สาระสำคัญของทฤษฎีบทของ Noether คือการขยายแนวคิดเรื่องพิกัดที่ละเลยได้

เราสามารถสมมติได้ว่าลากรางเจียนLที่กำหนดไว้ข้างต้นนั้นไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การรบกวนเล็กน้อย (การบิดเบี้ยว) ของตัวแปรเวลาtและพิกัดทั่วไปqเราอาจเขียนได้ว่า

${\displaystyle {\begin{aligned}t&\rightarrow t^{\prime }=t+\delta t\\\mathbf {q} &\rightarrow \mathbf {q} ^{\prime }=\mathbf {q} +\delta \mathbf {q} ~,\end{aligned}}}$

โดยที่การรบกวนδtและδqมีขนาดเล็กแต่แปรผันได้ เพื่อความทั่วไป สมมติว่ามีการแปลงสมมาตรของแอคชั่นดัง กล่าว (เช่น) N ครั้ง กล่าว คือ การแปลงที่ทำให้แอคชั่นไม่เปลี่ยนแปลง โดยมีดัชนี r = 1, 2, 3, ..., N กำหนด ไว้      

จากนั้น การรบกวนที่เกิดขึ้นสามารถเขียนได้ในรูปผลรวมเชิงเส้นของการรบกวนแต่ละประเภท

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta t&=\sum _{r}\varepsilon _{r}T_{r}\\\delta \mathbf {q} &=\sum _{r}\varepsilon _{r}\mathbf {Q} _{r}~,\end{aligned}}}$

โดยที่ε คือสัมประสิทธิ์พารามิเตอร์ขนาดเล็กมาก ที่สอดคล้องกับแต่ละ:

• เครื่องกำเนิดT ของวิวัฒนาการเวลาและ
• ตัวสร้างQ ของพิกัดทั่วไป

สำหรับการเลื่อนตำแหน่งQrเป็นค่าคงที่ที่มีหน่วยเป็นความยาว สำหรับการหมุน เป็นนิพจน์เชิงเส้นในส่วนประกอบของqและพารามิเตอร์ต่างๆ ประกอบกันเป็นมุม

โดยใช้คำจำกัดความเหล่านี้โนเธอร์แสดงให้เห็นว่าปริมาณN

${\displaystyle \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T_{r}-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot \mathbf {Q} _{r}}$

ค่าคงที่ของการเคลื่อนที่ ( ค่าคงที่ของการเคลื่อนที่ ) จะถูกอนุรักษ์ไว้

แม้ว่าทฤษฎีบทของโนเธอร์ที่กล่าวมาข้างต้นจะมีประโยชน์ในตัวมันเอง แต่ก็เป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบททั่วไปที่ได้มาในปี 1915 เพื่อให้เห็นภาพของทฤษฎีบททั่วไป จึงจะกล่าวถึงทฤษฎีบทของโนเธอร์สำหรับสนามต่อเนื่องในปริภูมิเวลา สี่มิติ เนื่องจากปัญหาทฤษฎีสนามพบได้บ่อยในฟิสิกส์สมัยใหม่มากกว่า ปัญหา กลศาสตร์ดังนั้นทฤษฎีบทของโนเธอร์ในเวอร์ชันทฤษฎีสนามนี้จึงเป็นเวอร์ชันที่ใช้กันมากที่สุด

ให้มีเซตของฟิลด์ ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้${\displaystyle \varphi }$นิยามครอบคลุมทั้งพื้นที่และเวลา ตัวอย่างเช่น อุณหภูมิ${\displaystyle T(\mathbf {x} ,t)}$จะเป็นตัวแทนของสนามดังกล่าว โดยเป็นตัวเลขที่กำหนดไว้ในทุกสถานที่และทุกเวลาหลักการกระทำน้อยที่สุดสามารถนำมาใช้กับสนามดังกล่าวได้ แต่การกระทำนั้นเป็นปริพันธ์เหนือพื้นที่และเวลา

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int {\mathcal {L}}\left(\varphi ,\partial _{\mu }\varphi ,x^{\mu }\right)\,d^{4}x}$

