ในทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีอาราเคโลฟ (หรือเรขาคณิตอาราเคโลฟ ) เป็นแนวทางหนึ่งในเรขาคณิตไดโอแฟนไทน์ซึ่งตั้งชื่อตามสุเรน อาราเคโลฟใช้ในการศึกษาสมการไดโอแฟนไทน์ในมิติที่สูงกว่า

แรงจูงใจหลักเบื้องหลังเรขาคณิตของอาราเคลอฟคือ มีความสัมพันธ์ระหว่างอุดมคติเฉพาะกับตำแหน่งจำกัดแต่ก็ยังมีตำแหน่งที่อนันต์ซึ่งกำหนดโดยการประเมินค่าแบบอาร์คิมีเดียนซึ่งไม่มีอุดมคติเฉพาะที่สอดคล้องกัน เรขาคณิตของอาราเคลอฟให้เทคนิคในการทำให้กระชับลงในปริภูมิสมบูรณ์ซึ่งมีจำนวนเฉพาะอยู่ที่อนันต์ การสร้างดั้งเดิมของอาราเคลอฟศึกษาทฤษฎีดังกล่าวทฤษฎีหนึ่ง โดยมีการสร้างนิยามของตัวหารสำหรับโครงร่าง ที่ มีมิติสัมพัทธ์ 1 เหนือซึ่งขยายไปสู่พื้นผิวรีมันน์สำหรับทุกการประเมินค่าที่อนันต์ นอกจากนี้ เขายังติดตั้งพื้นผิวรีมันน์เหล่านี้ด้วยเมตริกเฮอร์มิเชียนบนมัดเวกเตอร์โฮโลมอร์ฟิกเหนือX ( C ) ซึ่งเป็นจุดเชิงซ้อนของโครงสร้างเฮอร์มิเชียนพิเศษนี้ถูกนำมาใช้แทนความล้มเหลวของโครงร่างSpec( Z )ที่เป็นวาไรตี้สมบูรณ์${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle v_{p}:\mathbb {Q} ^{*}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle v_{\infty }}$${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}$$${\displaystyle {\overline {{\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}}}$$${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$${\displaystyle X_{\infty }={\mathfrak {X}}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle X}$

โปรดทราบว่ายังมีเทคนิคอื่นๆ ในการ สร้างปริภูมิที่สมบูรณ์ซึ่งขยายออกไปซึ่งเป็นพื้นฐานของเรขาคณิตF ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}$

อาราเคโลฟ( 1974 , 1975 )ได้นิยามทฤษฎีจุดตัดบนพื้นผิวเลขคณิตที่ยึดติดกับเส้นโค้งเชิงโปรเจกทีฟเรียบเหนือฟิลด์จำนวน โดยมีเป้าหมายเพื่อพิสูจน์ผลลัพธ์บางอย่างที่ทราบกันในกรณีของฟิลด์ฟังก์ชัน ในกรณีของฟิลด์จำนวนเกิร์ดฟัลติงส์( 1984 )ได้ขยายงานของอาราเคโลฟโดยการสร้างผลลัพธ์ต่างๆ เช่น ทฤษฎีบทรีมันน์- รอค สูตรโนเธอร์ ทฤษฎีบทดัชนีฮอดจ์ และความไม่เป็นลบของจุดตัดตัวเองของชีฟคู่ในบริบทนี้  

ทฤษฎีของอาราเคโลฟถูกนำไปใช้โดยพอล โวจตา (1991) เพื่อพิสูจน์สมมติฐานมอร์เดลล์ในรูป แบบใหม่ และโดยเกิร์ดฟัลติงส์( 1991 )ในการพิสูจน์การขยายความของสมมติฐานมอร์เดลล์ของเซอร์จ์แลง 

Pierre Deligne ( 1987 )ได้พัฒนากรอบการทำงานทั่วไปมากขึ้นเพื่อกำหนดการจับคู่จุดตัดที่กำหนดบนพื้นผิวเลขคณิตเหนือสเปกตรัมของวงแหวนจำนวนเต็มโดย Arakelov Shou-Wu Zhang ( 1992 )ได้พัฒนาทฤษฎีของมัดเส้นบวกและพิสูจน์ทฤษฎีบทประเภท Nakai–Moishezonสำหรับพื้นผิวเลขคณิต การพัฒนาเพิ่มเติมในทฤษฎีของมัดเส้นบวกโดยZhang ( 1993 , 1995a , 1995b )และLucien Szpiro , Emmanuel Ullmo และZhang ( 1997 )สิ้นสุดลงด้วยการพิสูจน์^{ข้อสันนิษฐาน} BogomolovโดยUllmo ( 1998 ) และZhang ( 1998 ) [ ¹ ]      

