ในทางคณิตศาสตร์รูปแบบมอดูลาร์จำลอง (mock modular form)คือ ส่วน โฮโลมอร์ฟิกของรูปแบบมาสส์อ่อนฮาร์มอนิก (harmonic weak Maass form ) และฟังก์ชันเธต้าจำลอง (mock theta function ) โดยพื้นฐานแล้วคือรูปแบบมอดูลาร์จำลองที่มีน้ำหนัก⁠1/2ตัวอย่างแรกของฟังก์ชันม็อกทีตาได้รับการอธิบายโดย Srinivasa Ramanujanในจดหมายฉบับสุดท้ายของเขาในปี 1920 ถึง GH Hardyและในสมุดบันทึกที่หายไปของเขา Sander Zwegersค้นพบว่าการเพิ่มฟังก์ชันที่ไม่ใช่โฮโลมอร์ฟิกบางอย่างเข้าไปจะทำให้ฟังก์ชันเหล่านั้นกลายเป็นรูปแบบ Maass อ่อนแบบฮาร์มอนิก ^{[ 1 ] [ 2 ]}

จดหมายของ Ramanujan ถึง Hardy ลงวันที่ 12 มกราคม พ.ศ. 2463 ^{[ 3 ]}ระบุตัวอย่างฟังก์ชัน 17 ตัวอย่างที่เขาเรียกว่าฟังก์ชัน mock theta และสมุดบันทึกที่หายไป ของเขา ^{[ 4 ]}มีตัวอย่างเพิ่มเติมอีกหลายตัวอย่าง (Ramanujan ใช้คำว่า "ฟังก์ชัน theta" สำหรับสิ่งที่ในปัจจุบันเรียกว่ารูปแบบโมดูลาร์) Ramanujan ชี้ให้เห็นว่าฟังก์ชันเหล่านี้มีการขยายเชิงเส้นกำกับที่จุดยอด คล้ายกับรูปแบบโมดูลาร์ของน้ำหนัก1/2อาจมีขั้วอยู่ที่จุดยอด แต่ไม่สามารถแสดงออกมาในรูปของฟังก์ชันเธต้า "ธรรมดา" ได้เขาเรียกฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติคล้ายกันว่า "ฟังก์ชันเธต้าจำลอง" ต่อมา Zwegers ค้นพบความเชื่อมโยงของฟังก์ชันเธต้าจำลองกับรูปแบบ Maass ที่อ่อนแอ

รามานุจันได้กำหนดลำดับให้กับฟังก์ชันม็อกทีตาของเขา ซึ่งไม่ได้มีการกำหนดไว้อย่างชัดเจน ก่อนงานของซเวเกอร์ส ลำดับของฟังก์ชันม็อกทีตาที่รู้จักกันนั้นได้แก่

3, 5, 6, 7, 8, 10.

แนวคิดเรื่องระเบียบ ของรามานุจันในภายหลังกลับกลายเป็นว่าสอดคล้องกับตัวนำของตัวละครเนเบนไทปัสแห่งน้ำหนัก1/2รูปแบบ Maass ที่มีความ กลมกลืนซึ่งยอมรับฟังก์ชัน mock theta ของ Ramanujan เป็นการฉายภาพแบบ holomorphic

