ในพีชคณิตนามธรรมสปลิตควอเทอร์เนียน หรือโคควอเทอร์เนียนเป็นโครงสร้างทางพีชคณิต ที่ เจมส์ ค็อกเคิลนำเสนอในปี ค.ศ. 1849 โดยใช้ชื่อดังกล่าว พวกมันก่อให้เกิดพีชคณิตแบบสมาคมที่มีมิติสี่เหนือจำนวนจริง

หลังจากมีการนำเสนอนิยามของ วงแหวนและพีชคณิตแบบไม่ขึ้นกับพิกัดในศตวรรษที่ 20 ก็ได้มีการพิสูจน์ว่าพีชคณิตของสปลิตควอเทอร์เนียนนั้นสมมูลกับวงแหวนของเมทริกซ์จริง2×2 ดังนั้นการศึกษาสปลิตควอเทอร์เนียนจึงสามารถลดทอนลงเหลือเพียงการศึกษาเมทริกซ์จริง และนี่อาจเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงมีการกล่าวถึงสปลิตควอเทอร์เนียนน้อยมากในวรรณกรรมทางคณิตศาสตร์ของศตวรรษที่ 20 และ 21 สปลิตควอเทอร์เนียนยังเทียบเท่ากับพีชคณิตคลิฟฟอร์ดCl ( R ) ≅ Cl ( R )บนจำนวนจริง ดังนั้นการศึกษาสปลิตควอเทอร์เนียนจึงรวมอยู่ในการศึกษาพีชคณิตคลิฟฟอร์ดและพีชคณิตเชิงเรขาคณิตในวรรณกรรม ทางคณิตศาสตร์และ ฟิสิกส์ ด้วย

สปลิตควอเทอร์เนียนคือการรวมเชิงเส้น (ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง) ขององค์ประกอบพื้นฐานสี่ตัว1, i, j, kที่สอดคล้องกับกฎการคูณต่อไปนี้:

i ² = −1 ,

j ² = 1 ,

k ² = 1 ,

ij = k = −ji .

โดยหลักการของความสัมพันธ์แบบสมาคมความสัมพันธ์เหล่านี้หมายความว่า

jk = −i = −kj ,

ki = j = −ik ,

และijk = 1ด้วย เช่นกัน

ดังนั้น สปลิตควอเทอร์เนียนจึงก่อให้เกิดปริภูมิเวกเตอร์จริงที่มีมิติสี่ โดยมี{1, i, j, k}เป็นฐานนอกจากนี้ยังก่อให้เกิดวงแหวนไม่สลับที่ได้ ด้วย โดยการขยายกฎผลคูณข้างต้นโดยใช้คุณสมบัติการกระจายไปยังสปลิตควอเทอร์เนียนทั้งหมด

เมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัส

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {1}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\qquad &{\boldsymbol {i}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},\\{\boldsymbol {j}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\qquad &{\boldsymbol {k}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

เป็นไปตามตารางการคูณเดียวกันกับควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนที่สอดคล้องกัน เนื่องจากเมทริกซ์เหล่านี้เป็นฐานของเมทริกซ์สองคูณสองฟังก์ชัน เชิงเส้นที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งแมป1, i, j, kไปยัง${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {1}},{\boldสัญลักษณ์ {i}},{\boldสัญลักษณ์ {j}},{\boldสัญลักษณ์ {k}}}$(ตามลำดับ) เหนี่ยวนำให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึมของพีชคณิตจากควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนไปยังเมทริกซ์จริงขนาดสองคูณสอง

กฎการคูณข้างต้นบ่งชี้ว่าองค์ประกอบทั้งแปด1, i, j, k, −1, −i, −j, −kก่อตัวเป็นกลุ่มภายใต้การคูณนี้ ซึ่งสมมาตรกับกลุ่มไดเฮดรัล D ซึ่ง เป็น กลุ่มสมมาตรของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

