การขยายอนุกรมมัลติโพลเป็นอนุกรมทางคณิตศาสตร์ที่แสดงถึงฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับมุม —โดยปกติจะเป็นมุมสองมุมที่ใช้ในระบบพิกัดทรงกลม ( มุมเชิงขั้วและ มุม อะซิมุท ) สำหรับ ปริภูมิยูคลิดสามมิติการขยายอนุกรมมัลติโพลมีประโยชน์เพราะคล้ายกับอนุกรมเทย์เลอร์บ่อยครั้งที่จำเป็นต้องใช้เพียงไม่กี่พจน์แรกเพื่อให้ได้ค่าประมาณที่ดีของฟังก์ชันดั้งเดิม ฟังก์ชันที่กำลังขยายอาจเป็นค่าจริงหรือ ค่า เชิงซ้อนและถูกกำหนดบนหรือในบางครั้งบนสำหรับค่าอื่นๆ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n}$

การขยายแบบมัลติโพลถูกนำมาใช้บ่อยครั้งในการศึกษา สนาม แม่เหล็กไฟฟ้าและสนามโน้มถ่วงโดยที่สนาม ณ จุดที่อยู่ห่างไกลจะถูกกำหนดในรูปของแหล่งกำเนิดในบริเวณเล็กๆ การขยายแบบมัลติโพลด้วยมุมมักจะรวมกับการขยายในรัศมี การรวมกันดังกล่าวจะให้การขยายที่อธิบายฟังก์ชันตลอดพื้นที่สามมิติ^{[ 1 ]}

การขยายมัลติโพลแสดงออกมาในรูปผลรวมของพจน์ที่มีลักษณะเชิงมุม ( โมเมนต์ ) ที่ละเอียดขึ้นเรื่อยๆ พจน์แรก (ลำดับที่ศูนย์) เรียกว่า โมเมนต์ โมโนโพลพจน์ที่สอง (ลำดับที่หนึ่ง) เรียกว่า โมเมนต์ ไดโพล พจน์ที่สาม (ลำดับที่สอง) เรียกว่าโมเมนต์ ควอดรูโพล พจน์ที่สี่ (ลำดับที่สาม) เรียกว่าโมเมนต์อ็อกทูโพล และอื่นๆ เนื่องจากข้อจำกัดของคำนำหน้าตัวเลขกรีกพจน์ที่มีลำดับสูงกว่าจึงมักตั้งชื่อโดยการเพิ่ม "-pole" ต่อท้ายจำนวนโพล เช่น 32-pole (บางครั้งเรียกว่า dotriacontapole หรือ triacontadipole) และ 64-pole (บางครั้งเรียกว่า tetrahexacontapole หรือ hexacontatetrapole) ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}โมเมนต์มัลติโพลมักเกี่ยวข้องกับกำลัง (หรือกำลังผกผัน) ของระยะทางไปยังจุดกำเนิด รวมถึงการพึ่งพาเชิงมุมบางอย่างด้วย

โดยหลักการแล้ว การขยายแบบมัลติโพลจะให้คำอธิบายที่แม่นยำของศักยภาพ และโดยทั่วไปจะลู่เข้าภายใต้เงื่อนไขสองประการ: (1) ถ้าแหล่งกำเนิด (เช่น ประจุ) อยู่ใกล้จุดกำเนิดและจุดที่สังเกตศักยภาพอยู่ห่างจากจุดกำเนิด หรือ (2) ในทางกลับกัน กล่าวคือ ถ้าแหล่งกำเนิดอยู่ห่างจากจุดกำเนิดและสังเกตศักยภาพใกล้กับจุดกำเนิด ในกรณีแรก (ที่พบได้บ่อยกว่า) สัมประสิทธิ์ของการขยายอนุกรมเรียกว่าโมเมนต์มัลติโพลภายนอกหรือเรียกง่ายๆ ว่าโมเมนต์มัลติโพลในขณะที่ในกรณีที่สอง สัมประสิทธิ์เหล่านั้นเรียกว่า โมเมนต์มัลติโพ ล ภายใน

โดยทั่วไปแล้ว อนุกรมจะเขียนเป็นผลรวมของฮาร์มอนิกทรงกลมดังนั้น เราอาจเขียนฟังก์ชันเป็นผลรวม โดยที่เป็นฮาร์มอนิกทรงกลมมาตรฐาน และเป็นสัมประสิทธิ์คงที่ซึ่งขึ้นอยู่กับฟังก์ชันเทอม แทนโมโนโพลแทนไดโพล และอื่นๆ ในทำนองเดียวกัน อนุกรมยังมักเขียน^{[ 5 ]}เป็น โดย ที่แทนส่วนประกอบของเวกเตอร์หน่วยในทิศทางที่กำหนดโดยมุมและและดัชนีจะถูกรวมเข้าด้วยกันโดยปริยายในที่นี้ เทอมคือโมโนโพลคือเซตของตัวเลขสามตัวที่แทนไดโพล และอื่นๆ ${\displaystyle f(\theta ,\varphi )}$$${\displaystyle f(\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\,\sum _{m=-\ell }^{\ell }\,C_{\ell }^{m}\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$${\displaystyle C_{\ell }^{m}}$${\displaystyle C_{0}^{0}}$${\displaystyle C_{1}^{-1},C_{1}^{0},C_{1}^{1}}$$${\displaystyle f(\theta ,\varphi )=C+C_{i}n^{i}+C_{ij}n^{i}n^{j}+C_{ijk}n^{i}n^{j}n^{k}+C_{ijk\ell }n^{i}n^{j}n^{k}n^{\ell }+\cdots }$$${\displaystyle n^{i}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle C}$${\displaystyle C_{i}}$

