วิธีการครีกิง (Kriging) ทำนายค่าของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด โดยการคำนวณค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของค่าที่ทราบของฟังก์ชันในบริเวณใกล้เคียงจุดนั้น วิธีนี้มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการวิเคราะห์การถดถอย (Regression Analysis ) ทั้งสองทฤษฎีได้มาซึ่งตัวประมาณค่าเชิงเส้นที่ดีที่สุดที่ไม่เอนเอียงโดยอาศัยสมมติฐานเกี่ยวกับความแปรปรวนร่วมใช้ ทฤษฎีบท เกาส์-มาร์คอฟ (Gauss–Markov Theorem) เพื่อพิสูจน์ความเป็นอิสระของการ ประมาณค่าและความคลาดเคลื่อน และใช้สูตรที่คล้ายคลึงกันมาก ถึงกระนั้น วิธีการทั้งสองก็มีประโยชน์ในกรอบการทำงานที่แตกต่างกัน: ครีกิงใช้สำหรับการประมาณค่าของการเกิดขึ้นเพียงครั้งเดียวของสนามสุ่ม ในขณะที่แบบจำลองการถดถอยนั้นขึ้นอยู่กับการสังเกตหลายครั้งของชุดข้อมูลหลายตัวแปร

การประมาณค่าแบบครีกิงอาจมองได้ว่าเป็นสปลายในปริภูมิฮิลเบิร์ตเคอร์เนลแบบสร้างซ้ำได้โดยเคอร์เนลแบบสร้างซ้ำได้กำหนดโดยฟังก์ชันความแปรปรวนร่วม^{[ 2 ]}ความแตกต่างกับวิธีการครีกิงแบบคลาสสิกนั้นมาจากการตีความ: ในขณะที่สปลายได้รับแรงบันดาลใจจากการประมาณค่าแบบบรรทัดฐานต่ำสุดโดยอิงจากโครงสร้างปริภูมิฮิลเบิร์ต ครีกิงได้รับแรงบันดาลใจจากข้อผิดพลาดในการทำนายกำลังสองที่คาดหวังโดยอิงจากแบบจำลองสุ่ม

การทำ Kriging ด้วยพื้นผิวแนวโน้มพหุนามนั้นในทางคณิตศาสตร์แล้วเหมือนกับการปรับเส้นโค้งพหุนาม ด้วย วิธี Least Squares ทั่วไปทุกประการ

Kriging สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นรูปแบบหนึ่งของการเพิ่มประสิทธิภาพแบบเบย์เซียน [ ^{3 ] Kriging}เริ่มต้นด้วยการกระจายความน่าจะเป็นล่วงหน้า เหนือฟังก์ชัน ความน่าจะเป็นล่วงหน้านี้อยู่ในรูปแบบของกระบวนการเกาส์เซียน:${\displaystyle N}$ค่าตัวอย่างจากฟังก์ชันจะมีการกระจายแบบปกติโดยที่ค่าความแปรปรวนร่วมระหว่างค่าตัวอย่างสองค่าใดๆ คือฟังก์ชันความแปรปรวนร่วม (หรือเคอร์เนล ) ของกระบวนการเกาส์เซียนที่ประเมินค่า ณ ตำแหน่งเชิงพื้นที่ของสองจุด จากนั้นจะสังเกต ชุดค่าต่างๆ โดยแต่ละค่าจะสัมพันธ์กับตำแหน่งเชิงพื้นที่หนึ่งๆ ตอนนี้สามารถทำนายค่าใหม่ ณ ตำแหน่งเชิงพื้นที่ใหม่ใดๆ ได้โดยการรวมค่าก่อนหน้าแบบเกาส์เซียนเข้ากับฟังก์ชันความน่าจะเป็น แบบเกาส์เซียน สำหรับแต่ละค่าที่สังเกตได้ การกระจายความน่าจะเป็น ภายหลัง ที่ได้ ก็จะเป็นแบบเกาส์เซียนเช่นกัน โดยมีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนร่วมที่สามารถคำนวณได้ง่ายๆ จากค่าที่สังเกตได้ ความแปรปรวนของค่าเหล่านั้น และเมทริกซ์เคอร์เนลที่ได้จากค่าก่อนหน้า

