การเชื่อมโยงเชิงตรรกะ

และ
คำนิยาม	${\displaystyle xy}$
ตารางความจริง	${\displaystyle (1000)}$
ประตูตรรกะ
รูปแบบปกติ
แยกส่วน	${\displaystyle xy}$
คำเชื่อม	${\displaystyle xy}$
พหุนาม Zhegalkin	${\displaystyle xy}$
โครงตาข่ายของโพสต์
รักษาศูนย์	ใช่
1-การรักษา	ใช่
โมโนโทน	ใช่
อัฟฟิน	เลขที่
ตนเองสองฝ่าย	เลขที่
วี ที อี

ในตรรกศาสตร์คณิตศาสตร์และภาษาศาสตร์และ( ) เป็น ตัวดำเนินการ เชิงความจริงของการเชื่อมโยงหรือการเชื่อมโยงเชิงตรรกะตัวเชื่อมเชิงตรรกะ ของตัว ดำเนินการนี้โดยทั่วไปจะแสดงเป็น^{[ 1 ]}หรือหรือ(คำนำหน้า) หรือหรือ^{[ 2 ]}ซึ่งเป็นแบบที่ทันสมัยและใช้กันอย่างแพร่หลายที่สุด ${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle \&}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \times }$${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle \wedge }$

เงื่อนไข " และ"ของเซตของตัวถูกดำเนินการจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อตัวถูกดำเนินการทั้งหมด เป็นจริง กล่าวคือ เงื่อนไข "และ " จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อเงื่อนไข " เป็นจริง" และเงื่อนไข "เป็นจริง" ${\displaystyle A\land B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

ตัวดำเนินการของการเชื่อมโยงคือตัวเชื่อม^{[ 3 ]}

นอกเหนือจากตรรกศาสตร์แล้ว คำว่า "การเชื่อมโยง" ยังหมายถึงแนวคิดที่คล้ายคลึงกันในสาขาอื่นๆ ด้วย:

• ในภาษาธรรมชาติความหมายโดยตรงของสำนวนต่างๆ เช่น" และ " ในภาษาอังกฤษ
• ในภาษาโปรแกรมโครงสร้างการลัดวงจรและ การควบคุม ;
• ในทฤษฎีเซตจุดตัด ( intersection )
• ในทฤษฎีแลตทิซการเชื่อมโยงเชิงตรรกะ ( ขอบล่างที่มากที่สุด )

และมักจะแสดงด้วยตัวดำเนินการอินฟิกซ์: ในคณิตศาสตร์และตรรกศาสตร์ จะแสดงด้วย "ลิ่ม" (Unicode U+2227 ∧ LOGICAL AND ) ^{[ 1 ]}หรือ; ในอิเล็กทรอนิกส์; และในภาษาโปรแกรม, , หรือ. ใน สัญกรณ์พรีฟิก ของJan Łukasiewicz สำหรับตรรกศาสตร์ตัวดำเนินการคือ, สำหรับภาษาโปแลนด์koniunkcja . ^{[ 4 ]}${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle \&}$${\displaystyle \times }$${\displaystyle \cdot }$&&&and${\displaystyle K}$

ในทางคณิตศาสตร์ การเชื่อมโยงขององค์ประกอบจำนวนใดๆสามารถแสดงได้เป็นการดำเนินการไบนารีแบบวนซ้ำโดยใช้ "ลิ่มใหญ่" ⋀ (Unicode U+22C0 ⋀ N-ARY LOGICAL AND ): ^{[ 5 ]}${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$

${\displaystyle \bigwedge _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}\wedge a_{2}\wedge \ldots a_{n-1}\wedge a_{n}}$

ในตรรกศาสตร์แบบคลาสสิกการเชื่อมโยงเชิงตรรกะคือการดำเนินการ กับ ค่าตรรกะสอง ค่า โดยทั่วไปคือค่าของประพจน์ สองประพจน์ ซึ่งจะสร้างค่าที่เป็นจริงก็ต่อเมื่อ (เรียกอีกอย่างว่า iff) ตัวถูกดำเนินการทั้งสองเป็นจริง^{[ 2 ] [ 1 ]}