ในการกระจายข้างต้น สัมประสิทธิ์อาจเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนก็ได้ อย่างไรก็ตาม หากฟังก์ชันที่แสดงในรูปการกระจายแบบมัลติโพลเป็นจำนวนจริง สัมประสิทธิ์จะต้องมีคุณสมบัติบางประการ ในการกระจายฮาร์มอนิกทรงกลม เราต้องมี ในการกระจายแบบมัลติเวกเตอร์ สัมประสิทธิ์แต่ละตัวต้องเป็นจำนวนจริง: $${\displaystyle C_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}C_{\ell }^{m\ast }\,.}$$$${\displaystyle C=C^{\ast };\ C_{i}=C_{i}^{\ast };\ C_{ij}=C_{ij}^{\ast };\ C_{ijk}=C_{ijk}^{\ast };\ \ldots }$$

แม้ว่าการขยาย ฟังก์ชัน สเกลาร์จะเป็นการประยุกต์ใช้การขยายมัลติโพลที่พบได้บ่อยที่สุด แต่ก็สามารถขยายให้ครอบคลุมถึงเทนเซอร์ที่มีอันดับตามอำเภอใจได้ เช่นกัน ^{[ 6 ]}ซึ่งพบการใช้งานในการขยายมัลติโพลของศักยภาพเวกเตอร์ในแม่เหล็กไฟฟ้า หรือการรบกวนเมตริกในการอธิบายคลื่นแรงโน้มถ่วง

สำหรับการอธิบายฟังก์ชันสามมิติที่อยู่ห่างจากจุดกำเนิดพิกัด สัมประสิทธิ์ของการขยายแบบมัลติโพลสามารถเขียนได้ในรูปฟังก์ชันของระยะห่างจากจุดกำเนิดซึ่งส่วนใหญ่จะเป็นอนุกรมลอเรนต์ในรูปกำลังของตัวอย่างเช่น ในการอธิบายศักย์แม่เหล็กไฟฟ้า , , จากแหล่งกำเนิดในบริเวณเล็กๆ ใกล้จุดกำเนิด สัมประสิทธิ์อาจเขียนได้ดังนี้: ${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle V}$$${\displaystyle V(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\,\sum _{m=-\ell }^{\ell }C_{\ell }^{m}(r)\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=\sum _{j=1}^{\infty }\,\sum _{\ell =0}^{\infty }\,\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac {D_{\ell ,j}^{m}}{r^{j}}}\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$$

การขยายอนุกรมมัลติโพลถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในปัญหาที่เกี่ยวข้องกับสนามโน้มถ่วงของระบบมวลสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กของการกระจายประจุและกระแส และการแพร่กระจายของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าตัวอย่างคลาสสิกคือการคำนวณโมเมนต์ มัลติโพล ภายนอกของนิวเคลียสอะตอมจากพลังงานปฏิสัมพันธ์กับ มัลติโพล ภายในของวงโคจรอิเล็กตรอน โมเมนต์มัลติโพลของนิวเคลียสบ่งบอกถึงการกระจายประจุภายในนิวเคลียส และด้วยเหตุนี้จึงบ่งบอกถึงรูปร่างของนิวเคลียส การตัดทอนการขยายอนุกรมมัลติโพลให้เหลือเพียงพจน์แรกที่ไม่เป็นศูนย์มักมีประโยชน์สำหรับการคำนวณทางทฤษฎี

การขยายแบบมัลติโพลยังเป็นประโยชน์ในการจำลองเชิงตัวเลข และเป็นพื้นฐานของวิธีการมัลติโพลแบบเร็วของGreengardและRokhlinซึ่งเป็นเทคนิคทั่วไปสำหรับการคำนวณพลังงานและแรงในระบบของอนุภาค ที่มีปฏิสัมพันธ์กันอย่างมีประสิทธิภาพ แนวคิดพื้นฐานคือการแบ่งอนุภาคออกเป็นกลุ่ม อนุภาคภายในกลุ่มจะมีปฏิสัมพันธ์กันตามปกติ (เช่น โดยใช้ศักยภาพทั้งหมด) ในขณะที่พลังงานและแรงระหว่างกลุ่มของอนุภาคจะคำนวณจากโมเมนต์มัลติโพลของพวกมัน ประสิทธิภาพของวิธีการมัลติโพลแบบเร็วโดยทั่วไปจะคล้ายกับวิธีการรวมแบบ Ewaldแต่จะเหนือกว่าหากอนุภาคกระจุกตัวอยู่ กล่าวคือ ระบบมีความผันผวนของความหนาแน่นสูง

