การแจกแจงปกติทั่วไป ( GND ) หรือการแจกแจงเกาส์เซียนทั่วไป ( GGD ) เป็นหนึ่งในสองตระกูลของการแจกแจงความน่าจะเป็นต่อเนื่องบน เส้น จำนวนจริง แบบ พาราเมตริกทั้งสองตระกูลนี้เพิ่มพารามิเตอร์รูปร่างเข้าไปในการแจกแจงปกติเพื่อแยกแยะความแตกต่างระหว่างสองตระกูลนี้ จึงจะเรียกในที่นี้ว่า "สมมาตร" และ "อสมมาตร" อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่คำศัพท์มาตรฐาน

สมมาตรทั่วไปปกติ
ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น
ฟังก์ชันการกระจายสะสม
พารามิเตอร์	${\displaystyle \mu \,}$ตำแหน่ง ( จริง )${\displaystyle \alpha \,}$มาตราส่วน (บวก, จริง )${\displaystyle \beta \,}$รูปร่าง (เชิงบวก, จริง )
สนับสนุน	${\displaystyle x\in (-\infty$ ;+\infty )\!}
พีดี	${\displaystyle {\frac {\beta }{2\alpha \Gamma (1/\beta )}}\;e^{-(|x-\mu |/\alpha )^{\beta }}}$ ${\displaystyle \Gamma }$หมายถึงฟังก์ชันแกมมา
ซีดีเอฟ	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\text{sign}}(x-\mu ){\frac {1}{2\Gamma (1/\beta )}}\gamma \left(1/\beta ,\left|{\frac {x-\mu }{\alpha }}\right|^{\beta }\right)}$ ที่ไหน${\displaystyle \beta }$เป็นพารามิเตอร์รูปร่าง${\displaystyle \alpha }$เป็นพารามิเตอร์มาตราส่วนและ${\displaystyle \gamma }$คือฟังก์ชันแกมมาล่างที่ไม่สมบูรณ์และไม่ได้ปรับค่ามาตรฐาน
ควอนไทล์	${\displaystyle {\text{sign}}(p-0.5)\left[\alpha ^{\beta }F^{-1}\left(2|p-0.5|;{\frac {1}{\beta }}\right)\right]^{1/\beta }+\mu }$ ที่ไหน${\displaystyle F^{-1}\left(p;a\right)}$คือฟังก์ชันควอนไทล์ของการกระจายแกมมา[ 1 ]
หมายถึง	${\displaystyle \mu \,}$
ค่ามัธยฐาน	${\displaystyle \mu \,}$
โหมด	${\displaystyle \mu \,}$
ความแปรปรวน	${\displaystyle {\frac {\alpha ^{2}\Gamma (3/\beta )}{\Gamma (1/\beta )}}}$
ความเบี่ยงเบน	0
ความโค้งส่วนเกิน	${\displaystyle {\frac {\Gamma (5/\beta )\Gamma (1/\beta )}{\Gamma (3/\beta )^{2}}}-3}$
เอนโทรปี	${\displaystyle {\frac {1}{\beta }}-\log \left[{\frac {\beta }{2\alpha \Gamma (1/\beta )}}\right]}$[ 2 ]

การแจกแจงปกติทั่วไปแบบสมมาตรหรือที่รู้จักกันในชื่อ^การแจกแจง Subbotin [ ^{3 ]}การแจกแจงกำลังเลขชี้กำลังหรือการแจกแจงข้อผิดพลาดทั่วไปเป็นตระกูลพาราเมตริกของการแจกแจงแบบสมมาตรประกอบด้วย การแจกแจง ปกติและ การแจกแจง Laplace ทั้งหมด และในกรณีจำกัด จะรวมถึงการแจกแจงเอกรูปต่อเนื่อง ทั้งหมด บนช่วงที่จำกัดของเส้นจำนวนจริง

ครอบครัวนี้รวมถึงการแจกแจงแบบปกติเมื่อ${\displaystyle \textstyle \beta =2}$(โดยมีค่าเฉลี่ย)${\displaystyle \textstyle \mu }$และความแปรปรวน${\displaystyle \textstyle {\frac {\alpha ^{2}}{2}}}$) และรวมถึงการกระจายแบบลาปลาสเมื่อ⁠${\displaystyle \textstyle \beta =1}$.เช่นเดียวกับ${\displaystyle \textstyle \beta \rightarrow \infty }$ความหนาแน่นจะลู่เข้าสู่ความหนาแน่นสม่ำเสมอแบบจุดต่อจุดบน⁠${\displaystyle \textstyle (\mu -\alpha ,\mu +\alpha )}$⁠ .