เอกลักษณ์การเชื่อมโยงเป็นจริง ซึ่งหมายความว่าการนำนิพจน์ไปใช้กับค่าจริง (true) จะไม่เปลี่ยนแปลงค่าของนิพจน์นั้นเลย สอดคล้องกับแนวคิดเรื่องความจริงที่ว่างเปล่าเมื่อการเชื่อมโยงถูกกำหนดให้เป็นตัวดำเนินการหรือฟังก์ชันที่มีจำนวน สมาชิกไม่จำกัด การเชื่อมโยงที่ว่างเปล่า (การนำนิพจน์ไปใช้กับเซตของตัวถูกดำเนินการที่ว่างเปล่า) มักถูกกำหนดให้มีผลลัพธ์เป็นจริง

ตารางความจริงของ: ^{[ 1 ] [ 2 ]}${\displaystyle A\land B}$

${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle A\land B}$
เอฟ	เอฟ	เอฟ
เอฟ	ที	เอฟ
ที	เอฟ	เอฟ
ที	ที	ที

ในระบบที่การเชื่อมโยงเชิงตรรกะไม่ใช่องค์ประกอบพื้นฐาน อาจกำหนดได้ดังนี้^{[ 6 ]}

${\displaystyle A\land B=\neg (A\to \neg B)}$

สามารถตรวจสอบได้โดยใช้ตารางความจริงต่อไปนี้ (เปรียบเทียบสองคอลัมน์สุดท้าย):

${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle \neg B}$	${\displaystyle A\rightarrow \neg B}$	${\displaystyle \neg (A\rightarrow \neg B)}$	${\displaystyle A\land B}$
เอฟ	เอฟ	ที	ที	เอฟ	เอฟ
เอฟ	ที	เอฟ	ที	เอฟ	เอฟ
ที	เอฟ	ที	ที	เอฟ	เอฟ
ที	ที	เอฟ	เอฟ	ที	ที

หรือ

${\displaystyle A\land B=\neg (\neg A\lor \neg B).}$

สามารถตรวจสอบได้โดยใช้ตารางความจริงต่อไปนี้ (เปรียบเทียบสองคอลัมน์สุดท้าย):

${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle \neg A}$	${\displaystyle \neg B}$	${\displaystyle \neg A\lor \neg B}$	${\displaystyle \neg (\neg A\lor \neg B)}$	${\displaystyle A\land B}$
เอฟ	เอฟ	ที	ที	ที	เอฟ	เอฟ
เอฟ	ที	ที	เอฟ	ที	เอฟ	เอฟ
ที	เอฟ	เอฟ	ที	ที	เอฟ	เอฟ
ที	ที	เอฟ	เอฟ	เอฟ	ที	ที

ตามหลักการอนุมานการนำเสนอข้อสันนิฐานแบบเชื่อมโยงเป็นรูปแบบการให้เหตุผลที่ถูกต้อง ตามหลักการ และเรียบง่ายรูปแบบการให้เหตุผลนี้มีข้อตั้งต้นสองข้อ คือและโดยสัญชาตญาณแล้ว รูปแบบนี้อนุญาตให้สรุปถึงการเชื่อมโยงของข้อตั้งต้นทั้งสองได้ ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle A}$,

${\displaystyle B}$.

