ในทางคณิตศาสตร์เมื่อกำหนดปริภูมิเวกเตอร์X ที่มี รูปแบบกำลังสองqที่เกี่ยวข้องซึ่งเขียนว่า ( X , q )เวกเตอร์ศูนย์หรือเวกเตอร์ไอโซโทรปิกคือองค์ประกอบx ที่ไม่เป็นศูนย์ ของXซึ่งq ( x ) = 0

ในทฤษฎีของรูปแบบทวิเชิงเส้นจริงรูปแบบกำลังสองที่แน่นอนและรูปแบบกำลังสองแบบไอโซโทรปิกนั้นแตกต่างกัน โดยความแตกต่างอยู่ที่ว่าเฉพาะรูปแบบกำลังสองแบบไอโซโทรปิกเท่านั้นที่มีเวกเตอร์ศูนย์ที่ไม่เป็นศูนย์

ปริภูมิกำลังสอง( X , q )ที่มีเวกเตอร์ศูนย์เรียกว่าปริภูมิยูคลิดเทียมคำว่าเวกเตอร์ไอโซโทรปิก vเมื่อq ( v ) = 0 ถูกใช้ในปริภูมิกำลังสอง^{[ 1 ]}และปริภูมิแอนไอโซโทรปิกสำหรับปริภูมิกำลังสองที่ไม่มีเวกเตอร์ศูนย์

ปริภูมิเวกเตอร์แบบซูโด-ยูคลิดสามารถแยกออก (อย่างไม่ซ้ำกัน) เป็นปริภูมิย่อยเชิงตั้งฉากAและB ได้ โดยที่X = A + Bโดยที่qเป็นเมทริกซ์บวกแน่นอนบนAและเป็นเมทริกซ์ลบแน่นอนบนBกรวยศูนย์หรือกรวยไอโซโทรปิกของXประกอบด้วยการรวมกันของทรงกลมสมดุล: $${\displaystyle \bigcup _{r\geq 0}\{x=a+b:q(a)=-q(b)=r,\ \ a\in A,b\in B\}.}$$ กรวยศูนย์ (null cone) คือการรวมกันของเส้นไอโซโทรปิกที่ผ่านจุดกำเนิด

พีชคณิตการประกอบที่มีเวกเตอร์ศูนย์คือพีชคณิตแยกส่วน^{[ 2 ]}

ในพีชคณิตการประกอบ ( A , +, ×, *) รูปแบบกำลังสองคือ q( x ) = xx * เมื่อxเป็นเวกเตอร์ศูนย์ จะไม่มีตัวผกผันการคูณสำหรับxและเนื่องจากx ≠ 0 ดังนั้นAจึงไม่ใช่พีชคณิตการหาร

ในการสร้างแบบเคย์ลีย์-ดิกสันพีชคณิตแบบแยกส่วนเกิดขึ้นในอนุกรมของจำนวนไบคอมเพล็กซ์ไบควอเทอร์เนียนและไบอ็อกโทเนียนซึ่งใช้ฟิลด์จำนวนเชิงซ้อน${\displaystyle \mathbb {C} }$เป็นพื้นฐานของการสร้างการคูณสองเท่านี้ ซึ่งคิดค้นโดยLE Dickson (1919) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พีชคณิตเหล่านี้มีหน่วยจินตนาการ สองหน่วย ซึ่งสลับกันได้ ดังนั้นเมื่อยกกำลังสอง ผลคูณของหน่วยเหล่านี้จึงได้ +1:

${\displaystyle (hi)^{2}=h^{2}i^{2}=(-1)(-1)=+1.}$แล้ว

${\displaystyle (1+สวัสดี)(1+สวัสดี)^{*}=(1+สวัสดี)(1-สวัสดี)=1-(สวัสดี)^{2}=0}$ดังนั้น 1 + hi จึงเป็นเวกเตอร์ว่าง

พีชคณิตย่อยที่แท้จริง ได้แก่จำนวนเชิงซ้อนแบบแยกส่วนค วอ เทอร์เนียนแบบแยกส่วนและอ็อกโทเนียนแบบแยกส่วนซึ่งมีกรวยว่างที่แสดงถึงการติดตามแสงเข้าและออกจาก 0 ∈ Aบ่งชี้ถึง โทโพโล ยี ของ ปริภูมิเวลา

เวก เตอร์ คล้ายแสงในปริภูมิ Minkowskiคือเวกเตอร์ศูนย์

ไบควอเทอร์เนียนอิสระเชิงเส้นสี่ตัวl = 1 + hi , n = 1 + hj , m = 1 + hkและm ^∗ = 1 – hkเป็นเวกเตอร์ศูนย์ และ{ l , n , m , m ^∗ }สามารถใช้เป็นฐานสำหรับปริภูมิย่อยที่ใช้ในการแสดงปริภูมิเวลาเวกเตอร์ศูนย์ยังถูกใช้ใน แนวทาง รูปแบบ Newman–Penroseสำหรับปริภูมิเวลาแมนิโฟลด์^{[ 3 ]}

ในโมดูลเวอร์มาของพีชคณิตลีจะมีเวกเตอร์ศูนย์อยู่