เพื่อให้เห็นภาพนี้ ลองพิจารณาสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีจุดยอดเป็นจุดซึ่ง${\displaystyle x{\text{,}}\,y}$พิกัดจะเป็น-1หรือ+1เพื่อให้จุดยอด${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ระบุไว้ตามเข็มนาฬิกาจากมุมอะซิมุธ +45° คือ$${\displaystyle {\bigg \{}\mathbf {x} _{1}={\begin{pmatrix}+1\\+1\end{pmatrix}}{\text{,}}\;\mathbf {x} _{2}={\begin{pmatrix}+1\\-1\end{pmatrix}}{\text{,}}\;\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}}{\text{,}}\;\mathbf {x} _{4}={\begin{pmatrix}-1\\+1\end{pmatrix}}{\bigg \}}}$$ เมทริกซ์${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {i}}}$มีตัวกำหนด${\displaystyle +1}$และทำให้เกิดการหมุนตามเข็มนาฬิกาหนึ่งในสี่รอบ เนื่องจาก${\displaystyle \mathbf {x} _{2}=\mathbf {i} \,\mathbf {x} _{1}{\text{,}}\;\mathbf {x} _{3}=\mathbf {i} \,\mathbf {x} _{2}{\text{,}}\;\mathbf {x} _{4}=\mathbf {i} \,\mathbf {x} _{3}{\text{,}}\;\mathbf {x} _{1}=\mathbf {i} \,\mathbf {x} _{4}}$เมทริกซ์${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {j}}}$มีค่าดีเทอร์มิแนนต์ -1 และเป็นการสะท้อนเกี่ยวกับเส้นทแยงมุมแรก โดยจะตรึงจุดยอดไว้${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$และ${\displaystyle \mathbf {x} _{3}}$และสะท้อนจุดยอด${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$และ${\displaystyle \mathbf {x} _{4}}$เข้าหากัน เมทริกซ์${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {k}}}$เป็นการสะท้อนเกี่ยวกับ แกน xมันเป็นเช่นนั้น${\displaystyle \mathbf {x} _{1}\leftrightarrow \mathbf {x} _{2}}$และ${\displaystyle \mathbf {x} _{3}\leftrightarrow \mathbf {x} _{4}}$เมทริกซ์ลบของเมทริกซ์เอกลักษณ์คือเมทริกซ์กำลังสอง${\displaystyle \mathbf {i} }$มีตัวกำหนด${\displaystyle +1}$และหมุนสี่เหลี่ยมจัตุรัส 180° รอบจุดกำเนิด มันทำเช่นนั้น${\displaystyle \mathbf {x} _{1}\leftrightarrow \mathbf {x} _{3}}$และ${\displaystyle \mathbf {x} _{2}\leftrightarrow \mathbf {x} _{4}}$.

เช่นเดียวกับควอเทอร์เนียน ที่ แฮมิลตันแนะนำในปี 1843 ควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนนี้เป็นพีชคณิตเชิงสัมพันธ์จริงสี่มิติ แต่เช่นเดียวกับพีชคณิตจริงของเมทริกซ์ 2×2 – และแตกต่างจากพีชคณิตจริงของควอเทอร์เนียน – ควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนประกอบด้วยตัวหารศูนย์ที่ไม่ใช่ตัวหารศูนย์ธรรมดา สมาชิกที่เป็นนิลโพเทนต์ และสมาชิกที่เป็นเอกฐาน (ตัวอย่างเช่น 1/2 ( 1 + j )เป็นตัวหารศูนย์ที่เป็นเอกฐานและi − jเป็นนิลโพเทนต์) ในฐานะพีชคณิตเหนือจำนวนจริงพีชคณิตของควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนจึงสม isomorphicกับพีชคณิตของเมทริกซ์ 2×2 ตามความสม isomorphic ที่กำหนดไว้ข้างต้น