ในอีกไม่กี่ทศวรรษต่อมา ฟังก์ชันม็อกทีตาของรามานุจันได้รับการศึกษาโดยวัตสัน แอนดรูว์ส เซลเบิร์ก ฮิกเกอร์สัน ชอย แมคอินทอช และคนอื่นๆ ซึ่งพิสูจน์ข้อความของรามานุจันเกี่ยวกับฟังก์ชันเหล่านี้ และพบตัวอย่างและเอกลักษณ์เพิ่มเติมอีกหลายอย่าง (เอกลักษณ์และตัวอย่าง "ใหม่" ส่วนใหญ่เป็นที่รู้จักของรามานุจันอยู่แล้ว และปรากฏขึ้นอีกครั้งในสมุดบันทึกที่หายไปของเขา) ในปี 1936 วัตสันพบว่าภายใต้การกระทำขององค์ประกอบของกลุ่มมอดูลาร์ฟังก์ชันม็อกทีตาอันดับ 3 เกือบจะแปลงสภาพเหมือนรูปแบบมอดูลาร์ของน้ำหนัก1/2(คูณด้วยกำลังของ q ที่เหมาะสม ) ยกเว้นว่าจะมี "พจน์ข้อผิดพลาด" ในสมการเชิงฟังก์ชัน ซึ่งมักจะกำหนดเป็นอินทิกรัลที่ชัดเจน ^{[ 5 ]} อย่างไรก็ตาม เป็นเวลาหลายปีที่ไม่มีคำจำกัดความที่ดีของฟังก์ชันม็อกทีตา สิ่งนี้เปลี่ยนไปในปี 2001 เมื่อ Zwegers ค้นพบความสัมพันธ์กับรูปแบบโมดูลาร์ที่ไม่ใช่โฮโลมอร์ฟิก ผลรวมของ Lerch และอนุกรมทีตาที่ไม่แน่นอน Zwegers แสดงให้เห็นโดยใช้ผลงานก่อนหน้าของ Watson และ Andrews ว่าฟังก์ชันม็อกทีตาอันดับ 3, 5 และ 7 สามารถเขียนเป็นผลรวมของรูปแบบ Maass ที่อ่อนที่มีน้ำหนัก ⁠1/2และฟังก์ชันที่มีขอบเขตตามเส้นจีโอเดสิกที่สิ้นสุดที่จุดแหลม ^{[ 2 ]}รูปแบบมาสส์แบบอ่อนมีค่าไอเกน3/16ภายใต้ตัวดำเนินการลาปลาเซียนไฮเปอร์โบลิก (ค่าเดียวกับรูปแบบมอดูลาร์โฮโลมอร์ฟิกของน้ำหนัก )1/2อย่างไรก็ตามมันเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วแบบทวีคูณใกล้จุดแหลม ดังนั้นจึงไม่เป็นไปตามเงื่อนไขการเติบโตปกติสำหรับรูปแบบคลื่นมาสส์ ซเวเกอร์พิสูจน์ผลลัพธ์นี้ในสามวิธีที่แตกต่างกัน โดยเชื่อมโยงฟังก์ชันม็อกทีตาเข้ากับฟังก์ชันทีตาของเฮคเค่บนแลตทิซไม่จำกัดมิติ 2 และกับผลรวมแอปเปลล์-เลิร์ช และกับรูปแบบจาโคบีแบบเมโรเมอร์ฟิก

ผลลัพธ์พื้นฐานของ Zwegers แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชัน mock theta เป็น "ส่วน holomorphic" ของรูปแบบโมดูลาร์เชิงวิเคราะห์จริงที่มีน้ำหนัก⁠1/2สิ่งนี้ทำให้สามารถขยายผลลัพธ์มากมายเกี่ยวกับรูปแบบมอดูลาร์ไปสู่ฟังก์ชันม็อกทีตาได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เช่นเดียวกับรูปแบบมอดูลาร์ ฟังก์ชันม็อกทีตาทั้งหมดอยู่ในปริภูมิที่มีมิติจำกัดที่ระบุไว้อย่างชัดเจน ซึ่งช่วยลดการพิสูจน์ที่ยาวและยากของเอกลักษณ์มากมายระหว่างฟังก์ชันเหล่านี้ให้เหลือเพียงพีชคณิตเชิงเส้นทั่วไปเป็นครั้งแรกที่สามารถสร้างตัวอย่างของฟังก์ชันม็อกทีตาได้เป็นจำนวนอนันต์ ก่อนหน้านี้มีเพียงประมาณ 50 ตัวอย่างที่รู้จัก (ส่วนใหญ่ค้นพบครั้งแรกโดยรามานุจัน) ในฐานะการประยุกต์ใช้แนวคิดของซเวเกอร์สเพิ่มเติมแคทรีน บริงมันน์และเคน โอโนะ แสดงให้เห็นว่าอนุกรม q บางอนุกรมที่เกิดขึ้นจากอนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกพื้นฐานของโรเจอร์ส-ไฟน์มีความสัมพันธ์กับส่วนโฮ โลมอร์ฟิกที่มีน้ำหนัก3/2รูปแบบ Maass อ่อนแบบฮาร์มอนิก [ ^{6 ] และ}แสดงให้เห็นว่าอนุกรมเชิงเส้นกำกับสำหรับสัมประสิทธิ์ของฟังก์ชัน mock theta อันดับ 3 f ( q ) ที่ศึกษาโดย George Andrews ^{[ 7 ]}และ Leila Dragonette ^{[ 8 ]}ลู่เข้าสู่สัมประสิทธิ์ ^{[ 9 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟังก์ชัน Mock theta มีการขยายเชิงเส้นกำกับที่จุดยอดของกลุ่มมอดูลาร์ซึ่งกระทำบนระนาบครึ่งบนที่คล้ายกับรูปแบบมอดูลาร์ที่มีน้ำหนัก ⁠1/2โดยมีขั้วอยู่ที่จุดยอด

