ในการวิเคราะห์ข้อมูล คอร์เรโลแกรมคือแผนภูมิแสดง สถิติ ความสัมพันธ์ ตัวอย่าง เช่น ในการวิเคราะห์อนุกรมเวลาแผนภูมิที่แสดงความสัมพันธ์อัตโนมัติ ของตัวอย่าง เทียบกับช่วงเวลา (time lags) เรียกว่า ออโตคอร์ เรโลแกรมหาก พล็อต ความสัมพันธ์ไขว้ผลลัพธ์ที่ได้จะเรียกว่าครอสคอร์เรโลแกรม ${\displaystyle r_{h}}$${\displaystyle h\,}$

แผนภาพสหสัมพันธ์ (Correlogram) เป็นเครื่องมือที่ใช้กันทั่วไปในการตรวจสอบความเป็นสุ่มในชุดข้อมูลหากเป็นแบบสุ่ม ค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติควรอยู่ใกล้ศูนย์สำหรับทุกช่วงเวลา หากไม่เป็นแบบสุ่ม ค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติอย่างน้อยหนึ่งค่าจะไม่เป็นศูนย์อย่างมีนัยสำคัญ

นอกจากนี้ แผนภาพสหสัมพันธ์ยังถูกใช้ใน ขั้นตอน การระบุแบบจำลองสำหรับ แบบจำลอง อนุกรมเวลาแบบถดถอยอัตโนมัติเคลื่อนที่เฉลี่ย ของ Box–Jenkins ค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติควรอยู่ใกล้ศูนย์เพื่อแสดงถึงความเป็นสุ่ม หากนักวิเคราะห์ไม่ตรวจสอบความเป็นสุ่ม ความถูกต้องของข้อสรุปทางสถิติหลายอย่างก็จะน่าสงสัย แผนภาพสหสัมพันธ์เป็นวิธีที่ดีเยี่ยมในการตรวจสอบความเป็นสุ่มดังกล่าว

ใน การ วิเคราะห์หลายตัวแปร เมทริกซ์สหสัมพันธ์ที่แสดงเป็น ภาพ ที่มีการแมปสีอาจเรียกว่า "correlograms" หรือ "corrgrams" ก็ได้^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

แผนภาพความสัมพันธ์สามารถช่วยตอบคำถามต่อไปนี้ได้: ^{[ 4 ]}

• ข้อมูลเหล่านี้เป็นข้อมูลสุ่มหรือไม่?
• การสังเกตนี้เกี่ยวข้องกับการสังเกตที่อยู่ใกล้เคียงหรือไม่?
• การสังเกตนี้เกี่ยวข้องกับการสังเกตที่ห่างออกไปสองรุ่นหรือไม่ (เป็นต้น)
• อนุกรมเวลาที่สังเกตได้นี้เป็นสัญญาณรบกวนสีขาวหรือไม่?
• อนุกรมเวลาที่สังเกตได้มีลักษณะเป็นคลื่นไซน์หรือไม่?
• อนุกรมเวลาที่สังเกตได้นั้นเป็นแบบอัตถารีเกรสชันหรือไม่?
• แบบจำลองใดเหมาะสมที่สุดสำหรับอนุกรมเวลาที่สังเกตได้?
• แบบจำลองคือ

$Y = ค่าคงที่ + ข้อผิดพลาด$

ถูกต้องและเพียงพอหรือไม่?

• สูตรนี้ใช้ได้ผลหรือไม่?${\displaystyle s_{\bar {Y}}=s/{\sqrt {N}}}$

ความสุ่ม (รวมถึงแบบจำลองคงที่ ความแปรปรวนคงที่ และการกระจายคงที่) เป็นหนึ่งในสี่สมมติฐานที่มักเป็นพื้นฐานของกระบวนการวัดทั้งหมด สมมติฐานเรื่องความสุ่มมีความสำคัญอย่างยิ่งด้วยเหตุผลสามประการดังต่อไปนี้:

• การทดสอบทางสถิติมาตรฐานส่วนใหญ่อาศัยสมมติฐานเรื่องความสุ่ม ความถูกต้องของข้อสรุปจากการทดสอบนั้นเชื่อมโยงโดยตรงกับความถูกต้องของสมมติฐานเรื่องความสุ่ม
• สูตรทางสถิติที่ใช้กันทั่วไปหลายสูตรอาศัยสมมติฐานเรื่องความสุ่ม โดยสูตรที่ใช้กันมากที่สุดคือสูตรสำหรับการหาค่าความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของค่าเฉลี่ยตัวอย่าง:

${\displaystyle s_{\bar {Y}}=s/{\sqrt {N}}}$

โดยที่sคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล แม้ว่าจะมีการใช้สูตรนี้อย่างแพร่หลาย แต่ผลลัพธ์ที่ได้จากการใช้สูตรนี้จะไม่มีประโยชน์ใดๆ เว้นแต่ว่าสมมติฐานเรื่องความสุ่มนั้นจะเป็นจริง

• สำหรับข้อมูลตัวแปรเดียว โมเดลเริ่มต้นคือ

$Y = ค่าคงที่ + ข้อผิดพลาด$

หากข้อมูลไม่ใช่ข้อมูลสุ่ม โมเดลนี้จะไม่ถูกต้องและใช้ไม่ได้ และค่าประมาณของพารามิเตอร์ (เช่น ค่าคงที่) จะไม่มีความหมายและใช้ไม่ได้เช่นกัน

สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์อัตโนมัติที่ช่วงเวลาhกำหนดโดย

${\displaystyle r_{h}=c_{h}/c_{0}\,}$

โดยที่c _hคือฟังก์ชันความแปรปรวนร่วมอัตโนมัติ

${\displaystyle c_{h}={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{Nh}\left(Y_{t}-{\bar {Y}}\right)\left(Y_{t+h}-{\bar {Y}}\right)}$

และc ₀คือฟังก์ชันความแปรปรวน

${\displaystyle c_{0}={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}\left(Y_{t}-{\bar {Y}}\right)^{2}}$

ค่าr _h ที่ได้ จะมีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง +1

บางแหล่งข้อมูลอาจใช้สูตรต่อไปนี้สำหรับฟังก์ชันความแปรปรวนร่วมอัตโนมัติ:

${\displaystyle c_{h}={\frac {1}{Nh}}\sum _{t=1}^{Nh}\left(Y_{t}-{\bar {Y}}\right)\left(Y_{t+h}-{\bar {Y}}\right)}$

แม้ว่าคำจำกัดความนี้จะมีอคติ น้อยกว่า แต่สูตร (1/ N ) ก็มีคุณสมบัติทางสถิติที่น่าสนใจบางประการ และเป็นรูปแบบที่ใช้กันทั่วไปมากที่สุดในเอกสารทางสถิติ ดูรายละเอียดได้ในหน้า 20 และ 49–50 ใน Chatfield

ตรงกันข้ามกับคำจำกัดความข้างต้น คำจำกัดความนี้ช่วยให้เราคำนวณได้ง่ายขึ้นเล็กน้อย ลองพิจารณาตัวอย่างโดยที่สำหรับจากนั้น ให้ ${\displaystyle c_{h}}$${\displaystyle Y_{1},\จุด ,Y_{N}}$${\displaystyle Y_{i}\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle i=1,\dots ,N}$

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}Y_{1}-{\bar {Y}}&\cdots &Y_{N}-{\bar {Y}}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{n\times N}}$

จากนั้นเราคำนวณเมทริกซ์แกรม สุดท้ายจะถูกคำนวณเป็นค่าเฉลี่ยตัวอย่างของแนวทแยงมุมที่ th ของตัวอย่างเช่นแนวทแยงมุมที่ th (แนวทแยงมุมหลัก) ของมีองค์ประกอบ และค่าเฉลี่ยตัวอย่างของแนวทแยงมุมนี้คือ แนวทแยงมุม ที่st (ทางด้านขวาของแนวทแยงมุมหลัก) ของมีองค์ประกอบ และค่าเฉลี่ยตัวอย่างของแนวทแยงมุมนี้คือและอื่นๆ ${\displaystyle Q=X^{\top }X}$${\displaystyle c_{h}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle N}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle N-1}$${\displaystyle c_{1}}$

ในกราฟเดียวกันนี้ เราสามารถลากเส้นขอบเขตบนและล่างสำหรับค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติพร้อมระดับนัยสำคัญได้: ${\displaystyle \alpha \,}$

${\displaystyle B=\pm z_{1-\alpha /2}SE(r_{h})\,}$โดยที่ เป็นค่าประมาณของความสัมพันธ์อัตโนมัติที่ช่วงเวลาล่าช้า${\displaystyle r_{h}\,}$${\displaystyle h\,}$