ไอโซมอร์ฟิซึมนี้ทำให้สามารถระบุควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนแต่ละตัวด้วยเมทริกซ์ 2×2 ได้ ดังนั้นคุณสมบัติทุกอย่างของควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนจึงสอดคล้องกับคุณสมบัติที่คล้ายกันของเมทริกซ์ ซึ่งมักจะมีชื่อเรียกที่แตกต่างกัน

คอนจูเกตของสปลิตควอเทอร์เนียน q = w + x i + y j + z kคือq ^∗ = w − x i − y j − z kในแง่ของเมทริกซ์ คอนจูเกตคือเมทริกซ์โคแฟกเตอร์ที่ได้จากการสลับตำแหน่งของสมาชิกในแนวทแยงมุมและเปลี่ยนเครื่องหมายของสมาชิกอีกสองตัว

ผลคูณของสปลิตควอเทอร์เนียนกับคอนจูเกตของมันคือฟอร์มกำลังสองแบบไอโซโทรปิก :

${\displaystyle N(q)=qq^{*}=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2},}$

ซึ่งเรียกว่าค่ามาตรฐานของควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วน หรือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้อง

ส่วนจริงของสปลิตควอเทอร์เนียนq = w + x i + y j + z kคือw = ( q ^∗ + q )/2ซึ่งเท่ากับร่องรอยของเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้อง

ค่ามาตรฐานของผลคูณของควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนสองตัว คือ ผลคูณของค่ามาตรฐานของทั้งสองตัวนั้น ในทำนองเดียวกัน ดีเทอร์มิแนนต์ของผลคูณของเมทริกซ์ คือ ผลคูณของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เหล่านั้น คุณสมบัตินี้หมายความว่าควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนก่อให้เกิดพีชคณิตการประกอบเนื่องจากมีควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งมีค่ามาตรฐานเป็นศูนย์ ดังนั้นควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนจึงก่อให้เกิด "พีชคณิตการประกอบแบบแยกส่วน" – จึงเป็นที่มาของชื่อนี้

ควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนที่มีนอร์มไม่เป็นศูนย์จะมีตัวผกผันแบบคูณนั่นคือq ^∗ / N ( q )ในแง่ของเมทริกซ์ นี่เทียบเท่ากับกฎของเครเมอร์ที่กล่าวว่าเมทริกซ์จะผกผันได้ก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นั้นไม่เป็นศูนย์ และในกรณีนี้ ตัวผกผันของเมทริกซ์คือผลหารของเมทริกซ์ คู่ ควบกับดีเทอร์ มิแนนต์ เมทริกซ์คู่ควบคือเมทริกซ์สลับตำแหน่งของเมทริกซ์โคแฟกเตอร์และเรียกอีกอย่างว่าเมทริกซ์แอดจอยต์หรือเมทริกซ์แอดจังก์ต์

ความสมมาตรระหว่างสปลิตควอเทอร์เนียนและเมทริกซ์จริง 2×2 แสดงให้เห็นว่ากลุ่มการคูณของสปลิตควอเทอร์เนียนที่มีนอร์มไม่เป็นศูนย์นั้นสมมาตรกับ${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {R} ),}$และกลุ่มของควอเทอร์เนียนแยกส่วนที่มีบรรทัดฐาน1 นั้นเป็นไอโซมอร์ฟิกกับ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} ).}$

ในทางเรขาคณิต สปลิตควอเทอร์เนียนสามารถเปรียบเทียบได้กับควอเทอร์เนียนของแฮมิลตันในฐานะกลุ่มของระนาบในทั้งสองกรณี จำนวนจริงจะก่อตัวเป็นแกนของกลุ่มระนาบ ในควอเทอร์เนียนของแฮมิลตันจะมีทรงกลมของหน่วยจินตนาการ และหน่วยจินตนาการตรงข้ามกันสองคู่ใดๆ จะสร้างระนาบเชิงซ้อนที่มีเส้นจำนวนจริง สำหรับสปลิตควอเทอร์เนียนจะมีไฮเปอร์โบโลอิดของหน่วยไฮเปอร์โบลิกและหน่วยจินตนาการที่สร้างระนาบเชิงซ้อนแบบสปลิตหรือระนาบเชิงซ้อนธรรมดา ดังที่อธิบายไว้ด้านล่างในหัวข้อ§ การแบ่งชั้น

มีการแสดงแทนควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนในรูปของ พีชคณิตย่อย แบบเชื่อมโยงที่มีเอกลักษณ์ของ เมทริกซ์ 2×2ที่มี สมาชิก เป็นจำนวนเชิงซ้อนการแสดงแทนนี้สามารถกำหนดได้โดยโฮโมมอร์ฟิซึมของพีชคณิตที่แมปควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนw + x i + y j + z kไปยังเมทริกซ์

${\displaystyle {\begin{pmatrix}w+xi&y+zi\\y-zi&w-xi\end{pmatrix}}}.}$

ในที่นี้i ( ตัวเอียง ) คือหน่วยจินตนาการซึ่งไม่ควรสับสนกับองค์ประกอบพื้นฐานของควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนi ( ตัวโรมันปกติ )

ภาพของโฮโมมอร์ฟิซึมนี้คือวงแหวนเมทริกซ์ที่เกิดจากเมทริกซ์ในรูปแบบ

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}},}$

โดยที่ตัวยก${\displaystyle ^{*}}$หมายถึงคู่ควบเชิงซ้อน

โฮโมมอร์ฟิซึมนี้จะแมปควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนi, j, kไปยังเมทริกซ์ ตามลำดับ

${\displaystyle {\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}0&i\\-i&0\end{pmatrix}}.}$

การเปรียบเทียบความเหมือนกันของพีชคณิตจะเสร็จสมบูรณ์โดยใช้การคูณเมทริกซ์เพื่อตรวจสอบเอกลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับ i, j และ k ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle jk={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&i\\-i&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-i&0\\0&i\end{pmatrix}}=-i.}$

ดังนั้น สำหรับควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนที่แสดงในรูปเมทริกซ์เชิงซ้อน ค่าสังยุคคือเมทริกซ์ของโคแฟกเตอร์ และค่าบรรทัดฐานคือดีเทอร์มิแนนต์

ด้วยการแสดงควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนเป็นเมทริกซ์เชิงซ้อน เมทริกซ์ของดีเทอร์มิแนนต์1จะสร้างกลุ่มเอกภาพพิเศษSU(1,1)ซึ่งใช้ในการอธิบาย การเคลื่อนที่แบบไฮเปอร์โบลิกของแบบจำลองดิสก์ปวงกาเร ในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก^{[ 1 ]}

ควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนอาจถูกสร้างขึ้นโดยการสร้าง Cayley–Dickson ที่ดัดแปลง^{[ 2 ]}คล้ายกับวิธีการของLE DicksonและAdrian AlbertสำหรับพีชคณิตการหารC , HและOกฎการคูณ $${\displaystyle (a,b)(c,d)\ =\ (ac+d^{*}b,\ da+bc^{*})}$$ ใช้เมื่อสร้างผลิตภัณฑ์สองเท่าในกรณีการแยกจริง คอนจูเกตสองเท่า${\displaystyle (a,b)^{*}=(a^{*},-b),}$ดังนั้น $${\displaystyle N(a,b)\ =\ (a,b)(a,b)^{*}\ =\ (aa^{*}-bb^{*},0).}$$ ถ้าaและbเป็นจำนวนเชิงซ้อนแบบแยกส่วนและควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วน${\displaystyle q=(a,b)=((w+zj),(y+xj)),}$

แล้ว$${\displaystyle N(q)=aa^{*}-bb^{*}=w^{2}-z^{2}-(y^{2}-x^{2})=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$$

ในส่วนนี้เราจะศึกษาและจำแนกประเภทของพีชคณิตย่อย จริงที่สร้างขึ้นโดยควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนเดี่ยว

