สมมติว่า${\displaystyle D}$เป็นเซตย่อยแบบเปิดที่เชื่อมต่อกัน มีขอบเขต ไม่ว่างเปล่า และมีขอบเขตจำกัดของ${\displaystyle \mathbb {C} }$. อนุญาต${\displaystyle {\โอเวอร์ไลน์ {D}}}$จะเป็นการปิดตัวลงของ${\displaystyle D}$สมมติว่า${\displaystyle f\colon {\overline {D}}\to \mathbb {C} }$เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่เป็นโฮโลมอร์ฟิกบน${\displaystyle D}$. แล้ว${\displaystyle |f(z)|}$บรรลุค่าสูงสุด ณ จุดใดจุดหนึ่งของขอบเขตของ${\displaystyle D}$.

ซึ่งเป็นผลสืบเนื่องมาจากเวอร์ชันแรกดังต่อไปนี้ เนื่องจาก${\displaystyle {\โอเวอร์ไลน์ {D}}}$เป็นเซตกระชับและไม่ว่างเปล่า เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง${\displaystyle |f(z)|}$ถึงจุดสูงสุด ณ จุดใดจุดหนึ่ง${\displaystyle z_{0}}$ของ${\displaystyle {\โอเวอร์ไลน์ {D}}}$. ถ้า${\displaystyle z_{0}}$หากไม่อยู่บนขอบเขต หลักการค่าสัมบูรณ์สูงสุดจะบ่งชี้ว่า${\displaystyle f}$เป็นค่าคงที่ ดังนั้น${\displaystyle |f(z)|}$นอกจากนี้ ยังมีค่าสูงสุดเท่ากันที่จุดใดๆ บนขอบเขตอีกด้วย

สำหรับฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก${\displaystyle f}$บนชุดเปิดที่เชื่อมต่อกัน${\displaystyle D}$ของ${\displaystyle \mathbb {C} }$, ถ้า${\displaystyle z_{0}}$เป็นจุดหนึ่งใน${\displaystyle D}$โดยที่

${\displaystyle 0<|f(z_{0})|\leq |f(z)|}$

สำหรับทุกคน${\displaystyle z}$ในบางละแวกของ${\displaystyle z_{0}}$, แล้ว${\displaystyle f}$คงที่บน${\displaystyle D}$.

พิสูจน์: ใช้หลักการค่าสัมบูรณ์สูงสุดกับ${\displaystyle 1/f}$.

สามารถใช้ความเท่าเทียมกันได้

${\displaystyle \log f(z)=\ln |f(z)|+i\arg f(z)}$

สำหรับลอการิทึมธรรมชาติ เชิงซ้อน เพื่อสรุปว่า${\displaystyle \ln |f(z)|}$เป็นฟังก์ชันฮาร์มอนิกเนื่องจาก${\displaystyle z_{0}}$เป็นค่าสูงสุดเฉพาะที่สำหรับฟังก์ชันนี้ด้วยเช่นกัน ซึ่งเป็นผลมาจากหลักการค่าสูงสุดที่ว่า ${\displaystyle |f(z)|}$ มีค่าคงที่ จากนั้น โดยใช้สมการโคชี-รีมันน์เราจะแสดงให้เห็นว่า${\displaystyle f'(z)}$= 0 และด้วยเหตุนี้${\displaystyle f(z)}$มีค่าคงที่เช่นกัน เหตุผลที่คล้ายกันแสดงให้เห็นว่า ${\displaystyle |f(z)|}$ สามารถมีค่าต่ำสุดเฉพาะที่ (ซึ่งจำเป็นต้องมีค่าเป็น 0) ได้เฉพาะที่จุดศูนย์โดดเดี่ยวของ${\displaystyle f(z)}$.

อีกวิธีหนึ่งในการพิสูจน์คือการใช้ทฤษฎีค่าเฉลี่ยของเกาส์เพื่อ "บังคับ" ให้จุดทั้งหมดภายในวงกลมเปิดที่ซ้อนทับกันมีค่าเท่ากับค่าสูงสุด โดยวางวงกลมเหล่านั้นให้จุดศูนย์กลางของวงกลมแต่ละวงเรียงตัวเป็นเส้นทางรูปหลายเหลี่ยมจากค่าที่...${\displaystyle f(z)}$ค่าสูงสุดจะมีค่ามากกว่าค่าใดๆ ในโดเมน ในขณะที่ค่าสูงสุดนั้นยังคงอยู่ภายในโดเมน ดังนั้น การมีค่าสูงสุดจึงหมายความว่าค่าทั้งหมดในโดเมนมีค่าเท่ากัน${\displaystyle f(z)}$มีค่าคงที่

แหล่งที่มา: ^{[ 1 ]}

เช่น${\displaystyle D}$เปิดอยู่ มีอยู่จริง${\displaystyle {\overline {B}}(a,r)}$(ลูกบอลปิดที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่${\displaystyle a\in D}$ด้วยรัศมี${\displaystyle r>0}$) โดยที่${\displaystyle {\overline {B}}(a,r)\subset D}$จากนั้นเรากำหนดขอบเขตของทรงกลมปิดที่มีทิศทางบวกเป็น${\displaystyle \gamma (t)=a+re^{it},t\in [0,2\pi ]}$เมื่อใช้สูตรอินทิกรัลของโคชี เราจะได้

${\displaystyle 0\leq \int _{0}^{2\pi }|f(a)|-|f(a+re^{it})|\,dt\leq 0}$

สำหรับทุกคน${\displaystyle t\in [0,2\pi ]}$,${\displaystyle |f(a)|-|f(a+re^{it})|\geq 0}$, ดังนั้น${\displaystyle |f(a)|=|f(a+re^{it})|}$หลักการนี้ยังใช้ได้กับลูกบอลทุกลูกที่มีรัศมีน้อยกว่า${\displaystyle r}$อยู่ตรงกลางที่${\displaystyle a}$. ดังนั้น,${\displaystyle f(z)=f(a)}$สำหรับทุกคน${\displaystyle z\in {\overline {B}}(a,r)}$.

ทีนี้ลองพิจารณาฟังก์ชันคงที่ดู${\displaystyle g(z)=f(a)}$สำหรับทุกคน${\displaystyle z\in D}$จากนั้นจึงสามารถสร้างลำดับของจุดที่แตกต่างกันซึ่งตั้งอยู่ใน${\displaystyle {\overline {B}}(a,r)}$โดยที่ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก${\displaystyle gf}$หายไป ขณะที่${\displaystyle {\overline {B}}(a,r)}$เป็นลำดับปิด ลำดับจะลู่เข้าสู่จุดใดจุดหนึ่งใน${\displaystyle {\overline {B}}(a,r)\in D}$ซึ่งหมายความว่า${\displaystyle fg}$หายไปทุกหนทุกแห่งใน${\displaystyle D}$ซึ่งหมายความว่า${\displaystyle f(z)=f(a)}$สำหรับทุกคน${\displaystyle z\in D}$.