ตรรกศาสตร์หลายค่า ( หรือ ตรรกศาสตร์ หลายค่า ) คือแคลคูลัสเชิงประพจน์ ที่มี ค่าความจริงมากกว่าสอง ค่า ตามธรรมเนียมในแคลคูลัสเชิงตรรกศาสตร์ของอริสโตเติลประพจน์ ใดๆ จะมีค่าที่เป็นไปได้เพียงสองค่าเท่านั้น (เช่นจริงและเท็จ ) ตรรกศาสตร์สองค่าแบบคลาสสิกสามารถขยายไปเป็นตรรกศาสตร์n ค่าได้ โดยที่nมากกว่า 2 ตรรกศาสตร์ที่ได้รับความนิยมมากที่สุดในวรรณกรรม ได้แก่ตรรกศาสตร์สามค่า (เช่น ตรรกศาสตร์ของ ŁukasiewiczและKleeneซึ่งยอมรับค่าจริงเท็จและไม่ทราบ ) ตรรกศาสตร์สี่ค่า ตรรกศาสตร์เจ็ดค่าตรรกศาสตร์เก้าค่าตรรกศาสตร์ค่าจำกัด (มีค่ามากกว่าสามค่า) และตรรกศาสตร์ค่าอนันต์ (มีค่ามากมายไม่จำกัด) เช่นตรรกศาสตร์คลุมเครือและตรรกศาสตร์ความน่าจะเป็น

อริสโตเติล “บิดาแห่งตรรกศาสตร์ [สองค่า]” ^{[ 1 ]}ยอมรับกฎของค่ากลางที่ถูกยกเว้นแต่ได้แยกแยะความแตกต่างที่สำคัญเกี่ยวกับหลักการของค่าสองค่า ใน ( De Interpretatione , บทที่ IX ) ^{[ 2 ]}เขาโต้แย้งว่าข้อความเกี่ยวกับเหตุการณ์ในอนาคตไม่สามารถเป็นจริงหรือเท็จได้อย่างแน่นอนเสมอไป อย่างไรก็ตาม เขาไม่ได้พัฒนาความเข้าใจนี้ไปสู่ตรรกศาสตร์หลายค่าอย่างเป็นระบบ — มันยังคงเป็นข้อยกเว้นเฉพาะภายในกรอบคลาสสิกของเขา นักตรรกศาสตร์ปฏิบัติตาม ประเพณี ตรรกศาสตร์ของอริสโตเติล นี้ จนถึงศตวรรษที่ 20 โดยใช้กฎของค่ากลางที่ถูกยกเว้น อย่างสม่ำเสมอ ในขณะที่ยอมรับข้อกังวลของเขาเกี่ยวกับเหตุการณ์ในอนาคต ทางเลือกที่เป็นระบบสำหรับตรรกศาสตร์คลาสสิกเพิ่งเกิดขึ้นในยุคสมัยใหม่

ศตวรรษที่ 20 นำแนวคิดเรื่องตรรกศาสตร์หลายค่ากลับมาอีกครั้ง นักตรรกศาสตร์และนักปรัชญาชาวโปแลนด์Jan Łukasiewiczเริ่มสร้างระบบตรรกศาสตร์หลายค่าในปี 1920 โดยใช้ค่าที่สามคือค่าที่เป็นไปได้เพื่อแก้ปัญหาความขัดแย้งเรื่องการรบทางทะเล ของอริสโตเติล ในขณะเดียวกัน นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันEmil L. Post (1921) ก็ได้นำเสนอการกำหนดระดับความจริงเพิ่มเติมโดยที่n  ≥ 2 โดยที่nคือค่าความจริง ต่อมา Jan Łukasiewicz และAlfred Tarskiได้ร่วมกันกำหนดตรรกศาสตร์บนค่าความจริงn ค่า โดยที่ n  ≥ 2 ในปี 1932 Hans Reichenbachได้กำหนดตรรกศาสตร์ของค่าความจริงหลายค่าโดยที่n →∞ ในปี ค.ศ. 1932 เคิร์ท เกอเดล ได้แสดงให้เห็นว่า ตรรกศาสตร์เชิงสัญชาตญาณไม่ใช่ตรรกศาสตร์ที่มีค่าจำกัดและได้กำหนดระบบตรรกศาสตร์ของเกอเดลซึ่งอยู่ระหว่าง ตรรกศาสตร์ คลาสสิกและตรรกศาสตร์เชิงสัญชาตญาณ ตรรกศาสตร์ดังกล่าวเรียกว่าตรรกศาสตร์ระดับกลาง