ในแบบจำลองทางภูมิสถิติ ข้อมูลที่ได้จากการสุ่มตัวอย่างจะถูกตีความว่าเป็นผลมาจากกระบวนการสุ่ม ข้อเท็จจริงที่ว่าแบบจำลองเหล่านี้รวมเอาความไม่แน่นอนไว้ในแนวคิดไม่ได้หมายความว่าปรากฏการณ์นั้นๆ เช่น ป่าไม้ แหล่งน้ำใต้ดิน หรือแหล่งแร่ เป็นผลมาจากกระบวนการสุ่ม แต่หมายความว่ามันช่วยให้สามารถสร้างพื้นฐานทางระเบียบวิธีสำหรับการอนุมานเชิงพื้นที่ของปริมาณในตำแหน่งที่ไม่สามารถสังเกตได้ และเพื่อหาปริมาณความไม่แน่นอนที่เกี่ยวข้องกับตัวประมาณค่า

ในบริบทของแบบจำลองนี้ กระบวนการสุ่มเป็นเพียงวิธีการหนึ่งในการเข้าถึงชุดข้อมูลที่รวบรวมได้จากตัวอย่าง ขั้นตอนแรกในการปรับแต่งทางภูมิสถิติคือการสร้างกระบวนการสุ่มที่อธิบายชุดข้อมูลที่สังเกตได้ดีที่สุด

ค่าจากตำแหน่งที่ตั้ง${\displaystyle x_{1}}$(ชื่อเรียกทั่วไปของชุดพิกัดทางภูมิศาสตร์ ) ถูกตีความว่าเป็นการทำให้เป็นจริง${\displaystyle z(x_{1})}$ของตัวแปรสุ่ม${\displaystyle Z(x_{1})}$ในอวกาศ${\displaystyle A}$โดยที่ชุดตัวอย่างกระจายตัวอยู่ จะมี${\displaystyle N}$การรับรู้ของตัวแปรสุ่ม${\displaystyle Z(x_{1}),Z(x_{2}),\ldots ,Z(x_{N})}$มีความสัมพันธ์กันเอง

เซตของตัวแปรสุ่มประกอบกันเป็นฟังก์ชันสุ่ม ซึ่งทราบค่าการเกิดขึ้นเพียงค่าเดียวเท่านั้น – เซต${\displaystyle z(x_{i})}$จากข้อมูลที่สังเกตได้ เนื่องจากแต่ละตัวแปรสุ่มมีค่าเพียงครั้งเดียว จึงเป็นไปไม่ได้ในทางทฤษฎีที่จะหาค่าพารามิเตอร์ทางสถิติ ใดๆ ของตัวแปรแต่ละตัวหรือฟังก์ชัน วิธีแก้ปัญหาที่เสนอในรูปแบบทางภูมิสถิติคือการสมมติระดับความเสถียร ต่างๆ ในฟังก์ชันสุ่ม เพื่อให้สามารถอนุมานค่าทางสถิติบางค่าได้

ตัวอย่างเช่น หากเราสมมติว่าตัวอย่างมีความเป็นเนื้อเดียวกันในพื้นที่${\displaystyle A}$ในกรณีที่ตัวแปรมีการกระจายตัว และสมมติฐานที่ว่าโมเมนต์แรกมีลักษณะคงที่ (กล่าวคือ ตัวแปรสุ่มทั้งหมดมีค่าเฉลี่ยเท่ากัน) หมายความว่าเราสามารถประมาณค่าเฉลี่ยได้โดยใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่สุ่มมา

สมมติฐานเรื่องความคงที่ที่เกี่ยวข้องกับโมเมนต์ที่สองนั้นกำหนดไว้ดังนี้: ความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสุ่มสองตัวขึ้นอยู่กับระยะทางเชิงพื้นที่ระหว่างตัวแปรเหล่านั้นเท่านั้น และไม่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งที่ตั้งของตัวแปรเหล่านั้น ดังนั้น ถ้า${\displaystyle \mathbf {h} =x_{2}-x_{1}}$และ${\displaystyle h=|\mathbf {h} |}$, แล้ว:

${\displaystyle C{\big (}Z(x_{1}),Z(x_{2}){\big )}=C{\big (}Z(x_{i}),Z(x_{i}+\mathbf {h} ){\big )}=C(h),}$

${\displaystyle \gamma {\big (}Z(x_{1}),Z(x_{2}){\big )}=\gamma {\big (}Z(x_{i}),Z(x_{i}+\mathbf {h} ){\big )}=\gamma (h).}$

เพื่อความง่าย เราจึงกำหนดนิยามดังนี้${\displaystyle C(x_{i},x_{j})=C{\big (}Z(x_{i}),Z(x_{j}){\big )}}$และ${\displaystyle \gamma (x_{i},x_{j})=\gamma {\big (}Z(x_{i}),Z(x_{j}){\big )}}$.

