อ่าน 13 นาที

พีระมิดของปาสคาล

Q: ภาพรวมของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า

ตัวเลขในแต่ละชั้นมีความสมมาตรแบบสามทาง จำนวนพจน์ใน ชั้น ที่ n คือ จำนวนสามเหลี่ยมลำดับ ที่ ( n + 1) : .

ทุกหน้าต้องการการล้างข้อมูล/เบลส ปาสคาล/หัวข้อแฟกทอเรียลและทวินาม/สามเหลี่ยมของตัวเลข

ในทางคณิตศาสตร์พีระมิดของปาสคาล เป็นการจัดเรียงสัมประสิทธิ์ของ การกระจายพหุนามและการกระจายพหุนามในสามมิติพีระมิดของปาสคาลเป็นอนาล็อกสามมิติของสามเหลี่ยมปาสคาล สองมิติ

พีระมิดของปาสคาล

( เรียนรู้วิธีและเวลาในการลบข้อความนี้ )

ในทางคณิตศาสตร์พีระมิดของปาสคาล เป็นการจัดเรียงสัมประสิทธิ์ของ การกระจายพหุนามและการกระจายพหุนามในสามมิติ^{[ 1 ]}พีระมิดของปาสคาลเป็นอนาล็อกสามมิติของสามเหลี่ยมปาสคาล สองมิติ ซึ่งประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ทวินามที่ปรากฏในการกระจายทวินามและการกระจายทวินาม สัมประสิทธิ์ทวินามและพหุนาม การกระจาย และการกระจายเป็นเซตย่อยของโครงสร้างพหุนามที่มีชื่อเดียวกัน

โครงสร้างของทรงสี่หน้า

เนื่องจากทรงสี่เหลี่ยมพีระมิดฐานพีระมิดเป็นวัตถุสามมิติ การแสดงผลบนกระดาษ หน้าจอคอมพิวเตอร์ หรือสื่อสองมิติอื่นๆ จึงทำได้ยาก สมมติว่าทรงสี่เหลี่ยมพีระมิดฐานพีระมิดถูกแบ่งออกเป็นหลายระดับ หลายชั้น หรือหลายส่วน ชั้นบนสุด (จุดยอด) จะถูกเรียกว่า "ชั้นที่ 0" ชั้นอื่นๆ สามารถคิดได้ว่าเป็นภาพมองจากด้านบนของทรงสี่เหลี่ยมพีระมิดฐานพีระมิด โดยที่ชั้นก่อนหน้าถูกลบออกไป ชั้นทั้งหกชั้นแรกมีดังนี้:

เลเยอร์ 0	1

ชั้นที่ 1	1		1
ชั้นที่ 1		1

ชั้นที่ 2	1		2		1
		2		2
			1

ชั้นที่ 3	1		3		3		1
		3		6		3
			3		3
				1

ชั้นที่ 4	1		4		6		4		1
		4		12		12		4
			6		12		6
				4		4
					1

ชั้นที่ 5	1		5		10		10		5		1
		5		20		30		20		5
			10		30		30		10
				10		20		10
					5		5
						1

ชั้นต่างๆ ของทรงสี่เหลี่ยมพีระมิดถูกแสดงโดยเจตนาให้ปลายแหลมชี้ลง เพื่อไม่ให้เกิดความสับสนกับรูปสามเหลี่ยมของปาสคาล

ภาพรวมของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า

ตัวเลขในแต่ละชั้นมีความสมมาตรแบบสามทาง
จำนวนพจน์ใน ชั้น ^ที่n คือ จำนวนสามเหลี่ยมลำดับ^ที่ ( n + 1) : ⁠ ⁠ . ${\frac {(n+1)(n+2)}{2}}$
ผลรวมของค่าตัวเลขในชั้น^ที่nคือ³ⁿ
แต่ละจำนวนในแต่ละชั้นคือผลรวมของจำนวนสามจำนวนที่อยู่ติดกันในชั้นด้านบน
แต่ละจำนวนในแต่ละชั้นเป็นอัตราส่วนจำนวนเต็มอย่างง่ายของจำนวนที่อยู่ติดกันในชั้นเดียวกัน
แต่ละจำนวนในแต่ละชั้นเป็นสัมประสิทธิ์ของการแจกแจงแบบไตรนามและการขยายแบบไตรนาม การจัดเรียงแบบไม่เชิงเส้นนี้ทำให้ง่ายต่อการ:
- แสดงการกระจายพหุนามสามพจน์อย่างเป็นระบบ
- คำนวณค่าสัมประสิทธิ์ของการแจกแจงแบบไตรนาม;
- คำนวณจำนวนของชั้นทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าใดๆ
ตัวเลขตามขอบทั้งสามของชั้นที่ⁿคือตัวเลขของแถวที่ⁿของสามเหลี่ยมปาสคาล และคุณสมบัติเกือบทั้งหมดที่กล่าวมาข้างต้นมีความคล้ายคลึงกับสามเหลี่ยมปาสคาลและสัมประสิทธิ์พหุนาม

การเชื่อมต่อการขยายพหุนามสามพจน์

ตัวเลขของทรงสี่หน้าได้มาจากการกระจายพหุนาม^สาม พจน์ ชั้น ที่nประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเมื่อยกกำลัง พหุนาม ^{สาม พจน์นั้นด้วยกำลังที่}n กำลัง ^ที่nของพหุนามสามพจน์นั้นได้มาจากการกระจายโดยการคูณพหุนามสามพจน์นั้นด้วยตัวเองซ้ำๆ: $A+B+C$

(A+B+C)(A+B+C)^{n}=(A+B+C)^{n+1}

แต่ละพจน์ในนิพจน์แรกจะถูกคูณด้วยแต่ละพจน์ในนิพจน์ที่สอง จากนั้นจึงนำสัมประสิทธิ์ของพจน์ที่เหมือนกัน (ตัวแปรและเลขชี้กำลังเดียวกัน) มาบวกกัน นี่คือการกระจายของ ( A + B + C ) ⁴ :

1 A ⁴B ⁰C ⁰ + 4 A ³B ⁰C ¹ + 6 A ²B ⁰C ² + 4 A ¹B ⁰C ³ + 1 A ⁰B ⁰C ⁴ +

4 A ³B ¹C ⁰ + 12 A ²B ¹C ¹ + 12 A ¹B ¹C ² + 4 A ⁰B ¹C ³ + 6 A ²B ²C ⁰ + 12 A ¹B ²C ¹ + 6 A ⁰B ²C ² + 4 A ¹B ³C ⁰ + 4 A ⁰B ³C ¹ +

1 A ⁰B ⁴C ⁰

การเขียนการกระจายในรูปแบบที่ไม่เป็นเชิงเส้นนี้ทำให้การกระจายเข้าใจง่ายขึ้น นอกจากนี้ยังทำให้เห็นความเชื่อมโยงกับทรงสี่เหลี่ยมพีระมิดได้อย่างชัดเจน—สัมประสิทธิ์ในที่นี้ตรงกับสัมประสิทธิ์ของชั้นที่ 4 สัมประสิทธิ์ ตัวแปร และเลขชี้กำลังโดยปริยายทั้งหมด ซึ่งโดยปกติจะไม่เขียนไว้ ก็แสดงไว้ด้วยเพื่อแสดงความสัมพันธ์อีกอย่างหนึ่งกับทรงสี่เหลี่ยมพีระมิด (โดยปกติ "1 A " คือ " A "; " B ¹ " คือ " B "; และ " C ⁰ " คือ "1"; เป็นต้น) เลขชี้กำลังของแต่ละพจน์รวมกันได้เท่ากับหมายเลขชั้น ( n ) หรือ 4 ในกรณีนี้ ที่สำคัญกว่านั้น ค่าของสัมประสิทธิ์ของแต่ละพจน์สามารถคำนวณได้โดยตรงจากเลขชี้กำลัง สูตรคือ $⁠ (x + y + z)! / x! y! z! โดย$ ที่ x, y, zคือเลขชี้กำลังของ A, B, Cตามลำดับ และ "!" คือแฟกทอเรียลนั่นคือ: สูตรเลขชี้กำลังสำหรับชั้นที่ 4 คือ: $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots n$

