ความแตกต่างสัมบูรณ์เฉลี่ย (ตัวแปรเดียว) เป็นการวัดการกระจายทางสถิติที่เท่ากับความแตกต่างสัมบูรณ์ เฉลี่ย ของค่าอิสระสองค่าที่ดึงมาจากการแจกแจงความน่าจะเป็น สถิติที่เกี่ยวข้องคือความแตกต่างสัมบูรณ์เฉลี่ยสัมพัทธ์ซึ่งคือความแตกต่างสัมบูรณ์เฉลี่ยหารด้วยค่าเฉลี่ยเลขคณิตและเท่ากับสองเท่าของสัมประสิทธิ์ Giniความแตกต่างสัมบูรณ์เฉลี่ยยังเป็นที่รู้จักในชื่อความแตกต่างเฉลี่ยสัมบูรณ์ (ไม่ควรสับสนกับค่าสัมบูรณ์ของความแตกต่างเฉลี่ยที่มีเครื่องหมาย ) และความแตกต่างเฉลี่ยGini (GMD) ^{[ 1 ]} บางครั้งความแตกต่างสัมบูรณ์เฉลี่ยจะถูกแทนด้วย Δ หรือ MD

ความแตกต่างสัมบูรณ์เฉลี่ย หมายถึง "ค่าเฉลี่ย" หรือ "ค่ากลาง" ซึ่งในทางเทคนิคคือค่าคาดหวังของความแตกต่างสัมบูรณ์ของตัวแปรสุ่มสองตัว X และ Y ซึ่งกระจายตัวอย่างอิสระและเหมือนกันโดยมีการกระจายตัวแบบเดียวกัน (ที่ไม่ทราบ) ซึ่งต่อไปนี้จะเรียกว่าQ

${\displaystyle \mathrm {MD} :=E[|XY|].}$

โดยเฉพาะในกรณีเฉพาะ

• สำหรับตัวอย่างสุ่มขนาดnจากประชากรที่มีการกระจายแบบเอกรูปตามQตามกฎของความคาดหวังโดยรวม ค่าเฉลี่ย (เชิงประจักษ์) ของผลต่างสัมบูรณ์ของลำดับค่าตัวอย่างy _i , i = 1 ถึงnสามารถคำนวณได้จากค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าสัมบูรณ์ของผลต่างที่เป็นไปได้ทั้งหมด:

${\displaystyle \mathrm {MD} =E[|XY|]=E_{X}[E_{Y|X}[|XY|]]={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}|x_{i}-y_{j}|.}$

• ถ้าQมีฟังก์ชันความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องf ( y ) โดยที่yᵢ _, i = 1 ถึงnคือค่าที่มีความน่าจะเป็นไม่เป็นศูนย์:

${\displaystyle \mathrm {MD} =\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}f(y_{i})f(y_{j})|y_{i}-y_{j}|.}$

ในกรณีต่อเนื่อง

• ถ้ามีฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น :${\displaystyle Q}$${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle \mathrm {MD} =\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,f(y)\,|xy|\,dx\,dy.}$

รูปแบบอื่นของสมการมีดังนี้:

${\displaystyle \mathrm {MD} =\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }2\,f(x)\,f(x+\delta )\,\delta \,dx\,d\delta .}$

• ถ้ามีฟังก์ชันการกระจายสะสมที่มีฟังก์ชันควอนไทล์แล้ว เนื่องจากและ ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า:${\displaystyle Q}$${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle Q(F)}$${\textstyle f(x)=dF(x)/dx}$${\displaystyle Q(F(x))=x}$

${\displaystyle \mathrm {MD} =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}|Q(F_{1})-Q(F_{2})|\,dF_{1}\,dF_{2}.}$

เมื่อการแจกแจงความน่าจะเป็นมีค่าเฉลี่ยเลขคณิต AM ที่มีค่าจำกัดและไม่เป็นศูนย์ ความแตกต่างสัมบูรณ์เฉลี่ยสัมพัทธ์ ซึ่งบางครั้งใช้สัญลักษณ์ Δ หรือ RMD จะถูกกำหนดโดย