สมมติฐานนี้ทำให้สามารถอนุมานค่าทั้งสองนั้นได้ คือวาเรียแกรมและโควาเรียแกรม :

${\displaystyle \gamma (h)={\frac {1}{2|N(h)|}}\sum _{(i,j)\in N(h)}{\big (}Z(x_{i})-Z(x_{j}){\big )}^{2},}$

${\displaystyle C(h)={\frac {1}{|N(h)|}}\sum _{(i,j)\in N(h)}{\big (}Z(x_{i})-m(h){\big )}{\big (}Z(x_{j})-m(h){\big )},}$

ที่ไหน:

${\displaystyle m(h)={\frac {1}{2|N(h)|}}\sum _{(i,j)\in N(h)}\left(Z(x_{i})+Z(x_{j})\right)}$;

${\displaystyle N(h)}$หมายถึงเซตของคู่ข้อมูลสังเกตการณ์${\displaystyle i,\;j}$โดยที่${\displaystyle |x_{i}-x_{j}|=h}$, และ${\displaystyle |N(h)|}$คือจำนวนคู่ในเซต

ในชุดนี้${\displaystyle (i,\;j)}$และ${\displaystyle (j,\;i)}$หมายถึงองค์ประกอบเดียวกัน โดยทั่วไปคือ "ระยะทางโดยประมาณ"${\displaystyle h}$มีการใช้งาน โดยกำหนดค่าความคลาดเคลื่อนไว้ในระดับหนึ่ง

การอนุมานเชิงพื้นที่ หรือการประมาณค่าของปริมาณใดปริมาณหนึ่ง${\displaystyle Z\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ณ ตำแหน่งที่ไม่สามารถสังเกตได้${\displaystyle x_{0}}$คำนวณจากผลรวมเชิงเส้นของค่าที่สังเกตได้${\displaystyle z_{i}=Z(x_{i})}$และน้ำหนัก${\displaystyle w_{i}(x_{0}),\;i=1,\ldots ,N}$:

${\displaystyle {\hat {Z}}(x_{0})={\begin{bmatrix}w_{1}&w_{2}&\cdots &w_{N}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\vdots \\z_{N}\end{bmatrix}}=\sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{0})Z(x_{i}).}$

น้ำหนัก${\displaystyle w_{i}}$มีจุดประสงค์เพื่อสรุปขั้นตอนที่สำคัญอย่างยิ่งสองขั้นตอนในกระบวนการอนุมานเชิงพื้นที่:

• สะท้อนถึง "ความใกล้ชิด" เชิงโครงสร้างของตัวอย่างกับตำแหน่งการประเมิน${\displaystyle x_{0}}$;
• ในขณะเดียวกัน ควรมีการลดการแบ่งแยก เพื่อหลีกเลี่ยงอคติที่เกิดจากกลุ่ม ตัวอย่างที่อาจเกิดขึ้น ได้

เมื่อคำนวณน้ำหนัก${\displaystyle w_{i}}$ในรูปแบบทางภูมิสถิติ มีเป้าหมายสองประการ ได้แก่การประมาณค่าที่ไม่เอนเอียงและ ความแปรปรวนน้อยที่สุด

หากเมฆแห่งค่าที่แท้จริง${\displaystyle Z(x_{0})}$นำมาพล็อตเทียบกับค่าที่ประมาณไว้${\displaystyle {\hat {Z}}(x_{0})}$เกณฑ์สำหรับความเป็นกลางโดยรวมความเสถียรโดยเนื้อแท้หรือความเสถียรในความหมายกว้างของสนาม บ่งชี้ว่าค่าเฉลี่ยของการประมาณค่าต้องเท่ากับค่าเฉลี่ยของค่าจริง

เกณฑ์ข้อที่สองระบุว่า ค่าเฉลี่ยของค่าเบี่ยงเบนกำลังสอง${\displaystyle {\big (}{\hat {Z}}(x)-Z(x){\big )}}$ค่าความคลาดเคลื่อนต้องน้อยที่สุด ซึ่งหมายความว่ายิ่งกลุ่มค่าที่ประมาณการไว้กับกลุ่มค่าจริงกระจายตัวมากเท่าไร ตัวประมาณค่าก็จะยิ่งไม่แม่นยำมากขึ้นเท่านั้น