ตระกูลนี้อนุญาตให้มีหางที่หนักกว่าปกติ (เมื่อ⁠${\displaystyle \beta <2}$)หรือเบากว่าปกติ (เมื่อ ⁠${\displaystyle \beta >2}$)เป็นวิธีที่มีประโยชน์ในการกำหนดพารามิเตอร์ของความหนาแน่นแบบสมมาตรและแบนราบที่ต่อเนื่องกันตั้งแต่แนวตั้งฉาก ( )${\displaystyle \textstyle \beta =2}$)ไปสู่ความหนาแน่นสม่ำเสมอ ( ⁠${\displaystyle \textstyle \beta =\infty }$)และ ความหนาแน่นแบบ เลปโตเคอร์ติก สมมาตรต่อเนื่อง ที่ครอบคลุมตั้งแต่ลาปลาซ ( )${\displaystyle \textstyle \beta =1}$)ถึงความหนาแน่นปกติ ( ⁠${\displaystyle \textstyle \beta =2}$) . พารามิเตอร์รูปร่าง${\displaystyle \beta }$นอกจากนี้ยังควบคุมความแหลมคมของยอดแหลมนอกเหนือจากส่วนหาง ด้วย

ปกติทั่วไปแบบไม่สมมาตร
ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น
ฟังก์ชันการกระจายสะสม
พารามิเตอร์	${\displaystyle \xi \,}$ตำแหน่ง ( จริง )${\displaystyle \alpha \,}$มาตราส่วน (บวก, จริง )${\displaystyle \kappa \,}$รูปร่าง ( จริง )
สนับสนุน	${\displaystyle x\in (-\infty ,\xi +\alpha /\kappa ){\text{ if }}\kappa >0}$${\displaystyle x\in (-\infty ,\infty ){\text{ if }}\kappa =0}$${\displaystyle x\in (\xi +\alpha /\kappa ,+\infty ){\text{ if }}\kappa <0}$
พีดี	${\displaystyle {\frac {\phi (y)}{\alpha -\kappa (x-\xi )}}}$, ที่ไหน${\displaystyle y={\begin{cases}-{\frac {1}{\kappa }}\log \left[1-{\frac {\kappa (x-\xi )}{\alpha }}\right]&{\text{if }}\kappa \neq 0\\{\frac {x-\xi }{\alpha }}&{\text{if }}\kappa =0\end{cases}}}$${\displaystyle \phi }$เป็นไฟล์ PDF มาตรฐาน ปกติ
ซีดีเอฟ	${\displaystyle \Phi (y)}$, ที่ไหน${\displaystyle y={\begin{cases}-{\frac {1}{\kappa }}\log \left[1-{\frac {\kappa (x-\xi )}{\alpha }}\right]&{\text{if }}\kappa \neq 0\\{\frac {x-\xi }{\alpha }}&{\text{if }}\kappa =0\end{cases}}}$${\displaystyle \Phi }$คือCDF ปกติ มาตรฐาน
หมายถึง	${\displaystyle \xi -{\frac {\alpha }{\kappa }}\left(e^{\kappa ^{2}/2}-1\right)}$
ค่ามัธยฐาน	${\displaystyle \xi \,}$
ความแปรปรวน	${\displaystyle {\frac {\alpha ^{2}}{\kappa ^{2}}}e^{\kappa ^{2}}\left(e^{\kappa ^{2}}-1\right)}$
ความเบี่ยงเบน	${\displaystyle {\frac {3e^{\kappa ^{2}}-e^{3\kappa ^{2}}-2}{(e^{\kappa ^{2}}-1)^{3/2}}}{\text{ sign}}(\kappa )}$
ความโค้งส่วนเกิน	${\displaystyle e^{4\kappa ^{2}}+2e^{3\kappa ^{2}}+3e^{2\kappa ^{2}}-6}$

การแจกแจงปกติทั่วไปแบบไม่สมมาตรเป็นตระกูลของการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องซึ่งพารามิเตอร์รูปร่างสามารถใช้เพื่อแนะนำความไม่สมมาตรหรือความเบ้ได้^{[ 14 ] [ 15 ]} เมื่อพารามิเตอร์รูปร่างเป็นศูนย์ จะได้การแจกแจงปกติ ค่าบวกของพารามิเตอร์รูปร่างจะให้การแจกแจงแบบเบ้ซ้ายที่มีขอบเขตด้านขวา และค่าลบของพารามิเตอร์รูปร่างจะให้การแจกแจงแบบเบ้ขวาที่มีขอบเขตด้านซ้าย เฉพาะเมื่อพารามิเตอร์รูปร่างเป็นศูนย์เท่านั้นที่ฟังก์ชันความหนาแน่นของการแจกแจงนี้จะเป็นบวกตลอดทั้งเส้นจำนวนจริง ในกรณีนี้ การแจกแจงจะเป็นการแจกแจงปกติ มิฉะนั้น การแจกแจงจะเป็นการ แจกแจงแบบลอกา ริทมิกปกติ แบบเลื่อนและอาจกลับด้านได้