ดังนั้นAและB​

หรือใน สัญลักษณ์ ตัวดำเนินการเชิงตรรกะซึ่ง แสดงถึงความสามารถในการพิสูจน์: ${\displaystyle \vdash }$

${\displaystyle \vdash A,}$

${\displaystyle \vdash B}$

${\displaystyle \vdash A\land B}$

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของข้อโต้แย้งที่ตรงกับรูปแบบการนำคำสันธาน :

บ็อบชอบแอปเปิ้ล

บ็อบชอบส้ม

ดังนั้น บ็อบชอบแอปเปิ้ล และบ็อบก็ชอบส้ม

การตัดคำสันธานออกเป็นรูปแบบการให้เหตุผลแบบง่ายๆที่ถูกต้อง ตามหลักคลาสสิกอีกรูปแบบหนึ่ง โดยสัญชาตญาณแล้ว วิธีนี้ช่วยให้สามารถอนุมานจากคำสันธานใดๆ ก็ได้ถึงองค์ประกอบใดองค์ประกอบหนึ่งของคำสันธานนั้น

${\displaystyle A}$และ.${\displaystyle B}$

ดังนั้น, .${\displaystyle A}$

...หรืออีกทางเลือกหนึ่งคือ

${\displaystyle A}$และ.${\displaystyle B}$

ดังนั้น, .${\displaystyle B}$

ใน สัญลักษณ์ ตัวดำเนินการทางตรรกะ :

${\displaystyle \vdash A\land B}$

${\displaystyle \vdash A}$

...หรืออีกทางเลือกหนึ่งคือ

${\displaystyle \vdash A\land B}$

${\displaystyle \vdash B}$

ประโยคสันธานจะถูกพิสูจน์ว่าเป็นเท็จได้โดยการพิสูจน์ว่า " หรือ" เป็นจริง ในแง่ของภาษาเป้าหมาย ประโยคนี้อ่านได้ดังนี้ ${\displaystyle A\land B}$${\displaystyle \neg A}$${\displaystyle \neg B}$

${\displaystyle \neg A\to \neg (A\land B)}$

สูตรนี้สามารถมองได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของ

${\displaystyle (A\to C)\to ((A\land B)\to C)}$

เมื่อใดจึงถือว่าเป็นข้อเสนอที่ผิดพลาด ${\displaystyle C}$

ถ้าหมายความว่าแล้วทั้งและพิสูจน์ว่าการเชื่อมโยงนั้นเป็นเท็จ: ${\displaystyle A}$${\displaystyle \neg B}$${\displaystyle \neg A}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle (A\to \neg {}B)\to \neg (A\land B)}$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง การเชื่อมโยงสามารถพิสูจน์ได้ว่าเท็จได้จริง ๆ เพียงแค่รู้ถึงความสัมพันธ์ของส่วนประกอบต่าง ๆ ของมัน โดยไม่จำเป็นต้องรู้ค่าความจริงของส่วนประกอบเหล่านั้น

สูตรนี้สามารถมองได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของ

${\displaystyle (A\to (B\to C))\to ((A\land B)\to C)}$

เมื่อใดจึงถือว่าเป็นข้อเสนอที่ผิดพลาด ${\displaystyle C}$

ข้อความข้างต้นทั้งสองข้อล้วนเป็นการพิสูจน์โดยวิธีขัดแย้งที่ถูกต้องในเชิงสร้างสรรค์

สมบัติการสลับที่ : ใช่

${\displaystyle A\land B}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$	${\displaystyle B\land A}$
	${\displaystyle \Leftrightarrow }$

การเชื่อมโยง : ใช่^{[ 7 ]}

${\displaystyle ~A}$	${\displaystyle ~~~\land ~~~}$	${\displaystyle (B\land C)}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$			${\displaystyle (A\land B)}$	${\displaystyle ~~~\land ~~~}$	${\displaystyle ~C}$
	${\displaystyle ~~~\land ~~~}$		${\displaystyle \Leftrightarrow }$		${\displaystyle \Leftrightarrow }$		${\displaystyle ~~~\land ~~~}$

ความสามารถในการกระจาย :ด้วยการดำเนินการต่างๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งด้วยหรือ

