การตีความค่าความโค้งของ Pearson (หรือความโค้งส่วนเกิน) เคยมีการถกเถียงกัน แต่ปัจจุบันเป็นที่ยอมรับกันดีแล้ว ดังที่ Westfall ตั้งข้อสังเกตไว้ในปี 2014 ^{[ 2 ]}ว่า "...  การตีความที่ชัดเจนนั้นเกี่ยวข้องกับความสุดขั้วของส่วนหาง" โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันสะท้อนให้เห็นถึงการมีอยู่ของค่าผิดปกติ (สำหรับความโค้งของตัวอย่าง) หรือแนวโน้มที่จะสร้างค่าผิดปกติ (สำหรับความโค้งของการกระจายความน่าจะเป็น) ตรรกะพื้นฐานนั้นตรงไปตรงมา: ความโค้งแสดงถึงค่าเฉลี่ย (หรือค่าที่คาดหวัง ) ของข้อมูลมาตรฐานที่ยกกำลังสี่ ค่ามาตรฐานที่น้อยกว่า 1 ซึ่งสอดคล้องกับข้อมูลภายในหนึ่งส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย (ซึ่งเป็นจุดสูงสุด) จะมีส่วนร่วมเพียงเล็กน้อยต่อความโค้ง เนื่องจากเมื่อยกกำลังสี่ตัวเลขที่น้อยกว่า 1 จะทำให้ค่าเข้าใกล้ศูนย์มากขึ้น ปัจจัยที่มีความสำคัญต่อความโค้งคือค่าข้อมูลที่อยู่นอกบริเวณจุดสูงสุด นั่นคือ ค่าผิดปกติ ดังนั้น ค่าความโค้ง (kurtosis) จึงใช้วัดค่าผิดปกติเป็นหลัก และไม่ได้ให้ข้อมูลใดๆ เกี่ยวกับจุดสูงสุดตรงกลาง

ความเข้าใจผิดมากมายเกี่ยวกับความโค้งของกราฟเกี่ยวข้องกับแนวคิดเรื่องความแหลมคม ความเข้าใจผิดประการหนึ่งคือ ความโค้งของกราฟวัดทั้งความแหลมคมของกราฟการกระจายและน้ำหนักของส่วนหาง [ ^{5 ] การ}ตีความที่ไม่ถูกต้องอื่นๆ รวมถึงแนวคิดเช่นการขาดไหล่ (โดยที่ไหล่หมายถึงพื้นที่ระหว่างจุดสูงสุดและส่วนหางอย่างคลุมเครือ หรือโดยเฉพาะอย่างยิ่งคือบริเวณประมาณหนึ่งส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย) หรือภาวะสองยอด^{[ 6 ]} บาลันดาและแมคกิลลิฟเรย์โต้แย้งว่าคำจำกัดความมาตรฐานของความโค้งของกราฟ "ไม่สามารถจับความโค้ง ความแหลมคม หรือน้ำหนักของส่วนหางของกราฟการกระจายได้อย่างไม่ดี" พวกเขาเสนอคำจำกัดความที่คลุมเครือของความโค้งของกราฟแทนว่าเป็นการเคลื่อนที่ของมวลความน่าจะเป็นจากไหล่ของกราฟการกระจายไปยังจุดศูนย์กลางและส่วนหาง โดยไม่ขึ้นกับตำแหน่งและมาตราส่วน ^{[ 5 ]}

ในปี พ.ศ. 2529 Moors ได้ให้การตีความของ kurtosis ^{[ 7 ]}ให้$${\displaystyle Z={\frac {X-\mu }{\sigma }},}$$โดยที่Xคือตัวแปรสุ่ม, μคือค่าเฉลี่ย และσคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ตามนิยามของค่าความโค้ง (kurtosis)${\displaystyle \kappa }$และด้วยอัตลักษณ์ที่เป็นที่รู้จักกันดี${\displaystyle \operatorname {E} \left[V^{2}\right]=\operatorname {var} [V]+\operatorname {E} [V]^{2},}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa &=\operatorname {E} \left[Z^{4}\right]\\&=\operatorname {var} \left[Z^{2}\right]+\operatorname {E} {\!\left[Z^{2}\right]}^{2}\\&=\operatorname {var} \left[Z^{2}\right]+\operatorname {var} [Z]^{2}=\operatorname {var} \left[Z^{2}\right]+1.\end{aligned}}}$$

