ในทฤษฎีจำนวน ลำดับ Padovan คือลำดับของจำนวนเต็มP ( n ) ที่กำหนด^{[ 1 ]}โดยค่าเริ่มต้น:

$${\displaystyle P(0)=P(1)=P(2)=1,}$$

และความสัมพันธ์เวียนเกิด

$${\displaystyle P(n)=P(n-2)+P(n-3).}$$

ค่าแรกๆ ของP ( n ) คือ

1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151, 200, 265, ... (ลำดับA000931ในOEIS )

ลำดับ Padovan ได้รับการตั้งชื่อตามRichard Padovanซึ่งระบุว่าHans van der Laanสถาปนิกชาวดัตช์ เป็นผู้ค้นพบ ในบทความDom. Hans van der Laan: Modern Primitiveใน ปี 1994 ^{[ 2 ]} Ian Stewartได้อธิบายลำดับนี้ในคอลัมน์Mathematical Recreations ใน Scientific Americanในเดือนมิถุนายน 1996 ^{[ 3 ]}เขายังเขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้ในหนังสือเล่มหนึ่งของเขาชื่อ "Math Hysteria: Fun Games With Mathematics" ^{[ 4 ]}

นิยามข้างต้นเป็นนิยามที่เอียน สจ๊วตและแมธเวิลด์ ให้ไว้ แหล่งข้อมูลอื่นอาจเริ่มต้นลำดับที่ตำแหน่งต่างกัน ในกรณีเช่นนั้น เอกลักษณ์บางอย่างในบทความนี้จะต้องได้รับการปรับเปลี่ยนโดยมีค่าชดเชยที่เหมาะสม

ในเกลียวนั้นสามเหลี่ยม แต่ละรูป จะใช้ด้านร่วมกับสามเหลี่ยมอีกสองรูป ซึ่งเป็นการพิสูจน์ให้เห็นเป็นภาพว่าลำดับปาโดวานนั้นสอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิดด้วย

${\displaystyle P(n)=P(n-1)+P(n-5)}$

เริ่มต้นจากสิ่งนี้ การเกิดซ้ำที่กำหนดไว้และการเกิดซ้ำอื่นๆ ที่ค้นพบ เราสามารถสร้างการเกิดซ้ำเพิ่มเติมได้ไม่จำกัดจำนวนโดยการแทนที่ซ้ำๆ${\displaystyle P(m)}$โดย${\displaystyle P(m-2)+P(m-3)}$

ลำดับของ Perrinมีความสัมพันธ์เวียนเกิดเช่นเดียวกับลำดับของ Padovan แม้ว่าจะมีค่าเริ่มต้นที่แตกต่างกันก็ตาม

ลำดับ Perrin สามารถหาได้จากลำดับ Padovan โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

${\displaystyle \mathrm {เพอร์ริน} (n)=P(n+1)+P(n-10).\,}$

เช่นเดียวกับลำดับใดๆ ที่กำหนดโดยความสัมพันธ์เวียนเกิด จำนวน Padovan P ( m ) สำหรับm < 0 สามารถกำหนดได้โดยการเขียนความสัมพันธ์เวียนเกิดใหม่เป็น

${\displaystyle P(m)=P(m+3)-P(m+1),}$

เริ่มจากm = −1 แล้วย้อนกลับมา เราจะขยายP ( m ) ไปยังดัชนีติดลบ:

พี

พี

พี

พี

พี

พี

พี

พี

พี

พี

พี

พี

พี

พี

พี

พี

พี

พี

พี

พี

พี

หน้า

พี

7

−7

4

0

−3

4

−3

1

1

−2

2

−1

0

1

−1

1

0

0

1

0

1

1

1

ผลรวมของ พจน์ n พจน์แรก ในลำดับของ Padovan น้อยกว่าP ( n  +  5) อยู่ 2 กล่าวคือ

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P(m)=P(n+5)-2.}$

ผลรวมของพจน์สลับกัน ผลรวมของพจน์ที่สามทุกพจน์ และผลรวมของพจน์ที่ห้าทุกพจน์ ล้วนมีความสัมพันธ์กับพจน์อื่นๆ ในลำดับเช่นกัน:

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P(2m)=P(2n+3)-1}$OEIS : A077855 

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P(2m+1)=P(2n+4)-1}$

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P(3m)=P(3n+2)}$OEIS : A034943 

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P(3m+1)=P(3n+3)-1}$

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P(3m+2)=P(3n+4)-1}$

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P(5m)=P(5n+1).}$OEIS : A012772 

ผลรวมที่เกี่ยวข้องกับผลคูณของพจน์ในลำดับปาโดวานเป็นไปตามเอกลักษณ์ต่อไปนี้:

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P(m)^{2}=P(n+2)^{2}-P(n-1)^{2}-P(n-3)^{2}}$

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P(m)^{2}P(m+1)=P(n)P(n+1)P(n+2)}$

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P(m)P(m+2)=P(n+2)P(n+3)-1.}$

ลำดับปาโดวานยังตรงตามเอกลักษณ์อีกด้วย

${\displaystyle P(n)^{2}-P(n+1)P(n-1)=P(-n-7).\,}$

ลำดับปาโดวานมีความสัมพันธ์กับผลรวมของสัมประสิทธิ์ทวินามโดยเอกลักษณ์ต่อไปนี้:

${\displaystyle P(k-2)=\sum _{2m+n=k}{m \choose n}=\sum _{m=\lceil k/3\rceil }^{\lfloor k/2\rfloor }{m \choose k-2m}.}$

ตัวอย่างเช่น สำหรับk = 12 ค่าสำหรับคู่ ( m , n ) ที่มี2m + n = 12 ซึ่งให้สัมประสิทธิ์ทวินามที่ไม่เป็นศูนย์คือ (6, 0), (5, 2) และ (4, 4) และ:      

${\displaystyle {6 \choose 0}+{5 \choose 2}+{4 \choose 4}=1+10+1=12=P(10).\,}$

หมายเลขลำดับ Padovan สามารถเขียนได้ในรูปของกำลังของรากของสมการ^{[ 1 ]}

${\displaystyle x^{3}-x-1=0.\,}$

สมการนี้มีราก 3 ราก ได้แก่ ราก จริง หนึ่ง รากp (ที่รู้จักกันในชื่ออัตราส่วนพลาสติก ) และรากคู่เชิงซ้อน สองราก qและr ^{[ 5} ] เมื่อ ^{กำหนด}รากทั้งสามนี้แล้ว ลำดับ Padovan สามารถแสดงได้ด้วยสูตรที่เกี่ยวข้องกับp , qและr :

${\displaystyle P(n)=ap^{n}+bq^{n}+cr^{n}}$

โดยที่a , bและcเป็นค่าคงที่^{[ 1 ]}

เนื่องจากค่าสัมบูรณ์ของรากเชิงซ้อนqและrมีค่าน้อยกว่า 1 ทั้งคู่ (และด้วยเหตุนี้p จึง เป็นจำนวนของ Pisot–Vijayaraghavan ) กำลังของรากเหล่านี้จะเข้าใกล้ 0 เมื่อn มีค่ามาก และ${\displaystyle P(n)-ap^{n}}$มีแนวโน้มเข้าใกล้ศูนย์

สำหรับทุกคน${\displaystyle n\geq 0}$P ( n ) คือจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงที่สุดกับ${\displaystyle {\frac {p^{5}}{2p+3}}p^{n}}$. อย่างแท้จริง,${\displaystyle {\frac {p^{5}}{2p+3}}}$คือค่าของค่าคงที่aข้างต้น ในขณะที่bและcได้มาจากการแทนที่pด้วยqและrตามลำดับ

อัตราส่วนของพจน์ที่ต่อเนื่องกันในลำดับปาโดวานเข้าใกล้ ค่า pซึ่งมีค่าประมาณ 1.324718 ค่าคงที่นี้มีความสัมพันธ์กับลำดับปาโดวานและลำดับเพอร์ริน ในลักษณะเดียว กับที่อัตราส่วนทองคำมีความสัมพันธ์กับลำดับฟิโบนาชชี

• P ( n ) คือจำนวนวิธีในการเขียนn  +  2 เป็นผลรวมเรียงลำดับที่แต่ละพจน์เป็น 2 หรือ 3 (กล่าวคือ จำนวนการประกอบของn  +  2 ที่แต่ละพจน์เป็น 2 หรือ 3) ตัวอย่างเช่นP (6) = 4 และมี 4 วิธีในการเขียน 8 เป็นผลรวมเรียงลำดับของ 2 และ 3:

2 + 2 + 2 + 2  ; 2 + 3 + 3  ; 3 + 2 + 3  ; 3 + 3 + 2

• จำนวนวิธีในการเขียนnเป็นผลรวมเรียงลำดับที่ไม่มีพจน์ใดเป็น 2 คือP (2 n − 2) ตัวอย่างเช่นP (6) = 4 และมี 4 วิธีในการเขียน 4 เป็นผลรวมเรียงลำดับที่ไม่มีพจน์ใดเป็น 2:  

4  ; 1 + 3  ; 3 + 1  ; 1 + 1 + 1 + 1

• จำนวนวิธีในการเขียนnให้เป็นผลรวมเรียงลำดับแบบพาลินโดรมที่ไม่มีพจน์ใดเป็น 2 คือP ( n ) ตัวอย่างเช่นP (6) = 4 และมี 4 วิธีในการเขียน 6 ให้เป็นผลรวมเรียงลำดับแบบพาลินโดรมที่ไม่มีพจน์ใดเป็น 2:

6  ; 3 + 3  ; 1 + 4 + 1  ; 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

• จำนวนวิธีในการเขียนnเป็นผลรวมเรียงลำดับที่แต่ละพจน์เป็นเลขคี่และมากกว่า 1 เท่ากับP ( n − 5) ตัวอย่างเช่นP (6) = 4 และมี 4 วิธีในการเขียน 11 เป็นผลรวมเรียงลำดับที่แต่ละพจน์เป็นเลขคี่และมากกว่า 1:  

11  ; 5 + 3 + 3  ; 3 + 5 + 3  ; 3 + 3 + 5

• จำนวนวิธีในการเขียนnเป็นผลรวมเรียงลำดับที่แต่ละพจน์สอดคล้องกับ 2 mod 3 เท่ากับP ( n − 4) ตัวอย่างเช่นP (6) = 4 และมี 4 วิธีในการเขียน 10 เป็นผลรวมเรียงลำดับที่แต่ละพจน์สอดคล้องกับ 2 mod 3:  

8 + 2  ; 2 + 8  ; 5 + 5  ; 2 + 2 + 2 + 2 + 2

ฟังก์ชันก่อกำเนิดของลำดับปาโดวานคือ

${\displaystyle G(P(n);x)={\frac {1+x}{1-x^{2}-x^{3}}}.}$

สิ่งนี้สามารถนำไปใช้พิสูจน์เอกลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับผลคูณของลำดับปาโดวานที่มีพจน์ทางเรขาคณิตเช่น:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {P(n)}{2^{n}}}={\frac {12}{5}}.}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {P(n)}{\alpha ^{n}}}={\frac {\alpha ^{2}(\alpha +1)}{\alpha ^{3}-\alpha -1}}.}$

ในทำนองเดียวกันกับจำนวนฟิโบนาชชีที่สามารถขยายไปสู่ชุดของพหุนาม ที่เรียกว่าพหุนามฟิโบนาชชีจำนวนลำดับพาโดวานก็สามารถขยายไปสู่พหุนามพาโดวานได้ เช่นกัน

ถ้าเรากำหนดไวยากรณ์อย่างง่ายดังต่อไปนี้:

ตัวแปร  : ABC

ค่าคงที่  : ไม่มี

เริ่มต้น  : A

กฎ  : (A → B), (B → C), (C → AB)

จากนั้นระบบ Lindenmayer หรือระบบ Lจะสร้างลำดับสตริงดังต่อไปนี้:

n = 0  : A

n = 1  : B

n = 2  : C

n = 3  : AB

n = 4  : BC

n = 5  : CAB

n = 6  : ABBC

n = 7  : BCCAB

n = 8  : CABABBC

และถ้าเรานับความยาวของแต่ละสตริง เราจะได้ตัวเลขปาโดวาน:

1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, ...

นอกจากนี้ หากคุณนับจำนวนA , BและCในแต่ละสตริงแล้ว สำหรับ สตริงที่ nคุณจะมีA จำนวน P ( n  -  5) ตัว, B จำนวน P ( n - 3) ตัว และC จำนวน P ( n - 4) ตัว จำนวน คู่ BBและ คู่ CCก็เป็นจำนวน Padovan เช่นกัน    

สามารถสร้างเกลียวได้โดยการเชื่อมต่อมุมของชุดทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก สามมิติ นี่คือเกลียวทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากของปาโดวานด้านที่ต่อเนื่องกันของเกลียวนี้มีความยาวเท่ากับจำนวนปาโดวานคูณด้วยรากที่สองของ 2

Erv Wilsonในบทความของเขาเรื่อง The Scales of Mt. Meru ^{[ 6 ]}สังเกตเห็นเส้นทแยงมุมบางเส้นในสามเหลี่ยมของปาสคาล (ดูแผนภาพ) และวาดลงบนกระดาษในปี 1993 ตัวเลข Padovan ถูกค้นพบในปี 1994 Paul Barry (2004) สังเกตว่าเส้นทแยงมุมเหล่านี้สร้างลำดับ Padovan โดยการรวมตัวเลขในเส้นทแยงมุม^{[ 7 ]}

มันยังมีความคล้ายคลึงกับลำดับฟิโบนาชชีในเชิงเรขาคณิตด้วย โดยลำดับฟิโบนาชชีสร้างเป็นเกลียวสี่เหลี่ยม ในขณะที่ลำดับปาโดวานสร้างเป็นเกลียวสามเหลี่ยม

• ลำดับOEIS A000931 (ลำดับ Padovan)
• เครื่องคำนวณลำดับปาโดวาน