(ทฤษฎีบทนี้สามารถขยายความทั่วไปได้อีกในกรณีที่ลากรางเจียนขึ้นอยู่กับ อนุพันธ์ลำดับ ^ที่nและยังสามารถกำหนดสูตรโดยใช้กลุ่มเจ็ทได้ อีกด้วย )

การเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องของสนามต่างๆ${\displaystyle \varphi }$สามารถเขียนในรูปอนันต์ได้ดังนี้

${\displaystyle \varphi \mapsto \varphi +\varepsilon \Psi ,}$

ที่ไหน${\displaystyle \Psi }$โดยทั่วไปแล้วเป็นฟังก์ชันที่อาจขึ้นอยู่กับทั้งสองอย่าง${\displaystyle x^{\mu }}$และ${\displaystyle \varphi }$เงื่อนไขสำหรับ${\displaystyle \Psi }$การสร้างสมมาตรทางกายภาพคือการกระทำ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ถูกปล่อยให้คงที่ นี่จะเป็นจริงอย่างแน่นอนหากความหนาแน่นของลากรางจ์${\displaystyle {\mathcal {L}}}$หากยังคงค่าเดิมไว้ ค่านี้ก็จะเป็นจริงเช่นกันหากลากรางเจียนเปลี่ยนแปลงไปโดยค่าไดเวอร์เจนซ์

${\displaystyle {\mathcal {L}}\mapsto {\mathcal {L}}+\varepsilon \partial _{\mu }\Lambda ^{\mu },}$

เนื่องจากปริพันธ์ของไดเวอร์เจนซ์กลายเป็นพจน์ขอบเขตตามทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ระบบที่อธิบายโดยการกระทำที่กำหนดอาจมีสมมาตรอิสระหลายประเภทนี้ ซึ่งระบุด้วยดัชนี${\displaystyle r=1,2,\ldots ,N,}$ดังนั้น การแปลงสมมาตรทั่วไปที่สุดจึงสามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle \varphi \mapsto \varphi +\varepsilon _{r}\Psi _{r},}$

ด้วยผลที่ตามมา

${\displaystyle {\mathcal {L}}\mapsto {\mathcal {L}}+\varepsilon _{r}\partial _{\mu }\Lambda _{r}^{\mu }.}$

สำหรับระบบดังกล่าว ทฤษฎีบทของ Noether ระบุว่ามีอยู่${\displaystyle N}$ความหนาแน่นกระแสไฟฟ้าที่อนุรักษ์ไว้

${\displaystyle j_{r}^{\nu }=\Lambda _{r}^{\nu }-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\varphi )}}\cdot \Psi _{r}}$

(โดยที่ผลคูณดอทนั้นเข้าใจว่าเป็นการหดตัวของ ดัชนี ฟิลด์ไม่ใช่...)${\displaystyle \nu }$ดัชนีหรือ${\displaystyle r}$ดัชนี).

ในกรณีเช่นนี้กฎการอนุรักษ์จะถูกแสดงออกมาในรูปแบบสี่มิติ

${\displaystyle \partial _{\nu }j^{\nu }=0,}$

ซึ่งแสดงถึงแนวคิดที่ว่าปริมาณของปริมาณอนุรักษ์ภายในทรงกลมจะไม่เปลี่ยนแปลง เว้นแต่จะมีปริมาณบางส่วนไหลออกจากทรงกลม ตัวอย่างเช่นประจุไฟฟ้าเป็นปริมาณอนุรักษ์ ปริมาณประจุภายในทรงกลมจะไม่เปลี่ยนแปลง เว้นแต่จะมีประจุเข้าหรือออกจากทรงกลม

พิจารณากรณีที่ง่ายที่สุด คือระบบที่มีตัวแปรอิสระเพียงตัวเดียว คือ เวลา สมมติว่าตัวแปรตามqเป็นเช่นนั้น โดยที่ปริพันธ์ของการกระทำ

$${\displaystyle I=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L[\mathbf {q} [t],{\dot {\mathbf {q} }}[t],t]\,dt}$$

จะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในตัวแปรตาม กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นไปตามสมการออยเลอร์-ลากรางจ์

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}[t]={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}[t].}$

และสมมติว่าปริพันธ์ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้สมมาตรต่อเนื่อง ในทางคณิตศาสตร์ สมมาตรดังกล่าวแสดงด้วยการไหลφซึ่งกระทำต่อตัวแปรดังต่อไปนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}t&\rightarrow t'=t+\varepsilon T\\\mathbf {q} [t]&\rightarrow \mathbf {q} '[t']=\varphi [\mathbf {q} [t],\varepsilon ]=\varphi [\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]\end{aligned}}}$

โดยที่εเป็นตัวแปรจริงที่ระบุปริมาณการไหล และTเป็นค่าคงที่จริง (ซึ่งอาจเป็นศูนย์) ที่ระบุว่าการไหลนั้นทำให้เวลาเปลี่ยนแปลงไปมากน้อยเพียงใด

${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}[t]\rightarrow {\dot {\mathbf {q} }}'[t']={\frac {d}{dt}}\varphi [\mathbf {q} [t],\varepsilon ]={\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}[\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]{\dot {\mathbf {q} }}[t'-\varepsilon T].}$

ปริพันธ์การกระทำไหลไปยัง

${\displaystyle {\begin{aligned}I'[\varepsilon ]&=\int _{t_{1}+\varepsilon T}^{t_{2}+\varepsilon T}L[\mathbf {q} '[t'],{\dot {\mathbf {q} }}'[t'],t']\,dt'\\[6pt]&=\int _{t_{1}+\varepsilon T}^{t_{2}+\varepsilon T}L[\varphi [\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ],{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}[\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]{\dot {\mathbf {q} }}[t'-\varepsilon T],t']\,dt'\end{aligned}}}$

ซึ่งอาจถือได้ว่าเป็นฟังก์ชันของεเมื่อคำนวณอนุพันธ์ที่ε = 0 และใช้กฎของไลบ์นิซเราจะได้

${\displaystyle {\begin{aligned}0={\frac {dI'}{d\varepsilon }}[0]={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T\\[6pt]&{}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}\left(-{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}\right)+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left(-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{(\partial \mathbf {q} )^{2}}}{\dot {\mathbf {q} }}^{2}T+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}-{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}T\right)\,dt.\end{aligned}}}$

โปรดสังเกตว่าสมการออยเลอร์-ลากรางจ์บ่งชี้ว่า

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T\right)&=\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right){\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}\right){\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}\,T\\[6pt]&={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{(\partial \mathbf {q} )^{2}}}{\dot {\mathbf {q} }}\right){\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}\,T.\end{aligned}}}$

เมื่อแทนค่านี้ลงในสมการก่อนหน้า จะได้

${\displaystyle {\begin{aligned}0={\frac {dI'}{d\varepsilon }}[0]={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}]T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}]T\\[6pt]&{}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}\,dt.\end{aligned}}}$

เมื่อใช้สมการออยเลอร์-ลากรางจ์อีกครั้ง เราจะได้

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}\right)=\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right){\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}.}$

เมื่อแทนค่านี้ลงในสมการก่อนหน้า จะได้

${\displaystyle {\begin{aligned}0={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}]T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}]T\\[6pt]&{}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}[t_{2}]-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}[t_{1}].\end{aligned}}}$

จากสิ่งนี้จะเห็นได้ว่า

${\displaystyle \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}}$

เป็นค่าคงที่ของการเคลื่อนที่ กล่าวคือ เป็นปริมาณอนุรักษ์ เนื่องจาก φ[ q , 0] = qเราจึงได้${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}=1}$ดังนั้นปริมาณที่อนุรักษ์ไว้จึงลดรูปเหลือเพียง

${\displaystyle \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}.}$

เพื่อหลีกเลี่ยงความซับซ้อนมากเกินไปของสูตร การพิสูจน์นี้จึงสมมติว่าอัตราการไหลไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเวลาผ่านไป ผลลัพธ์เดียวกันนี้สามารถหาได้ในกรณีทั่วไปเช่นกัน