ค่าความโค้ง (kurtosis) สามารถมองได้ว่าเป็นตัววัดการกระจายตัวของ^Z² รอบค่าคาดหวัง หรืออีกนัยหนึ่ง สามารถมองได้ว่าเป็นตัววัดการกระจายตัวของZรอบค่า+1และ−1ค่าκจะมีค่าต่ำสุดในการกระจายแบบสมมาตรสองจุด ในแง่ของตัวแปรดั้งเดิมX ค่าความโค้งเป็นตัววัดการกระจายตัวของXรอบค่าสองค่าμ ± σ 

ค่าκ ที่สูง มักเกิดขึ้นเมื่อมวลความน่าจะเป็นกระจุกตัวอยู่รอบค่าเฉลี่ย และกระบวนการสร้างข้อมูลทำให้เกิดค่าที่อยู่ห่างไกลจากค่าเฉลี่ยเป็นครั้งคราว หรือเกิดขึ้นเมื่อมวลความน่าจะเป็นกระจุกตัวอยู่ที่ส่วนปลายของกราฟการกระจายตัว

เอนโทรปีของการกระจายตัวคือ${\textstyle -\!\int p(x)\ln p(x)\,dx.}$

สำหรับใดๆ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} ^{n},\Sigma \in \mathbb {R} ^{n\times n}}$กับ${\displaystyle \Sigma }$บวกแน่นอน ในบรรดาการแจกแจงความน่าจะเป็นทั้งหมดบน${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ด้วยค่าเฉลี่ย${\displaystyle \mu }$และความแปรปรวนร่วม${\displaystyle \Sigma }$การกระจายแบบปกติ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\Sigma )}$มีเอนโทรปีมากที่สุด

เนื่องจากความหมาย${\displaystyle \mu }$และความแปรปรวนร่วม${\displaystyle \Sigma }$เนื่องจากโมเมนต์สองตัวแรกนั้น เป็นเรื่องปกติที่จะพิจารณาขยายไปยังโมเมนต์ที่สูงกว่า ในความเป็นจริง โดยใช้ วิธี ตัวคูณลากรางจ์สำหรับโมเมนต์ n ตัวแรกที่กำหนดไว้ หากมีการกระจายความน่าจะเป็นในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง${\displaystyle p(x)\propto e^{\sum _{i}a_{i}x_{i}+\sum _{ij}b_{ij}x_{i}x_{j}+\cdots +\sum _{i_{1}\cdots i_{n}}x_{i_{1}}\cdots x_{i_{n}}}}$หากมีโมเมนต์ที่กำหนดไว้ (หากเป็นไปได้) ก็จะเป็นการกระจายเอนโทรปีสูงสุดภายใต้ข้อจำกัดที่กำหนด^{[ 8 ] [ 9 ]}

โดยการขยายแบบอนุกรม $${\displaystyle {\begin{aligned}&\int {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{4}}gx^{4}}x^{2n}\,dx\\[6pt]&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{4}}gx^{4}}x^{2n}\,dx\\[6pt]&=\sum _{k}{\frac {1}{k!}}\left(-{\frac {g}{4}}\right)^{k}(2n+4k-1)!!\\[6pt]&=(2n-1)!!-{\tfrac {1}{4}}g(2n+3)!!+O(g^{2})\end{aligned}}}$$ ดังนั้นหากตัวแปรสุ่มมีการกระจายความน่าจะเป็น${\displaystyle p(x)=e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{4}}gx^{4}}/Z}$, ที่ไหน${\displaystyle Z}$ถ้าค่าความโค้งเป็นค่าคงที่ของการปรับมาตรฐาน ค่าความโค้งของมันจะเป็น${\displaystyle 3-6g+O(g^{2})}$[ ^{10 ]​}

