แบบจำลองแคสเคดเชิงเส้น-ไม่เชิงเส้น-ปัวซง (LNP)เป็นแบบจำลองเชิงฟังก์ชันแบบง่ายของการตอบสนองสไปค์ของเซลล์ประสาท^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} แบบจำลอง นี้ถูกนำมาใช้อย่างประสบความสำเร็จในการอธิบายลักษณะการตอบสนองของเซลล์ประสาทในเส้นทางประสาทสัมผัสช่วงต้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งระบบการมองเห็นแบบจำลอง LNP มักจะถูกละเว้นเมื่อใช้การหาความสัมพันธ์ย้อนกลับหรือค่าเฉลี่ยที่กระตุ้นด้วยสไปค์เพื่ออธิบายลักษณะการตอบสนองของเซลล์ประสาทด้วยสิ่งเร้าที่เป็นสัญญาณรบกวนสีขาว

แบบจำลอง LNP แบบเรียงลำดับประกอบด้วยสามขั้นตอน ขั้นตอนแรกประกอบด้วยตัวกรองเชิงเส้นหรือสนามรับรู้ เชิงเส้น ซึ่งอธิบายว่าเซลล์ประสาทรวมความเข้มของสิ่งเร้าอย่างไรในพื้นที่และเวลา จากนั้นเอาต์พุตของตัวกรองนี้จะผ่านฟังก์ชันที่ไม่เป็นเชิงเส้น ซึ่งให้ค่าอัตราการเกิดสไปค์ทันทีของเซลล์ประสาทเป็นเอาต์พุต สุดท้าย อัตราการเกิดสไปค์จะถูกนำมาใช้เพื่อสร้างสไปค์ตามกระบวนการปัวซงที่ ไม่เป็นเอกพันธ์

ขั้นตอนการกรองเชิงเส้นจะลดมิติลงโดยลดพื้นที่กระตุ้นเชิงพื้นที่และเวลาที่มีมิติสูงให้เหลือพื้นที่คุณลักษณะที่ มีมิติต่ำกว่า ซึ่งเซลล์ประสาทจะคำนวณการตอบสนองของมัน ส่วนการทำงานแบบไม่เชิงเส้นจะแปลงเอาต์พุตของตัวกรองให้เป็นอัตราการเกิดสไปค์ (ที่ไม่เป็นลบ) และอธิบายปรากฏการณ์ที่ไม่เชิงเส้น เช่น เกณฑ์การเกิดสไปค์ (หรือการปรับแก้) และการอิ่มตัวของการตอบสนอง ตัวสร้างสไปค์แบบปัวซงจะแปลงอัตราการเกิดสไปค์แบบต่อเนื่องให้เป็นอนุกรมของเวลาการเกิดสไปค์ โดยสมมติว่าความน่าจะเป็นของการเกิดสไปค์ขึ้นอยู่กับอัตราการเกิดสไปค์ ณ ขณะนั้นเท่านั้น

แบบจำลองนี้ให้ค่าประมาณกิจกรรมทางประสาทที่มีประโยชน์ ช่วยให้นักวิทยาศาสตร์สามารถประมาณค่าได้อย่างน่าเชื่อถือจากสูตรทางคณิตศาสตร์ที่เรียบง่าย

ให้แทนเวกเตอร์กระตุ้นเชิงพื้นที่และเวลา ณ ช่วงเวลาหนึ่ง และ ให้ แทนตัวกรองเชิงเส้น (ขอบเขตการรับรู้เชิงเส้นของเซลล์ประสาท) ซึ่งเป็นเวกเตอร์ที่มีจำนวนองค์ประกอบเท่ากับให้แทนความไม่เป็นเชิงเส้น ซึ่งเป็นฟังก์ชันสเกลาร์ที่มีเอาต์พุตไม่เป็นลบ จากนั้นแบบจำลอง LNP ระบุว่า ในขีดจำกัดของช่วงเวลาเล็กๆ ${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {k} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle f}$

${\displaystyle P({\textrm {spike}})\propto f(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} )}$.

