การจัดทำงบประมาณ แบบมีส่วนร่วมเชิงผสมผสาน^{[ 1 ]}หรือที่เรียกว่าการจัดทำงบประมาณแบบมีส่วนร่วมที่แบ่งแยกไม่ได้^{[ 2 ]}หรือทางเลือกทางสังคมที่ มีงบประมาณ ^{[ 3 ]}เป็นปัญหาในทางเลือกทางสังคมมีโครงการ ที่เป็นไปได้หลายโครงการ แต่ละโครงการมีต้นทุนคง ที่ มี งบประมาณ คงที่ ซึ่งไม่สามารถครอบคลุมทุกโครงการได้ ผู้ลงคะแนนแต่ละคนมีความชอบ ที่แตกต่างกัน เกี่ยวกับโครงการเหล่านี้ เป้าหมายคือการหาการจัดสรรงบประมาณซึ่งเป็นส่วนย่อยของโครงการที่มีต้นทุนรวมไม่เกินงบประมาณที่จะได้รับเงินทุน การจัดทำงบประมาณแบบมีส่วนร่วมเชิงผสมผสานเป็นรูปแบบที่พบได้บ่อยที่สุดของการจัดทำ งบประมาณ แบบ มีส่วนร่วม

PB แบบผสมผสานสามารถมองได้ว่าเป็นการวางนัยทั่วไปของการลงคะแนนของคณะกรรมการ : การลงคะแนนของคณะกรรมการเป็นกรณีพิเศษของ PB ซึ่ง "ต้นทุน" ของผู้สมัครแต่ละคนคือ 1 และ "งบประมาณ" คือขนาดของคณะกรรมการ สมมติฐานนี้มักเรียกว่าสมมติฐานต้นทุนต่อหน่วยการตั้งค่าที่โครงการสามารถแบ่งได้ (สามารถรับเงินจำนวนใดก็ได้) เรียกว่าการแบ่งส่วน^{[ 4 ] [ 5 ]}ทางเลือกทางสังคมแบบเศษส่วนหรือการ รวมข้อเสนองบประมาณ

กฎ PB มีการใช้งานอื่นๆ นอกเหนือจากการจัดทำงบประมาณที่เหมาะสม ตัวอย่างเช่น: ^{[ 6 ]}

• การคัดเลือกผู้ตรวจสอบความถูกต้องในโปรโตคอลฉันทามติ เช่นบล็อกเชน ;
• เลือกเว็บเพจที่จะแสดงเพื่อตอบสนองต่อคำถามของผู้ใช้
• การค้นหาสถานที่สาธารณะ ;
• การปรับปรุงคุณภาพของอัลกอริธึมทางพันธุกรรม

กฎเกณฑ์ประเภทหนึ่งมุ่งเป้าไปที่การเพิ่มฟังก์ชันสวัสดิการสังคม ที่กำหนดให้สูงสุด โดยเฉพาะอย่างยิ่งกฎเกณฑ์แบบอรรถประโยชน์นิยมมุ่งเป้าไปที่การค้นหาการจัดสรรงบประมาณที่เพิ่มผลรวมของอรรถประโยชน์ของตัวแทนให้สูงสุด^{[ 7 ]}ด้วยการลงคะแนนแบบคาร์ดินัล การค้นหาการจัดสรรงบประมาณแบบอรรถประโยชน์นิยมจำเป็นต้องแก้ปัญหาเป้สะพายหลังซึ่งเป็นปัญหา NP-hard ในทางทฤษฎี แต่สามารถแก้ไขได้ง่ายในทางปฏิบัติ นอกจากนี้ยังมีอัลกอริทึมแบบโลภที่บรรลุการประมาณค่าคงที่ของสวัสดิการสูงสุด

มีฟังก์ชันอรรถประโยชน์ ที่เป็นไปได้มากมาย สำหรับบัตรลงคะแนนที่ได้รับการจัดอันดับ ที่กำหนดไว้ : ^{[ 2 ] [ 8 ]}

• ความพึงพอใจตามแนวคิดของ Chamberlin-Courantถือว่าอรรถประโยชน์ของตัวแทนจะเป็น 1 หากโครงการที่เขาอนุมัติอย่างน้อยหนึ่งโครงการได้รับการสนับสนุนทางการเงิน และจะเป็น 0 ในกรณีอื่น ๆ
• ความพึงพอใจตามจำนวนโครงการนั้นตั้งอยู่บนสมมติฐานที่ว่า อรรถประโยชน์ของตัวแทนขึ้นอยู่กับคะแนนรวม ที่กำหนดให้กับโครงการที่ได้รับเงินทุน
• ความพึงพอใจตามต้นทุนนั้นตั้งอยู่บนสมมติฐานที่ว่า อรรถประโยชน์ของตัวแทนคือต้นทุนรวมของโครงการที่ได้รับทุน คูณด้วยคะแนนที่กำหนดให้กับโครงการดังกล่าว
• ฟังก์ชันความพึงพอใจที่ลดลงแบบปกติ (DNS) คือฟังก์ชันความพึงพอใจที่เพิ่มขึ้นเล็กน้อยตามต้นทุน แต่อัตราการเพิ่มขึ้นนั้นไม่เร็วกว่าต้นทุน^{[ 8 ]}ความพึงพอใจตามจำนวนสมาชิกเป็นขั้วหนึ่ง ซึ่งความพึงพอใจไม่เปลี่ยนแปลงตามต้นทุน ความพึงพอใจตามต้นทุนเป็นอีกขั้วหนึ่ง ซึ่งความพึงพอใจเติบโตตามต้นทุนอย่างแม่นยำ ระหว่างนั้นจะมีฟังก์ชันอรรถประโยชน์ เช่น รากที่สองของต้นทุน หรือลอการิทึมของต้นทุนความพึงพอใจตามการอนุมัติถือว่ามีฟังก์ชันsatที่แมปชุดของโครงการไปยังจำนวนบวก และอรรถประโยชน์ของตัวแทนเท่ากับsat (โครงการที่ได้รับอนุมัติและได้รับทุน) อรรถประโยชน์ก่อนหน้านี้ทั้งหมดเป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันความพึงพอใจตามการอนุมัติ

Sreedurga, Bhardwaj และ Narahari ศึกษากฎความเสมอภาคซึ่งมีเป้าหมายเพื่อเพิ่ม อรรถประโยชน์ ขั้นต่ำสุดของตัวแทน ให้สูงสุด ^{[ 9 ]}พวกเขาพิสูจน์ว่าการค้นหาการจัดสรรงบประมาณที่เสมอภาคเป็นปัญหา NP-hard แต่ให้ขั้นตอนวิธีที่ใช้เวลาแบบพсевдопоминомалилала และแบบพсевдоминомалилала เมื่อพารามิเตอร์ธรรมชาติบางอย่างถูกกำหนดพวกเขาเสนอขั้นตอนวิธีที่บรรลุการประมาณค่าแบบบวกสำหรับพื้นที่จำกัดของอินสแตนซ์ และแสดงให้เห็นว่าให้คำตอบที่เหมาะสมที่สุดอย่างแม่นยำบนชุดข้อมูลในโลกแห่งความเป็นจริง พวกเขายังพิสูจน์ว่ากฎความเสมอภาคเป็นไปตามสัจพจน์ความยุติธรรมใหม่ ซึ่งพวกเขาเรียกว่าการ ครอบคลุมสูงสุด

Annick Laruelle ศึกษาการเพิ่มสวัสดิการสูงสุดภายใต้การลงคะแนนแบบลำดับที่อ่อนแอ โดยใช้กฎการให้คะแนน เพื่อแปลงการจัดอันดับเป็นอรรถประโยชน์ เธอศึกษาการประมาณค่าแบบโลภสำหรับสวัสดิการแบบอรรถประโยชน์นิยมและสวัสดิการ Chamberlin-Courant เธอทดสอบอัลกอริทึมสามแบบกับข้อมูลจริงจาก PB ใน Portugaleteในปี 2018 ผลลัพธ์แสดงให้เห็นว่าอัลกอริทึมที่รวมต้นทุนโครงการไว้ในบัตรลงคะแนนมีประสิทธิภาพดีกว่าอีกสองแบบ^{[ 10 ]}

Fluschnik, Skowron, Triphaus และ Wilker ศึกษาการเพิ่มค่าสูงสุดของสวัสดิการแบบอรรถประโยชน์นิยม สวัสดิการ Chamberlin-Courant และสวัสดิการ Nash โดยสมมติว่ามีอรรถประโยชน์เชิงปริมาณ^{[ 11 ]}

วิธีการจัดทำงบประมาณที่ใช้กันทั่วไปในทางปฏิบัติคือการแก้ปัญหาแบบโลภ (greedy solution) ซึ่งเป็นรูปแบบหนึ่งของปัญหาเป้สะพายหลัง (knapsack problem) โดยโครงการต่างๆ จะถูกจัดเรียงตามลำดับจำนวนคะแนนเสียงที่ได้รับจากมากไปน้อย และเลือกทีละโครงการจนกว่างบประมาณจะหมด หรืออีกทางหนึ่ง หากจำนวนโครงการมีน้อยพอ ปัญหาเป้สะพายหลังอาจได้รับการแก้ไขอย่างแม่นยำ โดยการเลือกชุดย่อยของโครงการที่ทำให้ความสุขโดยรวมของพลเมืองสูงสุด^{[ 12 ] [ 13 ]} เนื่องจากวิธีการนี้ (เรียกว่า "เป้สะพายหลังที่ดีที่สุดสำหรับแต่ละบุคคล") อาจไม่ยุติธรรมต่อกลุ่มชนกลุ่มน้อย พวกเขาจึงเสนอทางเลือกที่ยุติธรรมกว่าสองทางเลือก:

• กระเป๋าเป้ที่หลากหลาย - เพิ่มจำนวนพลเมืองที่ได้รับเงินสนับสนุนอย่างน้อยหนึ่งรายการที่ตนชื่นชอบให้มากที่สุด (คล้ายกับกฎของ Chamberlin-Courantสำหรับการลงคะแนนเสียงแบบผู้ชนะหลายคน )
• กระเป๋าเป้สะพายหลังที่เหมาะสมที่สุดตามหลักการของแนช - การเพิ่มผลผลิตของประโยชน์ใช้สอยของประชาชนให้สูงสุด