${\displaystyle \mathrm {RMD} ={\frac {\mathrm {MD} }{\mathrm {AM} }}.}$

ค่าความแตกต่างสัมบูรณ์เฉลี่ยสัมพัทธ์ (Relative Mean Absolute Difference) เป็นค่าที่วัดค่าความแตกต่างสัมบูรณ์เฉลี่ยเมื่อเทียบกับขนาดของค่าเฉลี่ย และเป็นปริมาณที่ไม่มีหน่วยค่าความแตกต่างสัมบูรณ์เฉลี่ยสัมพัทธ์เท่ากับสองเท่า ของ สัมประสิทธิ์จินี (Gini Coefficient)ซึ่งกำหนดไว้ในรูปของเส้นโค้งลอเรนซ์ (Lorenz Curve ) ความสัมพันธ์นี้ให้มุมมองที่เสริมกันทั้งต่อค่าความแตกต่างสัมบูรณ์เฉลี่ยสัมพัทธ์และสัมประสิทธิ์จินี รวมถึงวิธีการคำนวณค่าของทั้งสองค่าที่แตกต่างกันด้วย

ค่าเฉลี่ยของความแตกต่างสัมบูรณ์จะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการเลื่อนหรือการกลับเครื่องหมาย และจะแปรผันตามสัดส่วนของการปรับขนาดที่เป็นบวก กล่าวคือ ถ้าXเป็นตัวแปรสุ่มและcเป็นค่าคงที่:

• ${\displaystyle \mathrm {MD(X+c)=MD(X)} }$,
• ${\displaystyle \mathrm {MD(-X)=MD(X)} }$, และ
• ${\displaystyle \mathrm {MD(cX)=|c|MD(X)} }$.

ความแตกต่างสัมบูรณ์เฉลี่ยสัมพัทธ์ไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการปรับขนาดเป็นบวก สลับที่ได้กับการกลับเครื่องหมาย และเปลี่ยนแปลงภายใต้การเลื่อนในสัดส่วนกับอัตราส่วนของค่าเฉลี่ยเลขคณิตดั้งเดิมและค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่เลื่อนแล้ว กล่าวคือ ถ้าXเป็นตัวแปรสุ่มและ c เป็นค่าคงที่:

• ${\displaystyle \mathrm {RMD} (X+c)=\mathrm {RMD} (X)\cdot {\frac {\mathrm {mean} (X)}{\mathrm {mean} (X)+c}}={\frac {\mathrm {RMD} (X)}{1+{\frac {c}{\mathrm {mean} (X)}}}}\quad {\text{สำหรับ }}c\neq -\mathrm {mean} (X)}$,
• ${\displaystyle \mathrm {RMD} (-X)=-\mathrm {RMD} (X)}$, และ
• ${\displaystyle \mathrm {RMD} (cX)=\mathrm {RMD} (X)\quad {\text{สำหรับ }}c>0}$.

ถ้าตัวแปรสุ่มมีค่าเฉลี่ยเป็นบวก ค่าความแตกต่างสัมบูรณ์เฉลี่ยสัมพัทธ์ของตัวแปรสุ่มนั้นจะมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ และถ้าตัวแปรสุ่มนั้นสามารถรับค่าได้เฉพาะค่าที่มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เท่านั้น ค่าความแตกต่างสัมบูรณ์เฉลี่ยสัมพัทธ์ของตัวแปรสุ่มนั้นจะมีค่าน้อยกว่า 2

ค่าเฉลี่ยของความแตกต่างสัมบูรณ์คือสองเท่าของค่า L-scale ( โมเมนต์ Lตัวที่สอง) ในขณะที่ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือรากที่สองของความแปรปรวนรอบค่าเฉลี่ย ( โมเมนต์กลาง แบบดั้งเดิมตัวที่สอง ) ความแตกต่างระหว่างโมเมนต์ L และโมเมนต์แบบดั้งเดิมจะเห็นได้ชัดเจนครั้งแรกเมื่อเปรียบเทียบค่าเฉลี่ยของความแตกต่างสัมบูรณ์และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (โมเมนต์ L ตัวแรกและโมเมนต์แบบดั้งเดิมตัวแรกต่างก็เป็นค่าเฉลี่ย)

