงใน ( 1 ) เราจะพบว่า: $${\displaystyle \left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}\right){\hat {\mathbf {q} }}=\left(-{\frac {\alpha }{r^{2}}}\right){\hat {\mathbf {r} }}+(0){\hat {\mathbf {q} }}}$$

ซึ่งจะได้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญในสองตัวแปร คือและ: ${\displaystyle r}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}}$

2

เพื่อแก้สมการนี้ จำเป็นต้องกำจัดอนุพันธ์เทียบกับเวลาทั้งหมด ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ดังนี้: $${\displaystyle H=|\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}|=\left|{\begin{pmatrix}r\cos(\theta )\\r\sin(\theta )\\0\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}{\dot {r}}\cos(\theta )-r\sin(\theta ){\dot {\theta }}\\{\dot {r}}\sin(\theta )+r\cos(\theta ){\dot {\theta }}\\0\end{pmatrix}}\right|=\left|{\begin{pmatrix}0\\0\\r^{2}{\dot {\theta }}\end{pmatrix}}\right|=r^{2}{\dot {\theta }}}$$

${\displaystyle {\dot {\theta }}={\frac {H}{r^{2}}}}$

3

การหาอนุพันธ์เทียบกับเวลาของ ( 3 ) จะได้

${\displaystyle {\ddot {\theta }}=-{\frac {2\cdot H\cdot {\dot {r}}}{r^{3}}}}$

4

สมการ ( 3 ) และ ( 4 ) ช่วยให้เรากำจัดอนุพันธ์เทียบกับเวลาของ ได้เพื่อกำจัดอนุพันธ์เทียบกับเวลาของจะใช้กฎลูกโซ่เพื่อหาการแทนที่ที่เหมาะสม: ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {dr}{d\theta }}\cdot {\dot {\theta }}}$

5

${\displaystyle {\ddot {r}}={\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}\cdot {\dot {\theta }}^{2}+{\frac {dr}{d\theta }}\cdot {\ddot {\theta }}}$

6

เมื่อใช้การแทนที่ทั้งสี่นี้ อนุพันธ์เวลาทั้งหมดใน ( 2 ) สามารถกำจัดได้ ทำให้ได้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญสำหรับเป็นฟังก์ชันของ${\displaystyle r}$${\displaystyle \theta .}$$${\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}}$$$${\displaystyle {\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}\cdot {\dot {\theta }}^{2}+{\frac {dr}{d\theta }}\cdot {\ddot {\theta }}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}}$$$${\displaystyle {\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}\cdot \left({\frac {H}{r^{2}}}\right)^{2}+{\frac {dr}{d\theta }}\cdot \left(-{\frac {2\cdot H\cdot {\dot {r}}}{r^{3}}}\right)-r\left({\frac {H}{r^{2}}}\right)^{2}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}}$$

${\displaystyle {\frac {H^{2}}{r^{4}}}\cdot \left({\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}-2\cdot {\frac {\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}{r}}-r\right)=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}}$

7

สมการเชิงอนุพันธ์ ( 7 ) สามารถแก้ได้โดยวิธีวิเคราะห์โดยการแทนที่ตัวแปร

${\displaystyle r={\frac {1}{s}}}$

8

เมื่อใช้กฎลูกโซ่ในการหาอนุพันธ์จะได้:

${\displaystyle {\frac {dr}{d\theta }}=-{\frac {1}{s^{2}}}\cdot {\frac {ds}{d\theta }}}$

9

${\displaystyle {\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}={\frac {2}{s^{3}}}\cdot \left({\frac {ds}{d\theta }}\right)^{2}-{\frac {1}{s^{2}}}\cdot {\frac {d^{2}s}{d\theta ^{2}}}}$

10

การใช้นิพจน์ ( 10 ) และ ( 9 ) สำหรับและจะได้ ${\displaystyle {\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}$${\displaystyle {\frac {dr}{d\theta }}}$

${\displaystyle H^{2}\cdot \left({\frac {d^{2}s}{d\theta ^{2}}}+s\right)=\alpha }$

11

ด้วยวิธีแก้ปัญหาทั่วไป

${\displaystyle s={\frac {\alpha }{H^{2}}}\cdot \left(1+e\cdot \cos(\theta -\theta _{0})\right)}$

12

โดยที่eและเป็นค่าคงที่ของการอินทิเกรตซึ่งขึ้นอยู่กับค่าเริ่มต้นของsและ${\displaystyle \theta _{0}}$${\displaystyle {\tfrac {ds}{d\theta }}.}$

