เลวี (ไม่เปลี่ยนตำแหน่ง)
ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น
ฟังก์ชันการกระจายสะสม
พารามิเตอร์	${\displaystyle \mu }$ตำแหน่ง; มาตราส่วน${\displaystyle c>0\,}$
สนับสนุน	${\displaystyle x\in (\mu ,\infty )}$
พีดี	${\displaystyle {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}~~{\frac {e^{-{\frac {c}{2(x-\mu )}}}}{(x-\mu )^{3/2}}}}$
ซีดีเอฟ	${\displaystyle {\textrm {erfc}}\left({\sqrt {\frac {c}{2(x-\mu )}}}\right)}$
ควอนไทล์	${\displaystyle \mu +{\frac {\sigma }{2\left({\textrm {erfc}}^{-1}(p)\right)^{2}}}}$
หมายถึง	${\displaystyle \infty }$
ค่ามัธยฐาน	${\displaystyle \mu +c/2({\textrm {erfc}}^{-1}(1/2))^{2}\,}$
โหมด	${\displaystyle \mu +{\frac {c}{3}}}$
ความแปรปรวน	${\displaystyle \infty }$
ความเบี่ยงเบน	ไม่ได้กำหนด
ความโค้งส่วนเกิน	ไม่ได้กำหนด
เอนโทรปี	${\displaystyle {\frac {1+3\gamma +\ln(16\pi c^{2})}{2}}}$ ค่าคงที่ออยเลอร์-มาสเชโรนีอยู่ ที่ไหน${\displaystyle \gamma }$
เอ็มจีเอฟ	ไม่ได้กำหนด
ซีเอฟ	${\displaystyle e^{i\mu t-{\sqrt {-2ict}}}}$

ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติการแจกแจงเลวี (Lévy distribution ) ซึ่งตั้งชื่อตามพอล เลวี (Paul Lévy) เป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่อง สำหรับ ตัวแปรสุ่มที่ไม่เป็นลบใน สเปก โทรสโก ปี การแจกแจงนี้ โดยมีความถี่เป็นตัวแปรตาม เรียกว่า โปรไฟล์แวนเดอร์วาลส์ (van der Waals profile ) ^{[หมายเหตุ 1 ]} เป็นการแจกแจงแบบอินเวอร์สแกมมา (inverse-gamma distribution)และเป็นการแจกแจงแบบเสถียร (stable distribution )

ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของการแจกแจงแบบเลวีเหนือโดเมนคือ ${\displaystyle x\geq \mu }$

$${\displaystyle f(x;\mu ,c)={\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\,{\frac {e^{-{\frac {c}{2(x-\mu )}}}}{(x-\mu )^{3/2}}},}$$

โดยที่เป็นพารามิเตอร์ตำแหน่งและเป็นพารามิเตอร์มาตราส่วนฟังก์ชันการกระจายสะสมคือ ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle c}$

$${\displaystyle F(x;\mu ,c)=\operatorname {erfc} \left({\sqrt {\frac {c}{2(x-\mu )}}}\right)=2-2\Phi \left({\sqrt {\frac {c}{(x-\mu )}}}\right),}$$

โดยที่ คือ ฟังก์ชันข้อผิดพลาดเสริมและคือฟังก์ชันลาปลาส ( CDFของการแจกแจงปกติ มาตรฐาน ) พารามิเตอร์การเลื่อนมีผลทำให้เส้นโค้งเลื่อนไปทางขวาเป็นจำนวนหนึ่งและเปลี่ยนช่วงการรองรับเป็นช่วง [ ,  ) เช่นเดียวกับ การแจกแจงเสถียรทั้งหมดการแจกแจงเลวีมีรูปแบบมาตรฐานf ( x ; 0, 1)ซึ่งมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ${\displaystyle \operatorname {erfc} (z)}$${\displaystyle \Phi (x)}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \infty }$

$${\displaystyle f(x;\mu ,c)\,dx=f(y;0,1)\,dy,}$$

โดยที่yถูกกำหนดดังนี้

$${\displaystyle y={\frac {x-\mu }{c}}.}$$

ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของการแจกแจงแบบเลวี (Lévy distribution) กำหนดโดย

$${\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=e^{i\mu t-{\sqrt {-2ict}}}.}$$

โปรดทราบว่าฟังก์ชันลักษณะเฉพาะสามารถเขียนในรูปแบบเดียวกันกับที่ใช้สำหรับการแจกแจงเสถียรที่มีและ: ${\displaystyle \alpha =1/2}$${\displaystyle \beta =1}$

$${\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=e^{i\mu t-|ct|^{1/2}(1-i\operatorname {sign} (t))}.}$$

สมมติว่าโมเมนต์ลำดับที่nของการแจกแจง Lévy ที่ไม่ได้เลื่อนนั้น ถูกกำหนดอย่างเป็นทางการโดย ${\displaystyle \mu =0}$

$${\displaystyle m_{n}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-c/2x}x^{n}}{x^{3/2}}}\,dx,}$$

ซึ่งลู่เข้าสู่ค่าอนันต์สำหรับทุกค่าดังนั้นจึงไม่มีโมเมนต์จำนวนเต็มของการแจกแจงเลวี (มีเพียงโมเมนต์เศษส่วนบางส่วนเท่านั้น) ${\displaystyle n\geq 1/2}$

ฟังก์ชันสร้างโมเมนต์จะถูกกำหนดอย่างเป็นทางการโดย

$${\displaystyle M(t;c)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-c/2x+tx}}{x^{3/2}}}\,dx,}$$

