ในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์เชิงทฤษฎีทฤษฎีบทที่สองของ Noetherเชื่อมโยงสมมาตรของฟังก์ชันการกระทำ กับระบบ สมการ เชิงอนุพันธ์^{[ 1 ]}ทฤษฎีบทนี้ตั้งชื่อตามผู้ค้นพบคือEmmy Noether

การกระทำSของระบบทางกายภาพคือปริพันธ์ ของ ฟังก์ชันลากรางจ์Lที่เรียกว่าซึ่งพฤติกรรมของระบบสามารถกำหนดได้โดยหลักการของการกระทำน้อยที่สุดโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทฤษฎีบทกล่าวว่า ถ้าการกระทำมีพีชคณิตลี แบบอนันต์มิติ ของ สมมาตรแบบ อนันต์ เล็ก ๆ ที่กำหนดพารามิเตอร์เชิงเส้นโดย ฟังก์ชัน kฟังก์ชันใด ๆ และอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านั้นจนถึงอันดับmแล้วอนุพันธ์เชิงฟังก์ชันของLจะสอดคล้องกับระบบสม การเชิงอนุพันธ์ kสมการ

ทฤษฎีบทที่สองของโนเธอร์บางครั้งถูกนำมาใช้ในทฤษฎีเกจทฤษฎีเกจเป็นองค์ประกอบพื้นฐานของทฤษฎีสนาม สมัยใหม่ทั้งหมด ในฟิสิกส์ เช่นแบบจำลองมาตรฐานที่ ใช้กันอย่างแพร่หลายในปัจจุบัน

สมมติว่าเรามีระบบพลวัตที่ระบุในรูปของตัวแปรอิสระตัวแปรตามและฟังก์ชันลากรางจ์ที่มีอันดับจำกัดโดยที่คือชุดของอนุพันธ์ย่อยอันดับที่ n ของตัวแปรตามทั้งหมด ตามกฎทั่วไป ดัชนีละตินจากกลางตัวอักษรจะมีค่าเป็นดัชนีกรีกจะมีค่าเป็นและ ใช้ หลักการบวกกับดัชนีเหล่านี้ นอกจากนี้ยังมีการแนะนำสัญกรณ์ดัชนีหลายตัวสำหรับดัชนีละตินดังต่อไปนี้ ดัชนีหลายตัวที่มีความยาวคือรายการเรียงลำดับของดัชนีธรรมดา ความยาวจะถูกแทนด้วยหลักการบวกไม่สามารถใช้กับดัชนีหลายตัวได้โดยตรง เนื่องจากผลรวมเหนือความยาวต้องแสดงอย่างชัดเจน เช่นการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันลากรางจ์เทียบกับการเปลี่ยนแปลงใดๆของตัวแปรตามคือและเมื่อใช้กฎผลคูณผกผันของการหาอนุพันธ์เราจะได้โดยที่คือนิพจน์ออยเลอร์-ลากรางจ์ของฟังก์ชันลากรางจ์ และสัมประสิทธิ์(โมเมนตัมลากรางจ์) กำหนดโดย${\textstyle m}$${\textstyle x=(x^{1},\dots ,x^{m})}$${\textstyle n}$${\textstyle u=(u^{1},\dots ,u^{n})}$${\textstyle L(x,u,u_{(1)}\dots ,u_{(r)})}$${\textstyle r}$${\textstyle u_{(k)}=(u_{i_{1}...i_{k}}^{\sigma })=(d_{i_{1}}\dots d_{i_{k}}u^{\sigma })}$${\textstyle k}$${\textstyle i,j,k,\dots }$${\textstyle 1,\dots ,m}$${\textstyle 1,\dots ,n}$${\textstyle I}$${\textstyle k}$${\displaystyle I=(i_{1},\dots ,i_{k})}$${\textstyle k}$${\textstyle \left|I\right|=k}$$${\displaystyle \sum _{|I|=0}^{r}f_{I}g^{I}=fg+f_{i}g^{i}+f_{ij}g^{ij}+\dots +f_{i_{1}...i_{r}}g^{i_{1}...i_{r}}.}$$${\textstyle \delta u^{\sigma }}$$${\displaystyle \delta L={\frac {\partial L}{\partial u^{\sigma }}}\delta u^{\sigma }+{\frac {\partial L}{\partial u_{i}^{\sigma }}}\delta u_{i}^{\sigma }+\dots +{\frac {\partial L}{\partial u_{i_{1}...i_{r}}^{\sigma }}}\delta u_{i_{1}...i_{r}}^{\sigma }=\sum _{|I|=0}^{r}{\frac {\partial L}{\partial u_{I}^{\sigma }}}\delta u_{I}^{\sigma },}$$$${\displaystyle \delta L=E_{\sigma }\delta u^{\sigma }+d_{i}\left(\sum _{|I|=0}^{r-1}P_{\sigma }^{iI}\delta u_{I}^{\sigma }\right),}$$$${\displaystyle E_{\sigma }={\frac {\partial L}{\partial u^{\sigma }}}-d_{i}{\frac {\partial L}{\partial u_{i}^{\sigma }}}+\dots +(-1)^{r}d_{i_{1}}\dots d_{i_{r}}{\frac {\partial L}{\partial u_{i_{1}...i_{r}}^{\sigma }}}=\sum _{|I|=0}^{r}(-1)^{|I|}d_{I}{\frac {\partial L}{\partial u_{I}^{\sigma }}}}$$${\textstyle P_{\sigma }^{I}}$$${\displaystyle P_{\sigma }^{I}=\sum _{|J|=0}^{r-|I|}(-1)^{|J|}d_{J}{\frac {\partial L}{\partial u_{IJ}^{\sigma }}}.}$$