แทนที่จะใช้ค่าคงที่ของการอินทิเกรตโดยตรง เราจะใช้ข้อตกลงว่าเวกเตอร์หน่วยที่กำหนดระบบพิกัดในระนาบวงโคจรนั้นถูกเลือกให้มีค่าเป็นศูนย์และeมีค่าเป็นบวก ซึ่งหมายความว่ามีค่าเป็นศูนย์ ณ จุดที่มีค่าสูงสุด และดังนั้น จึงมีค่าต่ำสุด การกำหนดพารามิเตอร์pเป็น จะได้ว่า ${\displaystyle \theta _{0}}$${\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}$${\displaystyle \theta _{0}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle s}$${\displaystyle r={\tfrac {1}{s}}}$${\displaystyle {\tfrac {H^{2}}{\alpha }}}$

$${\displaystyle r={\frac {1}{s}}={\frac {p}{1+e\cdot \cos \theta }}}$$

อีกวิธีหนึ่งในการแก้สมการนี้โดยไม่ต้องใช้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงขั้วมีดังนี้:

กำหนดเวกเตอร์หน่วย, , โดยที่และ. ดังนั้น ${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {\mathbf {r} }{r}}}$${\displaystyle \mathbf {r} =r\mathbf {u} }$${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=-{\tfrac {\alpha }{r^{2}}}\mathbf {u} }$$${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}=r\mathbf {u} \times {\frac {d}{dt}}(r\mathbf {u} )=r\mathbf {u} \times (r{\dot {\mathbf {u} }}+{\dot {r}}\mathbf {u} )=r^{2}(\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }})+r{\dot {r}}(\mathbf {u} \times \mathbf {u} )=r^{2}\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }}}$$

ลองพิจารณาดูตอนนี้ $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} =-{\frac {\alpha }{r^{2}}}\mathbf {u} \times (r^{2}\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }})=-\alpha \mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }})=-\alpha [(\mathbf {u} \cdot {\dot {\mathbf {u} }})\mathbf {u} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} ){\dot {\mathbf {u} }}]}$$

(ดูผลคูณสามเวกเตอร์ ) โปรดสังเกตว่า $${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {u} =|\mathbf {u} |^{2}=1}$$$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot {\dot {\mathbf {u} }}={\frac {1}{2}}(\mathbf {u} \cdot {\dot {\mathbf {u} }}+{\dot {\mathbf {u} }}\cdot \mathbf {u} )={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} )=0}$$

เมื่อแทนค่าเหล่านี้ลงในสมการก่อนหน้าจะได้: $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} =\alpha {\dot {\mathbf {u} }}}$$

การบูรณาการทั้งสองด้าน: $${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} =\alpha \mathbf {u} +\mathbf {c} }$$

โดยที่cเป็นเวกเตอร์คงที่ การดอทเวกเตอร์นี้ด้วยrจะได้ผลลัพธ์ที่น่าสนใจ: โดยที่คือมุมระหว่างและแก้สมการหาค่าr : $${\displaystyle \mathbf {r} \cdot ({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} )=\mathbf {r} \cdot (\alpha \mathbf {u} +\mathbf {c} )=\alpha \mathbf {r} \cdot \mathbf {u} +\mathbf {r} \cdot \mathbf {c} =\alpha r(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} )+rc\cos(\theta )=r(\alpha +c\cos(\theta ))}$$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {c} }$$${\displaystyle r={\frac {\mathbf {r} \cdot ({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} )}{\alpha +c\cos(\theta )}}={\frac {(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }})\cdot \mathbf {H} }{\alpha +c\cos(\theta )}}={\frac {|\mathbf {H} |^{2}}{\alpha +c\cos(\theta )}}={\frac {|\mathbf {H} |^{2}/\alpha }{1+(c/\alpha )\cos(\theta )}}.}$$

โปรดสังเกตว่า นั้นก็คือพิกัดเชิงขั้วของฟังก์ชันเวกเตอร์นั่นเอง เมื่อทำการแทนที่และเราก็จะได้สมการ อีกครั้ง ${\displaystyle (r,\theta )}$${\displaystyle p={\tfrac {|\mathbf {H} |^{2}}{\alpha }}}$${\displaystyle e={\tfrac {c}{\alpha }}}$

${\displaystyle r={\frac {p}{1+e\cdot \cos \theta }}}$

13

นี่คือสมการในพิกัดเชิงขั้วสำหรับภาคตัดกรวยที่มีจุดกำเนิดอยู่ที่จุดโฟกัส ค่าอาร์กิวเมนต์นี้เรียกว่า "ค่าผิดปกติที่แท้จริง" (true anomaly) ${\displaystyle \theta }$

โปรดสังเกตด้วยว่า เนื่องจาก θ คือมุมระหว่างเวกเตอร์ตำแหน่งและค่าคงที่ของการอินทิเกรตเวกเตอร์จึงต้องชี้ไปในทิศทางของจุดใกล้ที่สุดของวงโคจร จากนั้นเราสามารถกำหนดเวกเตอร์ความเยื้องศูนย์กลางที่เกี่ยวข้องกับวงโคจรได้ดังนี้: ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {c} }$${\displaystyle \mathbf {c} }$$${\displaystyle \mathbf {e} \triangleq {\frac {\mathbf {c} }{\alpha }}={\frac {{\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} }{\alpha }}-\mathbf {u} ={\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {H} }{\alpha }}-{\frac {\mathbf {r} }{r}}={\frac {\mathbf {v} \times (\mathbf {r} \times \mathbf {v} )}{\alpha }}-{\frac {\mathbf {r} }{r}}}$$