${\displaystyle ~A}$	${\displaystyle \land }$	${\displaystyle (B\lor C)}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$			${\displaystyle (A\land B)}$	${\displaystyle \lor }$	${\displaystyle (A\land C)}$
	${\displaystyle \land }$		${\displaystyle \Leftrightarrow }$		${\displaystyle \Leftrightarrow }$		${\displaystyle \lor }$

คนอื่น

พร้อมสิทธิ์พิเศษหรือ : ${\displaystyle ~A}$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle (B\oplus C)}$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$     ${\displaystyle (A\land B)}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle (A\land C)}$ ${\displaystyle \land }$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$         ${\displaystyle \Leftrightarrow }$     ${\displaystyle \oplus }$ โดยไม่มีนัยสำคัญทางวัตถุ : ${\displaystyle ~A}$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle (B\nrightarrow C)}$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$     ${\displaystyle (A\land B)}$ ${\displaystyle \nrightarrow }$ ${\displaystyle (A\land C)}$ ${\displaystyle \land }$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$         ${\displaystyle \Leftrightarrow }$     ${\displaystyle \nrightarrow }$ กับตัวมันเอง: ${\displaystyle ~A}$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle (B\land C)}$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$     ${\displaystyle (A\land B)}$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle (A\land C)}$ ${\displaystyle \land }$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$         ${\displaystyle \Leftrightarrow }$     ${\displaystyle \land }$

ความคงตัว : ใช่

${\displaystyle ~A~}$	${\displaystyle ~\land ~}$	${\displaystyle ~A~}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$	${\displaystyle A~}$
	${\displaystyle ~\land ~}$		${\displaystyle \Leftrightarrow }$

ความสม่ำเสมอ : ใช่

${\displaystyle A\rightarrow B}$	${\displaystyle \Rightarrow }$			${\displaystyle (A\land C)}$	${\displaystyle \rightarrow }$	${\displaystyle (B\land C)}$
	${\displaystyle \Rightarrow }$		${\displaystyle \Leftrightarrow }$		${\displaystyle \rightarrow }$

รักษาความจริง: ใช่เมื่ออินพุตทั้งหมดเป็นจริง ผลลัพธ์ก็จะเป็นจริง

${\displaystyle A\land B}$	${\displaystyle \Rightarrow }$	${\displaystyle A\land B}$
	${\displaystyle \Rightarrow }$
		(อยู่ระหว่างการทดสอบ)

รักษาค่าความเท็จ: ใช่เมื่ออินพุตทั้งหมดเป็นเท็จ ผลลัพธ์ก็จะเป็นเท็จเช่นกัน

${\displaystyle A\land B}$	${\displaystyle \Rightarrow }$	${\displaystyle A\lor B}$
	${\displaystyle \Rightarrow }$
(อยู่ระหว่างการทดสอบ)

สเปกตรัมวอลช์ : (1,-1,-1,1)

ความ ไม่เป็นเชิงเส้น : 1 (ฟังก์ชันโค้งงอ )

ถ้าใช้ ค่า ไบนารีสำหรับค่าจริง (1) และค่าเท็จ (0) การเชื่อมโยงเชิงตรรกะจะทำงานเหมือนกับการคูณ ทางคณิตศาสตร์ ปกติ ทุกประการ

ในการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ระดับสูงและอิเล็กทรอนิกส์ดิจิทัลการเชื่อมโยงเชิงตรรกะมักแสดงด้วยตัวดำเนินการแบบอินฟิกซ์ ซึ่งโดยปกติจะเป็นคำหลัก เช่น " AND", การคูณเชิงพีชคณิต หรือสัญลักษณ์แอมเปอร์แซนด์&(บางครั้งอาจใช้สองตัว เช่นใน&&) ภาษาโปรแกรมหลายภาษายังมี โครงสร้างควบคุม แบบลัดวงจรที่สอดคล้องกับการเชื่อมโยงเชิงตรรกะ ด้วย

การเชื่อมโยงเชิงตรรกะมักใช้สำหรับการดำเนินการแบบบิต โดยที่0แทนค่าเท็จ และ1แทนค่าจริง:

• 0 AND 0  =  0,
• 0 AND 1  =  0,
• 1 AND 0  =  0,
• 1 AND 1  =  1.

