ความสมมาตรของระบบทางกายภาพคือลักษณะทางกายภาพหรือทางคณิตศาสตร์ของระบบ (ที่สังเกตได้หรือโดยเนื้อแท้) ที่ยังคงอยู่หรือไม่มีการเปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลง บาง อย่าง

การแปลงรูปทรงเรขาคณิตเฉพาะกลุ่มหนึ่งอาจเป็นแบบต่อเนื่อง (เช่นการหมุนวงกลม) หรือแบบไม่ต่อเนื่อง (เช่นการสะท้อนรูปทรงสมมาตรสองด้าน หรือการหมุนรูปหลายเหลี่ยมปกติ) การแปลงแบบต่อเนื่องและแบบไม่ต่อเนื่องก่อให้เกิดสมมาตรประเภทต่างๆ ที่สอดคล้องกัน สมมาตรแบบต่อเนื่องสามารถอธิบายได้ด้วยกลุ่มลีในขณะที่สมมาตรแบบไม่ต่อเนื่องอธิบายได้ด้วยกลุ่มจำกัด (ดูกลุ่มสมมาตร )

แนวคิดทั้งสองนี้ ได้แก่ สมมาตรของลีและสมมาตรจำกัด เป็นรากฐานของทฤษฎีพื้นฐานของฟิสิกส์สมัยใหม่ สมมาตรมักสามารถกำหนดเป็นสูตรทางคณิตศาสตร์ได้ เช่นการแทนกลุ่มและนอกจากนี้ยังสามารถนำมาใช้เพื่อลดความซับซ้อนของปัญหาหลายอย่างได้ อีก ด้วย

อาจกล่าวได้ว่าตัวอย่างที่สำคัญที่สุดของสมมาตรในฟิสิกส์คือความเร็วแสงมีค่าเท่ากันในทุกกรอบอ้างอิงซึ่งในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ อธิบายได้ ด้วยกลุ่มการแปลงปริภูมิเวลาที่เรียกว่ากลุ่มปวงกาเรอีกตัวอย่างที่สำคัญคือความไม่เปลี่ยนแปลงของรูปแบบของกฎทางฟิสิกส์ภายใต้การแปลงพิกัดที่สามารถหาอนุพันธ์ได้โดยพลการ ซึ่งเป็นแนวคิดสำคัญใน ทฤษฎีสั ม พัทธภาพทั่วไป

ความไม่เปลี่ยนแปลง (Invariance) ถูกกำหนดทางคณิตศาสตร์โดยการแปลงที่ทำให้คุณสมบัติบางอย่าง (เช่น ปริมาณ) ไม่เปลี่ยนแปลง แนวคิดนี้สามารถนำไปใช้กับการสังเกตในโลกแห่งความเป็นจริงพื้นฐานได้ ตัวอย่างเช่นอุณหภูมิอาจสม่ำเสมอทั่วทั้งห้อง เนื่องจากอุณหภูมิไม่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของผู้สังเกตภายในห้อง เราจึงกล่าวว่าอุณหภูมิไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเปลี่ยนแปลงตำแหน่งของผู้สังเกตภายในห้อง

ในทำนองเดียวกัน ทรงกลมที่มีพื้นผิวสม่ำเสมอ เมื่อหมุนรอบจุดศูนย์กลาง จะปรากฏเหมือนเดิมทุกประการก่อนการหมุน ทรงกลมนั้นจึงมีสมมาตรทรงกลมการหมุนรอบแกน ใดๆ ของทรงกลมจะรักษารูปทรงของพื้นผิวไว้ได้เมื่อมองจากจุดใดๆ ก็ตาม

แนวคิดข้างต้นนำไปสู่แนวคิดที่มีประโยชน์เรื่องความไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อกล่าวถึงสมมาตรทางกายภาพที่สังเกตได้ ซึ่งสามารถนำไปใช้กับสมมาตรในแรงได้เช่นกัน