น่าเสียดายที่สำหรับโดเมนยูทิลิตี้ทั่วไป กฎทั้งสองนี้ยากต่อการคำนวณแบบ NP-hard ^{[ 11 ]}อย่างไรก็ตาม กระเป๋าเป้ที่หลากหลายสามารถแก้ไขได้ด้วยพหุนามในโดเมนความชอบเฉพาะ หรือเมื่อจำนวนผู้ลงคะแนนเสียงมีน้อย

การลงคะแนนอนุมัติตามสัดส่วนเป็นกฎสำหรับการลงคะแนนแบบผู้ชนะหลายคน ซึ่งได้รับการปรับให้เข้ากับ PB โดย Pierczynski, Peters และ Skowron ^{[ 6 ]}โดยจะเลือกกฎที่เพิ่มคะแนน รวมให้สูงสุด ซึ่งกำหนดโดยฟังก์ชันฮาร์มอนิกของความพึงพอใจตามจำนวนสมาชิก กฎนี้ไม่เป็นที่นิยมมากนัก เนื่องจากในบริบทของ PB กฎนี้ไม่ตรงตามการรับประกันสัดส่วนที่เข้มงวดเหมือนในบริบทของการลงคะแนนแบบผู้ชนะหลายคน^{[ 14 ]}

ในกฎการซื้อแบบเรียงลำดับ โครงการของผู้สมัครแต่ละโครงการจะต้องถูก "ซื้อ" โดยผู้ลงคะแนนโดยใช้สกุลเงินเสมือนจริงบางประเภท มีกฎลักษณะนี้อยู่หลายแบบ

วิธีนี้ใช้กฎของ Phragmenสำหรับการเลือกตั้งคณะกรรมการ Los, Christoff และ Grossi อธิบายว่าเป็นกระบวนการต่อเนื่องสำหรับการลงคะแนนอนุมัติ: ^{[ 14 ]}

• ผู้ลงคะแนนแต่ละคนเริ่มต้นด้วยเงินเสมือนจริง 0 เหรียญ และจะได้รับเงินในอัตราคงที่ 1 เหรียญต่อวินาที
• ในแต่ละช่วงเวลาt เราจะกำหนดโครงการ xที่ยังไม่ได้รับการคัดเลือกให้เป็น โครงการที่ สามารถซื้อหาได้หากเงินทั้งหมดที่ผู้มีสิทธิเลือกตั้งที่อนุมัติโครงการ x ถือครองอยู่นั้น มีอย่างน้อยเท่ากับต้นทุนของโครงการx
• เมื่อโครงการใดโครงการหนึ่งมีงบประมาณเพียงพอ เราจะเลือกโครงการที่มีงบประมาณเพียงพอy โครงการหนึ่ง โดยพลการ จากนั้นเพิ่มyเข้าไปในงบประมาณ และรีเซ็ตเงินเสมือนจริงของผู้ลงคะแนนที่อนุมัติy (เนื่องจากพวกเขา "ใช้" เงินเสมือนจริงของตนเพื่อสนับสนุนy )
• ผู้ลงคะแนนจะได้รับเงินเสมือนจริงและนำไปสนับสนุนโครงการต่างๆ ต่อไปเรื่อยๆ จนกว่าโครงการถัดไปที่จะได้รับการสนับสนุนจะทำให้ต้นทุนรวมเกินงบประมาณที่มีอยู่ทั้งหมด ณ จุดนั้น อัลกอริทึมจะหยุดทำงาน

กฎนี้เป็นการดัดแปลงมาจากกฎ Phragmen แบบลำดับ ซึ่งอนุญาตให้มีการกระจายภาระในแต่ละรอบ กฎนี้ได้รับการแนะนำครั้งแรกในฐานะกฎการลงคะแนนแบบผู้ชนะหลายคนโดย Sanchez-Fernandez, Fernandez-Garcia, Fisteus และ Brill ^{[ 15 ]}กฎนี้ได้รับการดัดแปลงให้เข้ากับ PB โดย Aziz, Lee และ Talmon (แม้ว่าพวกเขาจะเรียกมันว่า 'กฎของ Phragmen') ^{[ 16 ]}พวกเขายังนำเสนออัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพในการคำนวณอีกด้วย

วิธีนี้เป็นการขยายวิธีการแบ่งส่วนเท่าๆ กันสำหรับการเลือกตั้งคณะกรรมการ การขยายไปสู่ ​​PB ด้วยการลงคะแนนเสียงหลักนั้นทำโดย Pierczynski, Peters และ Skowron ^{[ 6 ]}

• ผู้ลงคะแนนแต่ละคนเริ่มต้นด้วยเงินเสมือนจริงจำนวนB / n โดยที่ Bคืองบประมาณที่มีอยู่ และnคือจำนวนผู้ลงคะแนน
• โครงการxเรียกว่า โครงการ ที่สามารถเข้าถึงได้ในราคา rหากสามารถครอบคลุมค่าใช้จ่ายได้โดยการรับเงินจากตัวแทนแต่ละราย โดยที่ตัวแทนi แต่ละ รายจ่าย min(current-money-of- i , r * u _i ( x )) กล่าวคือ ตัวแทนแต่ละรายมีส่วนร่วมในการให้ทุนสนับสนุนxในสัดส่วนของu _i ( x ) ตัวเลขrแทน "ราคาต่อหน่วยของอรรถประโยชน์" (โปรดทราบว่าค่าอรรถประโยชน์ถูกปรับให้เป็นช่วง [0,1])
  • ในกรณีพิเศษของการลงคะแนนอนุมัติ ค่าสาธารณูปโภคจะเป็น 0 หรือ 1 ดังนั้น โครงการจะถือว่า สามารถจ่ายได้ในราคา rหากสามารถครอบคลุมค่าใช้จ่ายได้โดยการรับเงินจากตัวแทนที่อนุมัติxโดยที่ตัวแทนแต่ละรายiจะจ่ายขั้นต่ำ (เงินปัจจุบันของi , r ) ตัวแทนที่มีเงินน้อยกว่าrจะจ่ายเฉพาะยอดเงินคงเหลือปัจจุบันของตนเท่านั้น
• เราค่อยๆ เพิ่มงบประมาณสำหรับ โครงการที่ rสามารถจ่ายได้ โดยใช้ค่าr ที่น้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ และลดยอดคงเหลือเสมือนของตัวแทนที่สนับสนุนโครงการนี้
• เมื่อไม่สามารถหาโครงการที่เหมาะสมกับงบประมาณ(r -appropriate projects) ได้อีกต่อไปสำหรับค่า r ใดๆ กระบวนการก็จะหยุดลง

Shapiro และ Talmon ^{[ 17 ]}นำเสนออัลกอริทึมเวลาพหุนามสำหรับการค้นหาการจัดสรรงบประมาณที่ตรงตามเกณฑ์ Condorcet : การจัดสรรงบประมาณที่เลือกควรดีอย่างน้อยเท่ากับงบประมาณที่เสนออื่นๆ ตามเสียงส่วนใหญ่ของผู้ลงคะแนน (ไม่มีการเปลี่ยนแปลงที่เสนอใดๆ ที่ได้รับการสนับสนุนจากเสียงส่วนใหญ่) อัลกอริทึมของพวกเขาใช้เซต Schwartz

Skowron, Slinko, Szufa และ Talmon นำเสนอกฎที่เรียกว่าการโอนขั้นต่ำเหนือต้นทุนซึ่งขยายการลงคะแนนเสียงที่โอนได้เพียงครั้งเดียวไปสู่การจัดทำงบประมาณแบบมีส่วนร่วม^{[ 18 ]}

Aziz และ Lee นำเสนอกฎที่เรียกว่ากฎการอนุมัติที่ขยายออกไปซึ่งใช้^{[ 19 ]} Pierczynski, Peters และ Skowron นำเสนอรูปแบบหนึ่งของวิธีการแบ่งส่วนเท่าๆ กันสำหรับบัตรลงคะแนนลำดับอ่อน และแสดงให้เห็นว่าเป็นกฎการอนุมัติที่ขยายออกไป

สิ่งสำคัญที่ต้องพิจารณาในการจัดทำงบประมาณคือความเป็นธรรมต่อทั้งกลุ่มเสียงข้างมากและเสียงข้างน้อย เพื่อแสดงให้เห็นถึงความท้าทาย สมมติว่า 51% ของประชากรอาศัยอยู่ในภาคเหนือและ 49% อาศัยอยู่ในภาคใต้ และงบประมาณที่เป็นไปได้ทั้งหมด สมมติว่ามี 10 โครงการในภาคเหนือและ 10 โครงการในภาคใต้ แต่ละโครงการมีค่าใช้จ่าย 1 หน่วย และงบประมาณที่มีอยู่คือ 10 การลงคะแนนเสียงในงบประมาณโดยใช้กฎเสียงข้างมาก ธรรมดา จะทำให้โครงการ 10 โครงการในภาคเหนือได้รับเลือก โดยไม่มีโครงการใดในภาคใต้ ซึ่งไม่เป็นธรรมต่อชาวใต้^{[ 11 ]}

เพื่อแก้ไขปัญหานี้บางส่วน เทศบาลหลายแห่งจึงดำเนินการกระบวนการ PB แยกต่างหากในแต่ละเขต เพื่อรับประกันว่าแต่ละเขตจะได้รับการเป็นตัวแทนตามสัดส่วน แต่สิ่งนี้ก็ก่อให้เกิดปัญหาอื่นๆ ตามมา ตัวอย่างเช่น โครงการที่อยู่บริเวณรอยต่อของสองเขตอาจได้รับการลงคะแนนจากเขตใดเขตหนึ่งเท่านั้น ดังนั้นจึงอาจไม่ได้รับเงินทุนแม้ว่าจะได้รับการสนับสนุนจากผู้คนจำนวนมากจากอีกเขตหนึ่งก็ตาม นอกจากนี้ โครงการที่ไม่มีสถานที่เฉพาะเจาะจงซึ่งเป็นประโยชน์ต่อทั้งเมืองก็ไม่สามารถดำเนินการได้ ยิ่งไปกว่านั้น ยังมีกลุ่มที่ไม่เกี่ยวข้องกับภูมิศาสตร์ เช่น ผู้ปกครอง หรือผู้ขับขี่จักรยาน^{[ 6 ]}