การดำเนินการนี้สามารถนำไปใช้กับคำ ไบนารีสองคำ ที่มองว่าเป็นสตริงบิตที่มีความยาวเท่ากันได้เช่นกัน โดยการนำการดำเนินการ AND ระดับบิตของแต่ละคู่บิตในตำแหน่งที่สอดคล้องกันมาใช้ ตัวอย่างเช่น:

• 11000110 AND 10100011  =  10000010.

สามารถใช้เพื่อเลือกส่วนหนึ่งของสตริงบิตโดยใช้บิตมาสก์ได้ ตัวอย่างเช่น เครื่องหมาย  =  จะดึงบิตที่สี่ของสตริงบิต 8 บิตออกมา 10011101 AND 0000100000001000

ในระบบเครือข่ายคอมพิวเตอร์บิตมาสก์ถูกใช้เพื่อสร้างที่อยู่เครือข่ายของซับเน็ตภายในเครือข่ายที่มีอยู่แล้วจากที่อยู่ IP ที่กำหนด โดยการใช้การดำเนินการ AND ระหว่างที่อยู่ IP และซับเน็ตมาสก์

คำเชื่อมเชิงตรรกะ " AND" ยังถูกใช้ใน คำสั่ง SQLเพื่อสร้างคำสั่งค้นหา ฐานข้อมูล ด้วย

จดหมายโต้ตอบระหว่าง เคอร์รีและโฮเวิร์ดเชื่อม โยงการเชื่อมโยงเชิงตรรกะกับประเภทของผลิตภัณฑ์

ในทฤษฎีเซตการเป็นสมาชิกของเซตส่วนร่วมถูกกำหนดในแง่ของการเชื่อมโยงเชิงตรรกะ: ก็ต่อเมื่อผ่านความสอดคล้องกันนี้ ส่วนร่วมในทฤษฎีเซตจึงมีคุณสมบัติหลายอย่างร่วมกับการเชื่อมโยงเชิงตรรกะ เช่นการจัดกลุ่ม การสลับที่และการ ไม่เปลี่ยนแปลง${\displaystyle x\in A\cap B}$${\displaystyle (x\in A)\wedge (x\in B)}$

เช่นเดียวกับแนวคิดอื่นๆ ที่ถูกกำหนดเป็นทางการในตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ การเชื่อมโยงเชิงตรรกะ " และ"มีความเกี่ยวข้องกับ แต่ไม่เหมือนกับการเชื่อมโยงเชิงไวยากรณ์ " และ " ในภาษาธรรมชาติ

คำว่า "and" ในภาษาอังกฤษมีคุณสมบัติที่คำสันธานเชิงตรรกะทั่วไปไม่มี เช่น บางครั้ง "and" ก็สื่อถึงลำดับที่มีความหมายว่า "แล้ว" ตัวอย่างเช่น ในการสนทนาทั่วไป ประโยค "They got married and had a child" หมายความว่า การแต่งงานเกิดขึ้นก่อนการมีลูก

คำว่า "และ" ยังสามารถหมายถึงการแบ่งสิ่งใดสิ่งหนึ่งออกเป็นส่วนๆ ได้ด้วย เช่น "ธงชาติอเมริกันมีสีแดง ขาว และน้ำเงิน" ในที่นี้ไม่ได้หมายความว่าธงนั้นมี สีแดง ขาว และน้ำเงิน พร้อมกันแต่หมายความว่าแต่ละสีเป็นส่วนหนึ่งของธง

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับการเชื่อมโยงเชิงตรรกะ

• "การเชื่อมโยง" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• Wolfram MathWorld: การเชื่อมโยง
• "คุณสมบัติและตารางค่าความจริงของประพจน์ AND"เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 6 พฤษภาคม 2560