ตรรกะแห่งความไม่แน่นอน (ที่แข็งแกร่ง) ของKleene K ₃ (บางครั้ง) และตรรกะแห่งความขัดแย้งของPriest เพิ่ม ค่าความจริงที่ไม่กำหนดหรือไม่สามารถระบุได้ ค่าที่สาม Iฟังก์ชันความจริงสำหรับการปฏิเสธ (¬), การเชื่อมโยง (∧), การแยก (∨), การบ่งชี้ (${\displaystyle K_{3}^{S}}$→เค) และ แบบมีเงื่อนไขสองทาง (↔เค) กำหนดโดย: ^{[ 3 ]}

ความแตกต่างระหว่างตรรกะทั้งสองอยู่ที่วิธี การกำหนด สัจนิรันดร์ในK ₃ มี เพียงT เท่านั้น ที่เป็นค่าความจริงที่กำหนดไว้ในขณะที่ในP ₃ทั้งTและIต่างก็เป็นค่าความจริงที่กำหนดไว้ (สูตรตรรกะถือเป็นสัจนิรันดร์หากประเมินค่าได้เป็นค่าความจริงที่กำหนดไว้) ในตรรกะของ Kleene ค่าIสามารถตีความได้ว่าไม่แน่นอนกล่าวคือไม่ใช่ทั้งจริงหรือเท็จ ในขณะที่ในตรรกะของ Priest ค่าIสามารถตีความได้ว่าแน่นอนเกินไป กล่าวคือเป็นได้ทั้งจริงและเท็จK ₃ไม่มีสัจนิรันดร์ใดๆ ในขณะที่P ₃มีสัจนิรันดร์เช่นเดียวกับตรรกะสองค่าแบบคลาสสิก^{[ 4 ]}

ตรรกะอีกประการหนึ่งคือ ตรรกะสามค่าภายในของ Dmitry Bochvar หรือที่เรียกว่าตรรกะสามค่าแบบอ่อนของ Kleene ยกเว้นการปฏิเสธและเงื่อนไขสองทาง ตารางความจริงทั้งหมดจะแตกต่างจากข้างต้น^{[ 5 ]}${\displaystyle B_{3}^{I}}$

ค่าความจริงระดับกลางใน ตรรกะ ภายใน ของ Bochvar สามารถอธิบายได้ว่าแพร่กระจายได้เนื่องจากแพร่กระจายในสูตรโดยไม่คำนึงถึงค่าของตัวแปรอื่นใด^{[ 5 ]}

ตรรกะ B ₄ของBelnapผสมผสานK ₃และP ₃ เข้าด้วย กัน ค่าความจริงที่มีตัวกำหนดเกินจะถูกแทนด้วยBและค่าความจริงที่มีตัวกำหนดไม่ครบจะถูก แทนด้วย N

ในปี พ.ศ. 2475 Gödelได้กำหนด^{[ 6 ]}ตระกูลของตรรกะหลายค่า โดยมีค่าความจริงจำนวนจำกัดตัวอย่างเช่นมีค่าความจริงและมีในทำนองเดียวกัน เขาได้กำหนดตรรกะที่มีค่าความจริงจำนวนอนันต์ซึ่งค่าความจริงคือจำนวนจริง ทั้งหมด ในช่วงค่าความจริงที่กำหนดในตรรกะเหล่านี้คือ 1 ${\displaystyle G_{k}}$${\displaystyle 0,{\tfrac {1}{k-1}},{\tfrac {2}{k-1}},\ldots ,{\tfrac {k-2}{k-1}},1}$${\displaystyle G_{3}}$${\displaystyle 0,{\tfrac {1}{2}},1}$${\displaystyle G_{4}}$${\displaystyle 0,{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}},1}$${\displaystyle G_{\infty }}$${\displaystyle [0,1]}$

การเชื่อมแบบคอนจังก์ชันและการเชื่อมแบบดิสจังก์ชันนั้น นิยามโดยค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดของตัวดำเนินการตามลำดับ: ${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle \vee }$

${\displaystyle {\begin{aligned}u\wedge v&:=\min\{u,v\}\\u\vee v&:=\max\{u,v\}\end{aligned}}}$