ให้p = w + x i + y j + z kเป็นควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วน ส่วนจริงของ มัน คือw = ⁠ 1 / 2 ⁠ ( p + p ^* )และให้q = p – w = ⁠ 1 / 2 ⁠ ( p – p ^* )เป็นส่วนที่ไม่ใช่ส่วนจริง จะได้ว่า q ^* = – qดังนั้น${\displaystyle p^{2}=w^{2}+2wq-N(q)}$ดังนั้นp ²จึงเป็นจำนวนจริงก็ต่อเมื่อpเป็นจำนวนจริง ( q = 0และp = w ) หรือเป็นควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนที่ไม่ใช่จำนวนจริงโดยสมบูรณ์ ( w = 0และp = q )

โครงสร้างของพีชคณิตย่อย${\displaystyle \mathbb {R} [p]}$สิ่งที่สร้างขึ้นโดยpนั้นเป็นไปตามหลักการตรงไปตรงมา หนึ่งมี

${\displaystyle \mathbb {R} [p]=\mathbb {R} [q]=\{a+bq\mid a,b\in \mathbb {R} \},}$

และนี่คือพีชคณิตสลับที่มิติของมันคือสอง ยกเว้นในกรณีที่pเป็นจำนวนจริง (ในกรณีนี้ พีชคณิตย่อยก็คือ...)${\displaystyle \mathbb {R} }$)

องค์ประกอบที่ไม่เป็นจริงของ${\displaystyle \mathbb {R} [p]}$ซึ่งกำลังสองของจำนวนจริงจะมีรูปแบบaqโดยที่${\displaystyle a\in \mathbb {R} .}$

ต้องพิจารณาสามกรณี ซึ่งจะอธิบายรายละเอียดในหัวข้อย่อยถัดไป

หน่วยสมมุติ

นี่คือกรณีที่N ( q ) > 0โดยกำหนดให้${\textstyle n={\sqrt {N(q)}},}$ หนึ่งมี

${\displaystyle q^{2}=-q^{*}q=N(q)=n^{2}=x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$

ดังนั้น⁠ 1 / n ⁠ qจึงอยู่ในไฮเปอร์โบโลอิดของระนาบสองระนาบของสมการ${\displaystyle x^{2}-y^{2}-z^{2}=1.}$ดังนั้น จึงมีจำนวนจริงn , t , uที่ทำให้0 ≤ t < 2πและ

${\displaystyle p=w+n\cosh(u)\mathrm {i} +n\sinh(u)\cos(t)\mathrm {j} +n\sinh(u)\sin(t)\mathrm {k} .}$

นี่คือการกำหนดพารามิเตอร์ของควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนทั้งหมดที่มีส่วนที่ไม่ใช่จำนวนจริงซึ่งมีบรรทัดฐานเป็นบวก

นี่เป็นการกำหนดพารามิเตอร์ของพีชคณิตย่อยที่สอดคล้องกันโดยคู่ของจุดตรงข้ามของไฮเปอร์โบโลอิดสองแผ่น: ควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนในรูปแบบ${\displaystyle \cosh(u)\mathrm {i} +\sinh(u)\cos(t)\mathrm {j} +\sinh(u)\sin(t)\mathrm {k} }$สร้างไฮเปอร์โบโลอิดที่มีสองแผ่น; ซับอัลเจบราที่สร้างขึ้นโดยสปลิตควอเทอร์เนียนที่มีส่วนที่ไม่ใช่จำนวนจริงที่มีบรรทัดฐานเป็นบวก จะมีจุดตรงข้ามกันสองจุดบนไฮเปอร์โบโลอิดนี้ โดยจุดหนึ่งอยู่บนแต่ละแผ่น; และไฮเปอร์โบโลอิดนี้ไม่มีจุดอื่นใดอยู่ภายใน