อย่างไรก็ตาม ค่านี้จะลู่เข้าสู่ค่าอนันต์ และจึงไม่สามารถนิยามได้ในช่วงรอบศูนย์ ดังนั้นฟังก์ชันสร้างโมเมนต์จึงไม่สามารถนิยามได้จริง ๆ ${\displaystyle t>0}$

เช่นเดียวกับ การแจกแจงแบบเสถียรทั้งหมดยกเว้นการแจกแจงแบบปกติปีกของฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นแสดงพฤติกรรมหางหนาที่ลดลงตามกฎกำลัง:

$${\displaystyle f(x;\mu ,c)\sim {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\,{\frac {1}{x^{3/2}}}}$$เช่น${\displaystyle x\to \infty ,}$

ซึ่งแสดงให้เห็นว่าการแจกแจงแบบ Lévy ไม่เพียงแต่มีหางหนัก เท่านั้น แต่ยังมีหางหนา อีกด้วย ดังแสดงในแผนภาพด้านล่าง ซึ่งแสดงฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นสำหรับค่าต่างๆ ของcและบนกราฟลอการิทึมคู่ : ${\displaystyle \mu =0}$

การแจกแจงแบบ Lévy มาตรฐานเป็นไปตามเงื่อนไขของความเสถียร :

$${\displaystyle (X_{1}+X_{2}+\dotsb +X_{n})\sim n^{1/\alpha }X,}$$

ตัวแปรมาตรฐาน Lévy ที่เป็นอิสระที่ มี${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n},X}$${\displaystyle \alpha =1/2.}$

• ถ้าเช่นนั้น${\displaystyle X\sim \operatorname {Levy} (\mu ,c)}$${\displaystyle kX+b\sim \operatorname {Levy} (k\mu +b,kc).}$
• ถ้าเช่นนั้น( การแจกแจงแกมมาผกผัน ) ในที่นี้ การแจกแจงเลวีเป็นกรณีพิเศษของ การแจกแจงเพี ยร์สันประเภท V${\displaystyle X\sim \operatorname {Levy} (0,c)}$${\displaystyle X\sim \operatorname {Inv-Gamma} (1/2,c/2)}$
• ถ้า( การแจกแจงแบบปกติ ) แล้ว${\displaystyle Y\sim \operatorname {Normal} (\mu ,\sigma ^{2})}$${\displaystyle (Y-\mu )^{-2}\sim \operatorname {Levy} (0,1/\sigma ^{2}).}$
• ถ้าเช่นนั้น${\displaystyle Y\sim \operatorname {Normal} (\mu ,1/c)}$${\displaystyle (Y-\mu )^{-2}\sim \operatorname {Levy} (0,c)}$
• ถ้าเช่นนั้น( การกระจายที่เสถียร )${\displaystyle X\sim \operatorname {Levy} (\mu ,c)}$${\displaystyle X\sim \operatorname {Stable} (1/2,1,c,\mu )}$
• ถ้าเช่นนั้น( การแจกแจงไคกำลังสองผกผันแบบปรับขนาด )${\displaystyle X\sim \operatorname {Levy} (0,c)}$${\displaystyle X\,\sim \,\operatorname {Scale-inv-\chi ^{2}} (1,c)}$
• ถ้าเช่นนั้น( การแจกแจงปกติแบบพับ )${\displaystyle X\sim \operatorname {Levy} (\mu ,c)}$${\displaystyle (X-\mu )^{-1/2}\sim \operatorname {FoldedNormal} (0,1/{\sqrt {c}})}$

ตัวอย่างสุ่มจากการกระจาย Lévy สามารถสร้างได้โดยใช้การสุ่มแบบแปลงผกผันเมื่อกำหนดตัวแปรสุ่มUที่ดึงมาจากการกระจายแบบเอกรูปในช่วงหน่วย (0, 1] ตัวแปรXที่กำหนดโดย^{[ 1 ]}

${\displaystyle X=F^{-1}(U)={\frac {c}{(\Phi ^{-1}(1-U/2))^{2}}}+\mu }$

มีการแจกแจงแบบ Lévy โดยมีตำแหน่งและมาตราส่วนนี่คือฟังก์ชันการแจกแจงสะสมของการแจกแจงปกติมาตรฐาน ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle c}$${\displaystyle \Phi (x)}$

• ความถี่ของการกลับทิศของสนามแม่เหล็กโลกดูเหมือนจะเป็นไปตามการกระจายแบบเลวี (Lévy distribution)
• เวลาที่การเคลื่อนที่แบบบราวน์ ไป ถึงจุดใดจุดหนึ่งซึ่งอยู่ห่างจากจุดเริ่มต้นจะมีการแจกแจงแบบเลวี (Lévy distribution) โดยมี(สำหรับการเคลื่อนที่แบบบราวน์ที่มีการเลื่อน (drift) เวลาดังกล่าวอาจมีการแจกแจงแบบเกาส์เซียนผกผัน (inverse Gaussian distribution ) ซึ่งมีการแจกแจงแบบเลวีเป็นค่าลิมิต)${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle c=\alpha ^{2}}$
• ความยาวของเส้นทางที่โฟตอนเคลื่อนที่ในตัวกลางขุ่นเป็นไปตามการกระจายแบบเลวี^{[ 2 ]}
• กระบวนการCauchyสามารถนิยามได้ว่าเป็นการเคลื่อนที่แบบ Brownian ที่อยู่ภายใต้กระบวนการที่เกี่ยวข้องกับการกระจายแบบ Lévy ^{[ 3 ]}

• ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "เลวีดิสทริบิวชั่น" . แมทเวิลด์ .