การปฏิเสธและการบ่งชี้มีนิยามดังต่อไปนี้: ${\displaystyle \neg _{G}}$${\displaystyle {\xrightarrow[{G}]{}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\neg _{G}u&={\begin{cases}1,&{\text{ถ้า }}u=0\\0,&{\text{ถ้า }}u>0\end{cases}}\\[3pt]u\mathrel {\xrightarrow[{G}]{}} v&={\begin{cases}1,&{\text{ถ้า }}u\leq v\\v,&{\text{ถ้า }}u>v\end{cases}}\end{aligned}}}$

ตรรกศาสตร์ของเกอเดลสามารถกำหนดสัจพจน์ได้อย่างสมบูรณ์ กล่าวคือ เป็นไปได้ที่จะกำหนดแคลคูลัสเชิงตรรกศาสตร์ที่พิสูจน์สัจนิรันดร์ทั้งหมดได้ การบ่งชี้ข้างต้นเป็นการบ่งชี้ของเฮย์ติง ที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งกำหนดโดยข้อเท็จจริงที่ว่าการดำเนินการหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดก่อให้เกิดแลตทิซที่สมบูรณ์พร้อมกฎการกระจายอนันต์ ซึ่งกำหนด โครงสร้าง พีชคณิตเฮย์ติงที่สมบูรณ์ที่ ไม่ซ้ำกัน บนแลตทิซ

แยน ลูคาซิวิชได้นิยามความหมายของการบ่งชี้และการปฏิเสธผ่านฟังก์ชันต่อไปนี้: ${\displaystyle {\xrightarrow[{L}]{}}}$${\displaystyle {\underset {L}{\neg }}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\underset {L}{\neg }}u&:=1-u\\u\mathrel {\xrightarrow[{L}]{}} v&:=\min\{1,1-u+v\}\end{aligned}}}$

ในตอนแรก Łukasiewicz ใช้คำจำกัดความเหล่านี้ในปี พ.ศ. 2463 สำหรับตรรกะสามค่าของเขาโดยมีค่าความจริงในปี พ.ศ. 2465 เขาได้พัฒนาตรรกะที่มีค่าไม่จำกัดจำนวนซึ่งค่าความจริงครอบคลุมจำนวนจริงในช่วงในทั้งสองกรณี ค่าความจริงที่กำหนดไว้คือ 1 ^{[ 7 ]}${\displaystyle L_{3}}$${\displaystyle 0,{\frac {1}{2}},1}$${\displaystyle L_{\infty }}$${\displaystyle [0,1]}$

โดยการนำค่าความจริงที่นิยามไว้ในลักษณะเดียวกับตรรกะของเกอเดลมาใช้ทำให้สามารถสร้างตระกูลตรรกะที่มีค่าจำกัดได้ ซึ่งได้แก่ตรรกะที่กล่าวถึงข้างต้นและตรรกะซึ่งค่าความจริงกำหนดโดยจำนวนตรรกยะในช่วง เซตของสัจนิรันดร์ในและนั้นเหมือนกัน ${\displaystyle 0,{\tfrac {1}{v-1}},{\tfrac {2}{v-1}},\ldots ,{\tfrac {v-2}{v-1}},1}$${\displaystyle L_{v}}$${\displaystyle L_{\infty }}$${\displaystyle L_{\aleph _{0}}}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle L_{\infty }}$${\displaystyle L_{\aleph _{0}}}$

ในตรรกะผลิตภัณฑ์ เรามีค่าความจริงในช่วงการเชื่อมโยงและการบ่งชี้ซึ่งกำหนดไว้ดังนี้^{[ 8 ]}${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \odot }$${\displaystyle {\xrightarrow[{\Pi }]{}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}u\odot v&:=uv\\u\mathrel {\xrightarrow[{\Pi }]{}} v&:={\begin{cases}1,&{\text{if }}u\leq v\\{\frac {v}{u}},&{\text{if }}u>v\end{cases}}\end{aligned}}}$

นอกจากนี้ยังมีค่าที่กำหนดไว้เป็นลบซึ่งแสดงถึงแนวคิดของความเท็จโดยใช้ค่านี้ เราสามารถกำหนดการปฏิเสธและการเชื่อมโยงเพิ่มเติมได้ดังนี้: ${\displaystyle {\overline {0}}}$${\displaystyle {\underset {\Pi }{\neg }}}$${\displaystyle {\underset {\Pi }{\wedge }}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\underset {\Pi }{\neg }}u&:=u\mathrel {\xrightarrow[{\Pi }]{}} {\overline {0}}\\u\mathbin {\underset {\Pi }{\wedge }} v&:=u\odot \left(u\mathrel {\xrightarrow[{\Pi }]{}} v\right)\end{aligned}}}$