ทฤษฎีบทของ Noether สามารถมองได้ว่าเป็นผลลัพธ์ของทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส (ซึ่งในฟิสิกส์เรียกกันด้วยชื่อต่างๆ เช่นทฤษฎีบท Stokes ทั่วไปหรือทฤษฎีบท Gradient ): ^{[ 14 ]} สำหรับฟังก์ชัน ${\textstyle S}$ วิเคราะห์ในโดเมน ${\textstyle {\cal {D}}}$, $${\displaystyle \int _{\cal {\cal {P}}}dS=0}$$

ที่ไหน${\textstyle {\cal {P}}}$เป็นเส้นทางปิดใน${\textstyle {\cal {D}}}$ที่นี่ฟังก์ชัน${\textstyle S(\mathbf {q} ,t)}$คือฟังก์ชัน การกระทำ ที่คำนวณได้จากการอินทิเกรตลากรางจ์เหนือวิถีการเคลื่อนที่ที่เหมาะสมที่สุด หรือเทียบเท่ากับที่ได้มาผ่านสมการแฮมิลตัน-จาโคบี${\textstyle \partial S/\partial \mathbf {q} =\mathbf {p} }$(ที่ไหน${\textstyle \mathbf {p} }$คือโมเมนตัม) และ${\textstyle \partial S/\partial t=-H}$(ที่ไหน${\textstyle H}$(คือแฮมิลโทเนียน) อนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้กำหนดโดย${\textstyle dS=\mathbf {p} d\mathbf {q} -Hdt}$.

โดยใช้แนวทางทางเรขาคณิต เราสามารถหาปริมาณอนุรักษ์สำหรับสมมาตรในความหมายของ Noether ได้ สมมาตรนั้นแสดงออกมาในรูปของการแปลงแบบอนันต์เล็ก:$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {q'} &=&\mathbf {q} +\epsilon \phi _{\mathbf {q} }(\mathbf {q} ,t)\\t'&=&t+\epsilon \phi _{t}(\mathbf {q} ,t)\end{aligned}}}$$ อนุญาต${\textstyle {\cal {C}}}$เป็นวิถีโคจรที่เหมาะสมที่สุดและ${\textstyle {\cal {C}}'}$ภาพของมันภายใต้การแปลงข้างต้น${\textstyle (\phi _{\mathbf {q} },\phi _{t})^{T}}$(ซึ่งเป็นเส้นทางที่เหมาะสมที่สุดเช่นกัน) เส้นทางปิด${\textstyle {\cal {P}}}$การบูรณาการถูกเลือกเป็น${\textstyle ABB'A'}$โดยที่กิ่งก้านสาขา${\textstyle AB}$และ${\textstyle A'B'}$ได้รับ${\textstyle {\cal {C}}}$และ${\textstyle {\cal {C}}'}$ตามสมมติฐานของทฤษฎีบทของ Noether ในลำดับแรกใน${\textstyle \epsilon }$,$${\displaystyle \int _{\cal {C}}dS=\int _{{\cal {C}}'}dS}$$ดังนั้น,$${\displaystyle \int _{A}^{A'}dS=\int _{B}^{B'}dS}$$ตามนิยามแล้ว บน${\textstyle AA'}$สาขาที่เรามี${\textstyle d\mathbf {q} =\epsilon \phi _{\mathbf {q} }(\mathbf {q} ,t)}$และ${\textstyle dt=\epsilon \phi _{t}(\mathbf {q} ,t)}$ดังนั้น ในลำดับแรกใน${\textstyle \epsilon }$ปริมาณ$${\displaystyle I=\mathbf {p} \phi _{\mathbf {q} }-H\phi _{t}}$$จะถูกอนุรักษ์ไว้ตลอดเส้นทาง