ทั้งค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานและค่าเฉลี่ยสัมบูรณ์ของผลต่างต่างก็ใช้วัดการกระจายตัว—ว่าค่าต่างๆ ในประชากรหรือความน่าจะเป็นของการแจกแจงนั้นกระจายออกไปมากน้อยเพียงใด ค่าเฉลี่ยสัมบูรณ์ของผลต่างไม่ได้ถูกกำหนดโดยใช้มาตรวัดแนวโน้มศูนย์กลาง ที่เฉพาะเจาะจง ในขณะที่ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานถูกกำหนดโดยใช้ค่าเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ยเลขคณิต เนื่องจากค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานยกกำลังสองของผลต่าง จึงมีแนวโน้มที่จะให้น้ำหนักกับผลต่างที่มากกว่าและให้น้ำหนักกับผลต่างที่น้อยกว่า เมื่อเทียบกับค่าเฉลี่ยสัมบูรณ์ของผลต่าง เมื่อค่าเฉลี่ยเลขคณิตมีค่าจำกัด ค่าเฉลี่ยสัมบูรณ์ของผลต่างก็จะมีค่าจำกัดเช่นกัน แม้ว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะมีค่าอนันต์ก็ตาม ดูตัวอย่างเพื่อเปรียบเทียบเพิ่มเติม

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานระยะทางที่เพิ่งนำมาใช้มีบทบาทคล้ายกับค่าความแตกต่างสัมบูรณ์เฉลี่ย แต่ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานระยะทางจะทำงานกับระยะทางที่ปรับค่าเฉลี่ยแล้ว ดูเพิ่มเติม ที่ สถิติ E

สำหรับตัวอย่างสุ่มSจากตัวแปรสุ่มXซึ่งประกอบด้วยค่าy _i จำนวน nค่า สถิติ

${\displaystyle \mathrm {MD} (S)={\frac {\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}|y_{i}-y_{j}|}{n(n-1)}}}$

เป็นตัวประมาณค่า MD( X ) ที่สม่ำเสมอและไม่ลำเอียง สถิติ:

${\displaystyle \mathrm {RMD} (S)={\frac {\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}|y_{i}-y_{j}|}{(n-1)\sum _{i=1}^{n}y_{i}}}}$

เป็นตัวประมาณค่า RMD( X ) ที่สอดคล้องกัน แต่โดยทั่วไปแล้วจะไม่ใช่ตัวประมาณค่าที่ไม่เอนเอียง

สามารถคำนวณ ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับ RMD( X ) ได้โดยใช้เทคนิคการสุ่มตัวอย่างแบบบูตสแตรป

โดยทั่วไปแล้ว ไม่มีตัวประมาณค่าที่ไม่เอนเอียงสำหรับ RMD( X ) ส่วนหนึ่งเป็นเพราะความยากลำบากในการหาค่าประมาณที่ไม่เอนเอียงสำหรับการคูณด้วยค่าผกผันของค่าเฉลี่ย ตัวอย่างเช่น แม้ว่าตัวอย่างจะทราบว่าได้มาจากตัวแปรสุ่มX ( p ) สำหรับp ที่ไม่ทราบค่า และX ( p ) − 1มีการแจกแจงแบบเบอร์นูลลีดังนั้นPr( X ( p ) = 1) = 1 −  pและPr( X ( p ) = 2) = pแล้วก็ตาม

RMD( X ( p )) = 2 p (1 −  p )/(1 +  p ) .

แต่ค่าที่คาดหวังของตัวประมาณค่าR ( S ) ใดๆ ของ RMD( X ( p )) จะอยู่ในรูปแบบ:

${\displaystyle \operatorname {E} (R(S))=\sum _{i=0}^{n}p^{i}(1-p)^{ni}r_{i},}$

โดยที่r _iเป็นค่าคงที่ ดังนั้น E( R ( S )) จะไม่มีทางเท่ากับ RMD( X ( p )) สำหรับp ทุกค่า ระหว่าง 0 ถึง 1