แนวคิดเรื่องความเป็นธรรมต่อกลุ่มต่างๆ นั้นได้รับการกำหนดอย่างเป็นทางการโดยการขยายเกณฑ์การเป็นตัวแทนที่ชอบธรรม จาก ระบบการลงคะแนนแบบหลาย ผู้ชนะ แนวคิดของเกณฑ์เหล่านี้คือ หากมีกลุ่มผู้ลงคะแนนจำนวนมากพอที่เห็นพ้องต้องกันในกลุ่มโครงการจำนวนมากพอ โครงการเหล่านั้นก็ควรได้รับส่วนแบ่งงบประมาณที่มากพอ กล่าวคือ เมื่อกำหนดกลุ่ม ผู้ลงคะแนน Nและชุดโครงการ P เราจะกำหนดดังนี้:

• N สามารถจ่าย P ได้ก็ต่อเมื่อNมีขนาดใหญ่พอที่จะให้ทุนสนับสนุนโครงการในPด้วยส่วนแบ่งงบประมาณตามสัดส่วนที่เหมาะสม${\displaystyle |N|\cdot B/n\geq {\text{cost}}(P)}$
• ประโยชน์ที่เป็นไปได้ของ N จาก Pคือ^{[ 2 ] : มาตรา 5} โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีของการลงคะแนนอนุมัติและความพึงพอใจตามจำนวน ประโยชน์ที่เป็นไปได้ก็คือจำนวนโครงการในP ที่ได้รับการอนุมัติ จากสมาชิกทั้งหมดในN${\displaystyle \sum _{x\in P}\min _{i\in N}u_{i}(x)}$

จากคำจำกัดความเหล่านี้ แนวคิดเรื่องความยุติธรรมหลายประการได้รับการกำหนดไว้ ดู Rey และ Maly [ ^{2 ] สำหรับ}การจำแนกประเภทของแนวคิดเรื่องความยุติธรรมต่างๆ ด้านล่างนี้ การจัดสรรงบประมาณที่เลือก (ชุดของโครงการที่เลือกให้ได้รับทุน) จะถูกแทนด้วยX

การเป็นตัวแทนที่ขยายและสมเหตุสมผลอย่างเข้มแข็ง (SEJR)หมายความว่า สำหรับทุกกลุ่ม ผู้มีสิทธิเลือกตั้ง Nที่สามารถจัดหาเงินทุน สำหรับโครงการ P ชุดหนึ่งได้ อรรถประโยชน์ของสมาชิกทุกคน ใน Nจากโครงการ Xจะต้องสูงอย่างน้อยเท่ากับอรรถประโยชน์ที่เป็นไปได้ของNจากโครงการ Pโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในระบบการลงคะแนนแบบอนุมัติและความพึงพอใจเชิงปริมาณ หากNสามารถจัดหาเงินทุนสำหรับโครงการ P ได้ และสมาชิกทุกคนในNอนุมัติ โครงการ Pแล้ว สำหรับสมาชิกแต่ละคนiในNอย่างน้อยที่สุดควรมี โครงการที่ได้รับการอนุมัติจากสมาชิก i จำนวน | P | โครงการ

คุณสมบัตินี้แข็งแกร่งเกินไป แม้ในกรณีพิเศษของการลงคะแนนอนุมัติและโครงการต้นทุนต่อหน่วย (การเลือกตั้งคณะกรรมการ) ตัวอย่างเช่น สมมติว่าn = 4 และB = 2 มีโครงการต้นทุนต่อหน่วยสามโครงการ {x, y, z} การลงคะแนนอนุมัติคือ: {1:x, 2:y, 3:z, 4:xyz} กลุ่ม N={1,4} สามารถจ่าย P={x} ได้ และอรรถประโยชน์ที่เป็นไปได้จาก {x} คือ 1 ในทำนองเดียวกัน {2,4} สามารถจ่าย {y} ได้ และ {3,4} สามารถจ่าย {z} ได้ ดังนั้น SEJR กำหนดให้อรรถประโยชน์ของตัวแทนทั้ง 4 คนต้องมีอย่างน้อย 1 ซึ่งสามารถทำได้โดยการให้ทุนสนับสนุนโครงการทั้ง 3 โครงการ แต่มีงบประมาณเพียงพอสำหรับเพียง 2 โครงการเท่านั้น โปรดทราบว่าสิ่งนี้ใช้ได้กับฟังก์ชันความพึงพอใจใดๆ^{[ 2 ] : มาตรา 5, หมายเหตุ 5}

การเป็นตัวแทนที่สมเหตุสมผลอย่างเต็มที่ (Fully Justified Representation: FJR)หมายความว่า สำหรับทุกกลุ่ม ผู้มีสิทธิเลือกตั้ง N ที่สามารถจ่ายเงิน สำหรับโครงการPชุดหนึ่งได้ ประโยชน์ของ สมาชิกอย่างน้อยหนึ่ง คน ในNจาก โครงการ Xจะต้องสูงกว่าหรือเท่ากับประโยชน์ที่เป็นไปได้ของNจากโครงการ Pโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในระบบการลงคะแนนแบบอนุมัติและความพึงพอใจเชิงปริมาณ หากNสามารถจ่ายเงินสำหรับP ได้ และสมาชิกทุกคนในNอนุมัติอย่างน้อยkโครงการของPแล้ว สำหรับสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งคนiในN โครงการ อย่างน้อยk โครงการที่ iอนุมัติควรได้รับการสนับสนุนทางการเงิน

เงื่อนไข "อย่างน้อยหนึ่งสมาชิก" อาจทำให้คุณสมบัติของ FJR ดูอ่อนแอ แต่โปรดสังเกตว่าเงื่อนไขนี้ควรใช้ได้กับทุกกลุ่มNของผู้มีสิทธิเลือกตั้งที่สามารถจ่ายเงินสำหรับโครงการจำนวนPได้ ดังนั้นจึงหมายความว่ามีหลักประกันความเป็นธรรมสำหรับผู้มีสิทธิเลือกตั้งจำนวนมาก

การจัดสรรงบประมาณ FJR มีอยู่เสมอ^{[ 6 ] : มาตรา 4} ตัวอย่างเช่น ในตัวอย่างข้างต้น {a,b,c} เป็นไปตาม FJR: ใน {1,2,3} และ {3,4,5} และ {5,6,7} ตัวแทนทั้งหมดมีอรรถประโยชน์อย่างน้อย 1 และใน {7,8,9} ผู้ลงคะแนนเสียงหมายเลข 7 มีอรรถประโยชน์อย่างน้อย 1 การพิสูจน์การมีอยู่ขึ้นอยู่กับกฎที่เรียกว่ากฎความสอดคล้องแบบโลภ (GCR) :

• วนซ้ำไปเรื่อยๆ ใน กลุ่มผู้ลงคะแนนเสียงทั้ง 2n ^{กลุ่ม} สำหรับแต่ละกลุ่ม Nให้ค้นหาชุด โครงการ Pที่Nสามารถจ่ายได้สำหรับPและภายใต้เงื่อนไขนี้ ประโยชน์ที่N จะได้รับ จากPจะมีค่าสูงสุด
• หากพบคู่ (N,P) ดังกล่าว โครงการทั้งหมดในPจะได้รับเงินทุน ผู้ลงคะแนนทั้งหมดในNจะถูกถอดออก และกระบวนการจะเริ่มต้นใหม่
• หากไม่พบคู่ (N,P) ใดๆ อัลกอริทึมจะหยุดทำงาน

เห็นได้ชัดว่า GCR เลือกการจัดสรรงบประมาณที่เหมาะสมเสมอ กล่าวคือ เมื่อใดก็ตามที่ให้ทุนสนับสนุนโครงการ ชุด P ก็จะตัด สิทธิ์ผู้มีสิทธิเลือกตั้ง ชุด Nที่ตรงตามเงื่อนไขบางประการออกไป จำนวนผู้มีสิทธิเลือกตั้งที่ถูกตัดออกทั้งหมดไม่เกินnดังนั้น ต้นทุนรวมของโครงการที่เพิ่มเข้ามาจึงไม่เกิน ${\displaystyle |N|\cdot B/n\geq {\text{cost}}(P)}$${\displaystyle n\cdot B/n=B}$

เพื่อให้เห็นว่า GCR สอดคล้องกับ FJR ให้พิจารณากลุ่มใดๆNที่สามารถจัดหาชุดP ได้ และมีอรรถประโยชน์ที่เป็นไปได้ u(N,P) ให้iเป็นสมาชิกของNที่ถูกถอดออกก่อน ผู้ลงคะแนนi ถูกถอดออกจากการเป็นสมาชิกในกลุ่มผู้ลงคะแนน Mอื่นๆซึ่งสามารถจัดหาชุดQ ได้ โดยมีอรรถประโยชน์ที่เป็นไปได้ u(M,Q) เมื่อMถูกถอดออกNก็พร้อมใช้งาน ดังนั้นลำดับของอัลกอริทึมจึงบ่งชี้ว่า u(M,Q) ≥ u(N,P) เนื่องจากQ ทั้งหมด ได้รับการสนับสนุน ตัวแทนแต่ละคนในMรวมถึงตัวแทนiจะได้รับอรรถประโยชน์อย่างน้อย u(M,Q) ซึ่งอย่างน้อย u(N,P) ดังนั้นเงื่อนไข FJR จึงเป็นไปตามที่กำหนดสำหรับiโปรดทราบว่าการพิสูจน์นี้ยังคงใช้ได้แม้กับอรรถประโยชน์แบบโมโนโทนที่ไม่สามารถบวกได้

