ในคณิตศาสตร์โดยเฉพาะการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันทฤษฎีบทของเมอร์เซอร์เป็นการแสดงฟังก์ชันสมมาตรบวกแน่นอนบนกำลังสองในรูปผลรวมของลำดับลู่เข้าของฟังก์ชันผลคูณ ทฤษฎีบทนี้ซึ่งนำเสนอใน ( Mercer 1909 ) เป็นหนึ่งในผลลัพธ์ที่โดดเด่นที่สุดของงานของเจมส์ เมอร์เซอร์ (1883–1932) มันเป็นเครื่องมือทางทฤษฎีที่สำคัญในทฤษฎีสมการเชิงอินทิกรัลมันถูกใช้ใน ทฤษฎีปริภูมิ ฮิลเบิร์ตของกระบวนการสุ่มเช่นทฤษฎีบท Karhunen–Loèveและมันยังถูกใช้ใน ทฤษฎี ปริภูมิฮิลเบิร์ตเคอร์เนลแบบสร้างซ้ำซึ่งมันกำหนดลักษณะของเคอร์เนลสมมาตรบวกแน่นอนเป็นเคอร์เนลแบบสร้างซ้ำ^{[ 1 ]}

เพื่ออธิบายทฤษฎีบทของเมอร์เซอร์ เราจะพิจารณากรณีพิเศษที่สำคัญก่อน ดูราย ละเอียด เพิ่มเติมในสูตรทั่วไปด้านล่าง ในบริบทนี้ เคอร์เนลคือฟังก์ชันต่อเนื่อง สมมาตร

${\displaystyle K:[a,b]\times [a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$

ที่สำหรับทุกคน ${\displaystyle K(x,y)=K(y,x)}$${\displaystyle x,y\in [a,b]}$

กล่าวได้ว่าK เป็น เคอร์เนลบวกแน่นอนก็ต่อเมื่อ

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}K(x_{i},x_{j})c_{i}c_{j}\geq 0}$

สำหรับลำดับจุดจำกัดทั้งหมดx ₁ , ...,  x _nของ [ a ,  b ] และตัวเลือกทั้งหมดของจำนวนจริงc ₁ , ...,  c _nโปรดทราบว่าคำว่า "บวกแน่นอน" ได้รับการยอมรับอย่างดีในวรรณกรรม แม้ว่าจะไม่เท่ากันอย่างอ่อนในคำจำกัดความก็ตาม^{[ 2 ] [ 3 ]}

ลักษณะพื้นฐานของเคอร์เนลบวกแน่นอนแบบอยู่กับที่ (โดยที่) นั้นกำหนดโดยทฤษฎีบทของ Bochnerซึ่งกล่าวว่าฟังก์ชันต่อเนื่องจะเป็นบวกแน่นอนก็ต่อเมื่อสามารถแสดงได้ในรูปการแปลงฟูริเยร์ของมาตรวัดที่ไม่เป็นลบแบบจำกัด: ${\displaystyle K(x,y)=K(xy)}$${\displaystyle K(xy)}$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle K(xy)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i(xy)\omega }\,d\mu (\omega )}$

การแสดงผลเชิงสเปกตรัมนี้เผยให้เห็นความเชื่อมโยงระหว่างความเป็นบวกแน่นอนและการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก ซึ่งให้ลักษณะเฉพาะของความเป็นบวกแน่นอนที่ชัดเจนและตรงไปตรงมามากกว่าคำจำกัดความเชิงนามธรรมในแง่ของอสมการเมื่อเคอร์เนลอยู่นิ่ง เช่น เมื่อสามารถแสดงเป็นฟังก์ชันตัวแปรเดียวของระยะห่างระหว่างจุดแทนที่จะเป็นฟังก์ชันตัวแปรสองตัวของตำแหน่งของคู่จุด