ตัวอย่างเช่น สนามไฟฟ้าที่เกิดจากลวดตัวนำที่มีประจุไฟฟ้าและมีความยาวอนันต์นั้น กล่าวได้ว่ามีสมมาตรทรงกระบอกเนื่องจากความแรงของสนามไฟฟ้าที่ระยะrจากลวดตัวนำจะมีขนาดเท่ากันทุกจุดบนพื้นผิวของทรงกระบอก (ซึ่งมีแกนเป็นลวดตัวนำ) ที่มีรัศมีrการหมุนลวดตัวนำรอบแกนของตัวเองจะไม่เปลี่ยนแปลงตำแหน่งหรือความหนาแน่นของประจุ ดังนั้นสนามไฟฟ้าจึงยังคงเดิม ความแรงของสนามไฟฟ้าที่ตำแหน่งที่หมุนไปนั้นยังคงเท่าเดิม อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้ไม่เป็นจริงโดยทั่วไปสำหรับระบบประจุใดๆ

ในทฤษฎีกลศาสตร์ของนิวตัน กำหนดให้มีวัตถุสองชิ้น แต่ละชิ้นมีมวล_m เริ่มต้นที่จุดกำเนิดและเคลื่อนที่ไปตาม แกน xในทิศทางตรงกันข้าม โดยชิ้นหนึ่งมีความเร็ว_v1 และอีกชิ้นหนึ่งมีความเร็วv2 พลังงานจลน์รวมของระบบ (คำนวณจากผู้สังเกตที่จุดกำเนิด) คือ⁠1/2m ( v ₁ ² + v ₂ ² )และยังคงเหมือนเดิมหากสลับความเร็ว พลังงานจลน์รวมยังคงเท่าเดิมภายใต้การสะท้อนในแกน y

ตัวอย่างสุดท้ายข้างต้นแสดงให้เห็นอีกวิธีหนึ่งในการแสดงสมมาตร นั่นคือผ่านสมการที่อธิบายลักษณะบางอย่างของระบบทางกายภาพ ตัวอย่างข้างต้นแสดงให้เห็นว่าพลังงานจลน์รวมจะเท่ากันหากสลับ v ₁และv ₂

โดยทั่วไปแล้ว สมมาตรสามารถแบ่งออกได้เป็นสมมาตรแบบทั่วโลกและสมมาตร แบบ เฉพาะที่สมมาตรแบบทั่วโลกคือสมมาตรที่รักษาสมบัติบางอย่างให้คงที่เมื่อมีการแปลงสมมาตรที่ใช้พร้อมกันในทุกจุดของปริภูมิเวลาในขณะที่สมมาตรแบบเฉพาะที่คือสมมาตรที่รักษาสมบัติบางอย่างให้คงที่เมื่อมีการแปลงสมมาตรที่อาจแตกต่างกันในแต่ละจุดของปริภูมิเวลาโดยเฉพาะอย่างยิ่ง การแปลงสมมาตรแบบเฉพาะที่นั้นถูกกำหนดพารามิเตอร์โดยพิกัดของปริภูมิเวลา ในขณะที่สมมาตรแบบทั่วโลกไม่ได้ถูกกำหนดพารามิเตอร์โดยพิกัด ซึ่งหมายความว่าสมมาตรแบบทั่วโลกก็เป็นสมมาตรแบบเฉพาะที่ด้วย สมมาตรแบบเฉพาะที่มีบทบาทสำคัญในฟิสิกส์ เนื่องจากเป็นพื้นฐานของทฤษฎีเกจ

ตัวอย่างสมมาตรแบบหมุนสองแบบที่กล่าวถึงข้างต้น – ทรงกลมและทรงกระบอก – ล้วนเป็นตัวอย่างของสมมาตรแบบต่อเนื่องซึ่งมีลักษณะเฉพาะคือความไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องในรูปทรงเรขาคณิตของระบบ เช่น ลวดอาจถูกหมุนไปในมุมใดๆ รอบแกนของมัน และความแรงของสนามจะยังคงเท่าเดิมบนทรงกระบอกที่กำหนด ในทางคณิตศาสตร์ สมมาตรแบบต่อเนื่องอธิบายได้ด้วยการแปลงที่เปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องตามฟังก์ชันของการกำหนดพารามิเตอร์ กลุ่มย่อยที่สำคัญของสมมาตรแบบต่อเนื่องในฟิสิกส์คือสมมาตรของปริภูมิเวลา

