ผลลัพธ์เชิงตรรกะ (หรือการอนุมานเชิงตรรกะหรือการบ่งชี้เชิงตรรกะ ) เป็นแนวคิด พื้นฐาน ในตรรกศาสตร์ที่อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างข้อความที่เป็นจริงเมื่อข้อความหนึ่งเป็นผลมาจากข้อความหนึ่งหรือมากกว่านั้น อย่างมี เหตุผล การให้เหตุผลเชิงตรรกะที่ถูกต้องคือ การให้ ข้อสรุปเป็นผลมาจากข้อตั้งต้นเนื่องจากข้อสรุปเป็นผลจากข้อตั้งต้นการวิเคราะห์เชิงปรัชญาเกี่ยวกับผลลัพธ์เชิงตรรกะเกี่ยวข้องกับคำถามต่อไปนี้: ข้อสรุปเป็นผลมาจากข้อตั้งต้นในแง่ใด?และข้อสรุปที่เป็นผลจากข้อตั้งต้นหมายความว่าอย่างไร? ^{[ 1 ]}ตรรกศาสตร์เชิงปรัชญาทั้งหมดมีจุดมุ่งหมายเพื่อให้คำอธิบายเกี่ยวกับธรรมชาติของผลลัพธ์เชิงตรรกะและธรรมชาติของความจริงเชิงตรรกะ^{[ 2 ]}

ผลลัพธ์เชิงตรรกะเป็นสิ่งจำเป็นและเป็นทางการโดยผ่านตัวอย่างที่อธิบายด้วยการพิสูจน์อย่างเป็นทางการและแบบจำลองการตีความ [ ^{1 ] ประโยค}หนึ่งจะเรียกว่าเป็นผลลัพธ์เชิงตรรกะของชุดประโยคสำหรับภาษา หนึ่ง ก็ต่อเมื่อ โดยใช้ตรรกะเพียงอย่างเดียว (กล่าวคือ โดยไม่คำนึงถึง การตีความ ส่วนตัวของประโยค) ประโยคนั้นจะต้องเป็นจริงหากทุกประโยคในชุดเป็นจริง^{[ 3 ]}

นักตรรกศาสตร์สร้างคำอธิบายที่แม่นยำเกี่ยวกับผลลัพธ์เชิงตรรกะเกี่ยวกับภาษา ที่กำหนด โดยการสร้างระบบการหักล้างหรือโดยความหมายเชิงตั้งใจที่ เป็นทางการ สำหรับภาษานักตรรกศาสตร์ชาวโปแลนด์Alfred Tarskiระบุคุณลักษณะสามประการของลักษณะเฉพาะที่เพียงพอของการอนุมาน: (1) ความสัมพันธ์ของผลลัพธ์เชิงตรรกะขึ้นอยู่กับรูปแบบเชิงตรรกะของประโยค (2) ความสัมพันธ์เป็นแบบก่อนประสบการณ์ กล่าวคือ สามารถกำหนดได้โดยมีหรือไม่มีหลักฐานเชิงประจักษ์ (ประสบการณ์ทางประสาทสัมผัส) และ (3) ความสัมพันธ์ของผลลัพธ์เชิงตรรกะมีองค์ประกอบเชิงรูปแบบ^{[ 3 ]}${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

มุมมองที่แพร่หลายที่สุดเกี่ยวกับวิธีที่ดีที่สุดในการอธิบายผลลัพธ์เชิงตรรกะคือการอ้างอิงถึงรูปแบบ กล่าวคือ การที่ข้อความหนึ่งๆ จะเป็นไปตามตรรกะหรือไม่นั้น ขึ้นอยู่กับโครงสร้างหรือรูปแบบเชิงตรรกะของข้อความเหล่านั้น โดยไม่คำนึงถึงเนื้อหาของรูปแบบนั้น