โดยที่เป็นเวกเตอร์โมเมนตัมเชิงมุมคงที่ของวงโคจร และเป็นเวกเตอร์ความเร็วที่สัมพันธ์กับเวกเตอร์ตำแหน่ง ${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} \times \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {r} }$

เห็นได้ชัดว่าเวกเตอร์ความเยื้องศูนย์ซึ่งมีทิศทางเดียวกับค่าคงที่ของการอินทิเกรตชี้ไปยังทิศทางของจุดใกล้ที่สุดของวงโคจร และมีขนาดเท่ากับความเยื้องศูนย์ของวงโคจร ทำให้มีประโยชน์มากในการกำหนดวงโคจร (OD) สำหรับองค์ประกอบวงโคจรของวงโคจรเมื่อทราบ เวกเตอร์สถานะ [ ] หรือ [ ]${\displaystyle \mathbf {c} }$${\displaystyle \mathbf {r} ,\mathbf {\dot {r}} }$${\displaystyle \mathbf {r} ,\mathbf {v} }$

เนื่องจากนี่คือวงกลมที่มีรัศมี p${\displaystyle e=0}$

เพราะนี่คือวงรีที่มี ${\displaystyle 0<e<1,}$

${\displaystyle a={\frac {p}{1-e^{2}}}}$

14

${\displaystyle b={\frac {p}{\sqrt {1-e^{2}}}}=a\cdot {\sqrt {1-e^{2}}}}$

15

เนื่องจากนี่คือพาราโบลาที่มีความยาวโฟกัส${\displaystyle e=1}$${\displaystyle {\tfrac {p}{2}}}$

เพราะนี่คือไฮเปอร์โบลาที่มี ${\displaystyle e>1}$

${\displaystyle a={\frac {p}{e^{2}-1}}}$

16

${\displaystyle b={\frac {p}{\sqrt {e^{2}-1}}}=a\cdot {\sqrt {e^{2}-1}}}$

17

ภาพต่อไปนี้แสดงวงกลม (สีเทา) วงรี (สีแดง) พาราโบลา (สีเขียว) และไฮเปอร์โบลา (สีน้ำเงิน)

จุดบนเส้นแนวนอนที่ลากออกไปทางขวาจากจุดโฟกัส คือจุดที่ระยะห่างจากจุดโฟกัสมีค่าน้อยที่สุด ซึ่งเรียกว่าจุดใกล้สุด ( pericentre) สำหรับวงรี ยังมีจุดไกลสุด (apocentre) ซึ่งเป็นจุดที่ระยะห่างจากจุดโฟกัสมีค่ามากที่สุดสำหรับไฮเปอร์โบลา ช่วงของคือ และสำหรับพาราโบลา ช่วงของ คือ ${\displaystyle \theta =0}$${\displaystyle {\tfrac {p}{1+e}},}$${\displaystyle {\tfrac {p}{1-e}}.}$${\displaystyle \theta }$$${\displaystyle -\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)<\theta <\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)}$$$${\displaystyle -\pi <\theta <\pi }$$

โดยใช้กฎลูกโซ่สำหรับการหาอนุพันธ์ ( 5 ) สมการ ( 2 ) และนิยามของpจะได้ว่าส่วนประกอบความเร็วเชิงรัศมีคือ ${\displaystyle {\frac {H^{2}}{\alpha }}}$

${\displaystyle V_{r}={\dot {r}}={\frac {H}{p}}e\sin \theta ={\sqrt {\frac {\alpha }{p}}}e\sin \theta }$

18

และส่วนประกอบสัมผัส (ส่วนประกอบความเร็วที่ตั้งฉากกับ) คือ ${\displaystyle V_{r}}$

${\displaystyle V_{t}=r\cdot {\dot {\theta }}={\frac {H}{r}}={\sqrt {\frac {\alpha }{p}}}\cdot (1+e\cdot \cos \theta )}$

19

ความสัมพันธ์ระหว่างค่าพิกัดเชิงขั้วและเวลาtจะแตกต่างกันเล็กน้อยสำหรับวงโคจรแบบวงรีและแบบไฮเปอร์โบลา ${\displaystyle \theta }$

สำหรับวงโคจรวงรี จะเปลี่ยนไปใช้ " ความผิดปกติเชิงวงรี " Eซึ่ง

${\displaystyle x=a\cdot (\cos E-e)}$

20

${\displaystyle y=b\cdot \sin E}$

21

และด้วยเหตุนี้

${\displaystyle {\dot {x}}=-a\cdot \sin E\cdot {\dot {E}}}$

22

${\displaystyle {\dot {y}}=b\cdot \cos E\cdot {\dot {E}}}$

23

และโมเมนตัมเชิงมุมHคือ

${\displaystyle H=x\cdot {\dot {y}}-y\cdot {\dot {x}}=a\cdot b\cdot (1-e\cdot \cos E)\cdot {\dot {E}}}$