สมมาตรปริภูมิเวลาต่อเนื่องคือ สมมาตรที่เกี่ยวข้องกับการแปลงรูปของปริภูมิและเวลาซึ่งอาจจำแนกเพิ่มเติมได้เป็นสมมาตรเชิงพื้นที่ซึ่งเกี่ยวข้องเฉพาะเรขาคณิตเชิงพื้นที่ที่สัมพันธ์กับระบบทางกายภาพสมมาตรเชิงเวลาซึ่งเกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงเฉพาะเวลา หรือสมมาตรเชิงพื้นที่และเวลา ซึ่งเกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงทั้งในปริภูมิและเวลา

• การแปลงเวลา : ระบบทางกายภาพอาจมีคุณสมบัติเหมือนกันในช่วงเวลาหนึ่ง Δtซึ่งแสดงออกมาทางคณิตศาสตร์ได้เป็นความไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลง t → t + aสำหรับพารามิเตอร์จริง ใดๆ tและ t + aในช่วงเวลานั้น ตัวอย่างเช่น ในกลศาสตร์คลาสสิก อนุภาคที่ได้รับอิทธิพลจากแรงโน้มถ่วงเพียงอย่างเดียวจะมีพลังงานศักย์โน้มถ่วงmghเมื่อแขวนอยู่ที่ความสูง hเหนือพื้นผิวโลก สมมติว่าความสูงของอนุภาคไม่เปลี่ยนแปลง นี่จะเป็นพลังงานศักย์โน้มถ่วงรวมของอนุภาค ณ ทุกเวลา กล่าวอีกนัยหนึ่ง โดยการพิจารณาสถานะของอนุภาค ณ เวลา _t0 และ t0 + a_{พลังงานศักย์}โน้มถ่วงรวมของอนุภาคจะคงที่
• การเลื่อนตำแหน่งเชิงพื้นที่ : สมมาตรเชิงพื้นที่เหล่านี้แสดงด้วยการแปลงในรูปแบบ r → → r → + a →และอธิบายสถานการณ์ที่สมบัติของระบบไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อตำแหน่งเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง ตัวอย่างเช่น อุณหภูมิในห้องอาจไม่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของเทอร์โมมิเตอร์ในห้อง
• การหมุนเชิงพื้นที่ : สมมาตรเชิงพื้นที่เหล่านี้แบ่งออกเป็นการหมุนแบบสมบูรณ์และการหมุนแบบไม่สมบูรณ์ การหมุนแบบสมบูรณ์คือการหมุนแบบ 'ธรรมดา' ในทางคณิตศาสตร์ จะแสดงด้วยเมทริกซ์จัตุรัสที่มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ 1 ส่วนการหมุนแบบไม่สมบูรณ์จะแสดงด้วยเมทริกซ์จัตุรัสที่มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ -1 และประกอบด้วยการหมุนแบบสมบูรณ์รวมกับการสะท้อนเชิงพื้นที่ (การผกผัน ) ตัวอย่างเช่น ทรงกลมมีสมมาตรการหมุนแบบสมบูรณ์ สมมาตรการหมุนเชิงพื้นที่ประเภทอื่นๆ จะอธิบายไว้ในบทความเรื่องสมมาตรการหมุน
• การแปลงปวงกาเร : การแปลงเหล่านี้เป็นสมมาตรเชิงพื้นที่และเวลาที่รักษาระยะทางในปริภูมิเวลามิงโกวสกีกล่าวคือ เป็นไอโซเมตรีของปริภูมิมิงโกวสกี โดยส่วนใหญ่ศึกษาในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษส่วนไอโซเมตรีที่คงจุดกำเนิดไว้เรียกว่าการแปลงลอเรนซ์และก่อให้เกิดสมมาตรที่เรียกว่าความแปรผันร่วมลอเรนซ์
• สมมาตรเชิงฉาย : สมมาตรเหล่านี้เป็นสมมาตรเชิงพื้นที่และเวลาที่รักษา โครงสร้าง ทางธรณีของปริภูมิเวลาไว้สามารถกำหนดได้บนแมนิโฟลด์เรียบใดๆ ก็ได้ แต่มีการประยุกต์ใช้มากมายในการศึกษาหา คำตอบที่แน่นอนในทฤษฎีสั มพัทธภาพทั่วไป
• การแปลงผกผัน : การแปลงเหล่านี้เป็นสมมาตรเชิงพื้นที่และเวลา ซึ่งเป็นการขยายการแปลงปวงกาเรให้ครอบคลุมถึงการแปลงแบบคอนฟอร์มอลหนึ่งต่อหนึ่งอื่นๆ บนพิกัดเชิงพื้นที่และเวลา ความยาวจะไม่คงที่ภายใต้การแปลงผกผันแต่จะมีอัตราส่วนไขว้บนจุดสี่จุดที่ไม่เปลี่ยนแปลง