GCR ใช้เวลาแบบเลขชี้กำลังในnอันที่จริง การหาการจัดสรรงบประมาณแบบ FJR นั้นเป็นปัญหา NP-hard แม้จะมีผู้ลงคะแนนเพียงคนเดียวก็ตาม การพิสูจน์ทำได้โดยการลดรูปจากปัญหาเป้สะพายหลัง กำหนดให้ปัญหาเป้สะพายหลังมีตัวอย่าง PB ที่มีผู้ลงคะแนนเพียงคนเดียว โดยงบประมาณคือความจุของเป้สะพายหลัง และสำหรับแต่ละรายการที่มีน้ำหนักwและมูลค่าvจะมีโครงการที่มีต้นทุนwและอรรถประโยชน์vให้Pเป็นคำตอบที่ดีที่สุดสำหรับตัวอย่างเป้สะพายหลัง เนื่องจากต้นทุน( P ) = น้ำหนัก( P ) มีค่าอย่างมากที่สุดเท่ากับงบประมาณ ผู้ลงคะแนนเพียงคนเดียวจึงสามารถจ่ายได้ ดังนั้น อรรถประโยชน์ของเขาในการจัดสรรงบประมาณแบบ EJR ควรมีค่าอย่างน้อยเท่ากับมูลค่า( P ) ดังนั้น การหาการจัดสรรงบประมาณแบบ FJR จึงให้คำตอบสำหรับตัวอย่างเป้สะพายหลัง ความยากลำบากเดียวกันนี้ยังคงมีอยู่แม้จะมีบัตรลงคะแนนแบบอนุมัติและความพึงพอใจตามต้นทุน โดยการลดรูปจากปัญหาผลรวมย่อย

หลักการแสดงตนอย่างมีเหตุผลแบบขยาย (Extended Justified Representation: EJR)เป็นคุณสมบัติที่อ่อนกว่าหลักการแสดงตนอย่างมีเหตุผลแบบทั่วไป (Fair Justified Representation: FJR) เล็กน้อย หมายความว่าเงื่อนไข FJR ควรใช้ได้เฉพาะกับกลุ่มที่มีความ "เหนียวแน่น" เพียงพอเท่านั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในกรณีการลงคะแนนอนุมัติ หากNสามารถจ่ายP ได้ และสมาชิกทุกคนในNอนุมัติองค์ประกอบทั้งหมดของ Pแล้ว สำหรับสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งคนiในNความพึงพอใจจาก โครงการที่ได้รับการอนุมัติของ iในXควรสูงอย่างน้อยเท่ากับความพึงพอใจจากPโดยเฉพาะอย่างยิ่ง:

• ด้วยความพึงพอใจตามจำนวนเชิงปริมาณ หมายความว่าอย่างน้อย | P | โครงการที่ได้รับการอนุมัติจากiควรได้รับการสนับสนุนทางการเงิน
• ด้วยความพึงพอใจตามต้นทุน หมายความว่า โครงการบางโครงการที่ได้รับการอนุมัติจากiซึ่งมีต้นทุนรวมอย่างน้อยที่สุด ( P ) ควรได้รับการสนับสนุนทางการเงิน

เนื่องจาก FJR บ่งชี้ถึง EJR ดังนั้นการจัดสรรงบประมาณแบบ EJR จึงมีอยู่เสมอ อย่างไรก็ตาม เช่นเดียวกับ FJR การค้นหาการจัดสรรแบบ EJR นั้นเป็นปัญหา NP-hard ความยากของ NP-hard นี้ยังคงอยู่แม้กระทั่งกับการลงคะแนนแบบอนุมัติ สำหรับฟังก์ชันความพึงพอใจใดๆ ที่เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดตามต้นทุน แต่ด้วยความพึงพอใจและการลงคะแนนแบบอนุมัติที่อิงตามจำนวนสมาชิก วิธีการแบ่งส่วนเท่าๆ กันจะพบการจัดสรรงบประมาณแบบ EJR

ยิ่งไปกว่านั้น การตรวจสอบว่าการจัดสรรงบประมาณที่กำหนดนั้นเป็นไปตาม EJR หรือไม่นั้นเป็นปัญหาcoNP-hardแม้จะมีต้นทุนต่อหน่วยก็ตาม^{[ 20 ]}

ยังคงเป็นคำถามที่เปิดกว้างว่าการจัดสรรงบประมาณ EJR หรือ FJR สามารถพบได้ในเวลาพหุนามตามnและB (นั่นคือเวลาพหุนามเทียม ) หรือไม่ ^{[ 2 ] : 5.1.1.2}

EJR สูงสุดหนึ่งโครงการ (EJR-1)หมายความว่า สำหรับทุกกลุ่ม ผู้มีสิทธิเลือกตั้ง Nที่สามารถจ่ายเงินสำหรับ โครงการ P ชุดหนึ่ง ได้ จะมีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งคนiในกลุ่ม Nที่เป็นไปตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:

• ประโยชน์ของiจากXมีค่าอย่างน้อยเท่ากับประโยชน์ที่เป็นไปได้ของNจากPหรือ -
• มีโครงการyในP อยู่โครงการ หนึ่งซึ่งอรรถประโยชน์ของiจากX + yนั้น มากกว่า อรรถประโยชน์ที่เป็นไปได้ของNจากP อย่างชัดเจน

เมื่อใช้การลงคะแนนแบบนับจำนวน EJR-1 จะอ่อนกว่า EJR แต่เมื่อใช้การลงคะแนนแบบอนุมัติและความพึงพอใจแบบนับจำนวน EJR-1 จะเทียบเท่ากับ EJR ทั้งนี้เพราะค่าประโยชน์ของทุกโครงการเป็น 0 หรือ 1 ดังนั้น หากการเพิ่มโครงการเพียงโครงการเดียวทำให้ ค่าประโยชน์ของ iมากกว่า u(N,P) อย่างชัดเจนแล้ว หากไม่มีโครงการนี้ ค่าประโยชน์ของ iจะอย่างน้อยเท่ากับ u(N,P)

Pierczynski, Skowron และ Peters ^{[ 6 ] : ทฤษฎีบทที่ 2} พิสูจน์ว่าวิธีการแบ่งส่วนเท่าๆ กันซึ่งทำงานในเวลาพหุนามจะพบการจัดสรรงบประมาณ EJR-1 เสมอ ดังนั้น ด้วยการลงคะแนนอนุมัติและความพึงพอใจตามจำนวนสมาชิก จึงพบการจัดสรรงบประมาณ EJR เสมอ (แม้แต่สำหรับต้นทุนที่ไม่ใช่หน่วย)

EJR จนถึงโครงการใดๆ (EJR-x)หมายความว่า สำหรับทุกกลุ่มNของผู้ลงคะแนนเสียงที่สามารถจ่ายสำหรับชุด โครงการ Pและสำหรับทุกโครงการy ที่ไม่ได้รับเงินทุน ในPประโยชน์ของiจากX + yจะมากกว่าประโยชน์ที่เป็นไปได้ของNจากPอย่างชัดเจน EJR บ่งชี้ EJR-x ซึ่งบ่งชี้ EJR-1 Brill, Forster, Lackner, Maly และ Peters ^{[ 21 ]}พิสูจน์ว่า สำหรับบัตรลงคะแนนอนุมัติและสำหรับฟังก์ชันความพึงพอใจใดๆ ที่มีความพึงพอใจปกติที่ลดลง (DNS) หากใช้วิธีการแบ่งปันที่เท่ากันกับฟังก์ชันความพึงพอใจนั้น ผลลัพธ์จะเป็น EJR-x

อย่างไรก็ตาม อาจเป็นไปไม่ได้ที่จะตอบสนอง EJR-x หรือแม้แต่ EJR-1 พร้อมกันสำหรับฟังก์ชันความพึงพอใจที่แตกต่างกัน: มีบางกรณีที่ไม่มีการจัดสรรงบประมาณใดที่ตอบสนอง EJR-1 พร้อมกันสำหรับทั้งความพึงพอใจด้านต้นทุนและความพึงพอใจด้านจำนวนสมาชิก^{[ 21 ]}

หลักการจัดสรรงบประมาณอย่างเป็นธรรมตามสัดส่วน (Proportional Justified Representation: PJR)หมายความว่า สำหรับกลุ่มผู้มีสิทธิเลือกตั้งN ทุกกลุ่มที่สามารถจัดสรรงบประมาณ สำหรับโครงการP ได้นั้น ประโยชน์ที่กลุ่ม Nได้รับจากงบประมาณที่จัดสรรให้ – ซึ่งกำหนดโดย– จะต้องมีค่าอย่างน้อยเท่ากับประโยชน์ที่เป็นไปได้ของกลุ่ม Nจากโครงการ Pโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในกรณีการลงคะแนนแบบอนุมัติ หากกลุ่ม Nสามารถจัดสรรงบประมาณสำหรับโครงการ P ได้และสมาชิกทุกคนในกลุ่มNอนุมัติทุกโครงการในโครงการPแล้ว ความพึงพอใจจากโครงการทั้งหมดที่ได้รับทุนสนับสนุนและได้รับการอนุมัติจากสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งคนในกลุ่ม Nควรจะมีค่าอย่างน้อยเท่ากับความพึงพอใจจากโครงการ Pโดยเฉพาะอย่างยิ่ง: ${\displaystyle \sum _{x{\text{ is funded }}}\max _{i\in N}u_{i}(x)}$

• ด้วยความพึงพอใจตามจำนวนเชิงปริมาณ หมายความว่าอย่างน้อยโครงการ |P| โครงการจากผลรวมการอนุมัติของสมาชิกทั้งหมดใน Nควรได้รับการสนับสนุนทางการเงิน
• ด้วยความพึงพอใจตามต้นทุน หมายความว่าโครงการที่มีต้นทุนรวมอย่างน้อยที่สุด (P) จากการรวมกันของการอนุมัติของสมาชิกทั้งหมดใน Nควรได้รับเงินทุน (PJR สำหรับการลงคะแนนอนุมัติด้วยความพึงพอใจตามต้นทุนเทียบเท่ากับคุณสมบัติที่เรียกว่า BPJR-L โดย Aziz, Lee และ Talmon ^{[ 16 ]} )

