ในทางคณิตศาสตร์ ปรากฏการณ์ แสงจันทร์เงามืด (umbral moonshine)คือความเชื่อมโยงลึกลับระหว่างแลตทิซนีเมียร์ (Niemeier lattices)และ ฟังก์ชันม็อกทีตา (mock theta functions ) ของรามานุจัน (Ramanujan)มันเป็นการขยายความของปรากฏการณ์แสงจันทร์เงามืดของมาธิเยอ (Mathieu moonshine) ที่เชื่อมโยงการแสดงแทนของกลุ่มมาธิเยอ M24กับพื้นผิว K3

การใช้คำว่า "อัมบรัล" ในบริบทนี้ไม่เกี่ยวข้องกับแคลคูลัสอัมบรัล

ประวัติความเป็นมาของปรากฏการณ์มูนไชน์ของมาธิเยอเริ่มต้นด้วยทฤษฎีบทของมูไคซึ่งยืนยันว่ากลุ่มออโตมอร์ฟิซึมเชิงซิมเพล็กติก ใดๆ ของพื้นผิว K3 จะฝังตัวอยู่ในกลุ่มมาธิเยอ M23ข้อสังเกตเรื่องมูนไชน์เกิดขึ้นจากการพิจารณาทางฟิสิกส์: ทฤษฎีสนามคอนฟอร์มอ ลแบบซิกมาโมเดล K3 ใดๆ ก็ตามจะมีแอคชั่นของ พีชคณิตซูเปอร์คอนฟอร์มอล N=(4,4) ซึ่งเกิดจากโครงสร้างไฮเปอร์เคห์เลอ ร์ เมื่อโทห์รุเอะกุจิฮิโรชิ โอโอกุริและยูจิ ทาจิกาวะ( 2011 )คำนวณเทอมแรกๆ ของการแยกส่วนของเจนัสเชิงวงรีของ CFT K3 ออกเป็นอักขระของพีชคณิตซูเปอร์คอนฟอร์มอล N=(4,4) พวกเขาพบว่ามัลติพลิซิตี้ตรงกับชุดค่าผสมอย่างง่ายของตัวแทนของ M24 ได้เป็นอย่างดี อย่างไรก็ตาม ตามการจำแนกประเภทของ Mukai–Kondo ไม่มีการกระทำที่ซื่อสัตย์ของกลุ่มนี้บนพื้นผิว K3 ใดๆ โดยออโตมอร์ฟิซึมเชิงซิมเพล็กติก และตามงานของ Gaberdiel–Hohenegger–Volpato ก็ไม่มีการกระทำที่ซื่อสัตย์บน CFT K3 ใดๆ ดังนั้นการปรากฏของการกระทำบนปริภูมิฮิลเบิร์ต พื้นฐาน จึงยังคงเป็นปริศนาอยู่ 

เอะกุจิและฮิคามิแสดงให้เห็นว่ามัลติพลิซิตี้ N=(4,4) เป็นรูปแบบมอดูลาร์จำลองและมิแรนดา เฉิงเสนอแนะว่าอักขระขององค์ประกอบของ M24 ก็ควรเป็นรูปแบบมอดูลาร์จำลองเช่นกัน ข้อเสนอนี้กลายเป็นสมมติฐานมูนไชน์ของมาธิเยอ ซึ่งยืนยันว่าการแสดงเสมือนของ N=(4,4) ที่กำหนดโดยเจนัสวงรี K3 เป็นการแสดงแบบไล่ระดับมิติอนันต์ของ M24 ที่มีมัลติพลิซิตี้ไม่เป็นลบในภาคส่วนมวล และอักขระเป็นรูปแบบมอดูลาร์จำลอง ในปี 2012 เทอร์รี แกนนอนพิสูจน์ว่าการแสดงแทนของ M24 มีอยู่จริง