รูปแบบโมดูลาร์จำลองจะถูกกำหนดให้เป็น "ส่วนโฮโลมอร์ฟิก" ของรูปแบบมาสส์อ่อนฮาร์มอนิก

กำหนดค่าน้ำหนักkซึ่งโดยปกติจะเป็นจำนวนเต็ม 2k กำหนดกลุ่มย่อย Γ ของSL ( Z ) (หรือของกลุ่มเมตาเพล็กติกถ้าkเป็นจำนวนเต็มครึ่ง) และอักขระρของ Γ รูปแบบมอดูลาร์f สำหรับอักขระนี้และกลุ่ม Γ นี้ จะแปลงภายใต้สมาชิกของ Γ โดย

${\displaystyle f\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\rho {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}(c\tau +d)^{k}f(\tau )}$

รูปแบบมาสส์แบบอ่อนที่มีน้ำหนักkคือฟังก์ชันต่อเนื่องบนระนาบครึ่งบนที่แปลงรูปเหมือนรูปแบบมอดูลาร์ที่มีน้ำหนักkและเป็นฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการลาปลาเซียนที่มีน้ำหนักkและเรียกว่าฮาร์มอนิกหากค่าลักษณะเฉพาะของมันคือ( ⁠1 − k/2)​​เค/2[ 10 ^]นี่คือค่าลักษณะเฉพาะของรูปแบบมอดูลาร์น้ำหนักโฮโลมอ^ร์ ฟิก kดังนั้นสิ่งเหล่านี้ทั้งหมดจึงเป็นตัวอย่างของรูปแบบมาสส์อ่อนฮาร์มอนิก (^รูปแบบมาสส์คือรูปแบบมาสส์อ่อนที่ลดลงอย่างรวดเร็วที่จุดยอดแหลม) ดังนั้นรูปแบบมาสส์อ่อนฮาร์มอนิกจึงถูกทำลายโดยตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}y^{k}{\frac {\partial }{\partial {\overline {\tau }}}}}$

ถ้าFเป็นรูปแบบ Maass อ่อนแบบฮาร์มอนิกใดๆ แล้วฟังก์ชันgที่กำหนดโดย

${\displaystyle g=y^{k}{\frac {\partial {\overline {F}}}{\partial \tau }}=\sum _{n}b_{n}q^{n}}$

เป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกและแปลงรูปเหมือนฟอร์มมอดูลาร์ที่มีน้ำหนักkแม้ว่าอาจจะไม่เป็นโฮโลมอร์ฟิกที่จุดยอดแหลมก็ตาม หากเราสามารถหาฟังก์ชันอื่นg ^*ที่มีภาพg เดียวกันได้ F − g ^*ก็จะเป็นโฮโลมอร์ฟิก ฟังก์ชันดังกล่าวได้มาจากการผกผันตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์โดยการอินทิเกรต ตัวอย่างเช่น เราสามารถกำหนด  