เนื่องจาก EJR หมายถึง PJR ดังนั้นการจัดสรรงบประมาณ PJR จึงมีอยู่เสมอ อย่างไรก็ตาม เช่นเดียวกับ EJR การหาการจัดสรร PJR แม้แต่สำหรับผู้ลงคะแนนเสียงเพียงคนเดียวก็เป็นปัญหา NP-hard (โดยใช้การลดแบบเดียวกันจาก knapsack) ยิ่งไปกว่านั้น การตรวจสอบว่าการจัดสรรงบประมาณที่กำหนดนั้นตรงตาม PJR หรือไม่เป็นปัญหาcoNP-hardแม้จะมีต้นทุนต่อหน่วยและบัตรลงคะแนนอนุมัติก็ตาม^{[ 20 ]}

ในทำนองเดียวกันกับ EJR-x เราสามารถกำหนดPJR-x ได้ ซึ่งหมายถึง PJR จนถึงโครงการใดๆ Brill, Forster, Lackner, Maly และ Peters ^{[ 21 ]}พิสูจน์ว่าสำหรับการลงคะแนนอนุมัติ กฎ Phragmen แบบลำดับ กฎการสนับสนุนสูงสุด และวิธีการแบ่งเท่าๆ กันด้วยความพึงพอใจของจำนวนสมาชิก ล้วนรับประกัน PJR-x พร้อมกันสำหรับฟังก์ชันความพึงพอใจ DNS ทุกฟังก์ชัน

Aziz, Lee และ Talmon ^{[ 16 ]}นำเสนอ รูปแบบ ท้องถิ่นของเกณฑ์ JR ข้างต้น ซึ่งสามารถปฏิบัติตามได้ในเวลาพหุนาม สำหรับแต่ละเกณฑ์เหล่านี้ พวกเขายังนำเสนอรูปแบบที่อ่อนกว่า โดยที่แทนที่จะใช้ขีดจำกัดงบประมาณภายนอกBตัวหารคือWซึ่งเป็นจำนวนเงินจริงที่ใช้ในการจัดหาเงินทุน เนื่องจากโดยปกติW < Bรูป แบบ Wจึงง่ายต่อการปฏิบัติตามมากกว่ารูปแบบB ^{[ 16 ]}

Aziz และ Lee ^{[ 19 ]}ขยายแนวคิดการเป็นตัวแทนที่ชอบธรรมไปยังบัตรลงคะแนนลำดับอ่อน ซึ่งมีบัตรลงคะแนนอนุมัติเป็นกรณีพิเศษ พวกเขาขยายแนวคิดของกลุ่มที่เหนียวแน่นไปยังกลุ่มพันธมิตรที่แข็งแกร่งและกำหนดแนวคิดสัดส่วนที่ไม่สามารถเปรียบเทียบกันได้สองแบบ: สัดส่วนเชิงเปรียบเทียบสำหรับกลุ่มพันธมิตรที่แข็งแกร่ง (CPSC) และสัดส่วนการรวมสำหรับกลุ่มพันธมิตรที่แข็งแกร่ง (IPSC) CPSC อาจไม่มีอยู่เสมอไป แต่ IPSC มีอยู่เสมอและสามารถพบได้ในเวลาพหุนาม ส่วนแบ่งที่เท่ากันเป็นไปตาม PSC ซึ่งเป็นแนวคิดที่อ่อนกว่าทั้ง IPSC และ CPSC ^{[ 6 ]}

วิธีหนึ่งในการประเมินทั้งความยุติธรรมและความมั่นคงของการจัดสรรงบประมาณคือการตรวจสอบว่ากลุ่มผู้มีสิทธิเลือกตั้งกลุ่มใดกลุ่มหนึ่งจะได้รับอรรถประโยชน์ที่สูงขึ้นหรือไม่ หากพวกเขาแบ่งงบประมาณส่วนของตนในรูปแบบอื่น แนวคิดนี้ถูกอธิบายด้วยแนวคิด " แกนหลัก"จากทฤษฎีเกมแบบร่วมมือ กล่าวคือ การจัดสรรงบประมาณXอยู่ในแกนหลักที่อ่อนแอ หมายความว่าไม่มีกลุ่ม ผู้มีสิทธิเลือกตั้ง NและมีการจัดสรรงบประมาณทางเลือกZอยู่ซึ่งสมาชิกทั้งหมดของกลุ่ม N จะเลือกZมากกว่าXอย่าง ชัดเจน${\displaystyle |N|\cdot B/n}$

ความเป็นธรรมหลักนั้นแข็งแกร่งกว่า FJR ซึ่งแข็งแกร่งกว่า EJR เพื่อให้เห็นความสัมพันธ์ระหว่างเงื่อนไขเหล่านี้ โปรดสังเกตว่า สำหรับแกนหลักที่อ่อนแอ เพียงพอแล้วที่สำหรับแต่ละกลุ่ม ผู้ลงคะแนนเสียง Nประโยชน์ของ สมาชิก อย่างน้อยหนึ่งคนใน กลุ่ม NจากXจะต้องสูงอย่างน้อยเท่ากับประโยชน์ที่เป็นไปได้ของกลุ่ม NจากPไม่จำเป็นว่ากลุ่ม Nจะต้องมีความเหนียวแน่น

สำหรับการตั้งค่าPB ที่หารลงตัวและบัตรลงคะแนนจำนวนนับมีอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับการคำนวณการจัดสรรงบประมาณหลักสำหรับคลาสธรรมชาติบางคลาสของฟังก์ชันอรรถประโยชน์^{[ 22 ]}

อย่างไรก็ตาม สำหรับPB ที่แบ่งแยกไม่ได้แกนหลักที่อ่อนแออาจว่างเปล่าแม้จะมีต้นทุนต่อหน่วยก็ตาม ตัวอย่างเช่น: ^{[ 6 ]}สมมติว่ามีผู้ลงคะแนน 6 คนและโครงการต้นทุนต่อหน่วย 6 โครงการ และงบประมาณคือ 3 ยูทิลิตี้เป็นไปตามอสมการต่อไปนี้:

• u1(a) > u1(b) > 0; u2(b) > u2(c) > 0; u3(c) > u3(a) > 0;
• u4(ง) > u4(e) > 0; u5(e) > u5(f) > 0; u6(f) > u6(d) > 0.

ยูทิลิตี้อื่นๆ ทั้งหมดมีค่าเป็น 0 การจัดสรรงบประมาณที่เป็นไปได้ใดๆ จะมีโครงการอย่างมากที่สุดหนึ่งโครงการ {a,b,c} หรืออย่างมากที่สุดหนึ่งโครงการ {d,e,f} สมมติว่าเป็นกรณีแรก และสมมติว่าbและcไม่ได้รับการสนับสนุนทางการเงิน ดังนั้นผู้ลงคะแนนเสียง 2 และ 3 สามารถนำส่วนแบ่งตามสัดส่วนของงบประมาณ (ซึ่งคือ 1) ไปสนับสนุนโครงการ c ซึ่งจะทำให้ทั้งสองคนมียูทิลิตี้ที่สูงขึ้น โปรดทราบว่าตัวอย่างข้างต้นต้องการค่ายูทิลิตี้เพียง 3 ค่าเท่านั้น (เช่น 2, 1, 0)

ด้วยค่าประโยชน์เพียง 2 ค่า (เช่น บัตรลงคะแนนอนุมัติ) จึงเป็นคำถามที่เปิดกว้างว่าการจัดสรรแกนอ่อนมีอยู่เสมอหรือไม่ ไม่ว่าจะมีต้นทุนต่อหน่วยหรือไม่ก็ตาม ทั้งในกรณีที่พึงพอใจกับจำนวนสมาชิกและพึงพอใจกับต้นทุน^{[ 6 ]}

สามารถหาค่าประมาณบางส่วนของแกนหลักได้: ส่วนแบ่งที่เท่ากันทำให้ได้ค่าประมาณแบบคูณของ. ^{[ 6 ]} Munagala, Shen, Wang และ Wang ^{[ 23 ]}พิสูจน์ว่าสำหรับยูทิลิตี้แบบโมโนโทนใดๆ การจัดสรรแกนหลักโดยประมาณ 67 มีอยู่และสามารถคำนวณได้ในเวลาพหุนาม สำหรับยูทิลิตี้แบบบวก การจัดสรรแกนหลักโดยประมาณ 9.27 มีอยู่ แต่ยังไม่ทราบว่าสามารถคำนวณได้ในเวลาพหุนามหรือไม่ ${\displaystyle 4\log(2{\frac {u_{\max }}{u_{\min }}})}$

Jiang, Munagala และ Wang ^{[ 24 ] [ 25 ]}พิจารณาแนวคิดการประมาณค่าที่แตกต่างกันเรียกว่าการประมาณค่าสิทธิ์พวกเขาพิสูจน์ว่าแกนประมาณค่า 32 ตามแนวคิดนี้มีอยู่เสมอ

ความสามารถในการกำหนดราคาหมายความว่า^{[ 6 ]}เป็นไปได้ที่จะกำหนดงบประมาณคงที่ให้กับผู้มีสิทธิเลือกตั้งแต่ละคน และแบ่งงบประมาณของผู้มีสิทธิเลือกตั้งแต่ละคนให้กับผู้สมัครที่เขาอนุมัติ โดยที่ผู้สมัครที่ได้รับเลือกตั้งแต่ละคนจะถูก 'ซื้อ' โดยผู้สมัครที่อนุมัติเขา และไม่มีผู้สมัครที่ไม่ได้รับเลือกตั้งคนใดสามารถถูกซื้อได้ด้วยเงินที่เหลือของผู้มีสิทธิเลือกตั้งที่อนุมัติเขา MES สามารถมองได้ว่าเป็นการนำสมดุลของ Lindahl มาใช้ ในแบบจำลองแบบไม่ต่อเนื่อง โดยมีสมมติฐานว่าลูกค้าที่แบ่งปันสินค้าจะต้องจ่ายราคาเดียวกันสำหรับสินค้า^{[ 26 ]}คำจำกัดความนี้เหมือนกันสำหรับบัตรลงคะแนนแบบนับจำนวนและบัตรลงคะแนนแบบอนุมัติ

