ในทางคณิตศาสตร์การลู่เข้าแบบปกติ (normal convergence)เป็นรูปแบบหนึ่งของการลู่เข้าสำหรับอนุกรมของฟังก์ชันเช่นเดียวกับ การลู่ เข้าแบบสัมบูรณ์ (absolute convergence ) มันมีคุณสมบัติที่เป็นประโยชน์คือ การลู่เข้าแบบปกติจะยังคงอยู่เมื่อลำดับของการบวกเปลี่ยนไป

แนวคิดเรื่องการบรรจบกันแบบปกติได้รับการแนะนำครั้งแรกโดยเรอเน แบร์ในปี 1908 ในหนังสือของเขาLeçons sur les théories générales de l' analyse

กำหนดให้เซตSและฟังก์ชัน(หรือสำหรับปริภูมิเวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐาน ใดๆ ) อนุกรม ${\displaystyle f_{n}:S\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)}$

เรียกว่าลู่เข้าตามปกติหากอนุกรมของบรรทัดฐานสม่ำเสมอของพจน์ของอนุกรมลู่เข้า^{[ 1 ]} กล่าว คือ

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\|f_{n}\|:=\sum _{n=0}^{\infty }\sup _{x\in S}|f_{n}(x)|<\infty .}$

การลู่เข้าแบบปกติหมายถึงการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์สม่ำเสมอ กล่าวคือ การลู่เข้าแบบสม่ำเสมอของอนุกรมของฟังก์ชันที่ไม่เป็นลบข้อเท็จจริงนี้โดยพื้นฐานแล้วคือการทดสอบ M ของไวเออร์สตรัสอย่างไรก็ตาม ไม่ควรสับสนระหว่างสองสิ่งนี้ เพื่อให้เห็นภาพชัดเจน ลองพิจารณา ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|f_{n}(x)|}$

${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}1/n,&x=n,\\0,&x\neq n.\end{cases}}}$

ดังนั้นอนุกรมจึงลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอ (สำหรับε ใดๆ ให้เลือกn ≥ 1/ ε ) แต่อนุกรมของบรรทัดฐานสม่ำเสมอคืออนุกรมฮาร์มอนิกและจึงลู่เข้า ตัวอย่างที่ใช้ฟังก์ชันต่อเนื่องสามารถสร้างได้โดยการแทนที่ฟังก์ชันเหล่านี้ด้วยฟังก์ชันนูนที่มีความสูง 1/ nและความกว้าง 1 โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จำนวนธรรมชาติ  n แต่ละ ตัว ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|f_{n}(x)|}$

นอกจากนี้ การลู่เข้าแบบปกติของอนุกรมยังแตกต่างจากการลู่เข้าแบบนอร์ม-โทโพโลยีกล่าวคือ การลู่เข้าของลำดับผลรวมย่อยในโทโพโลยีที่เกิดจากนอร์มเอกรูป การลู่เข้าแบบปกติบ่งบอกถึงการลู่เข้าแบบนอร์ม-โทโพโลยีก็ต่อเมื่อปริภูมิของฟังก์ชันที่พิจารณานั้นสมบูรณ์เมื่อเทียบกับนอร์มเอกรูป (ข้อความกลับกันไม่เป็นจริงแม้แต่กับปริภูมิฟังก์ชันที่สมบูรณ์ เช่น พิจารณาอนุกรมฮาร์มอนิกเป็นลำดับของฟังก์ชันคงที่)

อนุกรมหนึ่งๆ จะเรียกว่า "ลู่เข้าปกติเฉพาะที่บนX " ได้ก็ต่อเมื่อแต่ละจุดxในXมีบริเวณใกล้เคียงUที่ทำให้อนุกรมของฟังก์ชันƒ ที่จำกัดอยู่ในโดเมนU เป็นไปตามเงื่อนไข

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}\mid _{U}}$

โดยปกติแล้วจะลู่เข้า กล่าวคือ เป็นเช่นนั้น

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\|f_{n}\|_{U}<\infty }$

โดย ที่ ค่ามาตรฐานคือค่าสูงสุดเหนือโดเมน  U${\displaystyle \|\cdot \|_{U}}$

อนุกรมหนึ่งจะเรียกว่า "ลู่เข้าปกติบนเซตย่อยกระชับของX " หรือ "ลู่เข้าปกติแบบกระชับบนX " ถ้าสำหรับทุกเซตย่อยกระชับKของXอนุกรมของฟังก์ชันƒ ที่จำกัดอยู่บนK

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}\mid _{K}}$

โดย ปกติแล้วจะลู่เข้าสู่  K

หมายเหตุ : ถ้าXเป็นเซตกระชับเฉพาะที่ (แม้ในความหมายที่อ่อนที่สุด) การลู่เข้าปกติเฉพาะที่และการลู่เข้าปกติกระชับจะเทียบเท่ากัน

• อนุกรมลู่เข้าปกติทุกชุดจะลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอ ลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอเฉพาะที่ และลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอแบบกระชับ นี่เป็นสิ่งสำคัญมาก เพราะรับประกันได้ว่าการเรียงลำดับอนุกรมใหม่ การหาอนุพันธ์หรือปริพันธ์ของอนุกรม และผลรวมและผลคูณกับอนุกรมลู่เข้าอื่นๆ จะลู่เข้าสู่ค่าที่ "ถูกต้อง"
• ถ้าลู่เข้าปกติไปยัง แล้วการจัดเรียงลำดับใหม่ใดๆ ของลำดับ( ƒ , ƒ , ƒ ...) ก็จะลู่เข้าปกติไปยัง ƒเดียวกันด้วยนั่นคือ สำหรับทุกฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงจะลู่เข้าปกติไปยัง${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \tau :\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{\tau (n)}(x)}$${\displaystyle f}$

• รูปแบบการบรรจบกัน (ดัชนีพร้อมคำอธิบาย)