การแจกแจงที่มีค่าความโค้งส่วนเกินเป็นศูนย์เรียกว่า การแจกแจงแบบเมโซเคอร์ติกหรือเมโซคุร์โทติกตัวอย่างที่โดดเด่นที่สุดของการแจกแจงแบบเมโซเคอร์ติกคือตระกูลการแจกแจงปกติ โดยไม่คำนึงถึงค่าของพารามิเตอร์การแจกแจงอื่นๆ ที่รู้จักกันดีอีกเล็กน้อยก็สามารถเป็นแบบเมโซเคอร์ติกได้ ขึ้นอยู่กับค่าของพารามิเตอร์ ตัวอย่างเช่นการแจกแจงทวินามเป็นแบบเมโซเคอร์ติกสำหรับ${\textstyle p=1/2\pm {\sqrt {1/12}}}$.

การแจกแจงที่มี ค่าความโค้งส่วนเกิน เป็นบวกเรียกว่าการแจกแจงแบบเลปโตเคอร์ติกหรือเลปโตเคอร์โทติก การแจกแจงแบบเลปโตเคอร์ติกจะมี หางที่หนากว่า ( เลปโต-หมายถึง 'เรียว' ซึ่งเดิมหมายถึงจุดสูงสุด^{[ 11 ]} ) ตัวอย่างของการแจกแจงแบบเลปโตเคอร์ติก ได้แก่การแจกแจงแบบ t ของนักเรียนการแจกแจงแบบเรย์ลีการแจกแจงแบบลาปลาสการแจกแจงแบบเอกซ์โพเนนเชียลการแจกแจงแบบปัวซงและการแจกแจงแบบโลจิสติกการแจกแจงดังกล่าวบางครั้งเรียกว่าซูเปอร์เกาส์เซียน^{[ 12 ]}

การแจกแจงที่มี ค่าความโค้งส่วนเกินเป็น ลบเรียกว่าplatykurticหรือplatykurtoticการแจกแจงแบบ platykurtic จะมีหางที่บางกว่า ( platy-หมายถึง 'กว้าง' ซึ่งเดิมหมายถึงจุดสูงสุด) ^{[ 13 ]} ตัวอย่างของการแจกแจงแบบ platykurtic ได้แก่การแจกแจงแบบเอกรูปต่อเนื่องและ แบบไม่ต่อเนื่อง และการแจกแจงแบบโคไซน์ยกกำลังการแจกแจงแบบ platykurtic มากที่สุดคือการแจกแจงแบบเบอร์นูลลีที่มีp = 1/2 (ตัวอย่างเช่น จำนวนครั้งที่ได้หัวเมื่อโยนเหรียญหนึ่งครั้ง)ซึ่งค่าความโค้งส่วนเกินคือ −2

ผลกระทบของความโค้ง (kurtosis) แสดงให้เห็นโดยใช้ตระกูลการแจกแจงแบบพาราเมตริกซึ่งสามารถปรับความโค้งได้ ในขณะที่โมเมนต์และคูมูลันต์ลำดับต่ำกว่ายังคงที่ พิจารณาตระกูลการแจกแจงแบบเพียร์สันประเภท VIIซึ่งเป็นกรณีพิเศษของตระกูลการแจกแจงแบบเพียร์สันประเภท IVที่จำกัดเฉพาะความหนาแน่นแบบสมมาตรฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (PDF) กำหนดโดย $${\displaystyle f(x;a,m)={\frac {\Gamma (m)}{a\,{\sqrt {\pi }}\,\Gamma (m-1/2)}}\left[1+\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}\right]^{-m},}$$ โดยที่aคือพารามิเตอร์มาตราส่วนและmคือพารามิเตอร์รูปร่าง