24

การอินทิเกรตเทียบกับเวลาtจะได้

${\displaystyle H\cdot t=a\cdot b\cdot (E-e\cdot \sin E)}$

25

ภายใต้สมมติฐานว่าเวลาที่เลือกนั้นมีค่าคงที่ของการอินทิเกรตเป็นศูนย์ ${\displaystyle t=0}$

เนื่องจากตามนิยามของp นั้นมีอยู่หนึ่งอย่าง

${\displaystyle H={\sqrt {\alpha \cdot p}}}$

26

สามารถเขียนสิ่งนี้ได้

${\displaystyle t=a\cdot {\sqrt {\frac {a}{\alpha }}}(E-e\cdot \sin E)}$

27

สำหรับวงโคจรไฮเปอร์โบลิก จะใช้ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกในการกำหนดพารามิเตอร์

${\displaystyle x=a\cdot (e-\cosh E)}$

28

${\displaystyle y=b\cdot \sinh E}$

29

ซึ่งหนึ่งมี

${\displaystyle {\dot {x}}=-a\cdot \sinh E\cdot {\dot {E}}}$

30

${\displaystyle {\dot {y}}=b\cdot \cosh E\cdot {\dot {E}}}$

31

และโมเมนตัมเชิงมุมHคือ

${\displaystyle H=x\cdot {\dot {y}}-y\cdot {\dot {x}}=a\cdot b\cdot (e\cdot \cosh E-1)\cdot {\dot {E}}}$

32

การอินทิเกรตเทียบกับเวลาtจะได้

${\displaystyle H\cdot t=a\cdot b\cdot (e\cdot \sinh E-E)}$

33

เช่น

${\displaystyle t=a\cdot {\sqrt {\frac {a}{\alpha }}}(e\cdot \sinh E-E)}$

34

ในการหาเวลา t ที่สอดคล้องกับความผิดปกติที่แท้จริงบางอย่าง จะต้องคำนวณพารามิเตอร์E ที่ สอดคล้องกับเวลาด้วยความสัมพันธ์ ( 27 ) สำหรับวงโคจรวงรีและด้วยความสัมพันธ์ ( 34 ) สำหรับวงโคจรไฮเปอร์โบลา ${\displaystyle \theta }$

โปรดทราบว่าความสัมพันธ์ ( 27 ) และ ( 34 ) กำหนดการแมประหว่างช่วง $${\displaystyle \left[-\infty <t<\infty \right]\longleftrightarrow \left[-\infty <E<\infty \right]}$$

สำหรับวงโคจรวงรีจะได้จาก ( 20 ) และ ( 21 ) ว่า

${\displaystyle r=a\cdot (1-e\cos E)}$

35

และด้วยเหตุนี้

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {x}{r}}={\frac {\cos E-e}{1-e\cos E}}}$

36

จาก ( 36 ) จึงสรุปได้ว่า $${\displaystyle \tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {1-{\frac {\cos E-e}{1-e\cos E}}}{1+{\frac {\cos E-e}{1-e\cos E}}}}={\frac {1-e\cos E-\cos E+e}{1-e\cos E+\cos E-e}}={\frac {1+e}{1-e}}\cdot {\frac {1-\cos E}{1+\cos E}}={\frac {1+e}{1-e}}\cdot \tan ^{2}{\frac {E}{2}}}$$

จากการสร้างทางเรขาคณิตที่กำหนดความผิดปกติแบบเยื้องศูนย์นั้น เห็นได้ชัดว่าเวกเตอร์และอยู่ด้านเดียวกันของ แกน xจากนั้นจึงสรุปได้ว่าเวกเตอร์และอยู่ในควอดแรนต์เดียวกัน ดังนั้นจึงได้ว่า ${\displaystyle (\cos E,\sin E)}$${\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta )}$${\displaystyle \left(\cos {\tfrac {E}{2}},\sin {\tfrac {E}{2}}\right)}$${\displaystyle \left(\cos {\tfrac {\theta }{2}},\sin {\tfrac {\theta }{2}}\right)}$

${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\cdot \tan {\frac {E}{2}}}$

37

และนั่น

${\displaystyle \theta =2\cdot \arg \left({\sqrt {1-e}}\cdot \cos {\frac {E}{2}},{\sqrt {1+e}}\cdot \sin {\frac {E}{2}}\right)+n\cdot 2\pi }$

38

${\displaystyle E=2\cdot \arg \left({\sqrt {1+e}}\cdot \cos {\frac {\theta }{2}},{\sqrt {1-e}}\cdot \sin {\frac {\theta }{2}}\right)+n\cdot 2\pi }$

39

โดยที่ " " คือค่าพิกัดเชิงขั้วของเวกเตอร์และnถูกเลือกเพื่อให้${\displaystyle \arg(x,y)}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle |E-\theta |<\pi }$