ในปี 2012 Cheng, Duncan & Harvey (2012)ได้รวบรวมหลักฐานเชิงตัวเลขของการขยาย Mathieu moonshine โดยที่ตระกูลของรูปแบบโมดูลาร์จำลองถูกแนบไปกับตัวหารของ 24 หลังจากการอภิปรายเชิงทฤษฎีกลุ่มกับ Glauberman แล้วCheng, Duncan & Harvey (2013)พบว่าการขยายก่อนหน้านี้เป็นกรณีพิเศษ (อนุกรม A) ของการเข้ารหัสที่เป็นธรรมชาติมากขึ้นโดยแลตทิซ Niemeier สำหรับแต่ละระบบราก Niemeier${\displaystyle X}$โดยมีโครงตาข่ายที่สอดคล้องกัน${\displaystyle L^{X}}$พวกเขาได้กำหนดกลุ่มเงามืดขึ้นมา${\displaystyle G^{X}}$ซึ่งกำหนดโดยผลหารของกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของL ^Xโดยกลุ่มย่อยของการสะท้อน - สิ่งเหล่านี้ยังเป็นที่รู้จักในชื่อตัวรักษาเสถียรภาพของหลุมลึกในแลตทิซของลีชพวกเขาสันนิษฐานว่าสำหรับแต่ละ${\displaystyle X}$มีการแสดงแทนแบบไล่ระดับมิติอนันต์${\displaystyle G^{X}}$ของ${\displaystyle G^{X}}$โดยที่อักขระขององค์ประกอบต่างๆ จะถูกกำหนดโดยรายการของฟอร์มจำลองโมดูลาร์แบบเวกเตอร์ที่คำนวณได้ ฟอร์มที่เสนอจะตรงตามคุณสมบัติความน้อยที่สุดที่คล้ายคลึงกับเงื่อนไขจีนัสศูนย์สำหรับMonstrous moonshineคุณสมบัติความน้อยที่สุดเหล่านี้บ่งชี้ว่าฟอร์มจำลองโมดูลาร์ถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันโดยเงาของมัน ซึ่งเป็นอนุกรมเธต้าแบบเวกเตอร์ที่สร้างขึ้นจากระบบราก กรณีพิเศษที่Xคือ${\displaystyle A_{1}^{24}}$ระบบรากให้ผลลัพธ์ที่แน่ชัดคือ Mathieu Moonshine ข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับแสงจันทร์ในเงามืดได้รับการพิสูจน์แล้วในDuncan, Griffin & Ono (2015 )

ชื่อ "แสงจันทร์เงามืด" มาจากการใช้เงาในทฤษฎีรูปแบบจำลองโมดูลาร์ ส่วนคำอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องกับแสงจันทร์ เช่น "ความสว่างไสว" นั้นได้รับความหมายทางเทคนิค (ในกรณีนี้คือกลุ่มสกุลศูนย์ที่ติดอยู่กับเงา)${\displaystyle S^{X}}$ซึ่งระดับนั้นคือเลขค็อกซ์เตอร์คู่ของระบบราก${\displaystyle X}$โดย เฉิง, ดันแคน และ ฮาร์วีย์ เพื่อสานต่อแนวคิดนี้

แม้ว่าข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับแสงจันทร์เงามืดจะได้รับการสรุปแล้ว แต่ก็ยังมีคำถามอีกมากมายที่ยังคงอยู่ ตัวอย่างเช่น ความเชื่อมโยงกับเรขาคณิตและฟิสิกส์ยังไม่มั่นคงนัก แม้ว่าจะมีงานวิจัยที่เชื่อมโยงฟังก์ชันเงามืดกับเอกภาวะ duVal บนพื้นผิว K3 โดย Cheng และ Harrison ก็ตาม อีกตัวอย่างหนึ่งคือ การพิสูจน์ข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับแสงจันทร์เงามืดในปัจจุบันนั้นไม่มีประสิทธิภาพ ในแง่ที่ว่ามันไม่ได้ให้การสร้างตัวแทนที่เป็นธรรมชาติ นี่คล้ายกับสถานการณ์ของแสงจันทร์ประหลาดในช่วงทศวรรษ 1980: Atkin, Fong และ Smith แสดงให้เห็นโดยการคำนวณว่าโมดูลแสงจันทร์มีอยู่จริงในปี 1980 แต่ไม่ได้ให้การสร้าง การพิสูจน์ที่มีประสิทธิภาพของข้อสันนิษฐาน Conway-Norton ได้รับการเสนอโดย Borcherds ในปี 1992 โดยใช้ตัวแทนประหลาดที่สร้างโดย Frenkel, Lepowsky และ Meurman มีการสร้างพีชคณิตจุดยอดสำหรับ${\displaystyle E_{8}^{3}}$คดีโดยดันแคนและฮาร์วีย์ ซึ่ง${\displaystyle G^{X}}$เป็นกลุ่มสมมาตร${\displaystyle S_{3}}$อย่างไรก็ตาม โครงสร้างทางพีชคณิตนั้นได้มาจากการสร้างแบบเชื่อมกรวยที่ไม่สมมาตร ซึ่งบ่งชี้ว่ามันไม่ใช่คำตอบสุดท้าย

• เหล้าเถื่อนมหึมา

• นักคณิตศาสตร์ไล่ตามเงาของแสงจันทร์