ความหนาแน่นทั้งหมดในตระกูลนี้มีความสมมาตร โมเมนต์ลำดับที่k จะมีอยู่ก็ต่อเมื่อ m > ( k + 1)/2สำหรับการมีอยู่ของค่าความโค้ง เราต้องมีm > 5/2จากนั้นค่าเฉลี่ยและค่าความเบี่ยงเบน^จะมีอยู่และเป็นศูนย์ทั้งคู่ การกำหนดa² = 2m − 3จะทำให้ค่าความแปรปรวนเท่ากับหนึ่ง จากนั้นพารามิเตอร์อิสระเพียงตัวเดียวคือmซึ่งควบคุมโมเมนต์ลำดับที่สี่ (และค่าสะสม) และด้วยเหตุนี้จึงควบคุมค่าความโค้ง เราสามารถกำหนดพารามิเตอร์ใหม่ได้ด้วย${\textstyle m=5/2+3/\gamma _{2}}$, ที่ไหน${\displaystyle \gamma _{2}}$คือค่าความโค้งส่วนเกินตามที่นิยามไว้ข้างต้น ซึ่งจะได้ตระกูลเลปโตเคอร์ติกแบบพารามิเตอร์เดียวที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ ความแปรปรวนเป็นหนึ่ง ความเบ้เป็นศูนย์ และค่าความโค้งส่วนเกินที่ไม่เป็นลบตามอำเภอใจ ความหนาแน่นที่ปรับพารามิเตอร์ใหม่คือ $${\displaystyle g(x;\gamma _{2})=f{\left(x;\;a={\sqrt {2+6\gamma _{2}^{-1}}},\;m={\tfrac {5}{2}}+3\gamma _{2}^{-1}\right)}.}$$

ในขีดจำกัดเมื่อ${\displaystyle \gamma _{2}\to \infty }$จึงได้ความหนาแน่น $${\displaystyle g(x)=3\left(2+x^{2}\right)^{-5/2},}$$ ซึ่งแสดงเป็นเส้นโค้งสีแดงในภาพด้านขวา

ในทิศทางตรงกันข้ามกับ${\displaystyle \gamma _{2}\to 0}$จะได้ ความหนาแน่น ปกติมาตรฐานเป็นค่าจำกัดของการกระจายตัว ซึ่งแสดงด้วยเส้นโค้งสีดำ

ในภาพด้านขวา เส้นโค้งสีน้ำเงินแสดงถึงความหนาแน่น${\displaystyle x\mapsto g(x;2)}$โดยมีค่าความโค้งส่วนเกิน (excess kurtosis) เท่ากับ 2 ภาพด้านบนแสดงให้เห็นว่าความหนาแน่นแบบเลปโตเคอร์ติก (leptokurtic densities) ในตระกูลนี้มีจุดสูงสุดที่สูงกว่าความหนาแน่นแบบเมโซเคอร์ติก (mesokurtic normal density) แม้ว่าข้อสรุปนี้จะใช้ได้เฉพาะกับตระกูลการแจกแจงที่เลือกไว้เท่านั้น หางที่ค่อนข้างหนากว่าของความหนาแน่นแบบเลปโตเคอร์ติกแสดงให้เห็นในภาพที่สอง ซึ่งแสดงค่าลอการิทึมธรรมชาติของความหนาแน่นแบบเพียร์สันประเภท VII: เส้นโค้งสีดำคือลอการิทึมของความหนาแน่นแบบปกติมาตรฐาน ซึ่งเป็นพาราโบลาจะเห็นได้ว่าความหนาแน่นแบบปกติจัดสรรมวลความน่าจะเป็นน้อยให้กับบริเวณที่อยู่ห่างจากค่าเฉลี่ย (มีหางบาง ) เมื่อเทียบกับเส้นโค้งสีน้ำเงินของความหนาแน่นแบบเพียร์สันประเภท VII แบบเลปโตเคอร์ติกที่มีค่าความโค้งส่วนเกินเท่ากับ 2 ระหว่างเส้นโค้งสีน้ำเงินและสีดำคือความหนาแน่นแบบเพียร์สันประเภท VII อื่นๆ ที่มี=  1  , 1/2, 1/4, 1/8 และ 1/16 เส้นโค้งสีแดงแสดงถึงขีดจำกัดบนของตระกูล Pearson ประเภท VII อีกครั้ง โดยมี${\displaystyle \gamma _{2}=\infty }$(ซึ่งในเชิงไวยากรณ์แล้ว หมายความว่าโมเมนต์ที่สี่ไม่มีอยู่จริง) เส้นโค้งสีแดงลดลงช้าที่สุดเมื่อเคลื่อนออกไปจากจุดกำเนิด (มีหางหนา )

