ในพีชคณิต ทฤษฎีบทคู่ของแมทลิส ( Matlis duality)คือทฤษฎีบทคู่ระหว่างโมดูล อาร์ ทิเนียน (Artinian)และ โมดูล โนเธอร์เรียน (Noetherian) บนวงแหวนเฉพาะที่ โนเธอร์เรียนสมบูรณ์ (complete Noetherian local ring) ในกรณีพิเศษที่วงแหวนเฉพาะที่ประกอบด้วยฟิลด์ที่แมปไปยังฟิลด์ตกค้าง ( residue field) ทฤษฎีบทคู่นี้ มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับงานก่อนหน้านี้ของฟรานซิส โซเวอร์บี แมคออลีย์ (Francis Sowerby Macaulay ) เกี่ยวกับวงแหวนพหุนามและบางครั้งเรียกว่า ทฤษฎีบทคู่ของแมคออลีย์ ( Macaulay duality ) ส่วนกรณีทั่วไปนั้นได้รับการแนะนำโดยแมทลิส (Matlis) ( 1958 ) 

สมมติว่าRเป็นวงแหวนเฉพาะที่สมบูรณ์แบบ Noetherian ที่มีฟิลด์ตกค้างkและเลือกEให้เป็นเปลือกบุคทิฟของk (บางครั้งเรียกว่าโมดูล Matlis ) คู่D ( M ) ของโมดูลMถูกกำหนดให้เป็น Hom ( M , E ) แล้วทฤษฎีบทคู่ของ Matlis ระบุว่าฟังก์ชันคู่D ให้ความเท่าเทียมกันแบบผกผันระหว่างหมวดหมู่ของ โมดูล R แบบ Artinian และ Noetherian โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟังก์ชันคู่ให้ความเท่าเทียมกันแบบผกผันจากหมวดหมู่ของโมดูลที่มีความยาวจำกัดไปยังตัวมันเอง

สมมติว่าวงแหวนเฉพาะที่สมบูรณ์แบบ Noetherian Rมีฟิลด์ย่อยkที่แมปไปยังฟิลด์ย่อยที่มีดัชนีจำกัดของฟิลด์ตกค้างR / m ของมัน แล้วคู่แบบ Matlis ของโมดูลR ใดๆ ก็คือคู่ของมันในฐานะ ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีเหนือkถ้าโมดูลนั้นมีทอพอโลยีแบบm -adic โดยเฉพาะอย่างยิ่ง คู่แบบ Matlis ของRในฐานะปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีเหนือkคือโมดูล Matlis กรณีนี้มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับงานของ Macaulay เกี่ยวกับวงแหวนพหุนามแบบแบ่งระดับ และบางครั้งเรียกว่าคู่แบบ Macaulay

ถ้าRเป็นวงแหวนการประเมินค่าแบบไม่ต่อเนื่องที่มีฟิลด์ผลหารKแล้ว โมดูล Matlis คือK / Rในกรณีพิเศษเมื่อRเป็นวงแหวนของจำนวนp -adic โมดูลคู่ Matlis ของโมดูลที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดคือโมดูลคู่ Pontryagin ของโมดูลนั้น ซึ่ง ถือว่าเป็นกลุ่มอาเบเลียนที่กะทัดรัดเฉพาะที่

ถ้าRเป็นวงแหวนเฉพาะที่แบบ Cohen–Macaulay ที่มีมิติdและมีโมดูลคู่ขนาน Ω แล้ว โมดูล Matlis จะกำหนดโดย กลุ่ม โคฮอโมโลยีเฉพาะที่ H ^d (Ω) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าRเป็นวงแหวนเฉพาะที่แบบ Artinian แล้ว โมดูล Matlis จะเหมือนกับโมดูลคู่ขนาน

ความเป็นคู่ของ Matlis สามารถอธิบายในเชิงแนวคิดได้โดยใช้ภาษาของฟังก์ชันผกผันและหมวดหมู่ที่ได้มา : ^{[ 1 ]}ฟังก์ชันระหว่างหมวดหมู่ที่ได้มาของ โมดูล Rและkที่เหนี่ยวนำโดยการพิจารณา โมดูล kเป็น โมดูล Rยอมรับฟังก์ชันผกผันด้านขวา ( Hom ภายใน ที่ได้มา )

${\displaystyle D(k)\gets D(R):R\operatorname {Hom} _{R}(k,-).}$

ตัวผกผันขวาตัวนี้ส่งเปลือกหุ้มแบบฉีด${\displaystyle E(k)}$กล่าวถึงข้างต้นถึงkซึ่งเป็นวัตถุคู่ใน${\displaystyle D(k)}$ข้อเท็จจริงเชิงนามธรรมนี้จึงนำไปสู่ความเท่าเทียมกันดังที่กล่าวไว้ข้างต้น

• ความเป็นคู่เฉพาะที่ของโกรเทนดิค