คำอธิบายเชิงไวยากรณ์ของผลลัพธ์เชิงตรรกะอาศัยแผนการที่ใช้กฎการอนุมานตัวอย่างเช่น เราสามารถแสดงรูปแบบเชิงตรรกะของข้อโต้แย้งที่ถูกต้องได้ดังนี้:

Xทั้งหมดคือY

Yทั้งหมดคือZ

ดังนั้นX ทั้งหมด จึงเป็นZ

ข้อโต้แย้งนี้ถูกต้องตามหลักการ เพราะข้อโต้แย้งทุกกรณีที่สร้างขึ้นโดยใช้รูปแบบนี้ล้วนถูกต้อง

สิ่งนี้ตรงกันข้ามกับข้อโต้แย้งเช่น "เฟรดเป็นลูกชายของพี่ชายของไมค์ ดังนั้นเฟรดจึงเป็นหลานชายของไมค์" เนื่องจากข้อโต้แย้งนี้ขึ้นอยู่กับความหมายของคำว่า "พี่ชาย" "ลูกชาย" และ "หลานชาย" ดังนั้นประโยคที่ว่า "เฟรดเป็นหลานชายของไมค์" จึงเป็นผลตามเชิงวัตถุของประโยคที่ว่า "เฟรดเป็นลูกชายของพี่ชายของไมค์" ไม่ใช่ผลตามเชิงรูปแบบ ผลตามเชิงรูปแบบจะต้องเป็นจริงในทุกกรณีอย่างไรก็ตาม นี่เป็นคำจำกัดความที่ไม่สมบูรณ์ของผลตามเชิงรูปแบบ เนื่องจากแม้แต่ข้อโต้แย้งที่ว่า " Pเป็น ลูกชายของพี่ชาย ของQดังนั้นPเป็น หลานชาย ของQ " ก็ถูกต้องในทุกกรณี แต่ไม่ใช่ข้อโต้แย้งเชิงรูปแบบ^{[ 1 ]}

หากทราบว่าเป็นผลสืบเนื่องมาจากตรรกะแล้ว ข้อมูลใดๆ เกี่ยวกับการตีความที่เป็นไปได้ของหรือจะไม่ส่งผลกระทบต่อความรู้ดังกล่าว ความรู้ของเราที่เป็นผลลัพธ์เชิงตรรกะของไม่สามารถได้รับอิทธิพลจากความรู้เชิงประจักษ์ได้ [ ^{1 ] ข้อ}โต้แย้งที่ถูกต้องตามหลักการอนุมานสามารถทราบได้โดยไม่ต้องอาศัยประสบการณ์ ดังนั้นจึงต้องทราบได้โดยปริยาย^{[ 1 ]}อย่างไรก็ตาม รูปแบบเพียงอย่างเดียวไม่รับประกันว่าผลลัพธ์เชิงตรรกะจะไม่ได้รับอิทธิพลจากความรู้เชิงประจักษ์ ดังนั้นคุณสมบัติโดยปริยายของผลลัพธ์เชิงตรรกะจึงถือว่าเป็นอิสระจากรูปแบบ^{[ 1 ]}${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$

เทคนิคหลักสองประการในการให้คำอธิบายเกี่ยวกับผลลัพธ์เชิงตรรกะ ได้แก่ การแสดงแนวคิดในแง่ของการพิสูจน์และผ่านแบบจำลองการศึกษาผลลัพธ์เชิงไวยากรณ์ (ของตรรกะ) เรียกว่าทฤษฎีการพิสูจน์ในขณะที่การศึกษาผลลัพธ์เชิงความหมาย (ของตรรกะ) เรียกว่าทฤษฎีแบบจำลอง^{[ 4 ]}