สำหรับการคำนวณเชิงตัวเลขของฟังก์ชันมาตรฐานATAN2(y,x) (หรือในรูปแบบความแม่นยำสองเท่า DATAN2(y,x)) ที่มีอยู่ในภาษาโปรแกรม FORTRANเป็นต้นสามารถใช้ได้ ${\displaystyle \arg(x,y)}$

โปรดทราบว่านี่คือการจับคู่ระหว่างช่วงต่างๆ $${\displaystyle \left[-\infty <\theta <\infty \right]\longleftrightarrow \left[-\infty <E<\infty \right]}$$

สำหรับวงโคจรไฮเปอร์โบลิกจะได้จาก ( 28 ) และ ( 29 ) ว่า

${\displaystyle r=a\cdot (e\cdot \cosh E-1)}$

40

และด้วยเหตุนี้

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {x}{r}}={\frac {e-\cosh E}{e\cdot \cosh E-1}}}$

41

เนื่องจาก และและมีเครื่องหมายเดียวกัน จึงสรุปได้ว่า $${\displaystyle \tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {1-{\frac {e-\cosh E}{e\cdot \cosh E-1}}}{1+{\frac {e-\cosh E}{e\cdot \cosh E-1}}}}={\frac {e\cdot \cosh E-e+\cosh E}{e\cdot \cosh E+e-\cosh E}}={\frac {e+1}{e-1}}\cdot {\frac {\cosh E-1}{\cosh E+1}}={\frac {e+1}{e-1}}\cdot \tanh ^{2}{\frac {E}{2}}}$$${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}}$${\displaystyle \tanh {\frac {E}{2}}}$

${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {e+1}{e-1}}}\cdot \tanh {\frac {E}{2}}}$

42

ความสัมพันธ์นี้สะดวกสำหรับการส่งผ่านระหว่าง "ความผิดปกติที่แท้จริง" และพารามิเตอร์Eซึ่งเชื่อมโยงกับเวลาผ่านความสัมพันธ์ ( 34 ) โปรดทราบว่านี่คือการแมประหว่างช่วงต่างๆ และสามารถคำนวณได้โดยใช้ความสัมพันธ์ $${\displaystyle \left[-\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)<\theta <\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)\right]\longleftrightarrow \left[-\infty <E<\infty \right]}$$${\displaystyle {\tfrac {E}{2}}}$$${\displaystyle \tanh ^{-1}x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)}$$

จากความสัมพันธ์ ( 27 ) จะได้ว่าคาบการโคจรPสำหรับวงโคจรวงรีคือ

${\displaystyle P=2\pi a\cdot {\sqrt {\frac {a}{\alpha }}}}$

43

เนื่องจากพลังงานศักยภาพที่สอดคล้องกับสนามแรงของความสัมพันธ์ ( 1 ) เป็น ไปตาม ( 13 ), ( 14 ), ( 18 ) และ ( 19 ) ว่าผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักยภาพ สำหรับวงโคจรวงรีคือ $${\displaystyle -{\frac {\alpha }{r}}}$$$${\displaystyle {\frac {{V_{r}}^{2}+{V_{t}}^{2}}{2}}-{\frac {\alpha }{r}}}$$

${\displaystyle -{\frac {\alpha }{2a}}}$

44

และจาก ( 13 ), ( 16 ), ( 18 ) และ ( 19 ) ว่าผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์สำหรับวงโคจรไฮเปอร์โบลิกคือ

${\displaystyle {\frac {\alpha }{2a}}}$

45

เมื่อพิจารณาระบบพิกัดเฉื่อย ในระนาบวงโคจรโดยสัมพันธ์กับจุดใกล้ที่สุด จะได้จาก ( 18 ) และ ( 19 ) ว่าส่วนประกอบความเร็วคือ $${\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}$$${\displaystyle {\hat {x}}}$

${\displaystyle V_{x}=V_{r}\cos \theta -V_{t}\sin \theta =-{\sqrt {\frac {\alpha }{p}}}\cdot \sin \theta }$

46

${\displaystyle V_{y}=V_{r}\sin \theta +V_{t}\cos \theta ={\sqrt {\frac {\alpha }{p}}}\cdot (e+\cos \theta )}$

47

สมการของจุดศูนย์กลางเชื่อมโยงความผิดปกติเฉลี่ยกับความผิดปกติที่แท้จริงสำหรับวงโคจรวงรี สำหรับค่าความเยื้องศูนย์กลางเชิงตัวเลขขนาดเล็ก