ในที่นี้จะเปรียบเทียบการแจกแจงแบบเอกโมดอลและสมมาตรที่เป็นที่รู้จักกันดีหลายแบบจากตระกูลพารามิเตอร์ที่แตกต่างกัน โดยแต่ละแบบมีค่าเฉลี่ยและความเบี่ยงเบนเป็นศูนย์ พารามิเตอร์ต่างๆ ถูกเลือกเพื่อให้ได้ค่าความแปรปรวนเท่ากับ 1 ในแต่ละกรณี ภาพทางด้านขวาแสดงเส้นโค้งสำหรับการแจกแจงความหนาแน่นทั้งเจ็ดแบบต่อไปนี้ ทั้งในมาตราส่วนเชิงเส้นและมาตราส่วนลอการิทึม :

• D: การแจกแจงแบบลาปลาซหรือที่รู้จักกันในชื่อการแจกแจงแบบเลขชี้กำลังคู่ เส้นโค้งสีแดง (เส้นตรงสองเส้นในกราฟมาตราส่วนลอการิทึม) ค่าความโค้งส่วนเกิน = 3
• S: การกระจายแบบไฮเปอร์โบลิกซีแคนต์เส้นโค้งสีส้ม ค่าความโค้งส่วนเกิน = 2
• L: การแจกแจงแบบโลจิสติกเส้นโค้งสีเขียว ค่าความโค้งส่วนเกิน = 1.2
• N: การแจกแจงแบบปกติเส้นโค้งสีดำ (พาราโบลาคว่ำในกราฟมาตราส่วนลอการิทึม) ค่าความโค้งส่วนเกิน = 0
• C: การกระจายโคไซน์ยกกำลังเส้นโค้งสีฟ้า ค่าความโค้งส่วนเกิน = −0.593762...
• W: การกระจายแบบครึ่งวงกลมของวิกเนอร์เส้นโค้งสีน้ำเงิน ค่าความโค้งส่วนเกิน = −1
• U: การกระจายแบบสม่ำเสมอเส้นโค้งสีม่วงแดง (แสดงเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าในทั้งสองภาพเพื่อให้เข้าใจง่าย) ค่าความโค้งส่วนเกิน = −1.2

โปรดทราบว่าในกรณีเหล่านี้ ความหนาแน่นแบบแพลทิเคอร์ติกจะมีขอบเขต จำกัด ในขณะที่ความหนาแน่นที่มีค่าความโค้งส่วนเกินเป็นบวกหรือเป็นศูนย์จะครอบคลุมอยู่บนเส้นจำนวนจริงทั้งหมด

เราไม่สามารถสรุปได้ว่าการแจกแจงที่มีค่าความโค้งสูงหรือต่ำจะมีลักษณะตามตัวอย่างเหล่านี้ มีการแจกแจงแบบแพลตีเคอร์ติกที่มีช่วงรองรับอนันต์ เช่นการแจกแจงกำลังเอกซ์โพเนนเชียล ที่มีพารามิเตอร์รูปร่าง bมากพอและมีการแจกแจงแบบเลปโตเคอร์ติกที่มีช่วงรองรับจำกัด ตัวอย่างของแบบหลังคือการแจกแจงที่เป็นเอกรูปในช่วงระหว่าง −3 ถึง −0.3 ระหว่าง −0.3 ถึง 0.3 และระหว่าง 0.3 ถึง 3 โดยมีความหนาแน่นเท่ากันในช่วง (−3, −0.3) และ (0.3, 3) แต่มีความหนาแน่นมากกว่า 20 เท่าในช่วง (−0.3, 0.3)