ค่าที่ไม่ทราบ${\displaystyle Z(x_{0})}$ถูกตีความว่าเป็นตัวแปรสุ่มที่อยู่ใน${\displaystyle x_{0}}$รวมถึงค่าของตัวอย่างเพื่อนบ้านด้วย${\displaystyle Z(x_{i}),\ i=1,\ldots ,N}$ผู้ประมาณค่า${\displaystyle {\hat {Z}}(x_{0})}$ยังตีความได้ว่าเป็นตัวแปรสุ่มที่อยู่ใน${\displaystyle x_{0}}$ซึ่งเป็นผลลัพธ์ของการรวมกันเชิงเส้นของตัวแปร

วิธีการ Kriging มีเป้าหมายเพื่อลดค่าเฉลี่ยกำลังสองของข้อผิดพลาดต่อไปนี้ในการประมาณค่าให้เหลือน้อยที่สุด${\displaystyle Z(x_{0})}$โดยต้องปราศจากอคติ:

${\displaystyle \epsilon (x_{0})={\hat {Z}}(x_{0})-Z(x_{0})={\begin{bmatrix}W^{T}&-1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}Z(x_{1})&\cdots &Z(x_{N})&Z(x_{0})\end{bmatrix}}^{T}=\sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{0})\times Z(x_{i})-Z(x_{0}).}$

เกณฑ์คุณภาพสองข้อที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้ สามารถแสดงออกมาในรูปของค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มใหม่ได้แล้ว${\displaystyle \epsilon (x_{0})}$:

ปราศจากอคติ

เนื่องจากฟังก์ชันสุ่มเป็นฟังก์ชันคงที่${\displaystyle E[Z(x_{i})]=E[Z(x_{0})]=m}$เพื่อให้แน่ใจว่าแบบจำลองไม่มีอคติ ค่าถ่วงน้ำหนักต้องรวมกันได้เท่ากับ 1 ซึ่งสามารถแสดงได้ดังนี้:

${\displaystyle E[\epsilon (x_{0})]=0\Leftrightarrow \sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{0})\times E[Z(x_{i})]-E[Z(x_{0})]=0}$

${\displaystyle \Leftrightarrow m\sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{0})-m=0\Leftrightarrow \sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{0})=1\Leftrightarrow \mathbf {1} ^{T}\cdot W=1.}$

ความแปรปรวนขั้นต่ำ

ผู้ประมาณค่าสองคนสามารถมีได้${\displaystyle E[\epsilon (x_{0})]=0}$แต่การกระจายตัวรอบค่าเฉลี่ยจะเป็นตัวกำหนดความแตกต่างระหว่างคุณภาพของตัวประมาณค่า เพื่อหาตัวประมาณค่าที่มีความแปรปรวนต่ำสุด เราจำเป็นต้องลดค่าความแปรปรวนให้น้อยที่สุด${\displaystyle E[\epsilon (x_{0})^{2}]}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (\epsilon (x_{0}))&=\operatorname {Var} \left({\begin{bmatrix}W^{T}&-1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}Z(x_{1})&\cdots &Z(x_{N})&Z(x_{0})\end{bmatrix}}^{T}\right)\\&={\begin{bmatrix}W^{T}&-1\end{bmatrix}}\cdot \operatorname {Var} \left({\begin{bmatrix}Z(x_{1})&\cdots &Z(x_{N})&Z(x_{0})\end{bmatrix}}^{T}\right)\cdot {\begin{bmatrix}W\\-1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

ดูเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเพื่อดูคำอธิบายโดยละเอียด

${\displaystyle \operatorname {Var} (\epsilon (x_{0}))={\begin{bmatrix}W^{T}&-1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\operatorname {Var} _{x_{i}}&\operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}\\\operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}^{T}&\operatorname {Var} _{x_{0}}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}W\\-1\end{bmatrix}},}$

โดยที่ตัวอักษร${\displaystyle \left\{\operatorname {Var} _{x_{i}},\operatorname {Var} _{x_{0}},\operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}\right\}}$ยืนหยัดเพื่อ

${\displaystyle \left\{\operatorname {Var} \left({\begin{bmatrix}Z(x_{1})&\cdots &Z(x_{N})\end{bmatrix}}^{T}\right),\operatorname {Var} {\big (}Z(x_{0}){\big )},\operatorname {Cov} \left({\begin{bmatrix}Z(x_{1})&\cdots &Z(x_{N})\end{bmatrix}}^{T},Z(x_{0})\right)\right\}.}$