แล้วก็... ${\displaystyle u\mathbin {\underset {\Pi }{\wedge }} v=\min\{u,v\}}$

ในปี ค.ศ. 1921 โพสต์ได้นิยามตระกูลของตรรกศาสตร์ ที่มี ค่าความจริง(เช่นและ ) ไว้ การปฏิเสธการเชื่อมโยงและการแยก ถูกนิยามไว้ดังนี้: ${\displaystyle P_{m}}$${\displaystyle L_{v}}$${\displaystyle G_{k}}$${\displaystyle 0,{\tfrac {1}{m-1}},{\tfrac {2}{m-1}},\ldots ,{\tfrac {m-2}{m-1}},1}$${\displaystyle {\underset {P}{\neg }}}$${\displaystyle {\underset {P}{\wedge }}}$${\displaystyle {\underset {P}{\vee }}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\underset {P}{\neg }}u&:={\begin{cases}1,&{\text{if }}u=0\\u-{\frac {1}{m-1}},&{\text{if }}u\not =0\end{cases}}\\[6pt]u\mathbin {\underset {P}{\wedge }} v&:=\min\{u,v\}\\[6pt]u\mathbin {\underset {P}{\vee }} v&:=\max\{u,v\}\end{aligned}}}$

ในปี พ.ศ. 2494 Alan Rose ได้กำหนดตรรกะตระกูลอื่นสำหรับระบบที่มีค่าความจริงเป็นแลตทิซ^{[ 9 ]}

ตรรกศาสตร์โดยทั่วไปเป็นระบบที่มุ่งหมายที่จะกำหนดกฎเกณฑ์สำหรับการรักษา สมบัติ ทางความหมาย บางอย่าง ของประพจน์ผ่านการแปลงรูป ในตรรกศาสตร์ แบบคลาสสิก สมบัติดังกล่าวคือความจริงในการให้เหตุผลที่ถูกต้อง ความจริงของประพจน์ที่ได้มาจะได้รับการรับประกันหากข้อตั้งต้นเป็นจริงร่วมกัน เพราะการประยุกต์ใช้ขั้นตอนที่ถูกต้องจะรักษาสมบัติไว้ อย่างไรก็ตาม สมบัติดังกล่าวไม่จำเป็นต้องเป็นความจริงเสมอไป แต่สามารถเป็นแนวคิดอื่นได้

ตรรกศาสตร์หลายค่ามีจุดมุ่งหมายเพื่อรักษาคุณสมบัติของการถูกกำหนด (หรือการถูกกำหนด) เนื่องจากมีค่าความจริงมากกว่าสองค่า กฎการอนุมานจึงอาจมีจุดมุ่งหมายเพื่อรักษาสิ่งอื่นๆ นอกเหนือจากค่าที่สอดคล้องกับความจริง (ในความหมายที่เกี่ยวข้อง) ตัวอย่างเช่น ในตรรกศาสตร์สามค่า บางครั้งค่าความจริงที่มากที่สุดสองค่า (เมื่อแสดงเป็นจำนวนเต็มบวก) จะถูกกำหนด และกฎการอนุมานจะรักษาค่าเหล่านี้ไว้ กล่าวคือ ข้อโต้แย้งที่ถูกต้องจะต้องมีค่าของข้อตั้งต้นรวมกันน้อยกว่าหรือเท่ากับข้อสรุปเสมอ