หากค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติสูงกว่า (ต่ำกว่า) ขอบเขตบน (ล่าง) นี้ สมมติฐานว่างที่ว่าไม่มีสหสัมพันธ์อัตโนมัติที่ช่วงเวลาล่าช้าที่กำหนดและเกินกว่านั้น จะถูกปฏิเสธที่ระดับนัยสำคัญ การทดสอบนี้เป็นการทดสอบโดยประมาณและสมมติว่าอนุกรมเวลาเป็นแบบเกาส์เซียน ${\displaystyle \alpha \,}$

ในข้างต้นz _{1− α /2}คือควอนไทล์ของการแจกแจงปกติและ SE คือค่าความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน ซึ่งสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรของBartlett สำหรับกระบวนการ MA( ℓ )

${\displaystyle SE(r_{1})={\frac {1}{\sqrt {N}}}}$

${\displaystyle SE(r_{h})={\sqrt {\frac {1+2\sum _{i=1}^{h-1}r_{i}^{2}}{N}}}}$สำหรับ${\displaystyle h>1.\,}$

จากตัวอย่างที่แสดงในกราฟ เราสามารถปฏิเสธสมมติฐานหลักที่ว่าไม่มีความสัมพันธ์อัตโนมัติระหว่างจุดเวลาที่ห่างกันไม่เกิน 4 ได้ สำหรับช่วงเวลาที่ยาวกว่านั้นส่วนใหญ่ เราไม่สามารถปฏิเสธสมมติฐานหลักที่ว่าไม่มีความสัมพันธ์อัตโนมัติ ได้

โปรดทราบว่ามีสูตรที่แตกต่างกันสองสูตรสำหรับการสร้างช่วงความเชื่อมั่น:

1. หากใช้โคเรโลแกรมเพื่อทดสอบความเป็นสุ่ม (กล่าวคือข้อมูล ไม่มี ความสัมพันธ์กับเวลา ) แนะนำให้ใช้สูตรต่อไปนี้:

${\displaystyle \pm {\frac {z_{1-\alpha /2}}{\sqrt {N}}}}$

โดยที่Nคือขนาดของกลุ่มตัวอย่างzคือฟังก์ชันควอนไทล์ของการแจกแจงปกติมาตรฐานและ α คือระดับนัยสำคัญในกรณีนี้ ช่วงความเชื่อมั่นจะมีขนาดความกว้างคงที่ซึ่งขึ้นอยู่กับขนาดของกลุ่มตัวอย่าง

2. แผนภาพสหสัมพันธ์ (Correlogram) ยังถูกนำมาใช้ในขั้นตอนการระบุแบบจำลองสำหรับการปรับ แบบจำลอง ARIMA ด้วย ในกรณีนี้จะถือว่าข้อมูลเป็น แบบจำลองค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ และควรสร้างช่วงความเชื่อมั่นดังต่อไปนี้:

${\displaystyle \pm z_{1-\alpha /2}{\sqrt {{\frac {1}{N}}\left(1+2\sum _{i=1}^{k}r_{i}^{2}\right)}}}$

โดยที่kคือค่าความล่าช้า ในกรณีนี้ ช่วงความเชื่อมั่นจะเพิ่มขึ้นเมื่อค่าความล่าช้าเพิ่มขึ้น

แผนภาพสหสัมพันธ์ (Correlogram) มีอยู่ในไลบรารีทางสถิติทั่วไปส่วนใหญ่

คอร์เรโลแกรม:

• python pandas : pandas.plotting.autocorrelation_plot^{[ 5 ]}
• R : ฟังก์ชันacfและpacf

คอร์แกรม:

• python seaborn : heatmap,pairplot
• R : corrgram^{[ 2 ] [ 3 ]}

• ฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติบางส่วน
• พล็อตล่าช้า
• แผนภาพสเปกตรัม
• เนื้อเรื่องย่อยตามฤดูกาล
• ความสัมพันธ์แบบปรับขนาด
• วาเรียแกรม

• Hanke, John E.; Reitsch, Arthur G.; Wichern, Dean W. การพยากรณ์ทางธุรกิจ (ฉบับที่ 7). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall.
• Box, GEP; Jenkins, G. (1976). การวิเคราะห์อนุกรมเวลา: การพยากรณ์และการควบคุม . Holden-Day.
• Chatfield, C. (1989). การวิเคราะห์อนุกรมเวลา: บทนำ (ฉบับที่สี่). นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: Chapman & Hall.

• แผนภาพความสัมพันธ์อัตโนมัติ

 บทความนี้ได้นำเนื้อหาที่เป็นสาธารณสมบัติจากสถาบันมาตรฐานและเทคโนโลยีแห่งชาติ มาใช้