เมื่อกำหนดแบบจำลองความแปรปรวนร่วมหรือวาเรียแกรมแล้ว${\displaystyle C(\mathbf {h} )}$หรือ${\displaystyle \gamma (\mathbf {h} )}$ใช้ได้ในทุกสาขาการวิเคราะห์${\displaystyle Z(x)}$จากนั้นเราสามารถเขียนนิพจน์สำหรับความแปรปรวนของการประมาณค่าของตัวประมาณค่าใดๆ ในรูปของความแปรปรวนร่วมระหว่างตัวอย่างและความแปรปรวนร่วมระหว่างตัวอย่างกับจุดที่จะประมาณค่าได้:

${\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {Var} {\big (}\epsilon (x_{0}){\big )}=W^{T}\cdot \operatorname {Var} _{x_{i}}\cdot W-\operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}^{T}\cdot W-W^{T}\cdot \operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}+\operatorname {Var} _{x_{0}},\\\operatorname {Var} {\big (}\epsilon (x_{0}){\big )}=\operatorname {Cov} (0)+\sum _{i}\sum _{j}w_{i}w_{j}\operatorname {Cov} (x_{i},x_{j})-2\sum _{i}w_{i}C(x_{i},x_{0}).\end{cases}}}$

จากนิพจน์นี้สามารถสรุปได้บางประการดังนี้ ความแปรปรวนของการประมาณค่า:

• ไม่สามารถวัดปริมาณได้ด้วยตัวประมาณเชิงเส้นใดๆ เมื่อถือว่าค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนร่วมเชิงพื้นที่ หรือวาเรียแกรม มีความคงที่
• ค่าจะเพิ่มขึ้นเมื่อค่าความแปรปรวนร่วมระหว่างตัวอย่างและจุดที่จะประมาณลดลง ซึ่งหมายความว่า เมื่อตัวอย่างอยู่ห่างออกไปจากจุดที่ต้องการประมาณมากขึ้น ค่าก็จะเพิ่มขึ้น${\displaystyle x_{0}}$การประเมินจึงแย่ลงไปอีก
• เติบโตไปพร้อมกับความแปรปรวนก่อนหน้า${\displaystyle C(0)}$ของตัวแปร${\displaystyle Z(x)}$เมื่อตัวแปรมีการกระจายตัวน้อยลง ความแปรปรวนก็จะต่ำลงในทุกจุดของพื้นที่${\displaystyle A}$;
• ไม่ขึ้นอยู่กับค่าของตัวอย่าง ซึ่งหมายความว่าการจัดเรียงเชิงพื้นที่แบบเดียวกัน (โดยมีความสัมพันธ์ทางเรขาคณิตระหว่างตัวอย่างและจุดที่จะประมาณค่าเหมือนกัน) จะให้ค่าความแปรปรวนของการประมาณค่าที่เหมือนกันในทุกส่วนของพื้นที่เสมอ${\displaystyle A}$ด้วยวิธีนี้ ค่าความแปรปรวนจึงไม่ได้วัดความไม่แน่นอนของการประมาณค่าที่เกิดจากตัวแปรเฉพาะที่

ระบบสมการ

${\displaystyle W={\underset {\mathbf {1} ^{T}\cdot W=1}{\operatorname {arg\,min} }}\left(W^{T}\cdot \operatorname {Var} _{x_{i}}\cdot W-\operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}^{T}\cdot W-W^{T}\cdot \operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}+\operatorname {Var} _{x_{0}}\right).}$

การแก้ปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดนี้ (ดูตัวคูณลากรางจ์ ) จะส่งผลให้ได้ระบบครีกิงดังนี้ :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\hat {W}}\\\mu \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\operatorname {Var} _{x_{i}}&\mathbf {1} \\\mathbf {1} ^{T}&0\end{bmatrix}}^{-1}\cdot {\begin{bmatrix}\operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma (x_{1},x_{1})&\cdots &\gamma (x_{1},x_{n})&1\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\\gamma (x_{n},x_{1})&\cdots &\gamma (x_{n},x_{n})&1\\1&\cdots &1&0\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}\gamma (x_{1},x^{*})\\\vdots \\\gamma (x_{n},x^{*})\\1\end{bmatrix}}.}$

พารามิเตอร์เพิ่มเติม${\displaystyle \mu }$เป็นตัวคูณลากรางจ์ที่ใช้ในการลดข้อผิดพลาดของครีจิงให้เหลือน้อยที่สุด${\displaystyle \sigma _{k}^{2}(x)}$เพื่อเป็นการให้เกียรติแก่เงื่อนไขของความเป็นกลาง