${\displaystyle g^{*}(\tau )=\left({\frac {i}{2}}\right)^{k-1}\int _{-{\overline {\tau }}}^{i\infty }(z+\tau )^{-k}{\overline {g(-{\overline {z}})}}\,dz=\sum _{n}n^{k-1}{\overline {b_{n}}}\beta _{k}(4ny)q^{-n+1}}$

ที่ไหน

${\displaystyle \displaystyle \beta _{k}(t)=\int _{t}^{\infty }u^{-k}e^{-\pi u}\,du}$

โดยพื้นฐานแล้วคือฟังก์ชันแกมมาที่ไม่สมบูรณ์ อินทิกรัลจะลู่เข้าเมื่อใดก็ตามที่gมีศูนย์ที่จุดยอดi ∞ และฟังก์ชันแกมมาที่ไม่สมบูรณ์สามารถขยายได้โดยการต่อยอดเชิงวิเคราะห์ดังนั้นสูตรนี้จึงสามารถใช้เพื่อกำหนดส่วนโฮโลมอร์ฟิกg ^*ของF ได้ แม้ในกรณีที่gเป็นเมโรเมอร์ฟิกที่i ∞ ก็ตาม แม้ว่าสิ่งนี้จะต้องระมัดระวังหากkเป็น 1 หรือไม่ใช่จำนวนเต็ม หรือหากn  =  0 ตัวผกผันของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์นั้นห่างไกลจากความเป็นเอกลักษณ์ เนื่องจากเราสามารถเพิ่มฟังก์ชันโฮโมมอร์ฟิกใดๆ ลงในg ^*โดยไม่ส่งผลกระทบต่อภาพของมัน และเป็นผลให้ฟังก์ชันg ^*ไม่จำเป็นต้องไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้กลุ่ม Γ ฟังก์ชันh = F − g ^*เรียกว่าส่วนโฮโลมอร์ฟิกของF  

รูปแบบมอดูลาร์จำลอง ถูกนิยามให้เป็นส่วนโฮโลมอร์ฟิกhของรูปแบบมาสส์อ่อนฮาร์มอนิกF บางรูปแบบ ดังนั้นจึงมีไอโซมอร์ฟิซึมจากปริภูมิของรูปแบบมอดูลาร์จำลองhไปยังปริภูมิย่อยของรูปแบบมาสส์อ่อนฮาร์มอนิก

รูปแบบมอดูลาร์จำลองhเป็นแบบโฮโลมอร์ฟิกแต่ไม่ใช่มอดูลาร์โดยสมบูรณ์ ในขณะที่h  + g ^*เป็นแบบมอดูลาร์แต่ไม่ใช่โฮโลมอร์ฟิกโดยสมบูรณ์ ปริภูมิของรูปแบบมอดูลาร์จำลอง ที่มีน้ำหนัก kประกอบด้วยปริภูมิของรูปแบบเกือบมอดูลาร์ ("รูปแบบมอดูลาร์ที่อาจเป็นเมโรเมอร์ฟิกที่จุดยอด") ที่มี น้ำหนัก kเป็นปริภูมิย่อย ผลหารเป็นไอโซมอร์ฟิก (แบบแอนติลิเนียร์) กับปริภูมิของรูปแบบมอดูลาร์โฮโลมอร์ฟิกที่มีน้ำหนัก 2 − k รูปแบบมอดูลาร์ น้ำหนัก -(2 − k ) gที่สอดคล้องกับรูปแบบมอดูลาร์ จำลอง hเรียกว่าเงา ของมัน เป็นเรื่องปกติที่ฟังก์ชันเธต้าจำลองที่แตกต่างกันจะมีเงาเดียวกัน ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันเธต้าจำลอง 10 ฟังก์ชันอันดับ 5 ที่รามานุจันค้นพบนั้นแบ่งออกเป็นสองกลุ่ม กลุ่มละ 5 ฟังก์ชัน โดยที่ฟังก์ชันทั้งหมดในแต่ละกลุ่มมีเงาเดียวกัน (ยกเว้นการคูณด้วยค่าคงที่)     