ความแตกต่าง Kullback–Leibler (KLD) เป็นวิธีการที่ใช้ในการคำนวณความแตกต่างหรือความคล้ายคลึงกันระหว่างฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นสองฟังก์ชัน^{[ 16 ]}

อนุญาต${\displaystyle P(x)}$และ${\displaystyle Q(x)}$การแจกแจงแบบเกาส์เซียนทั่วไปสองแบบที่มีพารามิเตอร์${\displaystyle \alpha _{1},\beta _{1},\mu _{1}}$และ${\displaystyle \alpha _{2},\beta _{2},\mu _{2}}$ภายใต้ข้อจำกัด${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}=0}$[ ^{17 ] จากนั้นความ แตก}ต่าง นี้กำหนดโดย:

${\displaystyle {\rm {KLD_{pdf}}}(P(x)\parallel Q(x))=-{\frac {1}{\beta _{1}}}+{\frac {({\frac {\alpha _{1}}{\alpha _{2}}})^{\beta _{2}}\Gamma ({\frac {1+\beta _{2}}{\beta _{1}}})}{\Gamma ({\frac {1}{\beta _{1}}})}}+\log \left({\frac {\alpha _{2}\Gamma (1+{\frac {1}{\beta _{2}}})}{\alpha _{1}\Gamma (1+{\frac {1}{\beta _{1}}})}}\right)}$

ตระกูลการแจกแจงปกติทั่วไปสองตระกูลที่กล่าวถึงในที่นี้ เช่นเดียวกับ ตระกูลการแจกแจง ปกติแบบเบ้เป็นตระกูลพาราเมตริกที่ขยายการแจกแจงปกติโดยการเพิ่มพารามิเตอร์รูปร่าง เนื่องจากบทบาทสำคัญของการแจกแจงปกติในความน่าจะเป็นและสถิติ การแจกแจงจำนวนมากจึงสามารถอธิบายได้ในแง่ของความสัมพันธ์กับการแจกแจงปกติ ตัวอย่างเช่น การแจกแจงลอการิทึมปกติ การแจกแจงปกติ แบบพับและ การแจกแจง ปกติผกผันถูกกำหนดให้เป็นการแปลงค่าที่แจกแจงแบบปกติ แต่แตกต่างจากตระกูลการแจกแจงปกติทั่วไปและการแจกแจงปกติแบบเบ้ตรงที่ การแจกแจงเหล่านี้ไม่ได้รวมการแจกแจงปกติเป็นกรณีพิเศษ

อันที่จริงแล้ว การแจกแจงทั้งหมดที่มีความแปรปรวนจำกัดนั้น ในขีดจำกัดแล้วมีความสัมพันธ์อย่างมากกับการแจกแจงปกติ การแจกแจง Student-t การแจกแจง Irwin-Hallและการแจกแจง Batesก็เป็นการขยายการแจกแจงปกติ และรวมถึงในการแจกแจงปกติในขีดจำกัดด้วย ดังนั้นจึงไม่มีเหตุผลที่ชัดเจนที่จะเลือกใช้การแจกแจงปกติแบบ "ทั่วไป" ประเภทที่ 1 เช่น มากกว่าการรวมกันของ Student-t และการแจกแจง Irwin-Hall ที่ขยายแบบปกติ – ซึ่งจะรวมถึงการแจกแจงแบบสามเหลี่ยม (ซึ่งไม่สามารถจำลองได้ด้วยการแจกแจงเกาส์เซียนแบบทั่วไปประเภทที่ 1)

สามารถสร้างการแจกแจงแบบสมมาตรที่สามารถจำลองพฤติกรรมทั้งส่วนหาง (ยาวและสั้น) และส่วนกลาง (เช่น แบบแบน แบบสามเหลี่ยม หรือแบบเกาส์เซียน) ได้อย่างอิสระโดยสมบูรณ์เช่นโดยใช้X = IH / χ   

การแจกแจงแบบ Tukey g และ hยังอนุญาตให้มีการเบี่ยงเบนจากภาวะปกติ ทั้งผ่านความเบี่ยงเบนและหางที่หนา^{[ 18 ]}

• การกระจายปกติที่ซับซ้อน
• การกระจายแบบเบ้ปกติ