ในทางคณิตศาสตร์ สมมาตรของปริภูมิเวลาโดยทั่วไปจะอธิบายด้วยสนามเวกเตอร์เรียบ บนแมนิโฟลด์เรียบการแปลงเชิงอนุพันธ์เฉพาะที่ที่เกี่ยวข้องกับสนามเวกเตอร์นั้นสอดคล้องกับสมมาตรทางกายภาพโดยตรงมากกว่า แต่สนามเวกเตอร์เองมักถูกนำมาใช้มากกว่าเมื่อจำแนกสมมาตรของระบบทางกายภาพ

เวกเตอร์ฟิลด์ที่สำคัญที่สุดบางส่วนคือเวกเตอร์ฟิลด์คิลลิงซึ่งเป็นสมมาตรของปริภูมิเวลาที่รักษา โครงสร้าง เมตริก พื้นฐาน ของแมนิโฟลด์ ในแง่คร่าวๆ เวกเตอร์ฟิลด์คิลลิงจะรักษาระยะห่างระหว่างจุดสองจุดใดๆ บนแมนิโฟลด์ และมักเรียกกันว่าไอโซเมตรี

สมมาตรแบบไม่ต่อเนื่องคือ สมมาตรที่อธิบายการเปลี่ยนแปลงที่ไม่ต่อเนื่องในระบบ ตัวอย่างเช่น สี่เหลี่ยมจัตุรัสมีสมมาตรการหมุนแบบไม่ต่อเนื่อง เพราะการหมุนด้วยมุมฉากทวีคูณเท่านั้นที่จะรักษารูปทรงเดิมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสไว้ได้ สมมาตรแบบไม่ต่อเนื่องบางครั้งเกี่ยวข้องกับการ 'สลับ' บางประเภท ซึ่งการสลับเหล่านี้มักเรียกว่าการสะท้อนหรือการสลับเปลี่ยน

• การย้อนเวลา : กฎทางฟิสิกส์หลายข้ออธิบายปรากฏการณ์จริงเมื่อทิศทางของเวลาถูกย้อนกลับ ในทางคณิตศาสตร์ สิ่งนี้แสดงโดยการแปลงตัวอย่างเช่นกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตันยังคงใช้ได้หากในสมการถูกแทนที่ด้วยสิ่งนี้สามารถแสดงให้เห็นได้โดยการบันทึกการเคลื่อนที่ของวัตถุที่ถูกโยนขึ้นไปในแนวดิ่ง (โดยไม่คำนึงถึงแรงต้านอากาศ) แล้วเล่นซ้ำ วัตถุจะเคลื่อนที่ตาม วิถีโค้ง พาราโบลา เดียวกัน ในอากาศ ไม่ว่าการบันทึกจะถูกเล่นตามปกติหรือย้อนกลับ ดังนั้น ตำแหน่งจึงสมมาตรเมื่อเทียบกับช่วงเวลาที่วัตถุอยู่ที่ความสูงสูงสุด${\displaystyle t\,\rightarrow -t}$${\displaystyle F\,=m{\ddot {r}}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle -t}$
• การผกผันเชิงพื้นที่ : สิ่งเหล่านี้แสดงโดยการแปลงรูปแบบและบ่งชี้ถึงคุณสมบัติการไม่เปลี่ยนแปลงของระบบเมื่อพิกัดถูก 'กลับด้าน' กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ สิ่งเหล่านี้คือสมมาตรระหว่างวัตถุหนึ่งกับภาพสะท้อนในกระจก${\displaystyle {\vec {r}}\,\rightarrow -{\vec {r}}}$
• การสะท้อนแบบเลื่อน : การสะท้อนแบบนี้เกิดจากการรวมกันของการเลื่อนและการสะท้อน สมมาตรเหล่านี้เกิดขึ้นในผลึก บางชนิด และในสมมาตรระนาบบางประเภทที่เรียกว่าสมมาตรแบบวอลเปเปอร์