ตัวอย่างเช่น คุณสมบัติที่คงไว้คือการพิสูจน์ความถูกต้องซึ่งเป็นแนวคิดพื้นฐานของตรรกศาสตร์เชิงสัญชาตญาณดังนั้น ข้อเสนอจึงไม่ใช่จริงหรือเท็จ แต่เป็นการพิสูจน์ความถูกต้องหรือมีข้อบกพร่อง ความแตกต่างที่สำคัญระหว่างการพิสูจน์ความถูกต้องและความจริงในกรณีนี้คือกฎของสิ่งที่ไม่รวมอยู่ตรงกลางไม่เป็นจริง: ข้อเสนอที่ไม่มีข้อบกพร่องไม่จำเป็นต้องพิสูจน์ความถูกต้อง แต่เป็นเพียงการพิสูจน์ว่าไม่มีข้อบกพร่องเท่านั้น ความแตกต่างที่สำคัญคือความแน่นอนของคุณสมบัติที่คงไว้: เราอาจพิสูจน์ได้ว่าPพิสูจน์ความถูกต้องได้ ว่าPมีข้อบกพร่อง หรือไม่สามารถพิสูจน์ได้ทั้งสองอย่าง การให้เหตุผลที่ถูกต้องจะรักษาการพิสูจน์ความถูกต้องไว้ได้ตลอดการแปลง ดังนั้น ข้อเสนอที่ได้มาจากข้อเสนอที่พิสูจน์ความถูกต้องแล้วจึงยังคงพิสูจน์ความถูกต้องได้ อย่างไรก็ตาม มีการพิสูจน์ในตรรกศาสตร์คลาสสิกที่ขึ้นอยู่กับกฎของสิ่งที่ไม่รวมอยู่ตรงกลาง เนื่องจากกฎนั้นใช้ไม่ได้ภายใต้แผนการนี้ จึงมีข้อเสนอที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ด้วยวิธีนั้น

ความสมบูรณ์เชิงฟังก์ชันเป็นคำที่ใช้อธิบายคุณสมบัติพิเศษของตรรกะและพีชคณิตแบบจำกัด เซตของตัวเชื่อมของตรรกะจะเรียกว่าสมบูรณ์เชิงฟังก์ชันหรือเพียงพอก็ต่อเมื่อเซตของตัวเชื่อมนั้นสามารถใช้สร้างสูตรที่สอดคล้องกับฟังก์ชันความจริง ที่เป็นไปได้ทุก ฟังก์ชัน^{[ 10 ]}พีชคณิตที่เพียงพอคือพีชคณิตที่การแมปตัวแปรแบบจำกัดทุกตัวสามารถแสดงได้ด้วยการประกอบการดำเนินการบางอย่าง^{[ 11 ]}

ตรรกศาสตร์คลาสสิก: CL = ({0,1}, ¬ , →, ∨, ∧, ↔) สมบูรณ์เชิงฟังก์ชัน ในขณะที่ไม่มีตรรกศาสตร์ Łukasiewiczหรือตรรกศาสตร์ที่มีค่ามากมายอนันต์ที่มีคุณสมบัตินี้^{[ 11 ] [ 12 ]}

เราสามารถกำหนดตรรกะที่มีค่าจำกัดได้เป็น L _n ({1, 2, ..., n } ƒ ₁ , ..., ƒ _m ) โดยที่n ≥ 2 เป็นจำนวนธรรมชาติที่กำหนดPost (1921) พิสูจน์ว่าสมมติว่าตรรกะสามารถสร้างฟังก์ชันของ แบบจำลองลำดับ ^ที่m ใดๆ ได้ จะมีการรวมกันของตัวเชื่อมที่สอดคล้องกันในตรรกะ L _n ที่เหมาะสม ซึ่งสามารถสร้างแบบจำลองลำดับm+1ได้^{[ 13 ]}

การประยุกต์ใช้ตรรกะหลายค่าที่รู้จักกันดีสามารถจำแนกได้คร่าวๆ เป็นสองกลุ่ม^{[ 14 ]}กลุ่มแรกใช้ตรรกะหลายค่าเพื่อแก้ปัญหาไบนารีได้อย่างมีประสิทธิภาพมากขึ้น ตัวอย่างเช่น วิธีการที่รู้จักกันดีในการแสดงฟังก์ชันบูลีนที่มีเอาต์พุตหลายตัวคือการพิจารณาส่วนเอาต์พุตเป็นตัวแปรหลายค่าตัวเดียวและแปลงเป็นฟังก์ชันลักษณะ เฉพาะที่มีเอาต์พุตเดียว (โดยเฉพาะฟังก์ชันตัวบ่งชี้ ) การประยุกต์ใช้ตรรกะหลายค่าอื่นๆ ได้แก่ การออกแบบอาร์เรย์ตรรกะที่ตั้งโปรแกรมได้ (PLA) พร้อมตัวถอดรหัสอินพุต การเพิ่มประสิทธิภาพเครื่องสถานะจำกัดการทดสอบ และการตรวจสอบ