การแปรผันคือสมมาตรอนันต์ของลากรางเจียนถ้าภายใต้การแปรผันนี้ มันคือสมมาตรกึ่ง อนันต์ ถ้ามีกระแสเช่นนั้น ${\textstyle \delta u^{\sigma }=X^{\sigma }(x,u,u_{(1)},\dots )}$${\textstyle L}$${\textstyle \delta L=0}$${\textstyle K^{i}=K^{i}(x,u,\dots )}$${\textstyle \delta L=d_{i}K^{i}}$

ควรสังเกตว่าสามารถขยายสมมาตรแบบอนันต์ (กึ่งสมมาตร) ได้โดยการรวมการเปลี่ยนแปลงที่มี เข้าไปด้วย กล่าว คือ ตัวแปรอิสระก็มีการเปลี่ยนแปลงเช่นกัน อย่างไรก็ตาม สมมาตรดังกล่าวสามารถเขียนใหม่ได้เสมอเพื่อให้มีผลเฉพาะกับตัวแปรตามเท่านั้น ดังนั้น ในส่วนต่อไปนี้ เราจะจำกัดเฉพาะ การเปลี่ยนแปลงในแนวตั้งที่เรียกว่าโดย ที่${\displaystyle \delta x^{i}\neq 0}$${\displaystyle \delta x^{i}=0}$

สำหรับทฤษฎีบทที่สองของ Noether เราพิจารณาสมมาตรแบบแปรผัน (เรียกว่าสมมาตรเกจ ) ซึ่งถูกกำหนดพารามิเตอร์เชิงเส้นโดยชุดของฟังก์ชันใดๆ และอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านั้น การแปรผันเหล่านี้มีรูปแบบทั่วไปที่สัมประสิทธิ์สามารถขึ้นอยู่กับตัวแปรอิสระและตัวแปรตาม รวมถึงอนุพันธ์ของตัวแปรตามจนถึงอันดับจำกัดบางอันดับ ฟังก์ชันเหล่านี้เป็นฟังก์ชันที่กำหนดได้ตามอำเภอใจของตัวแปรอิสระ และดัชนีละตินมีค่าเป็นโดยที่เป็นจำนวนเต็มบวกบางค่า $${\displaystyle \delta _{\lambda }u^{\sigma }=R_{a}^{\sigma }\lambda ^{a}+R_{a}^{\sigma ,i}\lambda _{i}^{a}+\dots +R_{a}^{\sigma ,i_{1}...i_{s}}\lambda _{i_{1}...i_{s}}^{a}=\sum _{|I|=0}^{s}R_{a}^{\sigma ,I}\lambda _{I}^{a},}$$${\displaystyle R_{a}^{\sigma ,I}}$${\displaystyle \lambda ^{a}=\lambda ^{a}(x)}$${\displaystyle a,b,\dots }$${\displaystyle 1,\dots ,q}$${\displaystyle q}$