ตัวอย่างของความแตกต่างสัมบูรณ์เฉลี่ยและความแตกต่างสัมบูรณ์เฉลี่ยเชิงสัมพัทธ์

การกระจาย	พารามิเตอร์	หมายถึง	ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน	ความแตกต่างสัมบูรณ์เฉลี่ย	ความแตกต่างสัมบูรณ์เฉลี่ยสัมพัทธ์
สม่ำเสมอต่อเนื่อง	${\displaystyle a=0;b=1}$	${\displaystyle 1/2=0.5}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {12}}}\approx 0.2887}$	${\displaystyle {\frac {1}{3}}\approx 0.3333}$	${\displaystyle {\frac {2}{3}}\approx 0.6667}$
ปกติ	${\displaystyle \mu =0}$;${\displaystyle \sigma =1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\approx 1.1284}$	ไม่ได้กำหนด
เลขชี้กำลัง	${\displaystyle \lambda =1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
พาเรโต	${\displaystyle k>1}$;${\displaystyle x_{m}=1}$	${\displaystyle {\frac {k}{k-1}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{k-1}}\,{\sqrt {\frac {k}{k-2}}}{\text{ for }}k>2}$	${\displaystyle {\frac {2k}{(k-1)(2k-1)}}\,}$	${\displaystyle {\frac {2}{2k-1}}\,}$
แกมมา	${\displaystyle k}$;${\displaystyle \theta }$	${\displaystyle k\theta }$	${\displaystyle {\sqrt {k}}\,\theta }$	${\displaystyle {\frac {2\theta }{\mathrm {B} (0.5,k)}}\,}$†	${\displaystyle {\frac {2}{k\mathrm {B} (0.5,k)}}\,}$†
แกมมา	${\displaystyle k=1}$;${\displaystyle \theta =1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
แกมมา	${\displaystyle k=2}$;${\displaystyle \theta =1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.4142}$	${\displaystyle 3/2=1.5}$	${\displaystyle 3/4=0.75}$
แกมมา	${\displaystyle k=3}$;${\displaystyle \theta =1}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}\approx 1.7321}$	${\displaystyle 15/8=1.875}$	${\displaystyle 5/8=0.625}$
แกมมา	${\displaystyle k=4}$;${\displaystyle \theta =1}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 35/16=2.1875}$	${\displaystyle 35/64=0.546875}$
เบอร์นูลลี	${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$	${\displaystyle p}$	${\displaystyle {\sqrt {p(1-p)}}}$	${\displaystyle 2p(1-p)}$	${\displaystyle 2(1-p){\text{ for }}p>0}$
ค่า tของนักเรียน , 2 องศาอิสระ	${\displaystyle \nu =2}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	⁠ ⁠${\displaystyle {\frac {\pi }{\sqrt {2}}}\approx 2.2214}$	ไม่ได้กำหนด

† คือฟังก์ชันเบต้า${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)}$

• ค่าความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์เฉลี่ย
• ค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ย
• ผู้ประเมิน
• สัมประสิทธิ์ความแปรผัน
• โมเมนต์แอล

• Xu, Kuan (มกราคม 2547). "วรรณกรรมเกี่ยวกับดัชนี Gini มีวิวัฒนาการอย่างไรในช่วง 80 ปีที่ผ่านมา?" (PDF) . ภาควิชาเศรษฐศาสตร์ มหาวิทยาลัย Dalhousie . สืบค้นเมื่อ1 มิถุนายน 2549 .{{cite journal}}: การอ้างอิงวารสารต้องใช้|journal=( ความช่วยเหลือ )
• จินี คอร์ราโด (1912) ความแปรปรวนและการเปลี่ยนแปลง โบโลญญา: Tipografia di Paolo Cuppini Bibcode : 1912vamu.book.....G .
• Gini, Corrado (1921). "การวัดความไม่เท่าเทียมและรายได้"วารสารเศรษฐศาสตร์ 31 ( 121): 124– 126. doi : 10.2307/2223319 . JSTOR  2223319 .
• Chakravarty, SR (1990). ดัชนีทางสังคมเชิงจริยธรรม . นิวยอร์ก: Springer-Verlag.
• Mills, Jeffrey A.; Zandvakili, Sourushe (1997). "การอนุมานทางสถิติผ่านการบูตสแตรปสำหรับการวัดความไม่เท่าเทียมกัน" วารสารเศรษฐศาสตร์ประยุกต์ 12 ( 2): 133– 150. CiteSeerX  10.1.1.172.5003 . doi : 10.1002/(SICI)1099-1255(199703)12:2<133::AID-JAE433>3.0.CO;2-H .
• Lomnicki, ZA (1952). "ค่าความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของความแตกต่างเฉลี่ยของ Gini" . Annals of Mathematical Statistics . 23 (4): 635– 637. doi : 10.1214/aoms/1177729346 .
• Nair, US (1936). "ค่าความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของความแตกต่างเฉลี่ยของ Gini" Biometrika . 28 ( 3– 4): 428– 436. doi : 10.1093/biomet/28.3-4.428 .
• Yitzhaki, Shlomo (2003). "ความแตกต่างของค่าเฉลี่ยของ Gini: มาตรวัดความแปรปรวนที่เหนือกว่าสำหรับข้อมูลที่มีการแจกแจงแบบไม่ปกติ" (PDF) . Metron – วารสารสถิตินานาชาติ ( FTP ). หน้า  285–316 .(หากต้องการดูเอกสาร โปรดดูที่เมนูช่วยเหลือ: FTP )