กลุ่มที่สองมุ่งเป้าไปที่การออกแบบวงจรอิเล็กทรอนิกส์ที่ใช้สัญญาณมากกว่าสองระดับที่ไม่ต่อเนื่องกัน เช่น หน่วยความจำแบบหลายค่า วงจรคำนวณทางคณิตศาสตร์ และอาร์เรย์เกตที่ตั้งโปรแกรมได้ (FPGA) วงจรแบบหลายค่ามีข้อได้เปรียบทางทฤษฎีหลายประการเหนือวงจรไบนารีมาตรฐาน ตัวอย่างเช่น การเชื่อมต่อเข้าและออกจากชิปสามารถลดลงได้หากสัญญาณในวงจรมีสี่ระดับขึ้นไปแทนที่จะเป็นเพียงสองระดับ ในการออกแบบหน่วยความจำ การจัดเก็บข้อมูลสองบิตแทนที่จะเป็นหนึ่งบิตต่อเซลล์หน่วยความจำจะเพิ่มความหนาแน่นของหน่วยความจำเป็นสองเท่าใน ขนาด ได เดียวกัน แอปพลิเค ชันที่ใช้วงจรคำนวณทางคณิตศาสตร์มักได้รับประโยชน์จากการใช้ทางเลือกอื่นแทนระบบเลขฐานสอง ตัวอย่างเช่น ระบบ เลขตกค้างและระบบเลขซ้ำซ้อน^{[ 15 ]}สามารถลดหรือกำจัดตัวทดที่ส่งผ่านซึ่งเกี่ยวข้องกับการบวกหรือลบเลขฐานสองปกติ ส่งผลให้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์มีความเร็วสูง ระบบเลขเหล่านี้มีการใช้งานตามธรรมชาติโดยใช้วงจรแบบหลายค่า อย่างไรก็ตาม ความเป็นไปได้ในทางปฏิบัติของข้อได้เปรียบที่อาจเกิดขึ้นเหล่านี้ขึ้นอยู่กับความพร้อมใช้งานของการสร้างวงจร ซึ่งต้องเข้ากันได้หรือแข่งขันได้กับเทคโนโลยีมาตรฐานในปัจจุบัน นอกจากจะช่วยในการออกแบบวงจรอิเล็กทรอนิกส์แล้ว ตรรกะหลายค่ายังถูกนำมาใช้อย่างกว้างขวางในการทดสอบวงจรเพื่อหาข้อผิดพลาดและข้อบกพร่อง โดยพื้นฐานแล้ว อัลกอริธึม การสร้างรูปแบบการทดสอบอัตโนมัติ (ATG) ที่รู้จักทั้งหมดที่ใช้สำหรับการทดสอบวงจรดิจิทัลต้องการโปรแกรมจำลองที่สามารถแก้ไขตรรกะ 5 ค่า (0, 1, x, D, D') ได้^{[ 16 ]}ค่าเพิ่มเติม—x, D และ D'—แสดงถึง (1) ไม่ทราบ/ไม่ได้เริ่มต้น (2) 0 แทน 1 และ (3) 1 แทน 0

พื้นที่การประยุกต์ใช้ที่สามคือการประมวลผลข้อมูลควอนตัมซึ่งหน่วยการคำนวณตามธรรมชาติไม่จำเป็นต้องเป็นคิวบิตไบนารี คิวดิ ตเป็นระบบควอนตัมที่มี ระดับแยกย่อย d > 2 และโปรโตคอลการสื่อสารควอนตัมที่ใช้คิวดิตสามารถบรรลุความจุช่องสัญญาณที่สูงขึ้นและการรับประกันความปลอดภัยที่แข็งแกร่งกว่าโปรโตคอลที่ใช้คิวบิต โครงสร้างพีชคณิตของการดำเนินการคิวดิตนั้นอธิบายได้อย่างเป็นธรรมชาติโดยตรรกะหลายค่าเหนือจำนวนระดับเดียวกัน และกลุ่มวิจัยหลายกลุ่มได้สำรวจการสังเคราะห์และการเพิ่มประสิทธิภาพของวงจรควอนตัมคิวดิตโดยใช้แนวคิดตรรกะหลายค่าเป็นพื้นฐาน แพลตฟอร์มโฟโตนิกส์โดยเฉพาะอย่างยิ่งรองรับการเข้ารหัสแบบมิติสูงในระดับความเป็นอิสระ เช่น ความถี่ โมเมนตัมเชิงมุมวงโคจร และช่วงเวลา ทำให้การสื่อสารควอนตัมที่ใช้คิวดิตเป็นพื้นที่ที่มีการพัฒนาเชิงทดลองอย่างแข็งขัน^{[ 17 ]}