สูตรคือผลลัพธ์ทางไวยากรณ์^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}ภายในระบบที่เป็นทางการ บางระบบ ของชุดสูตร หากมีการพิสูจน์อย่างเป็นทางการในจากชุด ซึ่งแสดง ด้วยสัญลักษณ์ สัญลักษณ์ประตูหมุนนี้ได้รับการแนะนำครั้งแรกโดย Frege ในปี 1879 แต่การใช้งานในปัจจุบันเพิ่งมีขึ้นในสมัย ​​Rosser และ Kleene (1934–1935) ^{[ 9 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {FS}}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle {\mathcal {FS}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma \vdash _{\mathcal {FS}}A}$${\displaystyle \vdash }$

ผลทางไวยากรณ์ไม่ขึ้นอยู่กับการตีความระบบอย่างเป็นทางการ ใดๆ ^{[ 10 ]}

สูตรคือผลลัพธ์เชิงความหมายภายในระบบที่เป็นทางการบางระบบของชุดข้อความก็ต่อเมื่อไม่มีแบบจำลองใดที่สมาชิกทั้งหมดของเป็นจริงและเป็นเท็จ^{[ 11 ]}สิ่งนี้แสดงด้วยหรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง เซตของการตีความที่ทำให้สมาชิกทั้งหมดของเป็นจริงคือเซตย่อยของเซตของการตีความที่ทำให้เป็นจริง ${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {FS}}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {I}}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Gamma \models _{\mathcal {FS}}A}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle A}$

แนวคิด เชิงรูปแบบของการสรุปเชิงตรรกะเป็นรูปแบบต่างๆ ของแนวคิดพื้นฐานดังต่อไปนี้:

${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \vdash }$${\displaystyle A}$เป็นจริงก็ต่อเมื่อจำเป็นว่า ถ้าองค์ประกอบทั้งหมดของเป็นจริงแล้ว ก็จะเป็นจริงด้วย${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle A}$

หรืออีกทางเลือกหนึ่ง (และหลายคนคงเห็นว่าเทียบเท่ากัน):

${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \vdash }$${\displaystyle A}$เป็นจริงก็ต่อเมื่อเป็นไปไม่ได้ที่องค์ประกอบทั้งหมดของจะเป็นจริงและเท็จพร้อมกัน${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle A}$

คำอธิบายลักษณะนี้เรียกว่า "เชิงโมดอล" เพราะอ้างอิงถึงแนวคิดเชิงโมดอลของความจำเป็นเชิงตรรกะและความเป็นไปได้เชิงตรรกะ ประโยค "จำเป็นว่า" มักแสดงออกมาในรูปของตัวบ่งปริมาณสากลเหนือโลกที่เป็นไปได้ต่างๆดังนั้นคำอธิบายข้างต้นจึงแปลได้ดังนี้:

${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \vdash }$${\displaystyle A}$เป็นจริงก็ต่อเมื่อไม่มีโลกที่เป็นไปได้ใดๆ ที่องค์ประกอบทั้งหมดของเป็นจริง และเป็นเท็จ (ไม่จริง)${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle A}$

ลองพิจารณาคำอธิบายเชิงรูปแบบโดยใช้ข้อโต้แย้งที่ยกตัวอย่างไว้ข้างต้น:

กบทุกตัวมีสีเขียว

เคอร์มิตเป็นกบ

ดังนั้น เคอร์มิตจึงมีสีเขียว

ข้อสรุปเป็นผลลัพธ์เชิงตรรกะจากข้อตั้งต้น เพราะเราไม่สามารถจินตนาการถึงโลกที่เป็นไปได้ที่ (ก) กบทุกตัวเป็นสีเขียว (ข) เคอร์มิตเป็นกบ และ (ค) เคอร์มิตไม่เป็นสีเขียว

คำอธิบายเชิงรูปแบบและเชิงโมดอลของผลลัพธ์เชิงตรรกะเป็นการผสมผสานคำอธิบายเชิงโมดอลและเชิงรูปแบบข้างต้นเข้าด้วยกัน ทำให้เกิดรูปแบบต่างๆ บนแนวคิดพื้นฐานดังต่อไปนี้:

${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \vdash }$${\displaystyle A}$ก็ต่อเมื่อเป็นไปไม่ได้ที่ข้อโต้แย้งที่มีรูปแบบตรรกะเดียวกันกับ/ จะมีข้อตั้งต้นที่เป็นจริงและข้อสรุปที่เป็นเท็จ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle A}$

ทฤษฎีที่กล่าวถึงข้างต้นล้วนเป็น "ทฤษฎีที่รักษาความจริง" กล่าวคือ ทุกทฤษฎีถือว่าคุณลักษณะเด่นของการอนุมานที่ดีคือการไม่ยอมให้ผู้ใดเปลี่ยนจากข้อสมมติที่เป็นจริงไปสู่ข้อสรุปที่ไม่เป็นจริง ในทางกลับกัน บางคนเสนอทฤษฎี " ที่รักษา ความชอบธรรม " ซึ่งตามทฤษฎีนี้ คุณลักษณะเด่นของการอนุมานที่ดีคือการไม่ยอมให้ผู้ใดเปลี่ยนจากข้อสมมติที่ยืนยันได้อย่างชอบธรรมไปสู่ข้อสรุปที่ยืนยันไม่ได้อย่างชอบธรรม นี่คือทฤษฎีที่นักปรัชญาสายสัญชาตญาณ นิยมนิยม (โดยประมาณ)

บัญชีที่กล่าวถึงข้างต้นทั้งหมดให้ ความสัมพันธ์ของผลลัพธ์ แบบโมโนโทนิก กล่าวคือ ถ้าเป็นผลลัพธ์ของแล้ว ก็จะเป็นผลลัพธ์ของเซตย่อยใดๆ ของ ด้วย เช่นกัน นอกจากนี้ยังสามารถระบุความสัมพันธ์ของผลลัพธ์แบบไม่โมโนโทนิกได้ เพื่อสื่อถึงแนวคิดที่ว่า ตัวอย่างเช่น 'ทวีตตี้บินได้' เป็นผลลัพธ์เชิงตรรกะของ ${\displaystyle A}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Gamma }$