Kเกี่ยวข้องกับตัวดำเนินการเชิงเส้น (โดยเฉพาะอย่างยิ่งตัวดำเนินการปริพันธ์ฮิลเบิร์ต-ชมิดต์เมื่อช่วงนั้นเป็นช่วงกระชับ) บนฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริพันธ์

${\displaystyle [T_{K}\varphi ](x)=\int _{a}^{b}K(x,s)\varphi (s)\,ds.}$

เราสมมติว่าสามารถครอบคลุมพื้นที่ของฟังก์ชันที่มีค่าจริงที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้L ² [ a ,  b ]; อย่างไรก็ตาม ในหลายกรณีพื้นที่ฮิลเบิร์ตเคอร์เนลการสร้างซ้ำ ที่เกี่ยวข้อง อาจมีขนาดใหญ่กว่าL ² [ a ,  b ] อย่างเคร่งครัด เนื่องจากT _Kเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นค่าลักษณะเฉพาะและฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของT _Kจึงมีอยู่ ${\displaystyle \varphi }$

ทฤษฎีบทสมมติว่าKเป็นเคอร์เนลสมมาตรต่อเนื่องบวกแน่นอน แล้วจะมีฐานเชิงตั้งฉากปกติ { e _i } _iของL ² [ a ,  b ] ซึ่งประกอบด้วยฟังก์ชันเฉพาะของT _Kโดยที่ลำดับของค่าเฉพาะ {λ _i } _i ที่สอดคล้องกันนั้น ไม่เป็นลบ ฟังก์ชันเฉพาะที่สอดคล้องกับค่าเฉพาะที่ไม่เป็นศูนย์นั้นต่อเนื่องบน [ a ,  b ] และKมีการแสดงแทนดังนี้

${\displaystyle K(s,t)=\sum _{j=1}^{\infty }\lambda _{j}\,e_{j}(s)\,e_{j}(t)}$

โดยที่การลู่เข้าเป็นไปอย่างสมบูรณ์และสม่ำเสมอ

ต่อไปนี้เราจะอธิบายโครงสร้างของการพิสูจน์ทฤษฎีบทของเมอร์เซอร์โดยละเอียดมากขึ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งความสัมพันธ์กับทฤษฎีสเปกตรัมของตัวดำเนินการกระชับ

• แผนที่K ↦ T _Kเป็น แผนที่หนึ่งต่อหนึ่ง (injective )
• T _Kเป็นตัวดำเนินการสมมาตรขนาดกะทัดรัดที่ไม่เป็นลบบนL ² [ a , b ] ยิ่งไปกว่านั้นK ( x , x ) ≥ 0

เพื่อแสดงความกะทัดรัด ให้แสดงว่าภาพของลูกบอลหน่วยของL ² [ a , b ] ภายใต้T _Kมีความต่อเนื่องสม่ำเสมอและใช้ทฤษฎีบทของ Ascoliเพื่อแสดงว่าภาพของลูกบอลหน่วยมีความกะทัดรัดสัมพัทธ์ใน C([ a , b ]) ที่มีบรรทัดฐานสม่ำเสมอและยิ่งไปกว่านั้นในL ² [ a , b ]

ตอนนี้ใช้ทฤษฎีบทสเปกตรัมสำหรับตัวดำเนินการกระชับบนปริภูมิฮิลเบิร์ตกับT _Kเพื่อแสดงให้เห็นถึงการมีอยู่ของฐานออร์โทนอร์มอล { e _i } _iของ L ² [ a , b ]

${\displaystyle \lambda _{i}e_{i}(t)=[T_{K}e_{i}](t)=\int _{a}^{b}K(t,s)e_{i}(s)\,ds.}$

ถ้า λ _i ≠ 0 เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ( ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ ) e _iจะต่อเนื่องบน [ a , b ] ตอนนี้

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}|e_{i}(t)e_{i}(s)|\leq \sup _{x\in [a,b]}|K(x,x)|,}$

