ในทางคณิตศาสตร์ฟิลด์ท้องถิ่นคือฟิลด์โทโพโลยี แบบ ไม่ต่อเนื่อง ของเฮา ส์ ดอร์ ฟ ที่มี ความกะทัดรัดในระดับท้องถิ่น^{[ 1 ]}ฟิลด์ท้องถิ่นมีการประยุกต์ใช้มากมายในทฤษฎีจำนวนพีชคณิตซึ่งเกิดขึ้นตามธรรมชาติในฐานะการเติมเต็มของฟิลด์ทั่วโลก [ ^{2 ] ยิ่ง}ไปกว่านั้น เครื่องมือต่างๆ เช่นการอินทิเกรตและการวิเคราะห์ฟูริเยร์ก็มีให้ใช้งานสำหรับฟังก์ชันที่กำหนดบนฟิลด์ท้องถิ่น

เมื่อกำหนดฟิลด์ท้องถิ่นแล้วสามารถกำหนดค่าสัมบูรณ์ บนฟิลด์นั้นได้ ซึ่งจะทำให้เกิด เมตริกที่สมบูรณ์ซึ่งสร้างโทโพโลยีของฟิลด์นั้น ฟิลด์ท้องถิ่นมีสองประเภทพื้นฐาน ได้แก่ฟิลด์ท้องถิ่นแบบอาร์คิมีเดียนซึ่งค่าสัมบูรณ์เป็นแบบอาร์คิมีเดียนและฟิลด์ท้องถิ่นแบบไม่อาร์คิมีเดีย น ซึ่งค่าสัมบูรณ์ไม่ใช่แบบอาร์คิมีเดียน ฟิลด์ท้องถิ่นแบบไม่อาร์คิมีเดียนยังสามารถกำหนดได้ว่าเป็นฟิลด์ที่สมบูรณ์เมื่อเทียบกับเมตริกที่เหนี่ยวนำโดยการประเมินค่าแบบไม่ต่อเนื่องซึ่งฟิลด์ส่วนเหลือมีค่าจำกัด^{[ 3 ]}

ฟิลด์ท้องถิ่นทุกฟิลด์จะมีลักษณะเหมือนกัน (ในฐานะฟิลด์เชิงโทโพโลยี) กับฟิลด์ใดฟิลด์หนึ่งต่อไปนี้: ^{[ 4 ]}

• ฟิลด์เฉพาะที่อาร์คิมีเดียน ( ลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์): จำนวนจริง${\displaystyle \mathbb {R} }$และจำนวนเชิงซ้อน${\displaystyle \mathbb {C} }$.
• ฟิลด์เฉพาะที่ที่ไม่ใช่แบบอาร์คิมีเดียนที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์: ส่วนขยายจำกัดของ จำนวน p -adic${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$(ที่ไหน${\displaystyle p}$(คือจำนวนเฉพาะ ใดๆ )
• ฟิลด์ท้องถิ่นที่ไม่เป็นไปตามกฎอาร์คิมีเดียนที่มีลักษณะเฉพาะ${\displaystyle p}$: ทุ่งนา${\displaystyle \mathbb {F} _{q}((t))}$ของชุดลอเรนต์อย่างเป็นทางการในตัวแปร${\displaystyle t}$บนฟิลด์จำกัด${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$, ที่ไหน${\displaystyle q}$เป็นพลังของ${\displaystyle p}$.

เมื่อพิจารณาฟิลด์ท้องถิ่น${\displaystyle F}$ฟังก์ชันโมดูลบน${\displaystyle F}$สามารถนิยามได้ดังนี้ ขั้นแรก พิจารณากลุ่มการบวกของฟิลด์ ในฐานะที่เป็นกลุ่มทางทอพอโลยี แบบกระชับเฉพาะที่ มันจึงมี มาตรวัดฮาร์ที่ไม่ซ้ำกัน (โดยไม่นับรวมตัวคูณสเกลาร์บวก)${\displaystyle \mu }$โมดูลขององค์ประกอบ${\displaystyle a}$ของ${\displaystyle F}$ ถูกกำหนดขึ้นเพื่อวัดการเปลี่ยนแปลงขนาดของเซตหลังจากคูณด้วย${\displaystyle a}$โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ให้กำหนด${\displaystyle \operatorname {mod} _{K}:F\to \mathbb {R} }$โดย^{[ 5 ]}