การจัดสรรราคาจะคำนวณตามกฎของส่วนแบ่งที่เท่ากัน (สำหรับการลงคะแนนเสียงหลัก) ^{[ 6 ]} Phragmen ลำดับ (สำหรับการลงคะแนนเสียงอนุมัติ) ^{[ 14 ]}และการสนับสนุนสูงสุด (สำหรับการลงคะแนนเสียงอนุมัติ) ^{[ 21 ]}

ด้วยการลงคะแนนอนุมัติ ราคาที่สมเหตุสมผลหมายถึง PJR-x สำหรับความพึงพอใจตามต้นทุน ยิ่งไปกว่านั้น แนวคิดเรื่องราคาที่สมเหตุสมผลที่แข็งแกร่งกว่าเล็กน้อยหมายถึง PJR-x พร้อมกันสำหรับฟังก์ชันความพึงพอใจ DNS ทั้งหมด แนวคิดที่แข็งแกร่งกว่านี้ได้รับการตอบสนองโดยส่วนแบ่งที่เท่ากันด้วยความพึงพอใจของจำนวนสมาชิก Phragmen ตามลำดับ และการสนับสนุน maximin ^{[ 21 ]}

ความเป็นธรรมแบบลามินาร์^{[ 27 ] [ 14 ]}เป็นเงื่อนไขสำหรับอินสแตนซ์ของโครงสร้างเฉพาะที่เรียกว่าอินสแตนซ์แบบลามินาร์กรณีพิเศษของอินสแตนซ์แบบลามินาร์คืออินสแตนซ์ที่ประชากรถูกแบ่งออกเป็นสองกลุ่มหรือมากกว่าที่ไม่ทับซ้อนกัน โดยแต่ละกลุ่มสนับสนุนชุดโครงการที่ไม่ทับซ้อนกัน ส่วนแบ่งที่เท่ากันและ Phragmen ตามลำดับเป็นสัดส่วนแบบลามินาร์กับต้นทุนต่อหน่วย^{[ 27 ]}แต่ไม่ใช่กับต้นทุนทั่วไป^{[ 14 ]}

Maly, Rey, Endriss และ Lackner ^{[ 28 ] [ 29 ]}ได้กำหนดแนวคิดความยุติธรรมใหม่สำหรับ PB ที่มีการลงคะแนนอนุมัติ ซึ่งขึ้นอยู่กับความเท่าเทียมกันของทรัพยากรเท่านั้น ไม่ใช่ฟังก์ชันความพึงพอใจเฉพาะ แนวคิดนี้ได้รับการนำเสนอครั้งแรกโดยRonald Dworkin [ ^{30 ] [ 31 ] พวก}เขาอธิบายเหตุผลเบื้องหลังแนวคิดใหม่นี้ดังนี้: "เราไม่ได้มุ่งหวังการกระจายความพึงพอใจ อย่างยุติธรรม แต่เราพยายามที่จะลงทุนความพยายาม เท่าๆ กัน เพื่อทำให้ผู้ลงคะแนนแต่ละคนพึงพอใจ ข้อดีคือปริมาณทรัพยากรที่ใช้ไปเป็นปริมาณที่เราสามารถวัดได้อย่างเป็นกลาง" พวกเขากำหนดส่วนแบ่งของตัวแทนiจากชุดPของโครงการที่ได้รับทุนดังนี้: โดยสัญชาตญาณ ปริมาณนี้แสดงถึงปริมาณทรัพยากรที่สังคมใส่เข้าไปเพื่อทำให้i พึงพอใจ สำหรับแต่ละโครงการที่ได้รับทุนxต้นทุนของx จะมีส่วนร่วมเท่าๆ กันแก่ ตัวแทนทั้งหมดที่อนุมัติxยกตัวอย่างเช่น สมมติว่างบประมาณคือ 8 มีโครงการสามโครงการคือ x, y, z โดยแต่ละโครงการมีค่าใช้จ่าย 6, 2, 2 และมีตัวแทนสี่คนที่มีคะแนนเสียงอนุมัติ xy, xy, y, z ${\displaystyle {\text{share}}(P,i):=\sum _{x\in P\cap A_{i}}{\frac {{\text{cost}}(x)}{|\{j:x\in A_{j}\}|}}}$

• ถ้าเลือก {x,y} แล้ว ส่วนแบ่งของผู้ลงคะแนน 1,2 คือ 6/3 + 2/2 = 3; ส่วนแบ่งของผู้ลงคะแนน 3 คือ 6/3 = 2; และส่วนแบ่งของผู้ลงคะแนน 4 คือ 0
• ถ้าเลือก {x,z} แล้ว ส่วนแบ่งของผู้ลงคะแนน 1, 2, 3 คือ 6/3 = 2 และส่วนแบ่งของผู้ลงคะแนน 4 คือ 2/1 = 2 ดังนั้นผู้ลงคะแนนทุกคนได้รับส่วนแบ่งเท่ากัน

การจัดสรรงบประมาณจะสอดคล้องกับหลักการแบ่งปันอย่างเป็นธรรม (FS) ก็ต่อ เมื่อส่วนแบ่งของแต่ละตัวแทนมีค่าอย่างน้อยที่สุดเท่ากับ min( B / n , share( A _i , i )) เห็นได้ชัดว่า การจัดสรรแบบแบ่งปันอย่างเป็นธรรมอาจไม่มีอยู่จริง ตัวอย่างเช่น เมื่อมีตัวแทนสองคนซึ่งแต่ละคนต้องการโครงการที่แตกต่างกัน แต่มีงบประมาณเพียงพอสำหรับโครงการเดียวเท่านั้น ยิ่งไปกว่านั้น แม้แต่การจัดสรรแบบแบ่งปันอย่างเป็นธรรมสำหรับโครงการไม่เกินหนึ่งโครงการ (FS-1) ก็อาจไม่มีอยู่จริง ตัวอย่างเช่น สมมติว่าB = 5 มี 3 โครงการ ต้นทุนโครงการละ 3 และผลการลงคะแนนอนุมัติคือ xy, yz, zx ส่วนแบ่งอย่างเป็นธรรมคือ 5/3 แต่ในการจัดสรรที่เป็นไปได้ใดๆ จะมีโครงการที่ได้รับเงินทุนอย่างมากที่สุดเพียงโครงการเดียว ดังนั้นจึงมีตัวแทนที่ไม่มีโครงการที่ได้รับเงินทุนอนุมัติ สำหรับตัวแทนนี้ แม้แต่การเพิ่มโครงการอีกหนึ่งโครงการก็จะเพิ่มส่วนแบ่งของเขาเป็น 3/2 = 1.5 ซึ่งน้อยกว่า 5/3 การตรวจสอบว่ามีการจัดสรรแบบ FS หรือ FS-1 อยู่หรือไม่นั้นเป็นปัญหา NP-hard จากตัวอย่างการใช้งานจริงของยาพาบูลิบสามารถให้ยาแต่ละชนิดในสัดส่วนระหว่าง 45% ถึง 75% ของส่วนแบ่งที่เหมาะสมได้ โดยกฎ MES จะให้สัดส่วนที่มากกว่ากฎ Phragmen แบบเรียงลำดับ

การผ่อนปรนที่อ่อนกว่า เรียกว่าการแบ่งปันอย่างเป็นธรรมในระดับท้องถิ่น (Local-FS)กำหนดให้สำหรับทุกโครงการy ที่ไม่ได้รับเงินทุน จะต้องมีตัวแทน iอย่างน้อยหนึ่งรายที่อนุมัติyและมีส่วนแบ่ง ( X + y , i) > B / n Local-FS สามารถเป็นไปได้โดยการปรับเปลี่ยนวิธีการแบ่งปันอย่างเท่าเทียมกัน โดยที่การมี ส่วนร่วมของตัวแทนแต่ละรายในการให้ทุนแก่โครงการxจะเป็นสัดส่วนกับส่วนแบ่ง ({ x }, i ) แทนที่จะเป็นui ₍ x )

อีกหนึ่งการผ่อนปรนคือExtended Justified Share (EJS)ซึ่งหมายความว่า สำหรับกลุ่มตัวแทนN ใดๆ ที่สามารถจัดหาโครงการ Pชุดหนึ่งได้โดยที่สมาชิกทุกคนในNเห็นชอบกับทุกองค์ประกอบของ Pจะต้องมีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งคนiในNที่มี share( X , i ) ≥ share( P , i ) EJS ดูคล้ายกับ EJR แต่เป็นอิสระต่อกัน กล่าวคือ มีบางกรณีที่การจัดสรรบางส่วนเป็น EJS แต่ไม่ใช่ EJR ในขณะที่การจัดสรรอื่นๆ เป็น EJR แต่ไม่ใช่ EJS การจัดสรรแบบ EJS มีอยู่เสมอและสามารถค้นหาได้โดยใช้กฎ Greedy Cohesive Rule ที่ใช้เวลาแบบเลขชี้กำลังการค้นหาการจัดสรรแบบ EJS นั้นเป็นปัญหา NP-hard แต่ MES เวอร์ชันข้างต้นนั้นเป็นไปตาม EJS จนถึงโครงการเดียว (EJS-1) ยังไม่แน่ชัดว่า EJS จนถึงโครงการใดๆ (EJS-x) จะสามารถทำได้ในเวลาแบบพหุนามหรือไม่ ${\displaystyle O(n\cdot 2^{m})}$