ทฤษฎีของ Arakelov ได้รับการขยายความโดยHenri GilletและChristophe Souléไปสู่มิติที่สูงขึ้น กล่าวคือ Gillet และ Soulé ได้กำหนดการจับคู่จุดตัดบนวาไรตี้เชิงเลขคณิต ผลลัพธ์หลักประการหนึ่งของ Gillet และ Soulé คือทฤษฎีบท Riemann–Roch เชิงเลขคณิตของGillet & Soulé (1992)ซึ่งเป็นการขยายทฤษฎีบท Grothendieck–Riemann–Rochไปสู่วาไรตี้เชิงเลขคณิต สำหรับการนี้ เรากำหนดกลุ่ม Chow เชิงเลขคณิต CH ^p ( X ) ของวาไรตี้เชิงเลขคณิตXและกำหนดชั้น Chernสำหรับมัดเวกเตอร์ Hermitian เหนือXที่รับค่าในกลุ่ม Chow เชิงเลขคณิต จากนั้นทฤษฎีบท Riemann–Roch เชิงเลขคณิตจะอธิบายว่าชั้น Chern มีพฤติกรรมอย่างไรภายใต้การผลักดันของมัดเวกเตอร์ภายใต้แผนที่ที่เหมาะสมของวาไรตี้เชิงเลขคณิต การพิสูจน์ที่สมบูรณ์ของทฤษฎีบทนี้เพิ่งได้รับการตีพิมพ์เมื่อไม่นานมานี้โดย Gillet, Rössler และ Soulé

ทฤษฎีจุดตัดของ Arakelov สำหรับพื้นผิวเลขคณิตได้รับการพัฒนาเพิ่มเติมโดยJean-Benoît Bost ( 1999 )ทฤษฎีของ Bost อาศัยการใช้ฟังก์ชัน Greenซึ่งเมื่อพิจารณาถึงความเอกฐานเชิงลอการิทึมแล้ว จะเป็นของปริภูมิ Sobolev ในบริบทนี้ Bost ได้รับทฤษฎีบทดัชนี Hodge เลขคณิต และใช้ทฤษฎีบทนี้เพื่อหาทฤษฎีบท Lefschetz สำหรับพื้นผิวเลขคณิต ${\displaystyle L_{1}^{2}}$

วงจรเลขคณิตที่มีมิติร่วมpคือคู่ ( Z , g ) โดยที่Z ∈ Z ^p ( X ) เป็น วงจร pบนXและgเป็นกระแสกรีนสำหรับZซึ่งเป็นการวางนัยทั่วไปของฟังก์ชันกรีนในมิติที่สูงกว่ากลุ่ม Chow เลขคณิตที่มีมิติร่วมpคือผลหารของกลุ่มนี้โดยกลุ่มย่อยที่สร้างขึ้นโดยวงจร "ไม่สำคัญ" บางวงจร^{[ 2 ]}   ${\displaystyle {\widehat {\mathrm {CH} }}_{p}(X)}$

ทฤษฎีบท Grothendieck–Riemann–Rochทั่วไปอธิบายว่าอักขระ Chern ch มีพฤติกรรมอย่างไรภายใต้การผลักดันของชีฟ และระบุว่า ch( f ( E ))= f (ch(E)Td ) โดยที่fเป็นมอร์ฟิซึมที่เหมาะสมจากXไปยังYและEเป็นเวกเตอร์บันเดิลเหนือfทฤษฎีบท Riemann–Roch ทางเลขคณิตก็คล้ายกัน ยกเว้นว่าคลาส Todd จะถูกคูณด้วย อนุกรมกำลังบางอย่างทฤษฎีบท Riemann–Roch ทางเลขคณิตระบุว่า โดยที่$${\displaystyle {\hat {\mathrm {ch} }}(f_{*}([E]))=f_{*}({\hat {\mathrm {ch} }}(E){\widehat {\mathrm {Td} }}^{R}(T_{X/Y}))}$$

• XและYเป็นระบบเลขคณิตเชิงฉายแบบปกติ
• fเป็นฟังก์ชันเรียบที่เหมาะสมซึ่งส่งผ่านจากXไปยังY
• Eคือกลุ่มเวกเตอร์เชิงเลขคณิตเหนือX
• ${\displaystyle {\hat {\mathrm {ch} }}}$คือค่าเลขคณิตของอักขระเชิร์น
• T คือมัดเส้นสัมผัสสัมพัทธ์
• ${\displaystyle {\hat {\mathrm {Td} }}}$ชั้นเรียนคณิตศาสตร์ของท็อดด์
• ${\displaystyle {\hat {\mathrm {Td} }}^{R}(E)}$เป็น${\displaystyle {\hat {\mathrm {Td} }}(E)(1-\epsilon (R(E)))}$
• R ( X ) คือคลาสลักษณะเฉพาะแบบบวกที่เกี่ยวข้องกับอนุกรมกำลังอย่างเป็นทางการ$${\displaystyle \sum _{m>0 \atop m{\text{ odd}}}{\frac {X^{m}}{m!}}\left[2\zeta '(-m)+\zeta (-m)\left({1 \over 1}+{1 \over 2}+\cdots +{1 \over m}\right)\right].}$$

• ทฤษฎี Hodge–Arakelov
• ทฤษฎีของฮอดจ์
• ทฤษฎี P-adic Hodge
• กลุ่มอะเดลิค

• เอกสารต้นฉบับ
• ไฟล์เก็บถาวรก่อนพิมพ์เรขาคณิตของ Arakelov