แบบจำลองมาตรฐานของฟิสิกส์อนุภาคมีสมมาตรใกล้เคียงตามธรรมชาติที่เกี่ยวข้องกันสามประการ ซึ่งระบุว่าจักรวาลที่เราอาศัยอยู่ควรจะแยกไม่ออกจากจักรวาลที่มีการเปลี่ยนแปลงบางอย่างเกิดขึ้น

• สมมาตรซี (สมมาตรประจุ) คือเอกภพที่อนุภาคทุกตัวถูกแทนที่ด้วยอนุภาคปฏิปักษ์ ของ มัน
• สมมาตรแบบ P (สมมาตรพาริตี) คือเอกภพที่ทุกสิ่งทุกอย่างสะท้อนกันตามแกนทางกายภาพทั้งสามแกน ซึ่งไม่รวมถึงอันตรกิริยาแบบอ่อน ดังที่แสดงให้เห็นโดยเฉียนซืองอู๋

• สมมาตรแบบที (สมมาตรการย้อนเวลา) คือจักรวาลที่ทิศทางของเวลากลับทิศทาง สมมาตรแบบทีนั้นขัดกับสามัญสำนึก (อนาคตและอดีตไม่สมมาตรกัน) แต่สามารถอธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าแบบจำลองมาตรฐานอธิบายคุณสมบัติเฉพาะที่ ไม่ใช่คุณสมบัติโดยรวม เช่นเอนโทรปีในการย้อนทิศทางของเวลาอย่างถูกต้อง จะต้องวางบิ๊กแบงและสถานะเอนโทรปีต่ำที่เกิดขึ้นใน "อนาคต" เนื่องจากเรามองว่า "อดีต" ("อนาคต") มีเอนโทรปีต่ำกว่า (สูงกว่า) ปัจจุบัน ผู้อยู่อาศัยในจักรวาลสมมติที่ย้อนเวลานี้จะรับรู้ถึงอนาคตในลักษณะเดียวกับที่เรามองเห็นอดีต และในทางกลับกัน

สมมาตรเหล่านี้เป็นสมมาตรใกล้เคียง เพราะแต่ละสมมาตรถูกทำลายไปแล้วในเอกภพปัจจุบัน อย่างไรก็ตาม แบบจำลองมาตรฐานทำนายว่า การรวมกันของทั้งสาม (นั่นคือ การประยุกต์ใช้การแปลงทั้งสามพร้อมกัน) จะต้องเป็นสมมาตร เรียกว่าสมมาตรCPT การละเมิดสมมาตร CPซึ่งเป็นการละเมิดการรวมกันของสมมาตร C และ P นั้น จำเป็นต่อการมีอยู่ของสสารแบริโอนจำนวน มาก ในเอกภพ การละเมิดสมมาตร CP เป็นหัวข้อการวิจัยที่น่าสนใจในฟิสิกส์อนุภาค ในปัจจุบัน