สำหรับ วงโคจร พาราโบลาให้และใน ( 13 ) เพื่อให้วงโคจรในพิกัดเชิงขั้วคือ ${\displaystyle e=1}$${\displaystyle p=2f}$

$${\displaystyle r={\frac {2\,f}{1+\cos \theta }}}$$

ซึ่งจะทำให้ได้วงโคจรในพิกัดคาร์ทีเซียนดังนี้

$${\displaystyle y^{2}=-4\,f\,(x-f)}$$

นี่คือพาราโบลา^{[ 4 ]}ที่มีความยาวโฟกัสและจุดโฟกัสอยู่ที่จุดกำเนิด พาราโบลาขยายไปถึงลบอนันต์ใน ในแง่ของความผิดปกติที่แท้จริงและระยะทางจุด ใกล้ที่สุด สมการสำหรับพิกัด x และ y คือ^{[ 5 ]}${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle q=f}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=q\,{\Big (}1-\tan ^{2}{\Big (}{\frac {\theta }{2}}{\Big )}{\Big )}\\y&=2\,q\,\tan {\Big (}{\frac {\theta }{2}}{\Big )}\end{aligned}}}$$

ตามความจำเป็น

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {y}{x}}&=\tan \theta \\r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=q\,\sec ^{2}{\Big (}{\frac {\theta }{2}}{\Big )}={\frac {2\,q}{1+\cos \theta }}\end{aligned}}}$$

พื้นที่ที่รัศมีเวกเตอร์กวาดออกไปจากจุดใกล้ที่สุดของวงโคจรคือ ${\displaystyle S(\theta )}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}S(\theta )=\int \limits _{0}^{\theta }{\frac {1}{2}}r^{2}\,d\theta \,&=\int \limits _{0}^{\theta }{\frac {1}{2}}\,q^{2}\,\sec ^{4}{\Big (}{\frac {\theta }{2}}{\Big )}\,d\,\theta =\int \limits _{0}^{\theta }q^{2}\,{\Big (}1+\tan ^{2}{\Big (}{\frac {\theta }{2}}{\Big )}{\Big )}\;d\,\tan {\Big (}{\frac {\theta }{2}}{\Big )}\\&=\,q^{2}{\Big (}\tan {\Big (}{\frac {\theta }{2}}{\Big )}+{\frac {1}{3}}\,\tan ^{3}{\Big (}{\frac {\theta }{2}}{\Big )}{\Big )}\end{aligned}}}$$

ตามกฎข้อที่สองของเคปเลอร์ที่ว่า พื้นที่เท่ากันในเวลาเท่ากัน ดังนั้นค่านี้จะต้องแปรผันตรงกับเวลาตั้งแต่จุดใกล้ที่สุดของวงโคจร ให้เป็นค่าคงที่ของการแปรผันตรง ดังนั้น ${\displaystyle t}$${\displaystyle q^{2}K}$

$${\displaystyle S(\theta )=q^{2}\,K\,t}$$$${\displaystyle }$$

การหาอนุพันธ์เทียบกับ t จะได้

$${\displaystyle {\frac {d\,\theta }{d\,t}}=2\,K\,\cos ^{4}{\Big (}{\frac {\theta }{2}}{\Big )}}$$

ตามหลักการอนุรักษ์พลังงาน ผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์จะต้องไม่ขึ้นอยู่กับซึ่งกำหนดโดย ${\displaystyle KE}$${\displaystyle PE}$${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}KE&={\frac {1}{2}}({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})={\frac {q^{2}}{2}}\,\sec ^{6}{\Big (}{\frac {\theta }{2}}{\Big )}\,{\Big (}{\frac {d\,\theta }{d\,t}}{\Big )}^{2}=2\,q^{2}\,K^{2}\,\cos ^{2}{\Big (}{\frac {\theta }{2}}{\Big )}\\PE&={\frac {-G\,M}{r}}={\frac {-G\,M}{q}}\,\cos ^{2}{\Big (}{\frac {\theta }{2}}{\Big )}\end{aligned}}}$$

เพราะการที่จะเป็นอิสระจากสิ่งนั้นได้จะต้องเป็นเช่นนั้น ${\displaystyle KE+PE}$${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle K={\sqrt {\frac {G\,M}{2\,q^{3}}}}}$$

ซึ่งทำให้พลังงานรวมเป็นศูนย์ตามที่คาดไว้ จากนั้น^{[ 6 ]}

$${\displaystyle \tan {\Big (}{\frac {\theta }{2}}{\Big )}+{\frac {1}{3}}\,\tan ^{3}{\Big (}{\frac {\theta }{2}}{\Big )}={\sqrt {\frac {G\,M}{2\,q^{3}}}}\,t}$$

นี่คือสมการของบาร์เกอร์และสามารถหาคำตอบที่แน่นอนสำหรับ ได้ จงแก้ สมการกำลังสามนี้โดยกำหนดให้ เป็นค่าคงที่ ${\displaystyle \theta (t)}$

$${\displaystyle \tan {\Big (}{\frac {\theta }{2}}{\Big )}=B-{\frac {1}{B}}}$$

เพื่อให้ได้มา

$${\displaystyle B^{3}-{\frac {1}{B^{3}}}\,=2\,A\;{\text{for}}\;A={\frac {3}{2}}\,{\sqrt {\frac {G\,M}{2\,q^{3}}}}\,t}$$