{โดยทั่วไปนกสามารถบินได้ ทวีตี้ก็เป็นนกชนิดหนึ่ง}

แต่ไม่ใช่ของ

{โดยทั่วไปแล้วนกสามารถบินได้ ทวีตี้เป็นนก ทวีตี้เป็นเพนกวิน}

• Anderson, AR; Belnap, ND Jr. (1975), Entailmentเล่ม 1, Princeton, NJ: Princeton.
• Augusto, Luis M. (2017), ผลลัพธ์เชิงตรรกะ ทฤษฎีและการประยุกต์ใช้: บทนำลอนดอน: สำนักพิมพ์วิทยาลัย. ชุด: ตรรกศาสตร์และพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ .
• บาร์ไวส์, จอน ; เอ็ตเชเมนดี, จอห์น (2008), ภาษา, การพิสูจน์ และตรรกศาสตร์ , สแตนฟอร์ด: สำนักพิมพ์ CSLI.
• บราวน์, แฟรงค์ มาร์คแฮม (2003), การให้เหตุผลแบบบูลีน: ตรรกะของสมการบูลีนฉบับพิมพ์ครั้งที่ 1, Kluwer Academic Publishers, Norwell, MA. ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 2, Dover Publications, Mineola, NY, 2003.
• เดวิส, มาร์ติน, บรรณาธิการ (1965), สิ่งที่ไม่สามารถตัดสินได้, เอกสารพื้นฐานเกี่ยวกับประพจน์ที่ไม่สามารถตัดสินได้, ปัญหาที่แก้ไม่ได้ และฟังก์ชันที่คำนวณได้ , นิวยอร์ก: เรเวน เพรส, ISBN 9780486432281เอกสารเหล่า นี้รวมถึงเอกสารของGödel , Church , Rosser , KleeneและPost
• ดัมเม็ตต์, ไมเคิล (1991), พื้นฐานเชิงตรรกะของอภิปรัชญา , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ด, ISBN 9780674537866.
• เอดจิงตัน, โดโรธี (2001), เงื่อนไข , แบล็กเวลล์ใน หนังสือThe Blackwell Guide to Philosophical Logicโดย Lou Goble (บรรณาธิการ)
• เอ็ดจิงตัน, โดโรธี (2006), "ประโยคเงื่อนไขบ่งชี้" , ประโยคเงื่อนไข , ห้องปฏิบัติการวิจัยอภิปรัชญา, มหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ดใน Edward N. Zalta (บรรณาธิการ), สารานุกรมปรัชญาแห่งสแตนฟอร์ด
• เอ็ตเชเมนดี, จอห์น (1990), แนวคิดเรื่องผลลัพธ์เชิงตรรกะ , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ด.
• Goble, Lou, บรรณาธิการ (2001), คู่มือตรรกศาสตร์เชิงปรัชญาของแบล็กเวลล์ , แบล็กเวลล์.
• Hanson, William H (1997), "แนวคิดของผลลัพธ์เชิงตรรกะ", The Philosophical Review , 106 (3): 365– 409, doi : 10.2307/2998398 , JSTOR  2998398365–409.
• เฮนดริกส์, วินเซนต์ เอฟ. (2005), Thought 2 Talk: A Crash Course in Reflection and Expression , นิวยอร์ก: Automatic Press / VIP, ISBN 978-87-991013-7-5
• Planchette, PA (2001), ผลที่ตามมาเชิงตรรกะใน Goble, Lou, ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic . Blackwell.
• Quine, WV (1982), วิธีการทางตรรกศาสตร์ , เคมบริดจ์, แมสซาชูเซตส์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ด(ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 1 ปี 1950), (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 2 ปี 1959), (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 3 ปี 1972), (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 4 ปี 1982)
• ชาปิโร, สจ๊วต (2002), ความจำเป็น ความหมาย และความมีเหตุผล: แนวคิดเรื่องผลลัพธ์เชิงตรรกะใน D. Jacquette, บรรณาธิการ, คู่มือประกอบตรรกศาสตร์เชิงปรัชญาสำนักพิมพ์ Blackwell
• ทาร์สกี, อัลเฟรด (1936), ว่าด้วยแนวคิดเรื่องผลลัพธ์เชิงตรรกะพิมพ์ซ้ำใน Tarski, A., 1983. Logic, Semantics, Metamathematics , ฉบับที่ 2 สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ดตีพิมพ์ครั้งแรกในภาษาโปแลนด์และเยอรมัน
• Ryszard Wójcicki (1988). ทฤษฎีแคลคูลัสเชิงตรรกะ: ทฤษฎีพื้นฐานของการดำเนินการผลลัพธ์ . Springer. ISBN 978-90-277-2785-5.
• บทความเรื่อง 'การบ่งชี้' จาก math.niu.edu, Implication เก็บถาวรเมื่อ 2014-10-21 ที่Wayback Machine
• คำจำกัดความของคำว่า 'implicant' จาก AllWords

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับผลลัพธ์เชิงตรรกะ

• Beall, Jc ; Restall, Greg (19 พฤศจิกายน 2013). "ผลลัพธ์เชิงตรรกะ"ในZalta, Edward N. (บรรณาธิการ). สารานุกรมปรัชญาแห่งสแตนฟอร์ด (ฉบับฤดูหนาว 2016). ISSN  1095-5054 . OCLC  429049174 .
• Fieser, James; Dowden, Bradley (บรรณาธิการ). "ผลลัพธ์เชิงตรรกะ" . สารานุกรมปรัชญาออนไลน์ . ISSN  2161-0002 . OCLC  37741658 .
• ผลที่ตามมาเชิงตรรกะในโครงการปรัชญาออนโทโลยีแห่งรัฐอินเดียนา
• ผลที่ตามมาเชิงตรรกะที่PhilPapers
• "การบ่งชี้" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]