Don Zagier ^{[ 11 ]}นิยามฟังก์ชัน mock thetaว่าเป็นกำลังเชิงตรรกะของq  =  e ^{2 π i 𝜏}คูณกับรูปแบบโมดูลาร์ mock ที่มีน้ำหนัก⁠1/2เงาของ มันคืออนุกรมธีตาของรูปแบบ

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }\varepsilon (n)nq^{\คัปปา n^{2}}}$

สำหรับจำนวนตรรกยะบวกκและฟังก์ชันคาบคี่ε (อนุกรมธีตาใดๆ ดังกล่าวเป็นรูปแบบโมดูลาร์ของน้ำหนัก⁠)3/2) . พลังแห่งเหตุผลของ qเป็นอุบัติเหตุทางประวัติศาสตร์

รูปแบบมอดูลาร์จำลองส่วนใหญ่และรูปแบบมาสส์แบบอ่อนมีอัตราการเติบโตอย่างรวดเร็วที่จุดยอดแหลม โดยทั่วไปมักกำหนดเงื่อนไขว่าพวกมันเติบโตเร็วที่สุดในระดับเลขชี้กำลังที่จุดยอดแหลม (ซึ่งสำหรับรูปแบบมอดูลาร์จำลองหมายความว่าพวกมันเป็น "เมโรเมอร์ฟิก" ที่จุดยอดแหลม) ปริภูมิของรูปแบบมอดูลาร์จำลอง (ที่มีน้ำหนักและกลุ่มที่กำหนด) ซึ่งการเติบโตถูกจำกัดด้วยฟังก์ชันเลขชี้กำลังคงที่บางฟังก์ชันที่จุดยอดแหลมนั้นมีมิติจำกัด

ผลรวม Appell–Lerch ซึ่งเป็นการวางนัยทั่วไปของอนุกรม Lambertได้รับการศึกษาครั้งแรกโดยPaul Émile Appell ^{[ 12 ]}และMathias Lerch [ ^{13 ] Watson}ศึกษาฟังก์ชัน mock theta อันดับ 3 โดยแสดงฟังก์ชันเหล่านั้นในรูปของผลรวม Appell–Lerch และ Zwegers ใช้ฟังก์ชันเหล่านั้นเพื่อแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชัน mock theta เป็นรูปแบบ mock modular โดยพื้นฐาน

อนุกรมแอปเปลล์-เลิร์ช คือ

${\displaystyle \mu (u,v;\tau )={\frac {a^{\frac {1}{2}}}{\theta (v;\tau )}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-b)^{n}q^{{\frac {1}{2}}n(n+1)}}{1-aq^{n}}}}$

ที่ไหน

${\displaystyle \displaystyle q=e^{2\pi i\tau },\quad a=e^{2\pi iu},\quad b=e^{2\pi iv}}$

และ

${\displaystyle \theta (v,\tau )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}b^{n+{\frac {1}{2}}}q^{{\frac {1}{2}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}.}$

ซีรีส์ที่แก้ไขแล้ว

${\displaystyle {\hat {\mu }}(u,v;\tau )=\mu (u,v;\tau )-{\frac {1}{2}}R(uv;\tau )}$

ที่ไหน

${\displaystyle R(z;\tau )=\sum _{\nu \in \mathbb {Z} +{\frac {1}{2}}}(-1)^{\nu -{\frac {1}{2}}}\left({\rm {sign}}(\nu )-E\left[\left(\nu +{\frac {\Im (z)}{y}}\right){\sqrt {2y}}\right]\right)e^{-2\pi i\nu z}q^{-{\frac {1}{2}}\nu ^{2}}}$