นี่คือสมการกำลังสองที่มีคำตอบดังนี้ ${\displaystyle B^{3}}$

$${\displaystyle B={\sqrt[{3}]{A+{\sqrt {A^{2}+1}}}}}$$

นี่คือ " ปัญหาค่าเริ่มต้น " สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ ( 1 ) ซึ่งเป็นสมการอันดับหนึ่งสำหรับ "เวกเตอร์สถานะ" 6 มิติเมื่อเขียนเป็น ${\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {v} )}$

${\displaystyle {\dot {\mathbf {v} }}=-\alpha \cdot {\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}}$

48

${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {v} }$

49

สำหรับค่าใดๆ ของ "เวกเตอร์สถานะ" เริ่มต้นวงโคจรของเคปเลอร์ที่สอดคล้องกับคำตอบของปัญหาค่าเริ่มต้นนี้ สามารถหาได้โดยใช้อัลกอริทึมต่อไปนี้: ${\displaystyle (\mathbf {r} _{0},\mathbf {v} _{0})}$

กำหนดเวกเตอร์หน่วยตั้งฉากผ่าน ${\displaystyle ({\hat {\mathbf {r} }},{\hat {\mathbf {t} }})}$

${\displaystyle \mathbf {r} _{0}=r{\hat {\mathbf {r} }}}$

50

${\displaystyle \mathbf {v} _{0}=V_{r}{\hat {\mathbf {r} }}+V_{t}{\hat {\mathbf {t} }}}$

51

ด้วยและ${\displaystyle r>0}$${\displaystyle V_{t}>0}$

จาก ( 13 ), ( 18 ) และ ( 19 ) จะเห็นได้ว่าโดยการตั้งค่า

${\displaystyle p={\frac {{(r\cdot V_{t})}^{2}}{\alpha }}}$

52

และโดยการกำหนดและเช่นนั้น ${\displaystyle e\geq 0}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle e\cos \theta ={\frac {V_{t}}{V_{0}}}-1}$

53

${\displaystyle e\sin \theta ={\frac {V_{r}}{V_{0}}}}$

54

ที่ไหน

${\displaystyle V_{0}={\sqrt {\frac {\alpha }{p}}}}$

55

จะได้วงโคจรของเคปเลอร์ซึ่งสำหรับความผิดปกติที่แท้จริงจะ มีค่า rและ ค่า เดียวกันกับที่กำหนดโดย ( 50 ) และ ( 51 ) ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle V_{r}}$${\displaystyle V_{t}}$

ถ้าวงโคจรของเคปเลอร์นี้มีเวกเตอร์เดียวกันสำหรับความผิดปกติที่แท้จริงนี้เช่นเดียวกับที่กำหนดโดย ( 50 ) และ ( 51 ) เวกเตอร์สถานะของวงโคจรของเคปเลอร์จะมีค่าที่ต้องการสำหรับความผิดปกติที่แท้จริง ${\displaystyle ({\hat {\mathbf {r} }},{\hat {\mathbf {t} }})}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {v} )}$${\displaystyle (\mathbf {r} _{0},\mathbf {v} _{0})}$${\displaystyle \theta }$

ระบบพิกัดคงที่แบบมาตรฐานในระนาบวงโคจร (โดยมีทิศทางจากจุดศูนย์กลางของทรงกลมเนื้อเดียวกันไปยังจุดใกล้ที่สุดของวงโคจร) ซึ่งกำหนดทิศทางของภาคตัดกรวย (วงรี พาราโบลา หรือไฮเปอร์โบลา) สามารถกำหนดได้ด้วยความสัมพันธ์ดังนี้ ${\displaystyle ({\hat {\mathbf {x} }},{\hat {\mathbf {y} }})}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}=\cos \theta {\hat {\mathbf {r} }}-\sin \theta {\hat {\mathbf {t} }}}$

56

${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}=\sin \theta {\hat {\mathbf {r} }}+\cos \theta {\hat {\mathbf {t} }}}$

57

โปรดทราบว่าความสัมพันธ์ ( 53 ) และ ( 54 ) มีจุดเอกฐานเมื่อและ กล่าวคือ ${\displaystyle V_{r}=0}$$${\displaystyle V_{t}=V_{0}={\sqrt {\frac {\alpha }{p}}}={\sqrt {\frac {\alpha }{\frac {{(r\cdot V_{t})}^{2}}{\alpha }}}}}$$

${\displaystyle V_{t}={\sqrt {\frac {\alpha }{r}}}}$

58

ซึ่งก็คือวงโคจรวงกลมที่สอดคล้องกับสถานะเริ่มต้น${\displaystyle (\mathbf {r} _{0},\mathbf {v} _{0})}$