ทฤษฎีบทของ Noether อาจสามารถอนุมานได้สำหรับฟิลด์เทนเซอร์เช่นกัน${\displaystyle \varphi ^{A}}$โดยที่ดัชนีAครอบคลุมส่วนประกอบต่างๆ ของฟิลด์เทนเซอร์ต่างๆ ปริมาณฟิลด์เหล่านี้เป็นฟังก์ชันที่กำหนดไว้ในปริภูมิสี่มิติ ซึ่งจุดต่างๆ ถูกกำหนดด้วยพิกัดx ^μโดยที่ดัชนีμครอบคลุมเวลา ( μ  =  0) และมิติเชิงพื้นที่สามมิติ ( μ  =  1,  2,  3) พิกัดทั้งสี่นี้เป็นตัวแปรอิสระ และค่าของฟิลด์ในแต่ละเหตุการณ์เป็นตัวแปรตาม ภายใต้การแปลงแบบอนันต์เล็ก การเปลี่ยนแปลงในพิกัดจะถูกเขียนดังนี้

${\displaystyle x^{\mu }\rightarrow \xi ^{\mu }=x^{\mu }+\delta x^{\mu }}$

ในขณะที่การแปลงตัวแปรสนามแสดงได้ดังนี้

${\displaystyle \varphi ^{A}\rightarrow \alpha ^{A}\left(\xi ^{\mu }\right)=\varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)+\delta \varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)\,.}$

ตามคำจำกัดความนี้ ความแปรผันของสนาม${\displaystyle \delta \varphi ^{A}}$ ผลลัพธ์เกิดจากสองปัจจัย ได้แก่ การเปลี่ยนแปลงภายในของสนามเอง และการเปลี่ยนแปลงของพิกัด เนื่องจากสนามที่แปลงแล้วα ^Aขึ้นอยู่กับพิกัดที่แปลงแล้ว ξ ^μ เพื่อแยกการเปลี่ยนแปลงภายใน เราอาจกำหนดความแปรผันของสนาม ณ จุดเดียวx ^{μ ได้ดังนี้}

${\displaystyle \alpha ^{A}\left(x^{\mu }\right)=\varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)+{\bar {\delta }}\varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)\,.}$

หากมีการเปลี่ยนแปลงพิกัด ขอบเขตของบริเวณปริภูมิ-เวลาที่ใช้ในการอินทิเกรตลากรางจ์ก็จะเปลี่ยนแปลงไปด้วย โดยขอบเขตเดิมและขอบเขตที่แปลงแล้วจะถูกกำหนดให้เป็น Ω และ Ω' ตามลำดับ

ทฤษฎีบทของ Noether เริ่มต้นด้วยสมมติฐานที่ว่า การแปลงพิกัดและตัวแปรสนามแบบเฉพาะเจาะจงจะไม่เปลี่ยนแปลงแอคชั่นซึ่งนิยามว่าเป็นปริพันธ์ของความหนาแน่นลากรางจ์เหนือบริเวณปริภูมิเวลาที่กำหนด หากแสดงในรูปคณิตศาสตร์ สมมติฐานนี้สามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle \int _{\Omega ^{\prime }}L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },\xi ^{\mu }\right)d^{4}\xi -\int _{\Omega }L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)d^{4}x=0}$

โดยที่เครื่องหมายจุลภาคที่อยู่ด้านล่างแสดงถึงอนุพันธ์ย่อยเทียบกับพิกัดที่อยู่หลังเครื่องหมายจุลภาค เช่น

${\displaystyle {\varphi ^{A}}_{,\sigma }={\frac {\partial \varphi ^{A}}{\partial x^{\sigma }}}\,.}$

เนื่องจาก ξ เป็นตัวแปรดัมมี่ของการอินทิเกรต และเนื่องจากการเปลี่ยนแปลงของขอบเขต Ω มีขนาดเล็กมากตามสมมติฐาน จึงสามารถรวมอินทิกรัลทั้งสองเข้าด้วยกันโดยใช้ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ แบบสี่มิติได้ ในรูปแบบต่อไปนี้

${\displaystyle \int _{\Omega }\left\{\left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left[L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right]\right\}d^{4}x=0\,.}$

ความแตกต่างของลากรางเจียนสามารถเขียนได้ในอันดับแรกของการแปรผันเล็กน้อยดังนี้

${\displaystyle \left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]={\frac {\partial L}{\partial \varphi ^{A}}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }\,.}$