${\displaystyle \operatorname {mod} _{K}(a)={\frac {\mu (aX)}{\mu (X)}}}$

สำหรับเซตย่อยที่วัดได้ ใดๆ${\displaystyle X}$ของ${\displaystyle F}$(กับ${\displaystyle 0<\mu (X)<\infty }$โมดูลนี้ไม่ขึ้นอยู่กับ${\displaystyle X}$และไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกใช้มาตรวัดฮาร์${\displaystyle \mu }$(เนื่องจากความกำกวมของการคูณสเกลาร์แบบเดียวกันจะเกิดขึ้นทั้งในตัวเศษและตัวส่วน) ฟังก์ชัน${\displaystyle \operatorname {mod} _{K}}$มีความต่อเนื่องและเป็นไปตามข้อกำหนด

${\displaystyle \operatorname {mod} _{K}(ab)=\operatorname {mod} _{K}(a)\operatorname {mod} _{K}(b),}$

${\displaystyle \operatorname {mod} _{K}(a+b)\leq A\sup \left(\operatorname {mod} _{K}(a),\operatorname {mod} _{K}(b)\right)}$

สำหรับค่าคงที่บางค่า${\displaystyle A}$นั่นขึ้นอยู่กับเท่านั้น${\displaystyle F}$.

โดยใช้${\displaystyle \operatorname {mod} _{K}}$จากนั้นจึงสามารถกำหนดค่าสัมบูรณ์ได้${\displaystyle |\cdot |}$บน${\displaystyle F}$ที่ก่อให้เกิดเมตริก${\displaystyle d}$บน${\displaystyle F}$(โดยการตั้งค่า)${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$) โดยที่${\displaystyle F}$สมบูรณ์เมื่อพิจารณาจากตัวชี้วัดนี้ และตัวชี้วัดนี้ก่อให้เกิดโทโพโลยีที่กำหนดไว้บน${\displaystyle F}$.

สำหรับฟิลด์ท้องถิ่นที่ไม่เป็นไปตามกฎอาร์คิมีเดียน${\displaystyle F}$ด้วยค่าสัมบูรณ์${\displaystyle |\cdot |}$สิ่งของต่อไปนี้มีความสำคัญ:

• วงแหวนของจำนวนเต็ม${\displaystyle {\mathcal {O}}=\{a\in F:|a|\leq 1\}}$ซึ่งเป็นวงแหวนการประเมินค่าแบบไม่ต่อเนื่องคือลูกบอลหน่วย ปิด ของ${\displaystyle F}$และมีขนาดกะทัดรัด

• หน่วยต่างๆในวงแหวนของจำนวนเต็ม${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\times }=\{a\in F:|a|=1\}}$ซึ่งก่อตัวเป็นกลุ่มและเป็นทรงกลมหน่วยของ${\displaystyle F}$;

• อุดมคติเฉพาะที่ไม่เป็นศูนย์เพียงหนึ่งเดียว${\displaystyle {\mathfrak {m}}=\{a\in F:|a|<1\}}$ในวงแหวนของจำนวนเต็ม ซึ่งก็คือลูกบอลหน่วยเปิดของ${\displaystyle F}$;

• เครื่องกำเนิดไฟฟ้า${\displaystyle \varpi }$ของ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$เรียกว่าเครื่องทำให้เป็นมาตรฐานของ${\displaystyle F}$; และ

• สนามตกค้างของมัน${\displaystyle k={\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}}$ซึ่งมีค่าจำกัด (เนื่องจากเป็นเซตกระชับและ ไม่ต่อเนื่อง )

องค์ประกอบทุกตัวที่ไม่ใช่ศูนย์${\displaystyle a}$ของ${\displaystyle F}$สามารถเขียนได้ดังนี้${\displaystyle a=\varpi ^{n}u}$กับ${\displaystyle u}$หน่วยหนึ่งใน${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\times }}$, และ${\displaystyle n}$จำนวนเต็มที่ไม่ซ้ำกันการประเมินค่ามาตรฐานของ${\displaystyle F}$คือฟังก์ชันทั่วถึง${\displaystyle v:F\to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}$กำหนดโดยการส่งค่าที่ไม่ใช่ศูนย์${\displaystyle a}$ไปยังจำนวนเต็มที่ไม่ซ้ำกัน${\displaystyle n}$โดยที่${\displaystyle a=\varpi ^{n}u}$กับ${\displaystyle u}$หน่วยหนึ่ง และโดยการส่ง 0 ไปยัง${\displaystyle \infty }$. ถ้า${\displaystyle q}$คือจำนวนสมาชิกของฟิลด์เศษเหลือ ค่าสัมบูรณ์ของ${\displaystyle F}$เหนี่ยวนำโดยโครงสร้างเป็นสนามท้องถิ่นกำหนดโดย: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle |a|=q^{-v(a)}.}$

นิยามที่เทียบเท่ากันและสำคัญมากของฟิลด์ท้องถิ่นที่ไม่ใช่แบบอาร์คิมีเดียนคือ ฟิลด์นั้นสมบูรณ์เมื่อพิจารณาจากค่าประเมินแบบไม่ต่อเนื่องและฟิลด์ส่วนเหลือของฟิลด์นั้นมีค่าจำกัด