การ ประชุมวิชาการนานาชาติ IEEE ว่าด้วยตรรกะหลายค่า (ISMVL) จัดขึ้นเป็นประจำทุกปีตั้งแต่ปี พ.ศ. 2513 โดยส่วนใหญ่มุ่งเน้นไปที่การประยุกต์ใช้ในการออกแบบและตรวจสอบดิจิทัล^{[ 18 ]}นอกจากนี้ยังมีวารสารตรรกะหลายค่าและการคำนวณแบบอ่อน^{[ 19 ]}

ตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์

• ระดับของความจริง
• ตรรกะคลุมเครือ
• ตรรกศาสตร์ของเกอเดล
• ตรรกศาสตร์เจ็ดค่าของศาสนาเชน
• ตรรกะที่สะอาด
• พีชคณิตคลีน (พร้อมการผกผัน)
• ตรรกะของลูคาซิวิช
• ตรรกะของเบลแนปส์
• พีชคณิต MV
• ตรรกะหลัง
• หลักการของค่าคู่
• AN Prior
• ตรรกะความเกี่ยวข้อง

ตรรกศาสตร์เชิงปรัชญา

• ทางเลือกที่ผิดพลาด
• มู

ตรรกะดิจิทัล

• MVCML (Multiple-Valued Current-Mode Logic) คือตรรกะโหมดกระแสหลายค่า
• IEEE 1164มาตรฐานเก้าค่าสำหรับVHDL
• IEEE 1364มาตรฐานสี่ค่าสำหรับVerilog
• ตรรกะสามสถานะ
• ตรรกะที่อิงตามเสียงรบกวน

ทั่วไป

• Augusto, Luis M. (2017). ตรรกศาสตร์หลายค่า: บทนำทางคณิตศาสตร์และการคำนวณ.ลอนดอน: College Publications. 340 หน้า. ISBN 978-1-84890-250-3หน้าเว็บ
• Béziau J.-Y. (1997), ตรรกะหลายค่าคืออะไร? รายงานการประชุมสัมมนาวิชาการนานาชาติครั้งที่ 27 เรื่องตรรกะหลายค่า , IEEE Computer Society, Los Alamitos, หน้า 117–121
• Malinowski, Gregorz, (2001), ตรรกศาสตร์หลายค่าใน Goble, Lou, ed., คู่มือตรรกศาสตร์เชิงปรัชญาของ Blackwell . Blackwell.
• เบิร์กมันน์, เมอร์รี (2008), บทนำเกี่ยวกับตรรกะหลายค่าและตรรกะคลุมเครือ: ความหมาย พีชคณิต และระบบการอนุมาน , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, ISBN 978-0-521-88128-9
• Cignoli, RLO, D'Ottaviano, I, ML , Mundici, D. , (2000). รากฐานพีชคณิตของการให้เหตุผลอันทรงคุณค่าหลายประการ คลูเวอร์.
• Malinowski, Grzegorz (1993). ตรรกศาสตร์หลายค่า . สำนักพิมพ์ Clarendon. ISBN 978-0-19-853787-8.
• S. Gottwald , ตำราว่าด้วยตรรกศาสตร์หลายค่า.การศึกษาด้านตรรกศาสตร์และการคำนวณ, เล่มที่ 9, สำนักพิมพ์วิจัยการศึกษา: บัลด็อค, ฮาร์ทฟอร์ดเชียร์, อังกฤษ, 2001.
• Gottwald, Siegfried (2005). "ตรรกะหลายค่า" (PDF) . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 3 มีนาคม 2016{{cite journal}}: การอ้างอิงวารสารต้องใช้|journal=( ความช่วยเหลือ )CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)
• Miller, D. Michael; Thornton, Mitchell A. (2008). ตรรกะหลายค่า: แนวคิดและการแสดงแทน . การบรรยายสังเคราะห์เกี่ยวกับวงจรและระบบดิจิทัล เล่มที่ 12. สำนักพิมพ์ Morgan & Claypool. ISBN 978-1-59829-190-2.
• Hájek P. , (1998), Metamathematics of fuzzy logic . Kluwer. (Fuzzy logic understood as many-valued logic sui generis .)