สมมาตรชนิดหนึ่งที่เรียกว่า ซูเปอร์สมมาตร (Supersymmetry) ถูกนำมาใช้เพื่อพยายามสร้างความก้าวหน้าทางทฤษฎีในแบบจำลองมาตรฐาน (Standard Model) ซูเปอร์สมมาตรนั้นตั้งอยู่บนแนวคิดที่ว่ามีสมมาตรทางกายภาพอีกแบบหนึ่งนอกเหนือจากสมมาตรที่มีอยู่แล้วในแบบจำลองมาตรฐาน โดยเฉพาะอย่างยิ่งสมมาตรระหว่างโบซอนและเฟอร์มิออน ซูเปอร์สมมาตรกล่าวว่า โบซอนแต่ละชนิดจะมีเฟอร์มิออนเป็นคู่สมมาตรแบบซูเปอร์สมมาตร เรียกว่า ซูเปอร์พาร์ทเนอร์ (Superpartner) และในทางกลับกัน ซูเปอร์สมมาตรยังไม่ได้รับการยืนยันจากการทดลอง: ยังไม่มีอนุภาคใดที่รู้จักที่มีคุณสมบัติที่ถูกต้องที่จะเป็นซูเปอร์พาร์ทเนอร์ของอนุภาคอื่นใดที่รู้จัก ปัจจุบัน LHC กำลังเตรียมการทดลองเพื่อทดสอบซูเปอร์สมมาตร

สมมาตรทั่วไปครอบคลุมแนวคิดเรื่องสมมาตรทั่วโลกที่ได้รับการยอมรับในวงกว้างเมื่อไม่นานมานี้ ซึ่งรวมถึงสมมาตรรูปแบบสูง สมมาตรกลุ่มสูง สมมาตรที่ไม่สามารถผกผันได้ และสมมาตรระบบย่อย^{[ 1 ]}

การแปลงที่อธิบายสมมาตรทางกายภาพโดยทั่วไปจะก่อตัวเป็นกลุ่ม ทาง คณิตศาสตร์ทฤษฎีกลุ่มเป็นสาขาสำคัญของคณิตศาสตร์สำหรับนักฟิสิกส์

สมมาตรต่อเนื่องถูกกำหนดทางคณิตศาสตร์โดยกลุ่มต่อเนื่อง (เรียกว่ากลุ่มลี ) สมมาตรทางฟิสิกส์หลายอย่างเป็นไอโซเมตรีและถูกกำหนดโดยกลุ่มสมมาตร บางครั้งคำนี้ใช้สำหรับสมมาตรประเภททั่วไปมากขึ้น เซตของการหมุนที่เหมาะสมทั้งหมด (รอบมุมใดๆ) ผ่านแกนใดๆ ของทรงกลมก่อให้เกิดกลุ่มลีที่เรียกว่ากลุ่มตั้งฉากพิเศษ SO(3) ('3' หมายถึงปริภูมิสามมิติของทรงกลมธรรมดา) ดังนั้น กลุ่มสมมาตรของทรงกลมที่มีการหมุนที่เหมาะสมคือ SO(3) การหมุนใดๆ จะรักษาระยะทางบนพื้นผิวของลูกบอล เซตของการแปลงลอเรนซ์ทั้งหมดก่อให้เกิดกลุ่มที่เรียกว่ากลุ่มลอเรนซ์ (ซึ่งอาจขยายความเป็นกลุ่มปวงกาเรได้ )

กลุ่มแบบไม่ต่อเนื่องอธิบาย ถึง สมมาตรแบบไม่ต่อเนื่อง ตัวอย่างเช่น สมมาตรของสามเหลี่ยมด้านเท่ามีลักษณะเฉพาะด้วยกลุ่มสมมาตร S ₃

ทฤษฎีฟิสิกส์ประเภทหนึ่งที่อิงตาม สมมาตร เฉพาะที่เรียกว่าทฤษฎีเกจและสมมาตรที่เป็นธรรมชาติของทฤษฎีดังกล่าวเรียกว่าสมมาตรเกจสมมาตรเกจในแบบจำลองมาตรฐานซึ่งใช้ในการอธิบายปฏิสัมพันธ์พื้นฐาน สามอย่างนั้น อิงตาม กลุ่ม SU(3) × SU(2) × U(1) (โดยคร่าวๆ แล้ว สมมาตรของกลุ่ม SU(3) อธิบายแรงนิวเคลียร์แบบแรงกลุ่ม SU(2) อธิบายปฏิสัมพันธ์แบบอ่อนและกลุ่ม U(1) อธิบายแรงแม่เหล็กไฟฟ้า )