อย่างไรก็ตาม เนื่องจากค่าแปรผันถูกกำหนดไว้ที่จุดเดียวกันดังที่ได้อธิบายไว้ข้างต้น ค่าแปรผันและอนุพันธ์จึงสามารถหาได้ในลำดับย้อนกลับ กล่าวคือสลับที่กัน ได้

${\displaystyle {\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }={\bar {\delta }}{\frac {\partial \varphi ^{A}}{\partial x^{\sigma }}}={\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\bar {\delta }}\varphi ^{A}\right)\,.}$

โดยใช้สมการสนามออยเลอร์-ลากรางจ์

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}\right)={\frac {\partial L}{\partial \varphi ^{A}}}}$

ความแตกต่างของลากรางเจียนสามารถเขียนได้อย่างเรียบร้อยดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]\\[4pt]={}&{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}\right){\bar {\delta }}\varphi ^{A}+{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }={\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}\right).\end{aligned}}}$

ดังนั้น การเปลี่ยนแปลงในการกระทำสามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left\{{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right\}d^{4}x=0\,.}$

เนื่องจากเงื่อนไขนี้ใช้ได้กับทุกบริเวณ Ω ดังนั้นตัวถูกอินทิเกรตจึงต้องเป็นศูนย์

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left\{{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right\}=0\,.}$

สำหรับชุด การแปลง สมมาตร ต่างๆ การรบกวนสามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta x^{\mu }&=\varepsilon X^{\mu }\\\delta \varphi ^{A}&=\varepsilon \Psi ^{A}={\bar {\delta }}\varphi ^{A}+\varepsilon {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}\end{aligned}}}$

ที่ไหน${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}}$คืออนุพันธ์ลีของ ${\displaystyle \varphi ^{A}}$ใน ทิศทาง X ^μเมื่อ${\displaystyle \varphi ^{A}}$เป็นสเกลาร์หรือ${\displaystyle {X^{\mu }}_{,\nu }=0}$,

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}={\frac {\partial \varphi ^{A}}{\partial x^{\mu }}}X^{\mu }\,.}$

สมการเหล่านี้บ่งชี้ว่า การเปลี่ยนแปลงของสนามที่จุดหนึ่งเท่ากับ

${\displaystyle {\bar {\delta }}\varphi ^{A}=\varepsilon \Psi ^{A}-\varepsilon {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}\,.}$

การหาอนุพันธ์ของไดเวอร์เจนซ์ข้างต้นเทียบกับεที่ε  =  0 และการเปลี่ยนเครื่องหมาย จะได้กฎการอนุรักษ์

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}j^{\sigma }=0}$

โดยที่กระแสอนุรักษ์เท่ากับ

${\displaystyle j^{\sigma }=\left[{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}-L\,X^{\sigma }\right]-\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}\right)\Psi ^{A}\,.}$

สมมติว่าเรามีแมนิโฟลด์ แบบ รีมันน์หรือแบบ ลอเรนซ์ ที่มีทิศทางในมิติn Mและแมนิโฟลด์เป้าหมายTให้${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ให้ M เป็นปริภูมิการกำหนดค่าของฟังก์ชันเรียบจากMไปยังT (โดยทั่วไปแล้ว เราสามารถมีส่วนเรียบของกลุ่มเส้นใยTบนMได้)

ตัวอย่างของตัวอักษรMในวิชาฟิสิกส์ ได้แก่:

• ในกลศาสตร์คลาสสิกในการกำหนดแบบแฮมิลโทเนียนMคือแมนิโฟลด์หนึ่งมิติ${\displaystyle \mathbb {R} }$โดยแทนเวลาและพื้นที่เป้าหมายคือกลุ่มโคแทนเจนต์ของพื้นที่ตำแหน่งทั่วไป
• ในทฤษฎีสนามMคือ แมนิโฟลด์ ของปริภูมิเวลาและปริภูมิเป้าหมายคือเซตของค่าที่สนามสามารถรับได้ ณ จุดใดจุดหนึ่ง ตัวอย่างเช่น ถ้ามีสนามสเกลาร์ค่าจริงm สนาม${\displaystyle \varphi _{1},\ldots ,\varphi _{m}}$ดังนั้นกลุ่มเป้าหมายคือ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ถ้าสนามนั้นเป็นสนามเวกเตอร์จริง แล้วแมนิโฟลด์เป้าหมายจะสมสัณฐานกับ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