สำหรับช่วงเวลาที่มีขนาดจำกัด สามารถระบุได้อย่างแม่นยำว่านี่คือความน่าจะเป็นของการสังเกตเห็นค่าyพุ่งสูงขึ้นในแต่ละช่วงเวลา:

${\displaystyle P(y{\textrm {~spikes}})={\frac {\left(\Delta \lambda \right)^{y}}{y!}}e^{-\Delta \lambda }}$

โดยที่และคือขนาดของถังเก็บข้อมูล${\displaystyle \lambda =f(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} )}$${\displaystyle \Delta }$

สำหรับเซลล์ประสาทที่ไวต่อมิติหลายมิติของพื้นที่กระตุ้นขั้นตอนเชิงเส้นของแบบจำลอง LNP สามารถขยายไปสู่ชุดตัวกรองเชิงเส้นได้ และความไม่เป็นเชิงเส้นจะกลายเป็นฟังก์ชันของอินพุตหลายตัว ให้แทนเซตของตัวกรองเชิงเส้นที่จับความสัมพันธ์ของการกระตุ้นของเซลล์ประสาท จากนั้นแบบจำลอง LNP แบบหลายตัวกรองจะอธิบายได้ดังนี้ ${\displaystyle \mathbf {k_{1}} ,\mathbf {k_{2}} ,\ldots ,\mathbf {k_{n}} }$

${\displaystyle P({\textrm {spike}})\propto f(\mathbf {k_{1}} \!\cdot \!\mathbf {x} ,\;\mathbf {k_{2}} \!\cdot \!\mathbf {x} ,\;\ldots ,\;\mathbf {k_{n}} \!\cdot \!\mathbf {x} )}$

หรือ

${\displaystyle P({\textrm {spike}})\propto f(K\mathbf {x} ),}$

โดยที่เป็นเมทริกซ์ที่มีคอลัมน์เป็นตัวกรอง ${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbf {k_{i}} }$

พารามิเตอร์ของแบบจำลอง LNP ประกอบด้วยตัวกรองเชิงเส้นและฟังก์ชันไม่เชิงเส้นปัญหาการประมาณค่า (หรือที่เรียกว่าปัญหาการกำหนดลักษณะเฉพาะของระบบประสาท ) คือปัญหาในการกำหนดพารามิเตอร์เหล่านี้จากข้อมูลที่ประกอบด้วยสิ่งเร้าที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาและชุดของเวลาการเกิดสไปค์ที่สังเกตได้ เทคนิคสำหรับการประมาณค่าพารามิเตอร์ของแบบจำลอง LNP ได้แก่: ${\displaystyle \{{k_{i}}\}}$${\displaystyle f}$

• เทคนิคตามโมเมนต์ เช่นค่าเฉลี่ยที่กระตุ้นด้วยสไปค์หรือความแปรปรวนร่วมที่กระตุ้นด้วยสไปค์^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}
• ด้วย เทคนิคการเพิ่มประสิทธิภาพข้อมูลหรือความน่าจะเป็นสูงสุด^{[ 5 ] [ 6 ]}

• แบบจำลอง LNP เป็นการประมาณค่าแบบง่าย ๆ ที่สามารถคำนวณทางคณิตศาสตร์ได้ สำหรับแบบจำลองเซลล์ประสาทเดี่ยว ที่มีรายละเอียดทางชีวฟิสิกส์มากกว่า เช่น แบบจำลอง integrate-and-fireหรือแบบจำลอง Hodgkin– Huxley
• ถ้าฟังก์ชันไม่เชิงเส้นเป็นฟังก์ชันผกผันคงที่ โมเดล LNP ก็จะเป็นโมเดลเชิงเส้นทั่วไปในกรณีนี้คือฟังก์ชันเชื่อมโยงผกผัน${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$
• ทางเลือกอื่นนอกเหนือจากแบบจำลอง LNP สำหรับลักษณะเฉพาะของระบบประสาทคือ การขยายอนุกรม เคอร์เนล Volterraหรือเคอร์เนล Wienerซึ่งเกิดขึ้นในทฤษฎีการระบุระบบไม่เชิงเส้นแบบคลาสสิก^{[ 7 ]} แบบจำลองเหล่านี้ประมาณลักษณะอินพุต-เอาต์พุตของเซลล์ประสาทโดยใช้การขยายพหุนามที่คล้ายกับอนุกรมเทย์เลอร์แต่ไม่ได้ระบุถึงกระบวนการสร้างสไปค์อย่างชัดเจน

• เครือข่ายประสาทเทียมแบบสุ่ม
• ค่าเฉลี่ยที่ถูกกระตุ้นด้วยสไปค์
• ความแปรปรวนร่วมที่ถูกกระตุ้นด้วยสไปค์