พีชคณิตที่สร้างขึ้นโดยสปลิตควอเทอร์เนียนที่มีส่วนที่ไม่เป็นจำนวนจริงที่มีบรรทัดฐานเป็นบวกนั้น สมสัณฐานกับ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/\langle X^{2}+1\rangle }$และไปยังสนาม${\displaystyle \mathbb {C} }$ของจำนวนเชิงซ้อน​

หน่วยไฮเปอร์โบลิก

นี่คือกรณีที่N ( q ) < 0โดยกำหนดให้${\textstyle n={\sqrt {-N(q)}},}$ หนึ่งมี

${\displaystyle q^{2}=-q^{*}q=N(q)=-n^{2}=x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$

ดังนั้น⁠ 1 / n ⁠ qเป็นส่วนหนึ่งของไฮเปอร์โบโลอิดของระนาบหนึ่งของสมการy ² + z ² − x ² = 1ดังนั้นจึงมีจำนวนจริงn , t , uที่0 ≤ t < 2 πและ

${\displaystyle p=w+n\sinh(u)\mathrm {i} +n\cosh(u)\cos(t)\mathrm {j} +n\cosh(u)\sin(t)\mathrm {k} .}$

นี่คือการกำหนดพารามิเตอร์ของควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนทั้งหมดที่มีส่วนที่ไม่ใช่จำนวนจริงซึ่งมีบรรทัดฐานเป็นลบ

นี่เป็นการกำหนดพารามิเตอร์ของพีชคณิตย่อยที่สอดคล้องกันโดยคู่ของจุดตรงข้ามของไฮเปอร์โบโลอิดแผ่นเดียว: ควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนในรูปแบบ${\displaystyle \sinh(u)\mathrm {i} +\cosh(u)\cos(t)\mathrm {j} +\cosh(u)\sin(t)\mathrm {k} }$สร้างไฮเปอร์โบโลอิดที่มีแผ่นเดียว; ซับอัลเจบราที่สร้างขึ้นโดยสปลิตควอเทอร์เนียนที่มีส่วนที่ไม่เป็นจำนวนจริงที่มีบรรทัดฐานเป็นลบ จะมีจุดตรงข้ามกันสองจุดบนไฮเปอร์โบโลอิดนี้อย่างแน่นอน; และไฮเปอร์โบโลอิดนี้จะไม่มีจุดอื่นใดอีก

พีชคณิตที่สร้างขึ้นโดยสปลิตควอเทอร์เนียนที่มีส่วนที่ไม่เป็นจำนวนจริงที่มีค่าบรรทัดฐานเป็นลบนั้น สมสัณฐานกับ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/\langle X^{2}-1\rangle }$และไปยังวงแหวนของจำนวนเชิงซ้อนแบบแยกส่วนนอกจากนี้ยังสมมาตรกัน (ในฐานะพีชคณิต) กับ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$โดยการแมปที่กำหนดโดย ${\textstyle (1,0)\mapsto {\frac {1+X}{2}},\quad (0,1)\mapsto {\frac {1-X}{2}}.}$

ควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนได้รับการนำไปใช้กับการปรับสมดุลสี^{[ 3 ]}แบบจำลองนี้อ้างอิงถึงพีชคณิตจอร์แดนของเมทริกซ์สมมาตรที่แสดงถึงพีชคณิต แบบจำลองนี้ทำให้ไตรโครมาซี สอดคล้อง กับการต่อต้านของเฮริงและใช้แบบจำลอง Cayley–Kleinของเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกสำหรับระยะทางสี

โคควอเทอร์เนียนได้รับการแนะนำครั้งแรก (ภายใต้ชื่อนั้น) ^{[ 4 ]}ในปี พ.ศ. 2392 โดยเจมส์ ค็อกเคิลในนิตยสารปรัชญา ลอนดอน -เอดินบะระ-ดับลินบทความแนะนำโดยค็อกเคิลได้รับการกล่าวถึงอีกครั้งในบรรณานุกรม^{[ 5 ]}ของสมาคมควอเทอร์เนียน ในปี พ.ศ. 2447