ทฤษฎีนี้รวมถึงการศึกษาประเภทของฟิลด์ท้องถิ่น การขยายฟิลด์ท้องถิ่นโดยใช้เลมมาของเฮนเซลการขยายกาโลอิสของฟิลด์ท้องถิ่นกลุ่มการแตกแขนงการกรองของกลุ่มกาโลอิสของฟิลด์ท้องถิ่น พฤติกรรมของแผนที่บรรทัดฐานบนฟิลด์ท้องถิ่น โฮโมมอร์ฟิซึมแบบผกผันท้องถิ่นและทฤษฎีบทการมีอยู่จริงในทฤษฎีฟิลด์คลาสท้องถิ่น การสอดคล้องกันของแลงแลนด์ท้องถิ่นทฤษฎีฮอดจ์-เทต (เรียกอีกอย่างว่าทฤษฎีฮอดจ์p -adic ) สูตรที่ชัดเจนสำหรับสัญลักษณ์ฮิลเบิร์ตในทฤษฎีฟิลด์คลาสท้องถิ่น^{[ 9 ]}

นิยามของ "ฟิลด์ท้องถิ่น" ที่ใช้ในบทความนี้ ซึ่งหมายถึงฟิลด์เชิงทอพอโลยีแบบไม่ต่อเนื่องของเฮาส์ดอร์ฟที่มีความกะทัดรัดในระดับท้องถิ่นนั้น เป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปในปัจจุบัน อย่างไรก็ตาม ผู้เขียนบางท่านสงวนคำว่า "ฟิลด์ท้องถิ่น" ไว้สำหรับสิ่งที่เราเรียกว่า "ฟิลด์ท้องถิ่นแบบไม่เป็นอาร์คิมีเดียน"

เอกสารวิจัยในทฤษฎีจำนวนสมัยใหม่มักจะพิจารณาแนวคิดทั่วไปของฟิลด์ท้องถิ่นที่ไม่ใช่อาร์คิมีเดียน โดยกำหนดเพียงว่าฟิลด์เหล่านั้นจะต้องสมบูรณ์เมื่อพิจารณาจากการประเมินค่าแบบไม่ต่อเนื่องและฟิลด์เศษเหลือจะต้องสมบูรณ์แบบที่มีลักษณะเฉพาะเป็นบวก ไม่จำเป็นต้องจำกัด^{[ 10 ]}

ในหนังสือLocal Fields ของเขา Serre นิยาม "ฟิลด์ท้องถิ่น" ว่าเป็นฟิลด์ที่สมบูรณ์โดยสัมพันธ์กับการประเมินค่าแบบไม่ต่อเนื่อง โดยไม่มีข้อจำกัดใดๆ เกี่ยวกับฟิลด์ตกค้าง ซึ่งนำไปสู่แนวคิดที่เป็นทั่วไปยิ่งกว่า^{[ 11 ]}

สนามเฉพาะที่บางครั้งเรียกว่าสนามเฉพาะที่แบบหนึ่งมิติ

ฟิลด์เฉพาะที่ที่ไม่ใช่แบบอาร์คิมีเดียน สามารถมองได้ว่าเป็นฟิลด์ของเศษส่วนของการเติมเต็มวงแหวนเฉพาะที่ของแผนผังเลขคณิตหนึ่งมิติที่มีอันดับ 1 ณ จุดที่ไม่เอกฐาน

สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ${\displaystyle n}$, หนึ่ง${\displaystyle n}$ฟิลด์โลคัลมิติ - เป็นฟิลด์การประเมินค่าแบบไม่ต่อเนื่องที่สมบูรณ์ ซึ่งฟิลด์ส่วนเหลือคือ${\displaystyle (n-1)}$-มิติสนามท้องถิ่น^{[ 10 ]}ขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของสนามท้องถิ่นสนามท้องถิ่นศูนย์มิติจะเป็นสนามจำกัด (ตามคำจำกัดความที่ใช้ในบทความนี้) หรือสนามสมบูรณ์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็นบวก

จากมุมมองทางเรขาคณิต${\displaystyle n}$ฟิลด์เฉพาะที่มิติ -มิติที่มีฟิลด์เศษเหลือจำกัดสุดท้ายจะสัมพันธ์กับแฟล็ก ที่สมบูรณ์ ของสับสกีมของ${\displaystyle n}$แผนผังเลขคณิตมิติ-

• ทฤษฎีบทของเฮนเซล
• กลุ่มการแตกแขนง
• ทฤษฎีสนามชั้นเรียนท้องถิ่น
• สนามท้องถิ่นระดับสูง

• "สนามท้องถิ่น" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]