พิจารณาการกระจายประจุแบบไม่ต่อเนื่องซึ่งประกอบด้วยประจุจุดN จุด q _iที่มีเวกเตอร์ตำแหน่งr _iเราสมมติว่าประจุเหล่านี้กระจุกตัวอยู่รอบจุดกำเนิด ดังนั้นสำหรับทุกi : r _i < r _maxโดยที่r _maxมีค่าจำกัด ศักย์V ( R )อันเนื่องมาจากการกระจายประจุ ณ จุดRที่อยู่นอกการกระจายประจุ กล่าวคือ| R | > r _maxสามารถขยายได้ในรูปกำลังของ1/ Rมีสองวิธีในการขยายนี้ที่พบได้ในเอกสารทางวิชาการ: วิธีแรกคืออนุกรมเทย์เลอร์ในพิกัดคาร์ทีเซียนx y และzในขณะที่วิธีที่สองคือในรูปของฮาร์มอนิกทรงกลมซึ่งขึ้นอยู่กับพิกัดเชิงขั้วทรงกลม วิธีการในพิกัดคาร์ทีเซียนมีข้อดีคือไม่จำเป็นต้องมีความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับฟังก์ชันเลอจองเดอร์ ฮาร์มอนิกทรงกลม ฯลฯ ข้อเสียของมันคือ การพิสูจน์ค่อนข้างยุ่งยาก (อันที่จริงส่วนใหญ่เป็นการพิสูจน์ซ้ำโดยปริยายของการกระจายเลอจองเดอร์ของ1 / | r − R | ซึ่ง เลอจองเดอร์ได้ทำสำเร็จไปแล้วครั้งหนึ่งในช่วงทศวรรษ 1780) นอกจากนี้ยังยากที่จะให้สูตรสำเร็จรูปสำหรับพจน์ทั่วไปของการกระจายมัลติโพล—โดยปกติแล้วจะให้เพียงไม่กี่พจน์แรกเท่านั้น ตามด้วยเครื่องหมายจุดไข่ปลา

เพื่อความสะดวกให้สมมติให้v ( r ) = v (−r )การกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ของv ( r − R )รอบจุดกำเนิดr = 0สามารถเขียนได้ดังนี้ โดย มีสัมประสิทธิ์เทย์เลอร์ ถ้าv ( r − R )สอดคล้องกับสมการลาปลาสแล้ว โดยการกระจายข้างต้น เราจะได้ _และ การกระจายนี้สามารถเขียนใหม่ได้ในรูปของส่วนประกอบของเทนเซอร์อันดับสองแบบคาร์ทีเซียนที่ไม่มีร่องรอย^{: โดยที่ δαβ คือเดลต้าโครเนกเกอร์ และ r² ≡ |r|²}การลบ ร่องรอยเป็นเรื่องปกติเพราะมันนำr²ที่^ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การหมุนออก^จากเทนเซอร์อันดับสอง $${\displaystyle {\begin{aligned}v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )&=v(\mathbf {-R} )+\sum _{\alpha =x,y,z}r_{\alpha }v_{\alpha }(\mathbf {-R} )+{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}r_{\alpha }r_{\beta }v_{\alpha \beta }(\mathbf {-R} )+\cdots +\cdots \\&=v(\mathbf {R} )-\sum _{\alpha =x,y,z}r_{\alpha }v_{\อัลฟา }(\mathbf {R} )+{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}r_{\alpha }r_{\beta }v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )-\cdots +\cdots \end{aligned}}}$$$${\displaystyle v_{\alpha }(\mathbf {R} )\equiv \left({\frac {\partial v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )}{\partial r_{\alpha }}}\right)_{\mathbf {r} =\mathbf {0} }\quad {\text{and}}\quad v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )\equiv \left({\frac {\partial ^{2}v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )}{\partial r_{\alpha }\partial r_{\beta }}}\right)_{\mathbf {r} =\mathbf {0} }.}$$$${\displaystyle \left(\nabla ^{2}v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\right)_{\mathbf {r} =\mathbf {0} }=\sum _{\alpha =x,y,z}v_{\alpha \alpha }(\mathbf {R} )=0,}$$$${\displaystyle \sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}r_{\alpha }r_{\beta }v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )={\frac {1}{3}}\sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}\left(3r_{\alpha }r_{\beta }-\delta _{\alpha \beta }r^{2}\right)v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} ),}$$