และy = Im( 𝜏 ) และ

${\displaystyle E(z)=2\int _{0}^{z}e^{-\pi ยู^{2}}\,du}$

ตรงตามคุณสมบัติการแปลงต่อไปนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mu }}(u+1,v;\tau )&=a^{-1}bq^{-{\frac {1}{2}}}{\hat {\mu }}(u+\tau ,v;\tau )\\&{}=-{\hat {\mu }}(u,v;\tau )\\e^{{\frac {2}{8}}\pi i}{\hat {\mu }}(u,v;\tau +1)&={\hat {\mu }}(u,v;\tau )\\&{}=-\left({\frac {\tau }{i}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}e^{{\frac {\pi i}{\tau }}(u-v)^{2}}{\hat {\mu }}\left({\frac {u}{\tau }},{\frac {v}{\tau }};-{\frac {1}{\tau }}\right).\end{aligned}}}$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง อนุกรม Appell–Lerch ที่ดัดแปลงแล้วจะแปลงรูปเหมือนฟอร์มมอดูลาร์เมื่อเทียบกับ𝜏เนื่องจากฟังก์ชันม็อกทีตาสามารถแสดงในรูปของอนุกรม Appell–Lerch ได้ นั่นหมายความว่าฟังก์ชันม็อกทีตาจะแปลงรูปเหมือนฟอร์มมอดูลาร์หากมีการเพิ่มอนุกรมที่ไม่ใช่เชิงวิเคราะห์บางอย่างเข้าไป

George Andrews ^{[ 14 ]}แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันม็อกเธต้าลำดับที่ห้าของ Ramanujan หลายฟังก์ชันเท่ากับผลหารΘ(𝜏)/θ (𝜏)โดยที่ θ ( 𝜏 ) คือรูปแบบโมดูลาร์ของน้ำหนัก1/2และ Θ ( 𝜏 ) เป็นฟังก์ชันเธต้าของรูปแบบกำลังสองไบนารีที่ไม่แน่นอน และ Dean Hickerson ^{[ 15 ]}ได้พิสูจน์ผลลัพธ์ที่คล้ายกันสำหรับฟังก์ชันม็อกเธต้าลำดับที่เจ็ด Zwegers ได้แสดงวิธีการทำให้ฟังก์ชันเธต้าที่ไม่แน่นอนสมบูรณ์เพื่อสร้างรูปแบบโมดูลาร์เชิงวิเคราะห์จริง และใช้สิ่งนี้เพื่อพิสูจน์ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันม็อกเธต้าและรูปแบบคลื่น Maass ที่อ่อนแออีกครั้ง

George Andrews ^{[ 16 ]}สังเกตว่าฟังก์ชันม็อกทีตาลำดับที่ห้าบางส่วนของ Ramanujan สามารถแสดงได้ในรูปของผลหารของฟังก์ชันทีตาของ Jacobi Zwegers ใช้แนวคิดนี้เพื่อแสดงฟังก์ชันม็อกทีตาเป็นสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ของรูปแบบ Jacobi แบบเมโรเมอร์ฟิก

• Ruth LawrenceและDon Zagierเชื่อมโยงฟังก์ชัน mock theta กับค่าคงที่ควอนตัมของ 3-manifold ^{[ 17 ]}
• AM Semikhatov, A. Taormina และ I. Yu Tipunin เชื่อมโยงฟังก์ชัน mock theta กับ Lie superalgebrasมิติอนันต์และทฤษฎีสนามคอนฟอร์มอลสองมิติ^{[ 18 ]}
• J. Troost แสดงให้เห็นว่าการเติมเต็มแบบโมดูลาร์ของรูปแบบโมดูลาร์จำลองเกิดขึ้นเป็นสกุลวงรีของทฤษฎีสนามคอนฟอร์มอลที่มีสเปกตรัมต่อเนื่อง^{[ 19 ]}
• ฟังก์ชันเธต้าจำลองปรากฏในทฤษฎีแสงจันทร์เงามืด
• Atish Dabholkar , Sameer Murthy และDon Zagierแสดงให้เห็นว่ารูปแบบโมดูลาร์จำลองมีความเกี่ยวข้องกับความเสื่อมของหลุมดำควอนตัมในทฤษฎีสตริงN = 4 ^{[ 20 ]}