เพื่อให้การเปลี่ยนแปลงเหล่านี้เป็นสมมาตรเกจ (ที่แน่นอน กล่าวคือ ไม่ใช่สมมาตรกึ่ง) ของลากรางเจียน จำเป็นต้องมีเงื่อนไขว่าสำหรับทุกตัวเลือกที่เป็นไปได้ของฟังก์ชันหากการเปลี่ยนแปลงเป็นสมมาตรกึ่ง จำเป็นที่กระแสจะขึ้นอยู่กับฟังก์ชันที่กำหนดอย่างเป็นเชิงเส้นและเชิงอนุพันธ์ด้วย กล่าวคือ โดยที่เพื่อความง่าย เราจะถือว่าสมมาตรเกจทั้งหมดเป็นสมมาตรที่แน่นอน แต่กรณีทั่วไปจะได้รับการจัดการในทำนองเดียวกัน ${\displaystyle \delta _{\lambda }L=0}$${\displaystyle \lambda ^{a}(x)}$${\displaystyle \delta _{\lambda }L=d_{i}K_{\lambda }^{i}}$$${\displaystyle K_{\lambda }^{i}=K_{a}^{i}\lambda ^{a}+K_{a}^{i,j}\lambda _{j}^{a}+K_{a}^{i,j_{1}j_{2}}\lambda _{j_{1}j_{2}}^{a}\dots }$$

ข้อความของทฤษฎีบทที่สองของ Noether คือ เมื่อใดก็ตามที่กำหนดให้ Lagrangian ดังที่กล่าวมาข้างต้น ซึ่งยอมรับสมมาตรเกจที่กำหนดพารามิเตอร์เชิงเส้นโดยฟังก์ชันใดๆ และอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านั้น จะมีความสัมพันธ์เชิงอนุพันธ์เชิงเส้นระหว่างสมการ Euler-Lagrange ของ ${\textstyle L}$${\displaystyle \delta _{\lambda }u^{\sigma }}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$${\textstyle L}$

เมื่อรวมสูตรการแปรผันแรกเข้ากับข้อเท็จจริงที่ว่าการแปรผันเป็นสมมาตร เราจะได้ว่าพจน์แรกที่แปรผันตามนิพจน์ออยเลอร์-ลากรางจ์นั้น สามารถทำการอินทิเกรตโดยส่วนเพิ่มเติมได้ดังนี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับดังนั้นเราจึงมีความสัมพันธ์นอกเปลือกโดยที่ความสัมพันธ์นี้ใช้ได้กับการเลือกพารามิเตอร์เกจใดๆการเลือกให้พารามิเตอร์เหล่านี้มีการรองรับแบบกระชับ และการอินทิเกรตความสัมพันธ์เหนือแมนิโฟลด์ของตัวแปรอิสระ พจน์การล divergence รวมแบบอินทิกรัลจะหายไปเนื่องจากทฤษฎีบทของส โตกส์ จากนั้นจากเลมมาพื้นฐานของแคลคูลัสของการแปรผันเราจะได้ว่าเหมือนกับ ความสัมพันธ์ นอกเปลือก (อันที่จริง เนื่องจากเป็นเชิงเส้นในนิพจน์ออยเลอร์-ลากรางจ์ จึงต้องหายไปบนเปลือก) เมื่อใส่สิ่งนี้กลับเข้าไปในสมการเริ่มต้น เราก็จะได้กฎการอนุรักษ์นอกเปลือกเช่นกัน ${\textstyle \delta _{\lambda }u^{\sigma }}$$${\displaystyle 0=E_{\sigma }\delta _{\lambda }u^{\sigma }+d_{i}W_{\lambda }^{i},\quad W_{\lambda }^{i}=\sum _{|I|=0}^{r}P_{\sigma }^{iI}\delta _{\lambda }u^{\sigma },}$$$${\displaystyle E_{\sigma }\delta _{\lambda }u^{\sigma }=\sum _{|I|=0}^{s}E_{\sigma }R_{a}^{\sigma ,I}\lambda _{I}^{a}=Q_{a}\lambda ^{a}+d_{i}\left(\sum _{|I|=0}^{s-1}Q_{a}^{iI}\lambda _{I}^{a}\right),}$$$${\displaystyle Q_{a}^{I}=\sum _{|J|=0}^{s-|I|}(-1)^{|J|}d_{J}\left(E_{\sigma }R_{a}^{\sigma ,IJ}\right),}$$${\textstyle |I|=0}$$${\displaystyle Q_{a}=E_{\sigma }R_{a}^{\sigma }-d_{i}\left(E_{\sigma }R_{a}^{\sigma ,i}\right)+\dots +(-1)^{s}d_{i_{1}}\dots d_{i_{s}}\left(E_{\sigma }R_{a}^{\sigma ,i_{1}...i_{s}}\right)=\sum _{|I|=0}^{s}(-1)^{|I|}d_{I}\left(E_{\sigma }R_{a}^{\sigma ,I}\right).}$$$${\displaystyle 0=Q_{a}\lambda ^{a}+d_{i}S_{\lambda }^{i},}$$${\textstyle S_{\lambda }^{i}=H_{\lambda }^{i}+W_{\lambda }^{i},}$${\textstyle H_{\lambda }^{i}=\sum _{|I|=0}^{s-1}Q_{a}^{iI}\lambda _{I}^{a}}$${\textstyle \lambda ^{a}(x)}$${\displaystyle Q_{a}\equiv 0}$${\displaystyle Q_{a}}$${\displaystyle d_{i}S_{\lambda }^{i}=0}$