ซึ่งแสดงให้เห็นว่าลำดับ

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}e_{i}(t)e_{i}(s)}$

ลู่เข้าอย่างสมบูรณ์และสม่ำเสมอไปยังเคอร์เนลK ₀ซึ่งเห็นได้ง่ายว่ากำหนดตัวดำเนินการเดียวกันกับเคอร์เนลKดังนั้นK = K ₀ซึ่งเป็นที่มาของทฤษฎีบทของเมอร์เซอร์

สุดท้าย เพื่อแสดงให้เห็นว่าค่าไอเกนไม่เป็นลบ เราสามารถเขียนและแสดงด้านขวามือเป็นปริพันธ์ที่ประมาณได้ดีด้วยผลรวมรีมันน์ ซึ่งไม่เป็นลบเนื่องจากK เป็นเมทริกซ์บวกแน่นอน ซึ่งหมายความว่าซึ่งหมายความว่า ${\displaystyle \lambda \langle f,f\rangle =\langle f,T_{K}f\rangle }$${\displaystyle \lambda \langle f,f\rangle \geq 0}$${\displaystyle \แลมบ์ดา \geq 0}$

สิ่งต่อไปนี้เกิดขึ้นทันที:

ทฤษฎีบทสมมติว่าKเป็นเคอร์เนลสมมาตรต่อเนื่องบวก แน่นอน T _Kมีลำดับของค่าลักษณะเฉพาะที่ไม่เป็นลบ {λ _i } _iแล้ว

${\displaystyle \int _{a}^{b}K(t,t)\,dt=\sum _{i}\lambda _{i}.}$

สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าตัวดำเนินการT _Kเป็น ตัวดำเนินการ คลาสร่องรอยและ

${\displaystyle \operatorname {trace} (T_{K})=\int _{a}^{b}K(t,t)\,dt.}$

ทฤษฎีบทของเมอร์เซอร์เป็นการสรุปทั่วไปของผลลัพธ์ที่ว่าเมทริกซ์สมมาตรบวกกึ่งกำหนดใดๆ ก็ตามเป็นเมทริกซ์แกรมเมียนของเซตของเวกเตอร์

การสรุปทั่วไปครั้งแรกจะแทนที่ช่วง [ a ,  b ] ด้วยปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับ ใดๆ และ แทนที่การวัดแบบเลเบสบน [ a ,  b ] ด้วยการวัดแบบบวกที่นับได้แบบจำกัด μ บน พีชคณิตบอเรลของXซึ่งมีส่วนรองรับคือXนั่นหมายความว่า μ( U ) > 0 สำหรับเซตย่อยเปิด ที่ ไม่ว่างใดๆUของX

การสรุปโดยทั่วไปล่าสุดได้แทนที่เงื่อนไขเหล่านี้ด้วยเงื่อนไขต่อไปนี้: เซตXเป็น ปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่ นับได้เป็นอันดับแรกซึ่งมีมาตรวัดบอเรล (สมบูรณ์) μ Xเป็นส่วนรองรับของ μ และสำหรับทุกxในXจะมีเซตเปิดUที่บรรจุxและมีมาตรวัดจำกัด ดังนั้นผลลัพธ์ที่เหมือนกันโดยพื้นฐานจึงยังคงใช้ได้:

ทฤษฎีบทสมมติว่าKเป็นเคอร์เนลสมมาตรต่อเนื่องบวกแน่นอนบนXถ้าฟังก์ชัน κ คือL ¹ _μ ( X ) โดยที่ κ(x) := K(x,x) สำหรับทุกxในXแล้วจะมีเซตออร์โทนอร์มอล { e _i } _iของL ² _μ ( X ) ซึ่งประกอบด้วยฟังก์ชันเฉพาะของT _Kโดยที่ลำดับของค่าเฉพาะ {λ _i } _i ที่สอดคล้องกันนั้น ไม่เป็นลบ ฟังก์ชันเฉพาะที่สอดคล้องกับค่าเฉพาะที่ไม่เป็นศูนย์นั้นต่อเนื่องบนXและKมีการแสดงแทน ดังนี้