นอกจากนี้ การลดลงของฟังก์ชันพลังงานภายใต้การกระทำของกลุ่มโดยสมมาตร และการแตกสมมาตรโดยธรรมชาติของการแปลงกลุ่มสมมาตร ดูเหมือนจะช่วยอธิบายหัวข้อต่างๆ ในฟิสิกส์อนุภาค ได้ (ตัวอย่างเช่นการรวมกันของแม่เหล็กไฟฟ้าและแรงอ่อนในจักรวาลวิทยาเชิงฟิสิกส์ )

คุณสมบัติสมมาตรของระบบทางกายภาพมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับกฎการอนุรักษ์ที่บ่งบอกลักษณะของระบบนั้นทฤษฎีบทของโนเธอร์ให้คำอธิบายที่แม่นยำเกี่ยวกับความสัมพันธ์นี้ ทฤษฎีบทกล่าวว่าสมมาตรต่อเนื่องแต่ละอย่างของระบบทางกายภาพบ่งชี้ว่าคุณสมบัติทางกายภาพบางอย่างของระบบนั้นได้รับการอนุรักษ์ ในทางกลับกัน ปริมาณที่ได้รับการอนุรักษ์แต่ละอย่างก็มีสมมาตรที่สอดคล้องกัน ตัวอย่างเช่น สมมาตรการเลื่อนในอวกาศ (เช่น ความเป็นเอกรูปของอวกาศ) ก่อให้เกิดการอนุรักษ์โมเมนตัม (เชิงเส้น)และสมมาตรการเลื่อนในเชิงเวลา (เช่น ความเป็นเอกรูปของเวลา) ก่อให้เกิด การ อนุรักษ์ พลังงาน

ตารางต่อไปนี้สรุปสมมาตรพื้นฐานบางประการและปริมาณอนุรักษ์ที่เกี่ยวข้อง

สมมาตรต่อเนื่องในฟิสิกส์จะรักษาการแปลงไว้ เราสามารถระบุสมมาตรได้โดยการแสดงให้เห็นว่าการแปลงขนาดเล็กมากส่งผลต่อสนาม อนุภาคต่างๆ อย่างไร ตัวสลับของการแปลงขนาดเล็กมากสองครั้งนี้เทียบเท่ากับการแปลงขนาดเล็กมากครั้งที่สามชนิดเดียวกัน ดังนั้นจึงก่อให้เกิดพีชคณิตลี (Lie algebra )

การแปลงพิกัดทั่วไปที่เรียกว่าฟิลด์ทั่วไป(หรือที่เรียกว่าดิฟฟีโอเมอร์ฟิซึม ) มีผลเล็กน้อยต่อ ฟิลด์ สเกลาร์สปินเนอร์หรือเวกเตอร์ซึ่งสามารถแสดงได้ (โดยใช้หลักการรวมผลของไอน์สไตน์ ): ${\displaystyle h(x)}$${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle \psi (x)}$${\displaystyle A(x)}$

${\displaystyle \delta \phi (x)=h^{\mu }(x)\partial _{\mu }\phi (x)}$

${\displaystyle \delta \psi ^{\alpha }(x)=h^{\mu }(x)\partial _{\mu }\psi ^{\alpha }(x)+\partial _{\mu }h_{\nu }(x)\sigma _{\mu \nu }^{\alpha \beta }\psi ^{\beta }(x)}$

${\displaystyle \delta A_{\mu }(x)=h^{\nu }(x)\partial _{\nu }A_{\mu }(x)+A_{\nu }(x)\partial _{\mu }h^{\nu }(x)}$

หากปราศจากแรงโน้มถ่วง จะคงไว้เพียงสมมาตรของปวงกาเร ซึ่งจำกัดให้อยู่ในรูปแบบดังนี้: ${\displaystyle h(x)}$