พิจารณารูปแบบต่อไปนี้ของv ( r − R ) : จากนั้นโดย การหาอนุพันธ์ โดยตรงจะได้ว่า กำหนดโมโนโพล ไดโพล และควอดรูโพล (ไร้ร่องรอย) โดยตามลำดับ และในที่สุดเราจะได้พจน์แรก ๆ ของการขยายมัลติโพลของศักยภาพรวม ซึ่งเป็นผลรวมของศักยภาพคูลอมบ์ของประจุแยกกัน: ^{[ 7 ] : 137–138} $${\displaystyle v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\equiv {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {R} |}}.}$$$${\displaystyle v(\mathbf {R} )={\frac {1}{R}},\quad v_{\alpha }(\mathbf {R} )=-{\frac {R_{\alpha }}{R^{3}}},\quad {\hbox{and}}\quad v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )={\frac {3R_{\alpha }R_{\beta }-\delta _{\alpha \beta }R^{2}}{R^{5}}}.}$$$${\displaystyle q_{\mathrm {tot} }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i},\quad P_{\alpha }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}r_{i\alpha },\quad {\text{and}}\quad Q_{\alpha \beta }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}(3r_{i\alpha }r_{i\beta }-\delta _{\alpha \beta }r_{i}^{2}),}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}4\pi \varepsilon _{0}V(\mathbf {R} )&\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}v(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\\&={\frac {q_{\mathrm {tot} }}{R}}+{\frac {1}{R^{3}}}\sum _{\alpha =x,y,z}P_{\alpha }R_{\alpha }+{\frac {1}{2R^{5}}}\sum _{\alpha ,\beta =x,y,z}Q_{\alpha \beta }R_{\alpha }R_{\beta }+\cdots \end{aligned}}}$$

การขยายศักยภาพของการกระจายประจุแบบไม่ต่อเนื่องนี้คล้ายคลึงกับการขยายในฮาร์มอนิกของของแข็งจริงที่แสดงไว้ด้านล่าง ความแตกต่างหลักคือ การขยายในปัจจุบันอยู่ในรูปของปริมาณที่ขึ้นต่อกันเชิงเส้น สำหรับ $${\displaystyle \sum _{\alpha }v_{\alpha \alpha }=0\quad {\hbox{and}}\quad \sum _{\alpha }Q_{\alpha \alpha }=0.}$$

หมายเหตุ: หากการกระจายประจุประกอบด้วยประจุสองตัวที่มีเครื่องหมายตรงข้ามกันซึ่งอยู่ห่างกันเป็นระยะเล็กน้อยdโดยที่d / R ≫ ( d / R ) ²จะสามารถแสดงได้อย่างง่ายดายว่าพจน์ที่เด่นที่สุดในการขยายคือ สนามศักย์ ไฟฟ้า ไดโพ ล $${\displaystyle V(\mathbf {R} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}(\mathbf {P} \cdot \mathbf {R} ),}$$

ศักย์V ( R )ณ จุดRที่อยู่นอกการกระจายประจุ กล่าวคือ| R | > rmaxสามารถขยายได้ด้วยการกระจายลาปลาส_:โดย ที่เป็นฮาร์มอนิกแข็ง ที่ไม่สม่ำเสมอ (กำหนดไว้ด้านล่างเป็น ฟังก์ชัน ฮาร์มอนิกทรงกลมหารด้วย) และเป็นฮาร์มอนิกแข็งปกติ (ฮาร์มอนิกทรงกลมคูณด้วย^rℓ )เรากำหนดโมเมนต์มัลติโพลทรงกลมของการกระจายประจุดังนี้ โปรดทราบว่าโมเมนต์มัลติโพลถูกกำหนดโดยการกระจายประจุเท่านั้น (ตำแหน่งและขนาดของ ประจุ Nตัว) $${\displaystyle V(\mathbf {R} )\equiv \sum _{i=1}^{N}{\frac {q_{i}}{4\pi \varepsilon _{0}|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} |}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}I_{\ell }^{-m}(\mathbf {R} )\sum _{i=1}^{N}q_{i}R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i}),}$$${\displaystyle I_{\ell }^{-m}(\mathbf {R} )}$${\displaystyle R^{\ell +1}}$${\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )}$$${\displaystyle Q_{\ell }^{m}\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i}),\quad \ -\ell \leq m\leq \ell .}$$

ฮาร์มอนิกทรงกลมขึ้นอยู่กับเวกเตอร์หน่วย(เวกเตอร์หน่วยถูกกำหนดโดยมุมเชิงขั้วทรงกลมสองมุม) ดังนั้น ตามคำนิยาม ฮาร์มอนิกทรงตันที่ไม่ปกติสามารถเขียนได้ดังนี้ ดังนั้นการขยายแบบมัลติโพลของสนามV ( R )ที่จุดRนอกการกระจายประจุจึงกำหนดโดย ${\displaystyle {\hat {R}}}$$${\displaystyle I_{\ell }^{m}(\mathbf {R} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}{\frac {Y_{\ell }^{m}({\hat {R}})}{R^{\ell +1}}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}V(\mathbf {R} )&={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}I_{\ell }^{-m}(\mathbf {R} )Q_{\ell }^{m}\\&={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\left[{\frac {4\pi }{2\ell +1}}\right]^{1/2}\;{\frac {1}{R^{\ell +1}}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}Y_{\ell }^{-m}({\hat {R}})Q_{\ell }^{m},\qquad R>r_{\mathrm {max} }\end{aligned}}}$$