นอกจากนี้ เราไม่สามารถอนุมานจากกราฟได้ว่าการกระจายความโค้งที่สูงกว่าจะมีความชัน มากกว่า และการกระจายความโค้งที่ต่ำกว่าจะมีความชันน้อยกว่า มีความหนาแน่นแบบแพลตีเคอร์ติกที่มีความชันเป็นอนันต์ เช่น การผสมที่เท่ากันของการกระจายแบบเบต้าที่มีพารามิเตอร์ 0.5 และ 1 โดยมีการสะท้อนรอบ 0.0 และมีความหนาแน่นแบบเลปโตเคอร์ติกที่ดูเหมือนยอดแบน เช่น การผสมของการกระจายที่เป็นเอกรูประหว่าง -1 และ 1 กับการกระจายแบบ t ของนักเรียน T(4.0000001) โดยมีความน่าจะเป็นในการผสม 0.999 และ 0.001

กราฟแสดงผลลัพธ์ของการกระจายข้อมูลแบบมาตรฐานแสดงอยู่ทางด้านขวา

ขอบเขตบนสำหรับค่าความโค้งตัวอย่างของ จำนวนจริง n ( n > 2 ) คือ^{[ 15 ]}$${\displaystyle g_{2}\leq {\frac {1}{2}}{\frac {n-3}{n-2}}g_{1}^{2}+{\frac {n}{2}}-3,}$$ ที่ไหน${\displaystyle g_{1}=m_{3}/m_{2}^{3/2}}$คือค่าความเบี่ยงเบนของตัวอย่างที่สอดคล้องกัน

ความแปรปรวนของความโค้งของตัวอย่างขนาดnจากการแจกแจงปกติคือ^{[ 16 ]}$${\displaystyle \operatorname {var} (g_{2})={\frac {24n(n-1)^{2}}{(n-3)(n-2)(n+3)(n+5)}}}$$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ภายใต้สมมติฐานที่ว่าตัวแปรสุ่มพื้นฐาน${\displaystyle X}$หากมีการแจกแจงแบบปกติ ก็สามารถแสดงได้ว่า${\displaystyle {\sqrt {n}}g_{2}\,\xrightarrow {d} \,{\mathcal {N}}(0,24)}$[ ^{17 ] : ต้องการ หมายเลขหน้า}

การใช้ตัวกรองแบบแบนด์พาสกับภาพดิจิทัลค่าความโค้งมักจะสม่ำเสมอโดยไม่ขึ้นอยู่กับช่วงของตัวกรอง พฤติกรรมนี้เรียกว่าการบรรจบกันของความโค้งซึ่งสามารถใช้ตรวจจับการต่อภาพในการวิเคราะห์ทางนิติวิทยาศาสตร์ได้^{[ 21 ]}

ค่าความโค้ง (Kurtosis) สามารถใช้ในทางธรณีฟิสิกส์ เพื่อแยกแยะ สัญญาณแผ่นดินไหวประเภทต่างๆ ได้โดยเฉพาะอย่างยิ่งมีประสิทธิภาพในการแยกแยะสัญญาณแผ่นดินไหวที่เกิดจากเสียงฝีเท้าของมนุษย์จากสัญญาณอื่นๆ^{[ 22 ]}ซึ่งเป็นประโยชน์ในระบบรักษาความปลอดภัยและการเฝ้าระวังที่อาศัยการตรวจจับแผ่นดินไหว

ในอุตุนิยมวิทยาค่าความโค้ง (kurtosis) ใช้ในการวิเคราะห์การกระจายข้อมูลสภาพอากาศ ช่วยในการทำนายเหตุการณ์สภาพอากาศสุดขั้วโดยการประเมินความน่าจะเป็นของค่าผิดปกติในข้อมูลในอดีต^{[ 23 ]}ซึ่งมีประโยชน์สำหรับการศึกษาภูมิอากาศในระยะยาวและการพยากรณ์อากาศในระยะสั้น