นิพจน์เหล่านี้เป็นอนุพันธ์ในนิพจน์ออยเลอร์-ลากรางจ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเรามีโดยที่ดังนั้น สมการเหล่านี้จึงเป็นความสัมพันธ์เชิงอนุพันธ์ที่นิพจน์ออยเลอร์-ลากรางจ์อยู่ภายใต้ และด้วยเหตุนี้ สมการออยเลอร์-ลากรางจ์ของระบบจึงไม่เป็นอิสระต่อกัน ${\displaystyle Q_{a}}$$${\displaystyle Q_{a}={\mathcal {D}}_{a}[E]=\sum _{|I|=0}^{s}(-1)^{|I|}d_{I}\left(E_{\sigma }R_{a}^{\sigma ,I}\right)=\sum _{|I|=0}^{s}F_{a}^{\sigma ,I}d_{I}E_{\sigma },}$$$${\displaystyle F_{a}^{\sigma ,I}=\sum _{|J|=0}^{s-|I|}{\binom {|I|+|J|}{|I|}}(-1)^{|I|+|J|}d_{J}R_{a}^{\sigma ,IJ}.}$$$${\displaystyle 0={\mathcal {D}}_{a}[E]}$$${\textstyle q}$

บทกลับของทฤษฎีบท Noether ข้อที่สองก็สามารถพิสูจน์ได้เช่นกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สมมติว่านิพจน์ Euler-Lagrange ของระบบอยู่ภายใต้ความสัมพันธ์เชิงอนุพันธ์ให้เป็นt ของฟังก์ชันใดๆ ตัวดำเนิน การผกผันอย่างเป็นทางการของตัวดำเนินการจะกระทำกับฟังก์ชันเหล่านี้ผ่านสูตรซึ่งกำหนดตัวดำเนินการผกผันอย่างไม่ซ้ำกัน สัมประสิทธิ์ของตัวดำเนินการผกผันได้มาจากการอินทิเกรตโดยส่วนเช่นเดียวกับก่อนหน้านี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งโดยที่จากนั้นคำจำกัดความของตัวดำเนินการผกผันพร้อมกับความสัมพันธ์ระบุว่าสำหรับแต่ละt ของฟังก์ชันค่าของตัวดำเนินการผกผันบนฟังก์ชันเมื่อหดตัวกับนิพจน์ Euler-Lagrange คือไดเวอร์เจนซ์ทั้งหมด กล่าวคือดังนั้นถ้าเรากำหนดการแปรผันการแปรผันของ Lagrangian คือไดเวอร์เจนซ์ทั้งหมด ดังนั้นการแปรผันจึงเป็นกึ่งสมมาตรสำหรับทุกค่าของฟังก์ชัน ${\displaystyle E_{\sigma }}$${\displaystyle q}$$${\displaystyle 0={\mathcal {D}}_{a}[E]=\sum _{|I|=0}^{s}F_{a}^{\sigma ,I}d_{I}E_{\sigma }.}$$${\textstyle \lambda =(\lambda ^{1},\dots ,\lambda ^{q})}$${\textstyle q}$${\textstyle {\mathcal {D}}_{a}}$$${\displaystyle E_{\sigma }({\mathcal {D}}^{+})^{\sigma }[\lambda ]-\lambda ^{a}{\mathcal {D}}_{a}[E]=d_{i}B_{\lambda }^{i},}$$${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{+})^{\sigma }}$$${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{+})^{\sigma }[\lambda ]=\sum _{|I|=0}^{s}R_{a}^{\sigma ,I}\lambda _{I}^{a},}$$$${\displaystyle R_{a}^{\sigma ,I}=\sum _{|J|=0}^{s-|I|}(-1)^{|I|+|J|}{\binom {|I|+|J|}{|I|}}d_{J}F_{a}^{\sigma ,IJ}.