สำหรับเวกเตอร์สถานะใดๆ วงโคจรเคปเลอร์ที่สอดคล้องกับสถานะนี้สามารถคำนวณได้ด้วยอัลกอริทึมที่กำหนดไว้ข้างต้น ขั้นแรก จะกำหนดพารามิเตอร์ จาก และจากนั้นเวกเตอร์หน่วยตั้งฉากในระนาบวงโคจรโดยใช้ความสัมพันธ์ ( 56 ) และ ( 57 ) ${\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {v} )}$${\displaystyle p,e,\theta }$${\displaystyle r,V_{r},V_{t}}$${\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}$

ถ้าตอนนี้สมการการเคลื่อนที่คือ

${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} (\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)}$

59

โดยที่ เป็นฟังก์ชันอื่นนอกเหนือจาก พารามิเตอร์ที่ได้, , , , ซึ่งกำหนดโดยจะเปลี่ยนแปลงไปตามเวลาทั้งหมด ต่างจากกรณีวงโคจรของเคปเลอร์ซึ่งจะมีเพียงพารามิเตอร์ เท่านั้นที่จะเปลี่ยนแปลง $${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)}$$$${\displaystyle -\alpha {\frac {\mathbf {r} }{r^{2}}}}$$${\displaystyle p}$${\displaystyle e}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$${\displaystyle \mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }}}$${\displaystyle \theta }$

วงโคจรของเคปเลอร์ที่คำนวณด้วยวิธีนี้จะมี "เวกเตอร์สถานะ" เดียวกันกับคำตอบของ "สมการการเคลื่อนที่" ( 59 ) ณ เวลาtเรียกว่า "วงโคจรสัมผัส" ณ เวลานี้

แนวคิดนี้มีประโยชน์ในกรณีตัวอย่างเช่น : $${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)=-\alpha {\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}+\mathbf {f} (\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)}$$$${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)}$$

เป็น "แรงรบกวน" เล็กน้อย เช่น แรงดึงดูดอันอ่อนๆ จากวัตถุทางดาราศาสตร์อื่นๆ พารามิเตอร์ของวงโคจรแบบออสคิวเลชันของเคปเลอร์จะเปลี่ยนแปลงอย่างช้าๆ เท่านั้น และวงโคจรแบบออสคิวเลชันของเคปเลอร์เป็นค่าประมาณที่ดีของวงโคจรจริงในช่วงเวลาที่ยาวนานพอสมควร ทั้งก่อนและหลังเวลาออสคิวเลชัน

แนวคิดนี้ยังมีประโยชน์สำหรับจรวดในระหว่างการบินด้วยแรงขับ เพราะจะช่วยบอกว่าจรวดจะโคจรอยู่ในวงโคจรใดของเคปเลอร์หากปิดแรงขับ

สำหรับวงโคจรที่ "ใกล้เคียงกับวงกลม" แนวคิด " เวกเตอร์ความเยื้องศูนย์ " ที่กำหนดไว้นั้นมีประโยชน์ จาก ( 53 ), ( 54 ) และ ( 56 ) จะได้ว่า ${\displaystyle \mathbf {e} =e{\hat {\mathbf {x} }}}$

${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {(V_{t}-V_{0}){\hat {\mathbf {r} }}-V_{r}{\hat {\mathbf {t} }}}{V_{0}}}}$

60

กล่าวคือ เป็นฟังก์ชันที่เรียบและสามารถหาอนุพันธ์ได้ของเวกเตอร์สถานะแม้ว่าสถานะนั้นจะสอดคล้องกับวงโคจรเป็นวงกลมก็ตาม ${\displaystyle \mathbf {e} }$${\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {v} )}$

• ปัญหาวัตถุสองชิ้น
• ปัญหาของเคปเลอร์
• กฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเคปเลอร์
• วงโคจรวงรี
• วิถีโค้งไฮเปอร์โบลา
• วิถีโค้งพาราโบลา
• วิถีรัศมี
• การสร้างแบบจำลองวงโคจร

• เอลยาสเบิร์ก "ทฤษฎีการโคจรของดาวเทียมเทียมของโลก" โครงการแปลทางวิทยาศาสตร์ของอิสราเอล (1967)
• Bate, Roger; Mueller, Donald; White, Jerry (1971). พื้นฐานของดาราศาสตร์พลศาสตร์ . สำนักพิมพ์ Dover Publications, Inc., นิวยอร์ก. ISBN 0-486-60061-0.
• โคเปอร์นิคัส, นิโคเลาส์ (1952), "หนังสือเล่มที่ 1 บทที่ 4 การเคลื่อนที่ของเทหวัตถุบนท้องฟ้าเป็นไปอย่างสม่ำเสมอ เป็นวงกลม และคงอยู่ชั่วนิรันดร์ หรืออาจประกอบขึ้นจากการเคลื่อนที่แบบวงกลม", ว่าด้วยการโคจรของทรงกลมแห่งสวรรค์ , หนังสือสำคัญของโลกตะวันตก เล่มที่ 16, แปลโดย ชาร์ลส์ เกล็น วอลลิส, ชิคาโก: วิลเลียม เบนตัน, หน้า  497–838