Kriging แบบง่ายนั้นง่ายที่สุดในทางคณิตศาสตร์ แต่มีความทั่วไปน้อยที่สุด^{[ 9 ]}โดยถือว่าค่าคาดหวังของสนามสุ่มเป็นที่ทราบและอาศัยฟังก์ชันความแปรปรวนร่วมอย่างไรก็ตาม ในการใช้งานส่วนใหญ่ ทั้งค่าคาดหวังและความแปรปรวนร่วมนั้นไม่เป็นที่ทราบล่วงหน้า

ข้อสมมติฐานเชิงปฏิบัติสำหรับการประยุกต์ใช้ครีจิงแบบง่ายมีดังนี้:

• ความนิ่งในความหมายกว้างของสนาม (ความแปรปรวนคงที่)
• ความคาดหวังเป็นศูนย์ทุกที่:${\displaystyle \mu (x)=0}$.
• ฟังก์ชันความแปรปรวนร่วมที่ทราบ${\displaystyle c(x,y)=\operatorname {Cov} {\big (}Z(x),Z(y){\big )}}$.

ฟังก์ชันความแปรปรวนร่วมเป็นตัวเลือกการออกแบบที่สำคัญ เนื่องจากกำหนดคุณสมบัติของกระบวนการเกาส์เซียนและพฤติกรรมของแบบจำลอง ฟังก์ชันความแปรปรวนร่วมเข้ารหัสข้อมูลเกี่ยวกับความเรียบและความเป็นคาบ ซึ่งสะท้อนให้เห็นในการประมาณค่าที่ได้ ฟังก์ชันความแปรปรวนร่วมที่พบได้ทั่วไปคือฟังก์ชันเลขชี้กำลังยกกำลังสอง ซึ่งเอื้อต่อการประมาณค่าฟังก์ชันที่เรียบเป็นอย่างมาก^{[ 10 ]}ด้วยเหตุนี้ จึงอาจให้ค่าประมาณที่ไม่ดีในแอปพลิเคชันในโลกแห่งความเป็นจริงหลายๆ แอปพลิเคชัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อฟังก์ชันพื้นฐานที่แท้จริงมีความไม่ต่อเนื่องและการเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็ว

ระบบสมการ

ค่าถ่วงน้ำหนักของKriging แบบง่ายไม่มีเงื่อนไขความเป็นกลาง และกำหนดโดยระบบสมการ Kriging แบบง่าย :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{1})&\cdots &c(x_{1},x_{n})\\\vdots &\ddots &\vdots \\c(x_{n},x_{1})&\cdots &c(x_{n},x_{n})\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{0})\\\vdots \\c(x_{n},x_{0})\end{pmatrix}}.}$

นี่เป็นสิ่งที่คล้ายคลึงกับการถดถอยเชิงเส้นของ${\displaystyle Z(x_{0})}$ในทางกลับกัน${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$.

การประมาณการ

การประมาณค่าในช่วงโดยใช้ Kriging แบบง่ายมีดังนี้

${\displaystyle {\hat {Z}}(x_{0})={\begin{pmatrix}z_{1}\\\vdots \\z_{n}\end{pmatrix}}'{\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{1})&\cdots &c(x_{1},x_{n})\\\vdots &\ddots &\vdots \\c(x_{n},x_{1})&\cdots &c(x_{n},x_{n})\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{0})\\\vdots \\c(x_{n},x_{0})\end{pmatrix}}.}$

ข้อผิดพลาดของ Kriging คำนวณได้จากสูตร

${\displaystyle \operatorname {Var} {\big (}{\hat {Z}}(x_{0})-Z(x_{0}){\big )}=\underbrace {c(x_{0},x_{0})} _{\operatorname {Var} {\big (}Z(x_{0}){\big )}}-\underbrace {{\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{0})\\\vdots \\c(x_{n},x_{0})\end{pmatrix}}'{\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{1})&\cdots &c(x_{1},x_{n})\\\vdots &\ddots &\vdots \\c(x_{n},x_{1})&\cdots &c(x_{n},x_{n})\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{0})\\\vdots \\c(x_{n},x_{0})\end{pmatrix}}} _{\operatorname {Var} {\big (}{\hat {Z}}(x_{0}){\big )}},}$

ซึ่งนำไปสู่ ทฤษฎีบทเกาส์-มาร์คอฟฉบับกำลังสองน้อยที่สุดแบบทั่วไป(Chiles & Delfiner 1999, หน้า 159):