}$$${\displaystyle 0={\mathcal {D}}_{a}[E]}$${\textstyle q}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle E_{\sigma }({\mathcal {D}}^{+})^{\sigma }[\lambda ]=d_{i}B_{\lambda }^{i},}$$${\displaystyle \delta _{\lambda }u^{\sigma }:=({\mathcal {D}}^{+})^{\sigma }[\lambda ]=\sum _{|I|=0}^{s}R_{a}^{\sigma ,I}\lambda _{I}^{a},}$$$${\displaystyle \delta _{\lambda }L=E_{\sigma }\delta _{\lambda }u^{\sigma }+d_{i}W_{\lambda }^{i}=d_{i}\left(B_{\lambda }^{i}+W_{\lambda }^{i}\right)}$$${\textstyle \delta _{\lambda }u^{\sigma }}$${\displaystyle \lambda ^{a}}$

• ทฤษฎีบทแรกของโนเธอร์
• อัตลักษณ์โนเธอร์
• สมมาตรเกจ (คณิตศาสตร์)

• Noether, Emmy (1971). "ปัญหาการแปรผันที่ไม่เปลี่ยนแปลง" ทฤษฎีการขนส่งและฟิสิกส์เชิงสถิติ 1 ( 3): 186– 207. arXiv : physics/0503066 . Bibcode : 1971TTSP....1..186N . doi : 10.1080/00411457108231446 . S2CID  119019843 .
• Fulp, Ron; Lada, Tom; Stasheff, Jim (2002). "ทฤษฎีบทแปรผัน II ของ Noether และรูปแบบ BV". arXiv : math/0204079 .
• Bashkirov, D.; Giachetta, G.; Mangiarotti, L.; Sardanashvily, G (2008). "คอมเพล็กซ์ KT-BRST ของระบบ Lagrangian ที่เสื่อมสภาพ" Letters in Mathematical Physics . 83 (3): 237– 252. arXiv : math-ph/0702097 . Bibcode : 2008LMaPh..83..237B . doi : 10.1007/s11005-008-0226-y . S2CID  119716996 .
• Montesinos, Merced; Gonzalez, Diego; Celada, Mariano; Diaz, Bogar (2017). "การกำหนดรูปแบบใหม่ของสมมาตรของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปอันดับแรก". แรงโน้มถ่วงคลาสสิกและควอนตัม 34 ( 20): 205002. arXiv : 1704.04248 . Bibcode : 2017CQGra..34t5002M . doi : 10.1088/1361-6382/aa89f3 . S2CID  119268222 .
• Montesinos, Merced; Gonzalez, Diego; Celada, Mariano (2018). "สมมาตรเกจของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปอันดับแรกที่มีสนามสสาร". แรงโน้มถ่วงคลาสสิกและควอนตัม 35 ( 20): 205005. arXiv : 1809.10729 . Bibcode : 2018CQGra..35t5005M . doi : 10.1088/1361-6382/aae10d . S2CID  53531742 .