ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตทฤษฎีบทของแลงก์ซึ่งเสนอโดยเซอร์จ์ แลงก์กล่าวว่า ถ้าGเป็นกลุ่มพีชคณิต เรียบที่เชื่อมต่อกัน เหนือฟิลด์จำกัด${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$จากนั้นจึงเขียน${\displaystyle \sigma :G\to G,\,x\mapsto x^{q}}$สำหรับฟรอเบนิอุสการเปลี่ยนแปลงรูปแบบของพันธุ์ต่างๆ

${\displaystyle G\to G,\,x\mapsto x^{-1}\sigma (x)}$ 

เป็นฟังก์ชันทั่วถึง โปรดทราบว่าเคอร์เนลของแผนที่นี้ (เช่น${\displaystyle G=G({\overline {\mathbf {F} _{q}}})\to G({\overline {\mathbf {F} _{q}}})}$) คืออย่างแม่นยำ${\displaystyle G(\mathbf {F} _{q})}$.

ทฤษฎีบทนี้บ่งชี้ว่า${\displaystyle H^{1}(\mathbf {F} _{q},G)=H_{\mathrm {{\acute {e}}t} }^{1}(\operatorname {Spec} \mathbf {F} _{q},G)}$  หายไป^{[ 1 ]} และด้วยเหตุนี้G -bundle ใดๆ บน${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbf {F} _{q}}$มีโครงสร้างเหมือนกับโครงสร้างที่ไม่สำคัญ นอกจากนี้ ทฤษฎีบทนี้ยังมีบทบาทพื้นฐานในทฤษฎีกลุ่มจำกัดประเภทลีอีก ด้วย

ไม่จำเป็นว่าGจะต้องเป็นเชิงเส้นตรงเสมอไป ดังนั้นทฤษฎีบทนี้จึงใช้ได้กับวาไรตี้อาเบเลียน (เช่นเส้นโค้งวงรี ) ด้วย อันที่จริง การประยุกต์ใช้ในลักษณะนี้เป็นแรงจูงใจเริ่มต้นของ Lang หากGเป็นเชิงเส้นตรง ทฤษฎีบท Frobenius ก็จะใช้ได้${\displaystyle \sigma }$สามารถแทนที่ด้วยแผนที่ทั่วถึงใดๆ ที่มีจุดตรึงจำนวนจำกัด (ดูรายละเอียดเพิ่มเติมด้านล่าง)

หลักฐาน (ที่แสดงด้านล่าง) นั้นใช้ได้ผลจริงสำหรับทุกกรณี${\displaystyle \sigma }$ซึ่งเหนี่ยวนำให้เกิด^ตัวดำเนินการนิลโพเทนต์บนพีชคณิตลีของG ^{[ 2} ]

สไตน์เบิร์ก( 1968 )ได้เสนอการปรับปรุงที่เป็นประโยชน์ต่อทฤษฎีบทนี้ 

สมมติว่าFเป็นเอนโดมอร์ฟิซึมของกลุ่มพีชคณิตGแผนที่Langคือแผนที่จากGไปยังGโดยที่gเป็นg ⁻¹ F ( g )

ทฤษฎีบท Lang –Steinbergระบุ ว่า ^{[ 3 ]}ถ้าFเป็นฟังก์ชันทั่วถึงและมีจุดคงที่จำนวนจำกัด และGเป็นกลุ่มพีชคณิตเชิงเส้นที่เชื่อมต่อกันเหนือฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตแผนที่ Lang จะเป็นฟังก์ชันทั่วถึง

กำหนด:

${\displaystyle f_{a}:G\to G,\quad f_{a}(x)=x^{-1}a\sigma (x).}$

จากนั้น โดยการระบุปริภูมิสัมผัสที่จุดaกับปริภูมิสัมผัสที่องค์ประกอบเอกลักษณ์เราจะได้ว่า:

${\displaystyle (df_{a})_{e}=d(h\circ (x\mapsto (x^{-1},a,\sigma (x))))_{e}=dh_{(e,a,e)}\circ (-1,0,d\sigma _{e})=-1+d\sigma _{e}}$ 

ที่ไหน${\displaystyle h(x,y,z)=xyz}$ตามมาด้วย${\displaystyle (df_{a})_{e}}$เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง เนื่องจากอนุพันธ์ของฟรอเบนิอุส${\displaystyle \sigma }$หายไป ตั้งแต่${\displaystyle f_{a}(bx)=f_{f_{a}(b)}(x)}$นอกจากนี้ เรายังเห็นว่า${\displaystyle (df_{a})_{b}}$เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงสำหรับb ใด ๆ^{[ 4 ]}ให้Xเป็นส่วนปิดของภาพของ${\displaystyle f_{1}}$จุดเรียบของXก่อให้เกิดเซตย่อยแบบเปิดและหนาแน่น ดังนั้นจึงมีค่าb บางค่า ในGที่ทำให้${\displaystyle f_{1}(b)}$เป็นจุดเรียบของXเนื่องจากปริภูมิสัมผัสของXที่${\displaystyle f_{1}(b)}$และปริภูมิสัมผัสของGที่จุด bมีมิติเท่ากัน ดังนั้นXและGจึงมีมิติเท่ากัน เนื่องจากGเป็นปริภูมิเรียบ และเนื่องจากGเป็นปริภูมิเชื่อมต่อ ภาพของ${\displaystyle f_{1}}$จากนั้นจะมีเซตย่อยแบบเปิดและหนาแน่นUของG ทีนี้ เมื่อกำหนดสมาชิกa ใดๆ ในG แล้ว ด้วยเหตุผลเดียวกัน ภาพของ a ก็คือ...${\displaystyle f_{a}}$ประกอบด้วยเซตย่อยแบบเปิดและหนาแน่นVของGจุดตัด${\displaystyle U\cap V}$ดังนั้นจึงไม่ว่างเปล่า แต่สิ่งนี้ก็หมายความว่าaอยู่ในภาพของ${\displaystyle f_{1}}$.