${\displaystyle h^{\mu }(x)=M^{\mu \nu }x_{\nu }+P^{\mu }}$

โดยที่Mคือเมทริก ซ์ปฏิสมมาตร (ซึ่งให้สมมาตรลอเรนซ์และสมมาตรการหมุน) และPคือเวกเตอร์ทั่วไป (ซึ่งให้สมมาตรการเลื่อน) สมมาตรอื่นๆ ส่งผลต่อหลายฟิลด์พร้อมกัน ตัวอย่างเช่น การแปลงเกจเฉพาะที่ใช้ได้กับทั้งฟิลด์เวกเตอร์และฟิลด์สปินเนอร์:

${\displaystyle \delta \psi ^{\alpha }(x)=\lambda (x).\tau ^{\alpha \beta }\psi ^{\beta }(x)}$

${\displaystyle \delta A_{\mu }(x)=\partial _{\mu }\lambda (x),}$

ตัวสร้างของกลุ่ม Lie เฉพาะกลุ่มนั้นอยู่ ที่ไหนจนถึงตอนนี้ การแปลงทางด้านขวาได้รวมเฉพาะฟิลด์ประเภทเดียวกันเท่านั้น สมมาตรยิ่งยวดถูกกำหนดตามวิธีการผสมฟิลด์ประเภท ต่างๆ${\displaystyle \tau }$

สมมาตรอีกประการหนึ่งซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีฟิสิกส์บางทฤษฎีแต่ไม่ใช่ทุกทฤษฎี คือ สมมาตรการไม่เปลี่ยนแปลงตามมาตราส่วน ซึ่งเกี่ยวข้องกับการแปลงเวล์ (Weyl transformations) ในรูปแบบต่อไปนี้:

${\displaystyle \delta \phi (x)=\Omega (x)\phi (x)}$

ถ้าฟิลด์มีสมมาตรนี้ ก็สามารถแสดงได้ว่าทฤษฎีฟิลด์นั้นเกือบจะแน่นอนว่าเป็นสมมาตรแบบคอนฟอร์มัลด้วย ซึ่งหมายความว่าในกรณีที่ไม่มีแรงโน้มถ่วง h(x) จะถูกจำกัดให้อยู่ในรูปแบบ:

${\displaystyle h^{\mu }(x)=M^{\mu \nu }x_{\nu }+P^{\mu }+Dx_{\mu }+K^{\mu }|x|^{2}-2K^{\nu }x_{\nu }x_{\mu },}$

โดยที่Dสร้างการแปลงสเกล และKสร้างการแปลงคอนฟอร์มอลพิเศษ ตัวอย่างเช่นทฤษฎีหยาง-มิลส์แบบซูเปอร์สมมาตร N = 4มีสมมาตรนี้ ในขณะที่ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปไม่มี แม้ว่าทฤษฎีแรงโน้มถ่วงอื่นๆ เช่นแรงโน้มถ่วงคอนฟอร์มอลจะมีก็ตาม 'การกระทำ' ของทฤษฎีสนามเป็นค่าคงที่ภายใต้สมมาตรทั้งหมดของทฤษฎีนั้น ฟิสิกส์เชิงทฤษฎีสมัยใหม่ส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับการคาดเดาเกี่ยวกับสมมาตรต่างๆ ที่เอกภพอาจมี และการค้นหาค่าคงที่เพื่อสร้างทฤษฎีสนามเป็นแบบจำลอง

ในทฤษฎีสตริง เนื่องจากสตริงสามารถแยกออกเป็นสนามอนุภาคจำนวนอนันต์ได้ สมมาตรบนระนาบโลกของสตริงจึงเทียบเท่ากับการแปลงพิเศษที่ผสมผสานสนามจำนวนอนันต์เข้าด้วยกัน

• หนังสือ The Feynman Lectures on Physics เล่มที่ 1 บทที่ 52: สมมาตรในกฎทางฟิสิกส์
• สารานุกรมปรัชญาแห่งมหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ด : " สมมาตร " — โดยเค. แบรดิงและ อี. คาสเตลลานี
• สื่อการสอนเกี่ยวกับทฤษฎีสนามควอนตัมคลิกที่ลิงก์ไปยังบทที่ 6: สมมาตร ความไม่เปลี่ยนแปลง และการอนุรักษ์ เพื่อเรียนรู้เกี่ยวกับสมมาตรในฟิสิกส์แบบง่ายๆ ทีละขั้นตอน