การขยายอนุกรมนี้มีความทั่วไปอย่างสมบูรณ์ เนื่องจากให้รูปแบบปิดสำหรับทุกพจน์ ไม่ใช่แค่เพียงไม่กี่พจน์แรกเท่านั้น แสดงให้เห็นว่าโมเมนต์มัลติโพลทรงกลมปรากฏเป็นสัมประสิทธิ์ใน การขยายอนุกรม 1/ Rของศักยภาพ

เป็นที่น่าสนใจที่จะพิจารณาพจน์แรกๆ ในรูปแบบจำนวนจริง ซึ่งเป็นพจน์เดียวที่พบได้ทั่วไปในตำราเรียนระดับปริญญาตรี เนื่องจากพจน์บวกของ ผลรวม m นั้นไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงเอกภาพของทั้งสองตัวประกอบพร้อมกัน และเนื่องจากการแปลงฮาร์มอนิกทรงกลมเชิงซ้อนไปเป็นรูปแบบจำนวนจริงนั้นเป็นการแปลงเอกภาพเราจึงสามารถแทนที่ด้วยฮาร์มอนิกทรงตันที่ไม่สม่ำเสมอและโมเมนต์มัลติโพลจำนวนจริงได้พจน์ ℓ = 0 จะกลายเป็น ซึ่งก็คือกฎของคูลอมบ์อีกครั้ง สำหรับ พจน์ ℓ = 1เราจะแนะนำ จากนั้น พจน์นี้จะเหมือนกับพจน์ที่พบในรูปแบบคาร์ทีเซียน $${\displaystyle V_{\ell =0}(\mathbf {R} )={\frac {q_{\mathrm {tot} }}{4\pi \varepsilon _{0}R}}\quad {\hbox{with}}\quad q_{\mathrm {tot} }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}.}$$$${\displaystyle \mathbf {R} =(R_{x},R_{y},R_{z}),\quad \mathbf {P} =(P_{x},P_{y},P_{z})\quad {\hbox{with}}\quad P_{\alpha }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}r_{i\alpha },\quad \alpha =x,y,z.}$$$${\displaystyle V_{\ell =1}(\mathbf {R} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}(R_{x}P_{x}+R_{y}P_{y}+R_{z}P_{z})={\frac {\mathbf {R} \cdot \mathbf {P} }{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}={\frac {{\hat {\mathbf {R} }}\cdot \mathbf {P} }{4\pi \varepsilon _{0}R^{2}}}.}$$

ในการเขียน เทอม ℓ = 2เราต้องใช้สัญลักษณ์ย่อสำหรับส่วนประกอบจริงทั้งห้าของโมเมนต์ควอดรูโพลและฮาร์มอนิกทรงกลมจริง สัญลักษณ์ประเภทนี้ สามารถพบได้ในเอกสารทางวิชาการ เห็นได้ชัดว่าสัญลักษณ์จริงนั้นยุ่งยากมากในไม่ช้า ซึ่งแสดงให้เห็นถึงประโยชน์ของสัญลักษณ์เชิงซ้อน $${\displaystyle Q_{z^{2}}\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}\;{\frac {1}{2}}(3z_{i}^{2}-r_{i}^{2}),}$$

พิจารณาประจุจุดสองชุด ชุดหนึ่ง{ q _i }กระจุกตัวอยู่รอบจุดAและอีกชุดหนึ่ง{ q _j }กระจุกตัวอยู่รอบจุดB ลองนึกถึงโมเลกุลสอง โมเลกุลเป็นตัวอย่างและจำไว้ว่าโมเลกุลตามนิยามนั้นประกอบด้วยอิเล็กตรอน (ประจุจุดลบ) และนิวเคลียส (ประจุจุดบวก) พลังงานปฏิสัมพันธ์ทางไฟฟ้าสถิตทั้งหมดU _ABระหว่างการกระจายตัวทั้งสองคือ พลังงานนี้สามารถขยายได้ในรูปอนุกรมกำลังผกผันกับระยะทางระหว่างAและBการขยายนี้เรียกว่า การขยายแบบมัลติ โพ ลของU _AB$${\displaystyle U_{AB}=\sum _{i\in A}\sum _{j\in B}{\frac {q_{i}q_{j}}{4\pi \varepsilon _{0}r_{ij}}}.}$$