ในปี พ.ศ. 2421 WK Cliffordเกือบจะอธิบายการแสดงแทนควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนด้วยเมทริกซ์: ^{[ 6 ]}เขาใช้Kเพื่อแสดงหน่วยจินตนาการ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$ข้อผิดพลาดเพียงอย่างเดียวคือขาดเครื่องหมายลบในสมการ

${\displaystyle JK={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}=-I.}$

อเล็กซานเดอร์ แมคฟาร์เลนเรียกโครงสร้างของเวกเตอร์สปลิตควอเทอร์เนียนว่าเป็นระบบเอ็กซ์สเฟริคัลเมื่อเขาพูดในการประชุมนานาชาติของนักคณิตศาสตร์ในปารีสในปี พ.ศ. 2443 ^{[ 7 ]}แมคฟาร์เลนพิจารณา "คู่ตรงข้ามไฮเปอร์โบโลอิดัลของการวิเคราะห์ทรงกลม" ในบทความปี พ.ศ. 2453 เรื่อง "การรวมและการพัฒนาหลักการของพีชคณิตของพื้นที่" ในวารสารของสมาคมควอเทอร์เนียน^{[ 8 ]}

Hans Beckเปรียบเทียบการแปลงควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนกับคุณสมบัติการสลับวงกลมของการแปลงโมเบียสในปี พ.ศ. 2453 ^{[ 9 ]}โครงสร้างควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนยังถูกกล่าวถึงสั้นๆ ในAnnals of Mathematics อีกด้วย ^{[ 10 ] [ 11 ]}

• พาราควอเทอร์เนียน (Ivanov และ Zamkovoy 2005, Mohaupt 2006) แมนิโฟลด์ที่มีโครงสร้างพาราควอเทอร์เนียนได้รับการศึกษาในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และทฤษฎีสตริง ในเอกสาร เกี่ยวกับพาราควอเทอร์เนียนkจะถูกแทนที่ด้วย−k
• ระบบทรงกลมเอ็กสเฟริคัล (แมคฟาร์เลน 1900)
• สปลิตควอเทอร์เนียน (Rosenfeld 1988) ^{[ 12 ]}
• แอนติควอเทอร์เนียน (โรเซนเฟลด์ 1988)
• ซูโดควอเทอร์เนียน (Yaglom 1968 ^{[ 13 ]} Rosenfeld 1988)

• ควอเทอร์เนียนคู่
• เมทริกซ์ของเปาลี
• พีชคณิตควอเทอร์เนียน
• สปลิต-ไบควอเทอร์เนียน
• ออคโทเนียนแยก

• Brody, Dorje C.และEva-Maria Graefe . "เกี่ยวกับกลศาสตร์เชิงซ้อนและโคควอเทอร์เนียน". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 44.7 (2011): 072001. doi : 10.1088/1751-8113/44/7/072001
• Ivanov, Stefan; Zamkovoy, Simeon (2005), "Parahermitian and paraquaternionic manifolds", Differential Geometry and its Applications 23 , pp.  205 – 234, arXiv : math.DG/0310415 , MR 2158044 . 
• Mohaupt, Thomas (2006), "การพัฒนาใหม่ในเรขาคณิตพิเศษ", arXiv : hep-th/0602171 .
• Özdemir, M. (2009) "รากของควอเทอร์เนียนแบบแยก", Applied Mathematics Letters 22:258 – 63
• Özdemir, M. & AA Ergin (2006) "การหมุนด้วยควอเทอร์เนียนแบบไทม์ไลค์ในปริภูมิ Minkowski 3 มิติ" วารสารเรขาคณิตและฟิสิกส์ 56: 322 – 36
• Pogoruy, Anatoliy & Ramon M Rodrigues-Dagnino (2008) คุณสมบัติทางพีชคณิตและเชิงวิเคราะห์บางประการของพีชคณิตโคควอเทอร์เนียนความก้าวหน้าในพีชคณิตคลิฟฟอร์ดประยุกต์