ความเป็นธรรมในระดับเขตเป็นแนวคิดเรื่องความเป็นธรรมที่มุ่งเน้นไปที่เขตต่างๆ ที่กำหนดไว้ล่วงหน้า ในเมือง แต่ละเขตiสมควรได้รับงบประมาณB _i (ส่วนหนึ่งของงบประมาณเมืองทั้งหมด) ซึ่งโดยปกติแล้วจะเป็นสัดส่วนกับขนาดประชากรในเขตนั้น ในหลายเมือง มีกระบวนการจัดสรรงบประมาณแบบแยกต่างหากในแต่ละเขต อาจมีประสิทธิภาพมากกว่าหากทำกระบวนการจัดสรรงบประมาณแบบรวมทั้งเมือง แต่สิ่งสำคัญคือต้องทำในลักษณะที่ไม่ก่อให้เกิดความเสียหายแก่เขตต่างๆ ดังนั้น การจัดสรรงบประมาณรวมทั้งเมืองจึงมีความเป็นธรรมในระดับเขตหากให้สวัสดิการแก่แต่ละเขตi อย่างน้อยที่สุดเท่ากับ ที่ ควรได้รับจากการจัดสรรB _{i อย่างเหมาะสม}

Hershkowitz, Kahng, Peters และ Procaccia ^{[ 32 ]}ศึกษาปัญหาการเพิ่มสวัสดิการสูงสุดภายใต้ความเป็นธรรมของเขต พวกเขาแสดงให้เห็นว่าการค้นหาการจัดสรรแบบกำหนดที่เหมาะสมที่สุดนั้นเป็นปัญหา NP-hard แต่การค้นหาการจัดสรรแบบสุ่มที่เหมาะสมที่สุดซึ่งมีความเป็นธรรมต่อเขตโดยเฉลี่ยสามารถทำได้อย่างมีประสิทธิภาพ ยิ่งไปกว่านั้น หากอนุญาตให้ใช้จ่ายเกิน (ได้มากถึง 65%) ก็สามารถค้นหาการจัดสรรที่เพิ่มสวัสดิการทางสังคมสูงสุดและรับประกันความเป็นธรรมต่อเขตได้ถึงหนึ่งโครงการ

เป็นเรื่องปกติที่จะคาดหวังว่า เมื่อพารามิเตอร์บางอย่างของอินสแตนซ์ PB เปลี่ยนแปลง ผลลัพธ์ของกฎ PB ก็จะเปลี่ยนแปลงไปในลักษณะที่คาดเดาได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง:

• หลักการความสอดคล้องของส่วนลดกล่าวว่า หากกฎเลือกโครงการxและxมีราคาถูกลง และข้อมูลอื่นๆ ไม่เปลี่ยนแปลง กฎนั้นก็จะยังคงเลือกxต่อ ไป
• หลักการจำกัดความสอดคล้อง (ได้รับแรงบันดาลใจจากหลักการความสอดคล้องของทรัพยากรและความสอดคล้องของบ้าน ) กล่าวว่า หากกฎเลือกโครงการxและงบประมาณรวมเพิ่มขึ้น กฎนั้นก็จะยังคงเลือกxต่อ ไป
• หลักการ ความสอดคล้องของการรวม (Merging monotonicity)กล่าวว่า หากกฎเลือกชุด โครงการ Xและโครงการทั้งหมดในชุดนั้นรวมเข้าเป็นโครงการเดียวy (โดยที่ต้นทุนของyเท่ากับต้นทุนของXและตัวแทนทุกคนอนุมัติyก็ต่อเมื่อเขาอนุมัติโครงการทั้งหมดในX ) แล้วกฎนั้นจะเลือกy
• หลักการ แบ่งแยกความสม่ำเสมอ (Splitting monotonicity)กล่าวว่า หากกฎเลือกโครงการxและโครงการนี้แบ่งออกเป็นชุดของโครงการY (โดยที่ต้นทุนของ Y เท่ากับต้นทุนของ x และตัวแทนทุกคนอนุมัติ x ก็ต่อเมื่อเขาอนุมัติโครงการทั้งหมดใน Y) แล้วกฎนั้นจะเลือกโครงการอย่างน้อยหนึ่งโครงการจากY

คุณสมบัติความเป็นเอกรูปได้รับการศึกษาสำหรับกฎการเพิ่มสวัสดิการสูงสุดและสำหรับรูปแบบโลภ^{[ 7 ] [ 33 ] [ 34 ]}

กฎ PB เรียกว่าป้องกันกลยุทธ์ได้หากไม่มีผู้ลงคะแนนคนใดสามารถเพิ่มอรรถประโยชน์ของตนได้โดยการรายงานความชอบที่ผิดพลาด เมื่อมีต้นทุนต่อหน่วย กฎที่เพิ่มสวัสดิภาพตามหลักอรรถประโยชน์สูงสุด (การเลือก โครงการ Bที่มีจำนวนการอนุมัติมากที่สุด) จะป้องกันกลยุทธ์ได้ แต่สิ่งนี้ไม่จำเป็นต้องเป็นจริงเสมอไปเมื่อมีต้นทุนทั่วไป เมื่อใช้การลงคะแนนอนุมัติและความพึงพอใจด้านต้นทุน อัลกอริทึมแบบโลภที่เลือกโครงการตามจำนวนการอนุมัติจะป้องกันกลยุทธ์ได้จนถึงโครงการเดียว ผลลัพธ์นี้ใช้ไม่ได้กับความพึงพอใจด้านจำนวน^{[ 35 ]}

กฎประโยชน์นิยมไม่เป็นไปตามสัดส่วน แม้จะมีต้นทุนต่อหน่วยและการลงคะแนนอนุมัติก็ตาม อันที่จริง แม้แต่ในการลงคะแนนของคณะกรรมการ ก็ยังมีการแลกเปลี่ยนที่สำคัญระหว่างความสามารถในการป้องกันกลยุทธ์และความเป็นสัดส่วน ดูเพิ่มเติมได้ที่การลงคะแนนอนุมัติแบบผู้ชนะหลายคน#กลยุทธ์

บ่อยครั้งที่มีข้อจำกัดที่ห้ามไม่ให้โครงการบางส่วนเป็นผลลัพธ์ของ PB ตัวอย่างเช่น:

• บางโครงการไม่เข้ากันและไม่สามารถให้ทุนสนับสนุนร่วมกันได้
• บางโครงการขึ้นอยู่กับโครงการอื่น

Rey, Endriss และ de Haan ^{[ 36 ]}พัฒนากรอบงานทั่วไปเพื่อจัดการกับข้อจำกัดใดๆ ที่สามารถอธิบายได้ด้วยตรรกะเชิงประพจน์โดยการเข้ารหัสอินสแตนซ์ PB เป็นการรวมการตัดสิน^{[ 37 ]} กรอบงานของพวกเขาอนุญาตให้มีข้อจำกัดการพึ่งพาเช่นเดียวกับข้อจำกัดหมวดหมู่ โดยอาจมีหมวดหมู่ที่ทับซ้อนกัน ได้

Fain, Munagala และ Shah ^{[ 38 ]}ศึกษาการวางนัยทั่วไปของ PB: การจัดสรรสินค้าสาธารณะที่แบ่งแยกไม่ได้ โดยมีข้อจำกัดที่เป็นไปได้ในการจัดสรร พวกเขาพิจารณา ข้อจำกัด ของเมทริกซ์ข้อจำกัดการจับคู่ และข้อจำกัดการบรรจุ (ซึ่งสอดคล้องกับข้อจำกัดด้านงบประมาณ)

Jain, Sornat, Talmon และ Zehavi ^{[ 39 ]}สมมติว่าโครงการต่างๆ ถูกแบ่งออกเป็นหมวดหมู่ที่ไม่ซ้ำกัน และมีงบประมาณจำกัดในแต่ละหมวดหมู่ นอกเหนือจากงบประมาณจำกัดทั่วไป พวกเขาศึกษาความซับซ้อนในการคำนวณของการเพิ่มสวัสดิการสังคมให้สูงสุดภายใต้ข้อจำกัดเหล่านี้ โดยทั่วไปแล้วปัญหานี้ยาก แต่มีอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับการตั้งค่าที่มีหมวดหมู่น้อย

Patel, Khan และ Louis ^{[ 40 ]}ยังถือว่าโครงการต่างๆ ถูกแบ่งออกเป็นหมวดหมู่ที่ไม่ซ้ำกัน โดยมีโควต้าทั้งบนและล่างในแต่ละหมวดหมู่ พวกเขานำเสนออัลกอริทึมการประมาณค่าโดยใช้การเขียนโปรแกรมแบบไดนามิก

Chen, Lackner และ Maly ^{[ 41 ]}สันนิษฐานว่าโครงการต่างๆ อยู่ในหมวดหมู่ที่อาจทับซ้อนกัน โดยมีโควต้าบนและล่างในแต่ละหมวดหมู่

Motamed, Soeteman, Rey และ Endriss ^{[ 42 ]}แสดงวิธีการจัดการข้อจำกัดเชิงหมวดหมู่โดยการลดเป็น PB ที่มีทรัพยากรหลายรายการ

เมื่อไม่นานมานี้ มีการศึกษาแบบจำลอง PB พื้นฐานที่ได้รับการต่อยอดหลายรูปแบบ

Rey, Endriss และ de Haan พิจารณาขั้นตอนสำคัญที่เกิดขึ้นในการใช้งาน PB ในชีวิตจริงก่อนขั้นตอนการลงคะแนนเสียง นั่นคือ การเลือกรายชื่อโครงการที่จะนำเสนอต่อผู้ลงคะแนนเสียง พวกเขาสร้างแบบจำลองขั้นตอนการคัดเลือก นี้ เป็น กระบวนการ ลงคะแนนเสียงแบบผู้ชนะหลายคนซึ่งไม่มีข้อจำกัดเกี่ยวกับขนาดหรือต้นทุนโดยรวมของผลลัพธ์ พวกเขาวิเคราะห์กฎหลายข้อที่สามารถใช้ในขั้นตอนนี้ เพื่อรับประกันความหลากหลายของโครงการที่ได้รับการคัดเลือก นอกจากนี้ พวกเขายังวิเคราะห์การจัดการเชิงกลยุทธ์ที่เป็นไปได้ในขั้นตอนการคัดเลือก^{[ 43 ]}