เพื่อให้ได้มาซึ่งการกระจายแบบมัลติโพลนี้ เราเขียนr _XY = r _Y − r _Xซึ่งเป็นเวกเตอร์ที่ชี้จากXไปยังYโปรดทราบว่า เราสมมติว่าการกระจายทั้งสองไม่ทับซ้อนกัน ภายใต้เงื่อนไขนี้ เราสามารถใช้การกระจายแบบลาปลาสในรูปแบบต่อไปนี้ โดยที่และ เป็น ฮาร์มอนิกทรงกลมที่ไม่ปกติและปกติตามลำดับการเลื่อนของฮาร์มอนิกทรงกลมปกติจะให้การกระจายแบบจำกัด โดยที่ปริมาณระหว่างวงเล็บแหลมคือสัมประสิทธิ์ของ Clebsch–Gordanนอกจากนี้เรายังใช้ การใช้คำจำกัดความของมัลติโพลทรงกลมQ$${\displaystyle \mathbf {R} _{AB}+\mathbf {r} _{Bj}+\mathbf {r} _{ji}+\mathbf {r} _{iA}=0\quad \iff \quad \mathbf {r} _{ij}=\mathbf {R} _{AB}-\mathbf {r} _{Ai}+\mathbf {r} _{Bj}.}$$$${\displaystyle |\mathbf {R} _{AB}|>|\mathbf {r} _{Bj}-\mathbf {r} _{Ai}|{\text{ for all }}i,j.}$$$${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}|}}={\frac {1}{|\mathbf {R} _{AB}-(\mathbf {r} _{Ai}-\mathbf {r} _{Bj})|}}=\sum _{L=0}^{\infty }\sum _{M=-L}^{L}\,(-1)^{M}I_{L}^{-M}(\mathbf {R} _{AB})\;R_{L}^{M}(\mathbf {r} _{Ai}-\mathbf {r} _{Bj}),}$$${\displaystyle I_{L}^{M}}$${\displaystyle R_{L}^{M}}$$${\displaystyle R_{L}^{M}(\mathbf {r} _{Ai}-\mathbf {r} _{Bj})=\sum _{\ell _{A}=0}^{L}(-1)^{L-\ell _{A}}{\binom {2L}{2\ell _{A}}}^{1/2}\times \sum _{m_{A}=-\ell _{A}}^{\ell _{A}}R_{\ell _{A}}^{m_{A}}(\mathbf {r} _{Ai})R_{L-\ell _{A}}^{M-m_{A}}(\mathbf {r} _{Bj})\;\langle \ell _{A},m_{A};L-\ell _{A},M-m_{A}\mid LM\rangle ,}$$$${\displaystyle R_{\ell }^{m}(-\mathbf {r} )=(-1)^{\ell }R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} ).}$$^ม_.ℓและการครอบคลุมช่วงผลรวมในลำดับที่แตกต่างออกไปเล็กน้อย (ซึ่งอนุญาตเฉพาะสำหรับช่วงL ที่เป็นอนันต์เท่านั้น ) ในที่สุดจะให้ผลลัพธ์ดังนี้

$${\displaystyle {\begin{aligned}U_{AB}={}&{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell _{A}=0}^{\infty }\sum _{\ell _{B}=0}^{\infty }(-1)^{\ell _{B}}{\binom {2\ell _{A}+2\ell _{B}}{2\ell _{A}}}^{1/2}\\[5pt]&\times \sum _{m_{A}=-\ell _{A}}^{\ell _{A}}\sum _{m_{B}=-\ell _{B}}^{\ell _{B}}(-1)^{m_{A}+m_{B}}I_{\ell _{A}+\ell _{B}}^{-m_{A}-m_{B}}(\mathbf {R} _{AB})\;Q_{\ell _{A}}^{m_{A}}Q_{\ell _{B}}^{m_{B}}\;\langle \ell _{A},m_{A};\ell _{B},m_{B}\mid \ell _{A}+\ell _{B},m_{A}+m_{B}\rangle .\end{aligned}}}$$

นี่คือการขยายแบบมัลติโพลของพลังงานปฏิสัมพันธ์ของการกระจายประจุสองแบบที่ไม่ทับซ้อนกันซึ่งอยู่ห่างกันเป็นระยะR _ABเนื่องจาก การขยายนี้เห็นได้ชัดว่าอยู่ในรูปกำลังของ1 / R _ABดังนั้นฟังก์ชันY ^m _lจึงเป็นฮาร์มอนิกทรงกลมแบบนอร์มาไลซ์ $${\displaystyle I_{\ell _{A}+\ell _{B}}^{-(m_{A}+m_{B})}(\mathbf {R} _{AB})\equiv \left[{\frac {4\pi }{2\ell _{A}+2\ell _{B}+1}}\right]^{1/2}\;{\frac {Y_{\ell _{A}+\ell _{B}}^{-(m_{A}+m_{B})}\left({\widehat {\mathbf {R} }}_{AB}\right)}{R_{AB}^{\ell _{A}+\ell _{B}+1}}},}$$

อะตอมและโมเลกุลทั้งหมด (ยกเว้น อะตอม ในสถานะS ) มีโมเมนต์มัลติโพลถาวรที่ไม่เป็นศูนย์อย่างน้อยหนึ่งค่า มีคำจำกัดความที่แตกต่างกันมากมายในเอกสารทางวิชาการ แต่คำจำกัดความต่อไปนี้ในรูปแบบทรงกลมมีข้อดีคือสามารถเขียนอยู่ในสมการทั่วไปเพียงสมการเดียว และเนื่องจากอยู่ในรูปแบบเชิงซ้อน จึงมีข้อดีเพิ่มเติมคือสามารถจัดการในการคำนวณได้ง่ายกว่ารูปแบบจริง