• รูปแบบโมดูลาร์ใดๆ ที่มีน้ำหนักk (อาจเป็นเมโรเมอร์ฟิกเฉพาะที่จุดยอด) เป็นรูปแบบโมดูลาร์จำลองที่มีน้ำหนักkโดยมีเงาเป็น 0
• ซีรี่ส์ไอเซนสไตน์แบบกึ่งโมดูลาร์

${\displaystyle \displaystyle E_{2}(\tau )=1-24\sum _{n>0}\sigma _{1}(n)q^{n}}$

ของน้ำหนัก 2 และระดับ 1 เป็นรูปแบบโมดูลาร์จำลองของน้ำหนัก 2 โดยมีเงาเป็นค่าคงที่ ซึ่งหมายความว่า

${\displaystyle \displaystyle E_{2}(\tau )-{\frac {3}{\pi y}}}$

แปลงรูปเหมือนรูปแบบโมดูลาร์ของน้ำหนัก 2 (โดยที่𝜏 = x  + iy ) 

• ฟังก์ชันที่ศึกษาโดย Don Zagier ^{[ 21 ] [ 22 ]}ที่มีสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ซึ่งเป็นจำนวนชั้น Hurwitz H ( N ) ของฟิลด์กำลังสองจินตนาการเป็นรูปแบบโมดูลาร์จำลองที่มีน้ำหนัก⁠3/2ระดับ 4 และเงา Σ q ^{n 2}รูปแบบคลื่นมาสส์อ่อนที่สอดคล้องกันคือ  

${\displaystyle F(\tau )=\sum _{N}H(N)q^{n}+y^{-1/2}\sum _{n\in Z}\beta (4\pi n^{2}y)q^{-n^{2}}}$

ที่ไหน

${\displaystyle \beta (x)={\frac {1}{16\pi }}\int _{1}^{\infty }u^{-3/2}e^{-xu}du}$

และy  =  Im( 𝜏 ), q  =  e ^{2 π i 𝜏} .

ฟังก์ชันเธต้าจำลองเป็นรูปแบบโมดูลาร์จำลองของน้ำหนัก1/2เงาของ มันคือฟังก์ชันทีตาเอกภาค คูณด้วยกำลังตรรกยะของ q (ด้วยเหตุผลทางประวัติศาสตร์) ก่อนที่งานของ Zwegers จะนำไปสู่วิธีการทั่วไปในการสร้างมัน ตัวอย่างส่วนใหญ่ถูกนำเสนอในรูปของฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกพื้นฐานแต่ส่วนใหญ่เป็นอุบัติเหตุทางประวัติศาสตร์ และฟังก์ชันทีตาจำลองส่วนใหญ่ไม่มีการแสดงออกอย่างง่ายที่รู้จักในรูปของฟังก์ชันดังกล่าว

ฟังก์ชันม็อกธีตา "ธรรมดา" คือรูปแบบโมดูลาร์ (โฮโลมอร์ฟิก) ของน้ำหนัก1/2ซึ่งได้รับการจำแนกประเภทโดย Serre และ Stark ^{[ 23 ]}ซึ่งแสดงให้เห็นว่าสามารถเขียนได้ทั้งหมดโดยใช้ฟังก์ชันทีตาของแลตทิซ 1 มิติ

ตัวอย่างต่อไปนี้ใช้สัญลักษณ์ q-Pochhammer ( a ; q ) ซึ่งกำหนดไว้ดังนี้:

${\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{0\leq j<n}(1-aq^{j})=(1-a)(1-aq)\cdots (1-aq^{n-1}).}$

• การประชุมวิชาการนานาชาติ: ฟังก์ชันเธต้าจำลองและการประยุกต์ใช้ 2009
• บทความเกี่ยวกับฟังก์ชันม็อกธีตาโดยจอร์จ แอนดรูว์ส
• บทความเกี่ยวกับฟังก์ชันเธต้าจำลองโดยKathrin Bringmann
• บทความเกี่ยวกับฟังก์ชัน mock thetaโดยKen Ono
• บทความเกี่ยวกับฟังก์ชันม็อกทีต้าโดยSander Zwegers
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. , "ฟังก์ชันเธต้าจำลอง" , MathWorld