Lackner, Maly และ Rey ตั้งข้อสังเกตว่าในความเป็นจริง PB ไม่ใช่กระบวนการครั้งเดียว แต่เป็นกระบวนการที่เกิดขึ้นซ้ำๆ ทุกปี พวกเขาขยายแนวคิดเรื่องความยุติธรรมบางประการจากการลงคะแนนเสียงแบบถาวรไปสู่ ​​PB โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พวกเขาสมมติว่าผู้ลงคะแนนเสียงถูกแบ่งออกเป็นประเภทต่างๆ และพยายามบรรลุความยุติธรรมให้กับแต่ละประเภทเมื่อเวลาผ่านไป^{[ 28 ]}

Jain, Sornat และ Talmon สันนิษฐานว่าโครงการต่างๆ อาจเป็นสินค้าทดแทนหรือสินค้าเสริมกันดังนั้นประโยชน์ที่ตัวแทนได้รับจากชุดโครงการจึงไม่จำเป็นต้องเป็นผลรวมของประโยชน์ของแต่ละโครงการ พวกเขาทำการวิเคราะห์ความซับซ้อนในการคำนวณของการเพิ่มสวัสดิการสูงสุดในบริบทที่ขยายออกไปนี้ ในงานนี้ โครงสร้างปฏิสัมพันธ์ระหว่างโครงการต่างๆ จะคงที่และเหมือนกันสำหรับผู้ลงคะแนนเสียงทุกคน^{[ 44 ]} Jain, Talmon และ Bulteau ขยายแบบจำลองเพิ่มเติมโดยอนุญาตให้ผู้ลงคะแนนเสียงระบุโครงสร้างปฏิสัมพันธ์ส่วนบุคคลได้^{[ 45 ]}

Lu และ Boutilier พิจารณาแบบจำลองของการเลือกทางสังคมที่มีงบประมาณ ซึ่งคล้ายกับ PB มาก^{[ 3 ]}ในการตั้งค่าของพวกเขา ต้นทุนของแต่ละโครงการคือผลรวมของต้นทุนคงที่และต้นทุนผันแปรที่เพิ่มขึ้นตามจำนวนตัวแทนที่ "ได้รับมอบหมาย" ให้กับโครงการ Motamed, Soeteman, Rey และ Endriss พิจารณาต้นทุนหลายมิติ เช่น ต้นทุนในแง่ของเงิน เวลา และทรัพยากรอื่นๆ^{[ 42 ]}พวกเขาขยายคุณสมบัติความยุติธรรมและคุณสมบัติเชิงกลยุทธ์บางประการไปยังการตั้งค่านี้ และพิจารณาความซับซ้อนในการคำนวณของการเพิ่มสวัสดิการให้สูงสุด

Baumeister, Boes และ Laussmann สันนิษฐานว่าต้นทุนไม่แน่นอน: ต้นทุนแต่ละรายการมีการกระจายความน่าจะเป็น และต้นทุนที่แท้จริงจะถูกเปิดเผยก็ต่อเมื่อเสร็จสมบูรณ์แล้ว^{[ 46 ]}เพื่อลดความเสี่ยง อาจดำเนินการโครงการทีละโครงการ เพื่อที่ว่าหากโครงการแรกมีต้นทุนสูงเกินไป โครงการในภายหลังบางโครงการอาจถูกยกเลิกได้ แต่อาจทำให้บางโครงการดำเนินการล่าช้ามาก พวกเขาแสดงให้เห็นว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะรักษาระดับความเสี่ยงในการใช้จ่ายเกินงบประมาณให้ต่ำ และรับประกันว่าทุกโครงการจะเสร็จสมบูรณ์ตรงเวลา พวกเขาปรับเกณฑ์ความยุติธรรม รวมถึงวิธีการแบ่งปันอย่างเท่าเทียมกันให้เข้ากับการตั้งค่านี้

โครงการต่างๆ ที่สามารถได้รับเงินทุนในระดับที่แตกต่างกันได้^{[ 1 ]}ตัวอย่างเช่น อาคารใหม่สำหรับกิจกรรมเยาวชนอาจมี 1, 2 หรือ 3 ชั้น อาจมีขนาดเล็กหรือใหญ่ อาจสร้างจากไม้หรือหิน เป็นต้น สิ่งนี้สามารถมองได้ว่าเป็นจุดกึ่งกลางระหว่าง PB ที่แบ่งแยกไม่ได้ (ซึ่งอนุญาตให้มีเพียงสองระดับ) และ PB ที่แบ่งแยกได้ (ซึ่งอนุญาตให้มีหลายระดับอย่างต่อเนื่อง) ในทางทฤษฎี โครงการj แต่ละโครงการ สามารถดำเนินการได้ในระดับใดก็ได้ระหว่าง 0 ถึงt _jโดยที่ 0 หมายถึง "ไม่ได้ดำเนินการเลย" และ tj คือระดับการดำเนินการสูงสุดที่เป็นไปได้ แต่ละระดับของการดำเนินการมีค่าใช้จ่าย บัตรลงคะแนนเป็นบัตรลงคะแนนแบบอนุมัติช่วงนั่นคือ ผู้ลงคะแนนแต่ละคนจะให้เงินจำนวนขั้นต่ำและสูงสุดสำหรับแต่ละโครงการที่ควรนำไปใช้ในโครงการนี้

Sreedurga ^{[ 47 ]}พิจารณาการเพิ่มสวัสดิการตามหลักอรรถประโยชน์ในบริบทนี้ เขาพิจารณาฟังก์ชันความพึงพอใจสี่ประการ:

• ความพึงพอใจตามจำนวนโครงการนั้นตั้งอยู่บนสมมติฐานที่ว่า อรรถประโยชน์ของผู้ลงคะแนนเสียงเท่ากับจำนวนโครงการที่ได้รับเงินทุนสนับสนุนระหว่างระดับการศึกษาขั้นต่ำและขั้นสูงสุดของเขา
• ความพึงพอใจตามต้นทุนนั้นตั้งอยู่บนสมมติฐานที่ว่าอรรถประโยชน์ของตัวแทนเท่ากับต้นทุนรวมของโครงการที่ได้รับทุนสนับสนุนระหว่างระดับการศึกษาขั้นต่ำและขั้นสูงสุดของเขา
• ความพึงพอใจที่อิงตามต้นทุนที่มีขีดจำกัดนั้นถือว่าอรรถประโยชน์ของตัวแทนเท่ากับต้นทุนรวมของโครงการที่ได้รับเงินทุนสูงกว่าระดับขั้นต่ำของเขา ในขณะที่หากเงินทุนสูงกว่าระดับสูงสุดของเขา อรรถประโยชน์จะถูกจำกัดไว้ที่ระดับสูงสุดนั้น
• แนวคิด เรื่องความไม่พึงพอใจตามระยะทางนั้นตั้งอยู่บนสมมติฐานที่ว่า ตัวแทนมีอรรถประโยชน์ในเชิงลบ ซึ่งสำหรับแต่ละโครงการนั้น จะเท่ากับลบของระยะทางระหว่างเงินทุนจริงที่ใช้กับโครงการนั้น และช่วงการอนุมัติของตัวแทนสำหรับโครงการนั้น

สำหรับความพึงพอใจด้านจำนวนสมาชิก การเพิ่มสวัสดิภาพตามหลักอรรถประโยชน์สูงสุดสามารถทำได้ในเวลาพหุนามโดยใช้การเขียนโปรแกรมเชิงพลวัตสำหรับฟังก์ชันความพึงพอใจอื่นๆ การเพิ่มสวัสดิภาพสูงสุดเป็นปัญหา NP-hard แต่สามารถคำนวณได้ในเวลาพсевдоพหุนามหรือประมาณได้ด้วยFPTASและยังสามารถแก้ไขได้ด้วยพารามิเตอร์คงที่สำหรับพารามิเตอร์ธรรมชาติบางตัว

นอกจากนี้ สรีดุรคาได้กำหนดสัจพจน์ความสอดคล้องและความเป็นเอกรูปหลายข้อสำหรับบริบทนี้ เขาแสดงให้เห็นว่ากฎการเพิ่มพูนสวัสดิภาพแต่ละข้อเป็นไปตามสัจพจน์เหล่านี้บางข้อ แต่ไม่มีกฎใดที่เป็นไปตามสัจพจน์ทั้งหมด

• การอภิปรายออนไลน์ - สามารถใช้เครื่องมือต่างๆ เช่นแบบสำรวจวิกิเพื่อหาข้อสรุปหรือประเด็นที่มีความเห็นพ้องต้องกันมากที่สุด
• การลงคะแนนแบบหลายผู้ชนะสามารถมองได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของการจัดทำงบประมาณแบบมีส่วนร่วม โดยที่ "ต้นทุน" ของผู้สมัครแต่ละคนคือ 1 และงบประมาณคือขนาดของรัฐสภา
• การรวมข้อเสนองบประมาณ - กรณีพิเศษของงบประมาณแบบ PB ซึ่งผู้มีสิทธิเลือกตั้งแต่ละคนจะยื่นข้อเสนองบประมาณทั้งหมด และกฎจะรวมข้อเสนอทั้งหมดเข้าเป็นงบประมาณเดียว
• การเลือกทางสังคมแบบเศษส่วน - สามารถนำมาใช้สร้างแบบจำลอง PB ที่แบ่งได้ซึ่งการแบ่งงบประมาณที่มีอยู่ระหว่างโครงการต่างๆ นั้นเป็นไปได้
• การประสานงานของผู้บริจาค - ส่วนขยายของแบบจำลอง PB ที่เงินบางส่วนหรือทั้งหมดมาจากผู้มีสิทธิเลือกตั้ง แทนที่จะมาจากรัฐบาล
• การระดมทุนจากมวลชน

• Pabulib - แหล่งรวบรวมตัวอย่างการจัดทำงบประมาณแบบมีส่วนร่วมในโลกแห่งความเป็นจริงทางออนไลน์
• ตัวอย่างการใช้งาน JavaScript ของกฎ PB แบบผสมผสานต่างๆ บนเว็บไซต์ pref.tools

• พีบีเอสสแตนฟอร์ด
• การตัดสินใจ
• แอดฮอคราซีพลัส