${\displaystyle K(s,t)=\sum _{j=1}^{\infty }\lambda _{j}\,e_{j}(s)\,e_{j}(t)}$

โดยที่การลู่เข้าเป็นแบบสัมบูรณ์และสม่ำเสมอในเซตย่อยกระชับของ X

ข้อสรุปทั่วไปถัดไปเกี่ยวข้องกับการแสดงแทนของเคอร์เนล ที่วัดได้

ให้ ( X , M , μ) เป็นปริภูมิการวัดแบบ σ-finite ^{เคอร์เนล}L² (หรือเคอร์เนลที่หาปริพันธ์กำลังสองได้) บนXคือฟังก์ชัน

${\displaystyle K\in L_{\mu \otimes \mu }^{2}(X\times X).}$

เคอร์เนล L ²กำหนดตัวดำเนินการที่มีขอบเขตT _Kโดยใช้สูตร

${\displaystyle \langle T_{K}\varphi ,\psi \rangle =\int _{X\times X}K(y,x)\varphi (y)\psi (x)\,d[\mu \otimes \mu ](y,x)}$

T _Kเป็นตัวดำเนินการกระชับ (ที่จริงแล้วมันเป็นตัวดำเนินการฮิลเบิร์ต-ชมิดต์ ด้วยซ้ำ ) ถ้าเคอร์เนลKสมมาตร ตามทฤษฎีบทสเปกตรัม T K _จะ มีฐานเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะแบบตั้งฉากกัน เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเหล่านั้นที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะที่ไม่เป็นศูนย์สามารถจัดเรียงเป็นลำดับ { e _i } _iได้ (โดยไม่คำนึงถึงความสามารถในการแยกส่วน)

ทฤษฎีบท . ถ้าKเป็นเคอร์เนลสมมาตรบวกแน่นอนบน ( X , M , μ) แล้ว

${\displaystyle K(y,x)=\sum _{i\in \mathbb {N} }\lambda _{i}e_{i}(y)e_{i}(x)}$

^{โดยที่การลู่เข้า อยู่}ใน บรรทัดฐาน L2โปรดทราบว่าเมื่อไม่ได้สมมติความต่อเนื่องของเคอร์เนล การขยายจะไม่ลู่เข้าอย่างสม่ำเสมออีกต่อไป

ฟังก์ชันค่าจริงK ( x , y ) กล่าวได้ว่าสอดคล้องกับเงื่อนไขของเมอร์เซอร์ถ้าสำหรับฟังก์ชันg ( x ) ที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ทั้งหมด จะมีเงื่อนไข ว่า

${\displaystyle \iint g(x)K(x,y)g(y)\,dx\,dy\geq 0.}$

นี่เป็นสิ่งที่คล้ายคลึงกับนิยามของเมทริกซ์กึ่งบวกกำหนด (positive-semidefinite matrix ) ซึ่งเป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ n และมีคุณสมบัติ n = n สำหรับเวกเตอร์ n ทุกตัว ${\displaystyle K}$${\displaystyle N}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle (g,Kg)=g^{T}{\cdot }Kg=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\,g_{i}\,K_{ij}\,g_{j}\geq 0}$.

ฟังก์ชันค่าคงที่บวก

${\displaystyle K(x,y)=c\,}$

ตรงตามเงื่อนไขของเมอร์เซอร์ เพราะในกรณีนั้นปริพันธ์จะกลายเป็นตามทฤษฎีบทของฟูบินี

${\displaystyle \iint g(x)\,c\,g(y)\,dx\,dy=c\int \!g(x)\,dx\int \!g(y)\,dy=c\left(\int \!g(x)\,dx\right)^{2}}$

ซึ่งแน่นอนว่าไม่ใช่ค่าลบ

• เทคนิคเคอร์เนล
• ทฤษฎีตัวแทน
• ปริภูมิฮิลเบิร์ตเคอร์เนลที่สร้างซ้ำ
• ทฤษฎีสเปกตรัม