เฉพาะเจาะจง

• Alexandre Zinoviev , ปัญหาเชิงปรัชญาของตรรกะหลายค่า , สำนักพิมพ์ D. Reidel, 169 หน้า, 1963
• Prior A. 1957, Time and Modality. Oxford University Press , อ้างอิงจากปาฐกถาJohn Locke ปี 1956 ของเขา
• Goguen JA 1968/69, ตรรกะของแนวคิดที่ไม่แม่นยำ , Synthese, 19, 325–373.
• Chang CCและKeisler HJ 1966. ทฤษฎีแบบจำลองต่อเนื่อง , Princeton, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน
• Gerla G. 2001, ตรรกะคลุมเครือ: เครื่องมือทางคณิตศาสตร์สำหรับการให้เหตุผลโดยประมาณ , สำนักพิมพ์ Kluwer Academic Publishers, Dordrecht.
• Novák, V., Perfilieva, I., Močkoř, J., (1999), หลักการทางคณิตศาสตร์ของลอจิกคลุมเครือ . คลูเวอร์, บอสตัน.
• Pavelka J. 1979, เกี่ยวกับตรรกะคลุมเครือ I: กฎการอนุมานหลายค่า , Zeitschr. f. math. Logik und Grundlagen d. Math., 25, 45–52.
• Metcalfe, George; Olivetti, Nicola; Dov M. Gabbay (2008). ทฤษฎีการพิสูจน์สำหรับตรรกะคลุมเครือ . Springer. ISBN 978-1-4020-9408-8.ครอบคลุมถึงทฤษฎีการพิสูจน์ของตรรกศาสตร์หลายค่าด้วยเช่นกัน ตามแนวทางของฮาเจก
• Hähnle, Reiner (1993). การอนุมานอัตโนมัติในตรรกะหลายค่า . สำนักพิมพ์ Clarendon. ISBN 978-0-19-853989-6.
• Azevedo, Francisco (2003). การแก้ปัญหาข้อจำกัดบนตรรกะหลายค่า: การประยุกต์ใช้กับวงจรดิจิทัล . สำนักพิมพ์ IOS. ISBN 978-1-58603-304-0.
• Bolc, Leonard; Borowik, Piotr (2003). ตรรกศาสตร์หลายค่า 2: การให้เหตุผลอัตโนมัติและการประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติ . Springer. ISBN 978-3-540-64507-8.
• Stanković, Radomir S.; Astola, Jaakko T.; Moraga, Claudio (2012). การนำเสนอฟังก์ชันตรรกะหลายค่า . สำนักพิมพ์ Morgan & Claypool. doi : 10.2200/S00420ED1V01Y201205DCS037 . ISBN 978-1-60845-942-1.
• Abramovici, Miron; Breuer, Melvin A.; Friedman, Arthur D. (1994). การทดสอบระบบดิจิทัลและการออกแบบที่ทดสอบได้ . นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์วิทยาการคอมพิวเตอร์. ISBN 978-0-7803-1062-9.

• ก็อตต์วาลด์, ซิกฟรีด (2022). "ตรรกศาสตร์หลายค่า"ใน ซัลตา, เอ็ดเวิร์ด เอ็น. (บรรณาธิการ). สารานุกรมปรัชญาแห่งสแตนฟอร์ด (ฉบับฤดูร้อน 2022)
• Shramko, Yaroslav และ Wansing, Heinrich (2021). "คุณค่าแห่งความจริง"ใน Zalta, Edward N. (บรรณาธิการ). สารานุกรมปรัชญาแห่งสแตนฟอร์ด (ฉบับฤดูหนาว 2021 )
• คณะกรรมการทางเทคนิคด้านตรรกะหลายค่าของสมาคมคอมพิวเตอร์ IEEE
• แหล่งข้อมูลสำหรับตรรกศาสตร์หลายค่าโดย ไรเนอร์ ฮาห์นเลมหาวิทยาลัยชาลเมอร์ส
• ตรรกะหลายค่า W3 Server (เก็บถาวร)
• Yaroslav Shramko; Heinrich Wansing (2020). "วิทยานิพนธ์ของซูสโก" . สารานุกรมปรัชญาแห่งสแตนฟอร์ด .
• Carlos Caleiro, Walter Carnielli, Marcelo E. Coniglio และ João Marcos, Two's company: "The humbug of many logical values" เก็บถาวรเมื่อวันที่ 29 กันยายน 2014 ที่Wayback MachineในJean-Yves Beziau, ed. (2007). Logica Universalis: Towards a General Theory of Logic (ฉบับที่ 2). Springer Science & Business Media. หน้า  174–194 . ISBN 978-3-7643-8354-1.