เราพิจารณาโมเลกุลที่ประกอบด้วย อนุภาค Nตัว (อิเล็กตรอนและนิวเคลียส) ที่มีประจุeZ _i (อิเล็กตรอนมี ค่า Zเท่ากับ −1 ในขณะที่นิวเคลียสมีค่าเท่ากับเลขอะตอม ) อนุภาคiมีพิกัดทรงกลมr _i , θ _iและ φ _iและพิกัดคาร์ทีเซียนx _i , y _iและz _i ตัว ดำเนินการมัลติโพลไฟฟ้าสถิต (เชิงซ้อน) คือ โดยที่ เป็นฟังก์ชัน ฮาร์มอนิกแข็งปกติในการทำให้เป็นมาตรฐานของ Racah (หรือที่รู้จักกันในชื่อการทำให้เป็นมาตรฐานกึ่งปกติของ Schmidt) ถ้าโมเลกุลมีฟังก์ชันคลื่น ปกติรวม Ψ (ขึ้นอยู่กับพิกัดของอิเล็กตรอนและนิวเคลียส) แล้วโมเมนต์มัลติโพลอันดับของโมเลกุลจะกำหนดโดยค่าคาดหวัง (expected value) : ถ้าโมเลกุลมีสมมาตรกลุ่มจุด บางอย่าง สมมาตรนี้จะสะท้อนอยู่ในฟังก์ชันคลื่น: Ψ จะแปลงไปตามการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้ λ ของกลุ่ม นั้น ("Ψ มีสมมาตรประเภท λ") ผลที่ตามมาคือกฎการเลือกจะใช้ได้กับค่าคาดหวังของตัวดำเนินการมัลติโพล หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ค่าคาดหวังอาจเป็นศูนย์เนื่องจากสมมาตร ตัวอย่างที่รู้จักกันดีคือ โมเลกุลที่มีจุดศูนย์กลางผกผันจะไม่ถือไดโพล (ค่าคาดหวังเป็นศูนย์สำหรับm = −1, 0, 1 )สำหรับโมเลกุลที่ไม่มีสมมาตร จะไม่มีกฎการเลือกใดๆ ที่มีผลบังคับใช้ และโมเลกุลดังกล่าวจะมีมัลติโพลที่ไม่เป็นศูนย์ในทุกลำดับ (โดยจะมีไดโพลและในขณะเดียวกันก็มีควอดรูโพล ออกทูโพล เฮกซาเดคาโพล ฯลฯ) $${\displaystyle Q_{\ell }^{m}\equiv \sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i}),}$$${\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i})}$${\displaystyle \ell }$$${\displaystyle M_{\ell }^{m}\equiv \langle \Psi \mid Q_{\ell }^{m}\mid \Psi \rangle .}$$${\displaystyle Q_{1}^{m}}$

รูปแบบที่ชัดเจนต่ำสุดของฮาร์มอนิกของแข็งปกติ (ที่มีเฟสคอนดอน-ชอร์ตลีย์ ) ให้ผลลัพธ์ดังนี้: (ประจุรวมของโมเลกุล) ส่วนประกอบไดโพล (เชิงซ้อน) คือ: $${\displaystyle M_{0}^{0}=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i},}$$$${\displaystyle M_{1}^{1}=-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\langle \Psi |x_{i}+iy_{i}|\Psi \rangle \quad {\hbox{and}}\quad M_{1}^{-1}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\langle \Psi |x_{i}-iy_{i}|\Psi \rangle .}$$$${\displaystyle M_{1}^{0}=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\langle \Psi |z_{i}|\Psi \rangle .}$$

โปรดทราบว่าด้วยการรวมเชิงเส้น อย่างง่าย เราสามารถแปลงตัวดำเนินการมัลติโพลเชิงซ้อนให้เป็นตัวดำเนินการมัลติโพลจริงได้ ตัวดำเนินการมัลติโพลจริงมีประเภทโคไซน์ หรือประเภทไซน์ ตัวอย่างตัวดำเนินการมัลติโพลต่ำสุดบางส่วนได้แก่: ${\displaystyle C_{\ell }^{m}}$${\displaystyle S_{\ell }^{m}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}C_{1}^{0}&=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;z_{i},\\C_{1}^{1}&=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;x_{i},&S_{1}^{1}&=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;y_{i},\\C_{2}^{0}&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;\left(3z_{i}^{2}-r_{i}^{2}\right),\\C_{2}^{1}&={\sqrt {3}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;z_{i}x_{i},&S_{2}^{1}&={\sqrt {3}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;z_{i}y_{i},\\C_{2}^{2}&={\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;\left(x_{i}^{2}-y_{i}^{2}\right),&S_{2}^{2}&={\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;x_{i}y_{i},\end{aligned}}}$$