${\displaystyle \operatorname {Var} {\big (}Z(x_{0}){\big )}=\operatorname {Var} {\big (}{\hat {Z}}(x_{0}){\big )}+\operatorname {Var} {\big (}{\hat {Z}}(x_{0})-Z(x_{0}){\big )}.}$

ดูเพิ่มเติมที่Bayesian Polynomial Chaos

• การประมาณค่าแบบครีกิงนั้นไม่มีอคติ:${\displaystyle E[{\hat {Z}}(x_{i})]=E[Z(x_{i})]}$.
• การประมาณค่าแบบครีกิงจะยึดตามค่าที่สังเกตได้จริง:${\displaystyle {\hat {Z}}(x_{i})=Z(x_{i})}$(โดยสมมติว่าไม่มีข้อผิดพลาดในการวัด)
• การประมาณค่าแบบครีกิง${\displaystyle {\hat {Z}}(x)}$เป็นตัวประมาณเชิงเส้นที่ไม่เอนเอียงที่ดีที่สุดของ${\displaystyle Z(x)}$หากสมมติฐานเป็นจริง อย่างไรก็ตาม (เช่น Cressie 1993): ^{[ 11 ]}
  • เช่นเดียวกับวิธีการอื่นๆ หากข้อสมมติฐานไม่เป็นจริง การใช้ Kriging ก็อาจไม่เหมาะสม
  • อาจมีวิธีการที่ไม่เป็นเชิงเส้นและ/หรือมีอคติที่ดีกว่านี้
  • เมื่อใช้วาเรียแกรมที่ไม่ถูกต้อง จะไม่มีการรับประกันคุณสมบัติใดๆ อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้วก็ยังคงได้ผลลัพธ์การประมาณค่าแบบ "ดี" อยู่
  • สิ่งที่ดีที่สุดไม่ได้หมายความว่าดีเสมอไป: ตัวอย่างเช่น ในกรณีที่ไม่มีความสัมพันธ์เชิงพื้นที่ การประมาณค่าแบบครีกิงจะดีเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่านั้น
• Kriging ให้ผลลัพธ์ดังนี้${\displaystyle \sigma _{k}^{2}}$ใช้เป็นมาตรวัดความแม่นยำ อย่างไรก็ตาม มาตรวัดนี้ขึ้นอยู่กับความถูกต้องของวาเรียแกรม

อีกหนึ่งสาขาการประยุกต์ใช้ที่สำคัญและเติบโตอย่างรวดเร็วในด้านวิศวกรรมคือการประมาณค่าข้อมูลที่ได้จากตัวแปรตอบสนองของการจำลองคอมพิวเตอร์แบบกำหนด^{[ 28 ]}เช่น การจำลอง ด้วยวิธีองค์ประกอบจำกัด (FEM) ในกรณีนี้ Kriging ถูกใช้เป็น เครื่องมือสร้างแบบ จำลองเมตา (metamodeling tool) กล่าว คือ แบบจำลองกล่องดำที่สร้างขึ้นจากชุดการทดลองคอมพิวเตอร์ ที่ออกแบบไว้ ในปัญหาทางวิศวกรรมเชิงปฏิบัติหลายอย่าง เช่น การออกแบบ กระบวนการ ขึ้นรูปโลหะการจำลอง FEM เพียงครั้งเดียวอาจใช้เวลาหลายชั่วโมงหรือหลายวัน ดังนั้นจึงมีประสิทธิภาพมากกว่าที่จะออกแบบและดำเนินการจำลองคอมพิวเตอร์จำนวนจำกัด จากนั้นใช้ตัวประมาณค่า Kriging เพื่อทำนายการตอบสนองในจุดออกแบบอื่น ๆ ได้อย่างรวดเร็ว ดังนั้น Kriging จึงถูกใช้บ่อยมากในฐานะแบบจำลองทดแทน (surrogate model ) ที่นำมาใช้ภายในขั้นตอนการเพิ่มประสิทธิภาพ^{[ 29 ]}แบบจำลองทดแทนที่ใช้ Kriging อาจใช้ในกรณีของอินพุตจำนวนเต็มแบบผสมได้เช่นกัน^{[ 30 ]}