สมมติว่าตอนนี้มีฟังก์ชัน อยู่

${\displaystyle {\mathcal {S}}\colon {\mathcal {C}}\rightarrow \mathbb {R} ,}$

เรียกว่าการกระทำ (โดยจะรับค่าใน${\displaystyle \mathbb {R} }$แทนที่จะเป็น${\displaystyle \mathbb {C} }$(นี่เป็นเหตุผลทางกายภาพ และไม่สำคัญต่อการพิสูจน์นี้)

เพื่อให้ได้ทฤษฎีบทของ Noether ในรูปแบบปกติ เราจำเป็นต้องมีข้อจำกัดเพิ่มเติมเกี่ยวกับการกระทำเราสมมติว่า${\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi ]}$คือปริพันธ์เหนือMของฟังก์ชัน

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi ,\partial _{\mu }\varphi ,x)}$

เรียกว่าความหนาแน่นลากรางจ์ขึ้นอยู่กับ${\displaystyle \varphi }$อนุพันธ์ของมันและตำแหน่ง กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ สำหรับ${\displaystyle \varphi }$ใน${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi ]\,=\,\int _{M}{\mathcal {L}}[\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x),x]\,d^{n}x.}$

สมมติว่าเราได้รับเงื่อนไขขอบเขตนั่นคือ การกำหนดค่าของ${\displaystyle \varphi }$ที่ขอบเขตถ้าMเป็นเซตกระชับหรือขีดจำกัดบางอย่างบน${\displaystyle \varphi }$เมื่อxเข้าใกล้ ∞ แล้วปริภูมิย่อยของ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ประกอบด้วยฟังก์ชันต่างๆ${\displaystyle \varphi }$โดยที่อนุพันธ์เชิงฟังก์ชัน ทั้งหมด ของ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ที่${\displaystyle \varphi }$มีค่าเป็นศูนย์ นั่นคือ:

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}[\varphi ]}{\delta \varphi (x)}}=0}$

และนั่น${\displaystyle \varphi }$หากตรงตามเงื่อนไขขอบเขตที่กำหนด จะเป็นปริภูมิย่อยของ ผลเฉลย บนเปลือก (ดูหลักการของการกระทำที่อยู่กับที่ )

ทีนี้ สมมติว่าเรามีการแปลงแบบอนันต์เล็ก ๆบน${\displaystyle {\mathcal {C}}}$สร้างขึ้นโดยอนุพันธ์เชิงฟังก์ชันQโดยที่

${\displaystyle Q\left[\int _{N}{\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{n}x\right]=\int _{\partial N}f^{\mu }[\varphi (x),\partial \varphi ,\partial \partial \varphi ,\ldots ]\,ds_{\mu }}$

สำหรับซับแมนิโฟลด์ขนาดกะทัดรัดทั้งหมดNที่มีมิติ${\displaystyle n}$หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ

${\displaystyle Q[{\mathcal {L}}(x)]=\partial _{\mu }f^{\mu }(x)}$

สำหรับทุกค่าxโดยที่เรากำหนด

${\displaystyle {\mathcal {L}}(x)={\mathcal {L}}[\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x),x]\;.}$

ถ้าเงื่อนไขนี้เป็นจริงทั้งบนเชลล์และนอกเชลล์เราจะกล่าวว่าQสร้างสมมาตรนอกเชลล์ ถ้าเงื่อนไขนี้เป็นจริงเฉพาะบนเชลล์เราจะกล่าวว่าQสร้างสมมาตรบนเชลล์ ถ้าสมมาตรที่สร้างโดยQรวมเข้ากับสมมาตรต่อเนื่อง เราจะกล่าวว่าQเป็นตัวสร้างของกลุ่ม Lieสมมาตรแบบพารามิเตอร์เดียว