นิยามของโมเมนต์มัลติโพลโมเลกุลเชิงซ้อนที่ให้ไว้ข้างต้นคือคอนจูเกตเชิงซ้อนของนิยามที่ให้ไว้ในบทความนี้ซึ่งเป็นไปตามนิยามของตำรามาตรฐานเกี่ยวกับอิเล็กโทรไดนามิกส์แบบคลาสสิกโดย Jackson ^{[ 7 ] : 137} ยกเว้นการทำให้เป็นมาตรฐาน ยิ่งไปกว่านั้น ในนิยามแบบคลาสสิกของ Jackson ค่าที่เทียบเท่ากับ ค่าคาดหวัง ทางกลศาสตร์ควอนตัมของ อนุภาค Nตัวคือปริพันธ์เหนือการกระจายประจุของอนุภาคหนึ่งตัว โปรดจำไว้ว่าในกรณีของระบบกลศาสตร์ควอนตัมของอนุภาคหนึ่งตัว ค่าคาดหวังก็คือปริพันธ์เหนือการกระจายประจุ (โมดูลัสของฟังก์ชันคลื่นยกกำลังสอง) ดังนั้นนิยามของบทความนี้จึงเป็นการวางนัยทั่วไปทางกลศาสตร์ควอนตัมของอนุภาคNตัวของนิยามของ Jackson

คำจำกัดความในบทความนี้สอดคล้องกับคำจำกัดความของ Fano และ Racah ^{[ 8 ]}และ Brink และ Satchler ^{[ 9 ] เป็นต้น}

มีโมเมนต์หลายขั้วหลายประเภท เนื่องจากมีศักยภาพ หลายประเภท และมีวิธีการประมาณศักยภาพด้วยการขยายอนุกรม หลายวิธี ขึ้นอยู่กับพิกัดและความสมมาตรของการกระจายประจุ การขยายอนุกรมที่พบได้บ่อยที่สุด ได้แก่:

• โมเมนต์มัลติโพลตามแนวแกนของ ศักยภาพ 1/ R ;
• โมเมนต์มัลติโพลทรงกลมของ ศักยภาพ 1/ Rและ
• โมเมนต์มัลติโพลทรงกระบอกของศักยภาพln R

ตัวอย่างของ ศักย์ 1/ Rได้แก่ศักย์ไฟฟ้าศักย์แม่เหล็กและศักย์โน้มถ่วงของแหล่งกำเนิดจุด ตัวอย่างของ ศักย์ ln Rคือศักย์ไฟฟ้าของประจุเส้นตรงอนันต์

โมเมนต์มัลติโพลในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์เป็นฐานเชิงตั้งฉากสำหรับการแยกส่วนของฟังก์ชัน โดยอาศัยการตอบสนองของสนามต่อแหล่งกำเนิดจุดที่อยู่ใกล้กันอย่างไม่มีที่สิ้นสุด สิ่งเหล่านี้สามารถมองได้ว่าจัดเรียงอยู่ในรูปทรงเรขาคณิตต่างๆ หรือในแง่ของทฤษฎีการกระจายตัวก็คืออนุพันธ์เชิงทิศทาง

การขยายแบบมัลติโพลเกี่ยวข้องกับสมมาตรการหมุนพื้นฐานของกฎทางฟิสิกส์และสมการเชิงอนุพันธ์ ที่เกี่ยวข้อง แม้ว่าพจน์แหล่งกำเนิด (เช่น มวล ประจุ หรือกระแส) อาจไม่สมมาตร แต่เราสามารถขยายพจน์เหล่านั้นในรูปของการแสดงแทนที่ลดทอนไม่ได้ ของ กลุ่มสมมาตรการหมุนซึ่งนำไปสู่ฮาร์มอนิกทรงกลมและชุด ฟังก์ชัน เชิงตั้ง ฉากที่เกี่ยวข้อง เราใช้เทคนิคการแยกตัวแปรเพื่อดึงเอาคำตอบที่สอดคล้องกันสำหรับการพึ่งพาเชิงรัศมี

ในทางปฏิบัติ สนามหลายๆ สนามสามารถประมาณค่าได้ดีด้วยโมเมนต์มัลติโพลจำนวนจำกัด (แม้ว่าอาจต้องใช้จำนวนอนันต์เพื่อสร้างสนามขึ้นมาใหม่ได้อย่างแม่นยำ) ตัวอย่างการประยุกต์ใช้ทั่วไปคือการประมาณสนามของการกระจายประจุเฉพาะที่ด้วย พจน์ โมโนโพลและไดโพลปัญหาที่แก้ได้แล้วครั้งหนึ่งสำหรับลำดับของโมเมนต์มัลติโพลที่กำหนด สามารถนำมารวมกันแบบเชิงเส้นเพื่อสร้างคำตอบโดยประมาณสุดท้ายสำหรับแหล่งกำเนิดที่กำหนดได้

• การจำลองแบบบาร์นส์-ฮัท
• วิธีมัลติโพลแบบเร็ว
• การขยายตัวของลาปลาซ
• พหุนามเลอจองเดอร์
• แม่เหล็กควอดรูโพลใช้ในเครื่องเร่งอนุภาค
• ฮาร์โมนิกส์ของแข็ง
• โมเมนต์ทอรอยดัล
• ไดโพลทอรอยดัลแบบไดนามิก