1. Chilès, Jean-Paul; Desassis, Nicolas (2018). "ห้าสิบปีแห่ง Kriging". คู่มือธรณีศาสตร์คณิตศาสตร์ . Cham: Springer International Publishing. หน้า589–612 . doi : 10.1007/978-3-319-78999-6_29 . ISBN  978-3-319-78998-9. S2CID 125362741 . 
2. Agterberg, FP, ภูมิคณิตศาสตร์ พื้นฐานทางคณิตศาสตร์และการประยุกต์ใช้ทางธรณีศาสตร์ , สำนักพิมพ์วิทยาศาสตร์ Elsevier, อัมสเตอร์ดัม, 1974
3. Cressie, NAC, ที่มาของ Kriging, ธรณีวิทยาเชิงคณิตศาสตร์ , เล่ม 22, หน้า 239–252, 1990
4. Krige, DG, แนวทางเชิงสถิติในการประเมินมูลค่าเหมืองแร่และปัญหาที่เกี่ยวข้องบางประการในวิทวอเตอร์สแรนด์วิทยานิพนธ์ปริญญาโท มหาวิทยาลัยวิทวอเตอร์สแรนด์ พ.ศ. 2494
5. Link, RF และ Koch, GS, การออกแบบการทดลองและการวิเคราะห์พื้นผิวแนวโน้ม, ภูมิสถิติ , การสัมมนา, Plenum Press, นิวยอร์ก, 1970
6. Matheron, G., "หลักการของธรณีสถิติ", ธรณีวิทยาเศรษฐกิจ , 58, หน้า 1246–1266, 1963.
7. Matheron, G., "ฟังก์ชันสุ่มภายในและการประยุกต์ใช้", Adv. Appl. Prob. , 5, หน้า 439–468, 1973.
8. Merriam, DF (บรรณาธิการ), Geostatistics , a colloquium, Plenum Press, นิวยอร์ก, 1970.
9. ม็อกคัส, เจ., "เกี่ยวกับวิธีการแบบเบย์เซียนสำหรับการค้นหาค่าสุดขีด" รายงานการประชุมทางเทคนิคของ IFIP ปี 1974

• Abramowitz, M. และ Stegun, I. (1972), คู่มือฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์, สำนักพิมพ์ Dover , นิวยอร์ก
• Banerjee, S., Carlin, BP และ Gelfand, AE (2004). การสร้างแบบจำลองและการวิเคราะห์เชิงลำดับชั้นสำหรับข้อมูลเชิงพื้นที่. Chapman and Hall/CRC Press, Taylor and Francis Group.
• Chiles, J.-P. และ P. Delfiner (1999) ภูมิสถิติ การสร้างแบบจำลองความไม่แน่นอนเชิงพื้นที่ชุดหนังสือ Wiley ว่าด้วยความน่าจะเป็นและสถิติ
• Clark, I. และ Harper, WV, (2000) Practical Geostatistics 2000 , Ecosse North America, USA.
• Cressie, N. (1993) สถิติสำหรับข้อมูลเชิงพื้นที่ , Wiley, นิวยอร์ก.
• เดวิด, เอ็ม. (1988) คู่มือการประเมินปริมาณสำรองแร่ทางธรณีสถิติขั้นสูงประยุกต์สำนักพิมพ์เอลเซเวียร์ ไซเอนซ์ พับลิชชิ่ง
• Deutsch, CV และ Journel, AG (1992), GSLIB – คลังซอฟต์แวร์ทางภูมิสถิติและคู่มือผู้ใช้, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด , นิวยอร์ก, 338  หน้า
• Goovaerts, P. (1997) สถิติภูมิศาสตร์สำหรับการประเมินทรัพยากรธรรมชาติสำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด นิวยอร์กISBN 0-19-511538-4.
• Isaaks, EH และ Srivastava, RM (1989), บทนำสู่ภูมิสถิติประยุกต์, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด, นิวยอร์ก, 561  หน้า
• Journel, AG และ CJ Huijbregts (1978) สถิติธรณีวิทยาเหมืองแร่สำนักพิมพ์ Academic Press ลอนดอน
• Journel, AG (1989), พื้นฐานของธรณีสถิติในห้าบทเรียน, สมาคมธรณีฟิสิกส์แห่งอเมริกา, วอชิงตัน ดี.ซี.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "ส่วนที่ 3.7.4 การประมาณค่าแบบ Kriging" , Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (  ฉบับที่ 3), นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, ISBN 978-0-521-88068-8นอกจากนี้ โปรดดู"หัวข้อ 15.9 การถดถอยกระบวนการเกาส์เซียน "
• Stein, ML (1999), การประมาณค่าเชิงสถิติของข้อมูลเชิงพื้นที่: ทฤษฎีบางประการสำหรับ Kriging , Springer, นิวยอร์ก
• Wackernagel, H. (1995) ภูมิสถิติหลายตัวแปร - บทนำพร้อมการประยุกต์ใช้ Springer Berlin