ทีนี้ สำหรับN ใดๆ เนื่องจาก ทฤษฎีบท ออยเลอร์-ลากรางจ์เราจะได้เฉพาะบนเปลือก (และเฉพาะบนเปลือกเท่านั้น)

${\displaystyle {\begin{aligned}Q\left[\int _{N}{\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{n}x\right]&=\int _{N}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}-\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\right]Q[\varphi ]\,\mathrm {d} ^{n}x+\int _{\partial N}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]\,\mathrm {d} s_{\mu }\\&=\int _{\partial N}f^{\mu }\,\mathrm {d} s_{\mu }.\end{aligned}}}$

เนื่องจากสิ่งนี้เป็นจริงสำหรับN ใดๆ เราจึงได้ว่า

${\displaystyle \partial _{\mu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]-f^{\mu }\right]=0\;.}$

แต่นี่คือสมการความต่อเนื่องสำหรับกระแสไฟฟ้า${\displaystyle J^{\mu }}$กำหนดโดย: ^{[ 15 ]}

${\displaystyle J^{\mu }\,:=\,{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]-f^{\mu },}$

ซึ่งเรียกว่ากระแสโนอีเธอร์ที่เกี่ยวข้องกับสมมาตร สมการความต่อเนื่องบอกเราว่า ถ้าเราอินทิเก รต กระแสนี้เหนือ ระนาบ คล้ายอวกาศเราจะได้ปริมาณอนุรักษ์ที่เรียกว่าประจุโนอีเธอร์ (โดยมีเงื่อนไขว่า ถ้าMไม่ใช่ปริภูมิกระชับ กระแสจะลดลงอย่างรวดเร็วเพียงพอที่ระยะอนันต์)

ทฤษฎีบทของ Noether เป็น ทฤษฎีบท บนเปลือก : มันอาศัยการใช้สมการการเคลื่อนที่—เส้นทางแบบคลาสสิก มันสะท้อนความสัมพันธ์ระหว่างเงื่อนไขขอบเขตและหลักการแปรผัน โดยสมมติว่าไม่มีพจน์ขอบเขตในแอคชั่น ทฤษฎีบทของ Noether บ่งชี้ว่า

${\displaystyle \int _{\partial N}J^{\mu }ds_{\mu }=0\;.}$

อนาล็อกเชิงควอนตัมของทฤษฎีบทของ Noether ที่เกี่ยวข้องกับค่าคาดหวัง (เช่น${\textstyle \left\langle \int \partial \cdot {\textbf {J}}~d^{4}x\right\rangle =0}$) การตรวจสอบ ปริมาณ นอกเปลือกหุ้มยังรวมถึงเอกลักษณ์ของ Ward–Takahashiด้วย

สมมติว่าเรามีอนุพันธ์สมมาตรสองตัวคือQ และQ แล้ว [ Q , Q ] ก็เป็นอนุพันธ์สมมาตรเช่นกัน ลองมาดูตัวอย่างนี้อย่างชัดเจนกัน สมมติว่า...  $${\displaystyle Q_{1}[{\mathcal {L}}]=\partial _{\mu }f_{1}^{\mu }}$$ และ $${\displaystyle Q_{2}[{\mathcal {L}}]=\partial _{\mu }f_{2}^{\mu }}$$

แล้ว, $${\displaystyle [Q_{1},Q_{2}][{\mathcal {L}}]=Q_{1}[Q_{2}[{\mathcal {L}}]]-Q_{2}[Q_{1}[{\mathcal {L}}]]=\partial _{\mu }f_{12}^{\mu }}$$ ที่ไหน${\displaystyle f_{12}^{\mu }=Q_{1}[f_{2}^{\mu }]-Q_{2}[f_{1}^{\mu }]}$. ดังนั้น, $${\displaystyle j_{12}^{\mu }=\left({\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right)(Q_{1}[Q_{2}[\varphi ]]-Q_{2}[Q_{1}[\varphi ]])-f_{12}^{\mu }.}$$