$\textstyle {(4+0+0)! \over 4!\cdot 0!\cdot 0!}\ {(3+0+1)! \over 3!\cdot 0!\cdot 1!}\ {(2+0+2)! \over 2!\cdot 0!\cdot 2!}\ {(1+0+3)! \over 1!\cdot 0!\cdot 3!}\ {(0+0+4)! \over 0!\cdot 0!\cdot 4!}$

$\textstyle {(3+1+0)! \over 3!\cdot 1!\cdot 0!}\ {(2+1+1)! \over 2!\cdot 1!\cdot 1!}\ {(1+1+2)! \over 1!\cdot 1!\cdot 2!}\ {(0+1+3)! \over 0!\cdot 1!\cdot 3!}$

$\textstyle {(2+2+0)! \over 2!\cdot 2!\cdot 0!}\ {(1+2+1)! \over 1!\cdot 2!\cdot 1!}\ {(0+2+2)! \over 0!\cdot 2!\cdot 2!}$

$\textstyle {(1+3+0)! \over 1!\cdot 3!\cdot 0!}\ {(0+3+1)! \over 0!\cdot 3!\cdot 1!}$

$\textstyle {(0+4+0)! \over 0!\cdot 4!\cdot 0!}$

เลขชี้กำลังของแต่ละพจน์การขยายสามารถมองเห็นได้อย่างชัดเจน และสูตรเหล่านี้จะลดรูปเหลือเพียงสัมประสิทธิ์การขยายและสัมประสิทธิ์รูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าของชั้นที่ 4

การเชื่อมโยงการแจกแจงแบบไตรนาม

ตัวเลขของทรงสี่หน้ายังสามารถพบได้ในการแจกแจงแบบไตรนามซึ่งเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็น แบบไม่ต่อเนื่อง ที่ใช้ในการกำหนดโอกาสที่เหตุการณ์บางอย่างจะเกิดขึ้น โดยพิจารณาจากผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สามอย่าง กล่าวคือ จำนวนวิธีที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้นจะถูกคูณด้วยความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์นั้นจะเกิดขึ้น สูตรสำหรับการแจกแจงแบบไตรนามคือ:

{\frac {n!}{x!y!z!}}(P_{A})^{x}(P_{B})^{y}(P_{C})^{z}

โดยที่x, y, zคือจำนวนครั้งที่ผลลัพธ์ทั้งสามเกิดขึ้น; nคือจำนวนครั้งของการทดลองและเท่ากับผลรวมของx+y+z และPA , , PC คือ เป็นที่เหตุการณ์ทั้งสามจะเกิดขึ้น

ตัวอย่างเช่น ในการเลือกตั้งที่มีผู้สมัครสามคน ผู้สมัครได้รับคะแนนเสียงดังนี้: A, 16%; B, 30%; C, 54% โอกาสที่กลุ่มสนทนาสี่คนซึ่งสุ่มเลือกมา จะมีผู้ลงคะแนนดังนี้: 1 คนเลือก A, 1 คนเลือก B, 2 คนเลือก C คือเท่าใด คำตอบคือ:

{\frac {4!}{1!1!2!}}(16\,\%)^{1}(30\,\%)^{1}(54\,\%)^{2}=12\times 0.0139968\approx 17\,\%

เลข 12 คือสัมประสิทธิ์ของความน่าจะเป็นนี้ และเป็นจำนวนชุดค่าผสมที่สามารถเติมเต็มกลุ่มโฟกัส "112" นี้ได้ มีการจัดกลุ่มโฟกัสแบบสี่คนได้ 15 แบบที่แตกต่างกัน ซึ่งสามารถเลือกใช้ได้ นิพจน์สำหรับสัมประสิทธิ์ทั้ง 15 ค่ามีดังนี้:

$\textstyle {4! \over 4!\cdot 0!\cdot 0!}\ {4! \over 3!\cdot 0!\cdot 1!}\ {4! \over 2!\cdot 0!\cdot 2!}\ {4! \over 1!\cdot 0!\cdot 3!}\ {4! \over 0!\cdot 0!\cdot 4!}$

$\textstyle {4! \over 3!\cdot 1!\cdot 0!}\ {4! \over 2!\cdot 1!\cdot 1!}\ {4! \over 1!\cdot 1!\cdot 2!}\ {4! \over 0!\cdot 1!\cdot 3!}$

$\textstyle {4! \over 2!\cdot 2!\cdot 0!}\ {4! \over 1!\cdot 2!\cdot 1!}\ {4! \over 0!\cdot 2!\cdot 2!}$

$\textstyle {4! \over 1!\cdot 3!\cdot 0!}\ {4! \over 0!\cdot 3!\cdot 1!}$

$\textstyle {4! \over 0!\cdot 4!\cdot 0!}$

ตัวเศษของเศษส่วนเหล่านี้ (เหนือเส้น) เหมือนกันสำหรับทุกนิพจน์ นั่นคือขนาดของกลุ่มตัวอย่าง ซึ่งเป็นกลุ่มสี่คน และบ่งชี้ว่าสัมประสิทธิ์ของการจัดเรียงเหล่านี้สามารถพบได้ในชั้นที่ 4 ของทรงสี่เหลี่ยมพีระมิด ตัวเลขสามตัวในตัวส่วน (ใต้เส้น) คือจำนวนสมาชิกกลุ่มเป้าหมายที่ลงคะแนนให้ A, B, C ตามลำดับ

โดยปกติแล้วจะใช้ตัวย่อในการแสดงฟังก์ชันเชิงการจัดเรียงในรูปแบบ "เลือก" ดังต่อไปนี้ (ซึ่งอ่านว่า "4 เลือก 4, 0, 0" เป็นต้น)

$\textstyle {4 \choose 4,0,0}\ {4 \choose 3,0,1}\ {4 \choose 2,0,2}\ {4 \choose 1,0,3}\ {4 \choose 0,0,4}$

$\textstyle {4 \choose 3,1,0}\ {4 \choose 2,1,1}\ {4 \choose 1,1,2}\ {4 \choose 0,1,3}$

$\textstyle {4 \choose 2,2,0}\ {4 \choose 1,2,1}\ {4 \choose 0,2,2}$

$\textstyle {4 \choose 1,3,0}\ {4 \choose 0,3,1}$

$\textstyle {4 \choose 0,4,0}$

แต่ค่าของนิพจน์เหล่านี้ยังคงเท่ากับสัมประสิทธิ์ของชั้นที่ 4 ของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า และสามารถขยายไปสู่ชั้นใดก็ได้โดยการเปลี่ยนขนาดตัวอย่าง ( n )

สัญลักษณ์นี้ช่วยให้สามารถแสดงผลรวมของสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของชั้นn ได้อย่างง่ายดาย :

\textstyle \sum _{x,y,z}{n \choose x,y,z}=3^{n}

การบวกค่าสัมประสิทธิ์ระหว่างชั้น

ตัวเลขในแต่ละชั้น ( n ) ของทรงสี่เหลี่ยมพีระมิดฐานสี่ด้าน คือผลรวมของตัวเลขสามตัวที่อยู่ติดกันในชั้น ( n − 1) ที่อยู่ "เหนือ" มันขึ้นไป ความสัมพันธ์นี้ค่อนข้างยากที่จะมองเห็นได้หากไม่นำชั้นต่างๆ มาปะปนกัน ด้านล่างนี้คือ ตัวเลขชั้นที่ 3 ที่ เป็นตัวเอียงสลับกับ ตัวเลขชั้นที่ 4 ที่เป็นตัวหนา :

1		4		6		4		1
	1		3		3		1
	4		12		12		4
		3		6		3
		6		12		6
			3		3
			4		4
				1
				1

ความสัมพันธ์นี้แสดงให้เห็นได้จากเลข 12 ซึ่งอยู่ตรงกลางด้านล่างของชั้นที่ 4 มันถูก "ล้อมรอบ" ด้วยเลขสามตัวของชั้นที่ 3 ได้แก่ 6 ทาง "ทิศเหนือ" 3 ทาง "ทิศตะวันตกเฉียงใต้" และ 3 ทาง "ทิศตะวันออกเฉียงใต้" (เลขตามขอบจะมีเลขที่อยู่ติดกันเพียงสองตัวในชั้น "ด้านบน" และเลขสามตัวที่มุมจะมีเลขที่อยู่ติดกันเพียงตัวเดียวในชั้นด้านบน ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมพวกมันจึงเป็น "1" เสมอ เลขที่เหลืออยู่สามารถสมมติได้ว่าเป็น "0" ดังนั้นจึงไม่เสียความเป็นทั่วไป) ความสัมพันธ์ระหว่างชั้นที่อยู่ติดกันนี้เกิดขึ้นจากกระบวนการขยายพหุนามสองขั้นตอน

จากตัวอย่างนี้ ในขั้นตอนที่ 1 แต่ละพจน์ของ ( A + B + C ) ³จะถูกคูณด้วยแต่ละพจน์ของ ( A + B + C ) ¹มีเพียงสามการคูณเท่านั้นที่เราสนใจในตัวอย่างนี้:

เทอมชั้นที่ 3	คูณด้วย	เงื่อนไขผลิตภัณฑ์
6 A ¹B ¹C ¹	1 บี¹	6 A ¹B ²C ¹
3 A ¹B ²C ⁰	1 ซี¹	3 A ¹B ²C ¹
3 A ⁰B ²C ¹	1 A ¹	3 A ¹B ²C ¹

จากนั้นในขั้นตอนที่ 2 การรวมพจน์ที่เหมือนกัน (ตัวแปรและเลขชี้กำลังเดียวกัน) จะได้ผลลัพธ์เป็น: 12 A ¹B ²C ¹ซึ่งเป็นพจน์ของ ( A + B + C ) ⁴โดยที่ 12 คือสัมประสิทธิ์ของชั้นที่ 4 ของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า

ในเชิงสัญลักษณ์ ความสัมพันธ์แบบบวกสามารถแสดงได้ดังนี้:

C(x,y,z)=C(x-1,y,z)+C(x,y-1,z)+C(x,y,z-1)

โดยที่ C( x,y,z ) คือสัมประสิทธิ์ของพจน์ที่มีเลขชี้กำลังx, y, zและ⁠ ⁠ $x+y+z=n$ คือชั้นของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า

ความสัมพันธ์นี้จะใช้ได้ก็ต่อเมื่อการกระจายพหุนามสามพจน์ถูกนำเสนอในรูปแบบที่ไม่เป็นเชิงเส้น ดังที่ได้อธิบายไว้ในส่วน "ความเชื่อมโยงของการกระจายพหุนามสามพจน์"

อัตราส่วนระหว่างสัมประสิทธิ์ของชั้นเดียวกัน

ในแต่ละชั้นของทรงสี่เหลี่ยมพีระมิดฐานสี่ด้าน ตัวเลขจะเป็นอัตราส่วนจำนวนเต็มอย่างง่ายของตัวเลขที่อยู่ติดกัน ความสัมพันธ์นี้แสดงให้เห็นสำหรับคู่ตัวเลขที่อยู่ติดกันในแนวนอนในชั้นที่ 4 ดังต่อไปนี้:

1 ⟨1:4⟩ 4 ⟨2:3⟩ 6 ⟨3:2⟩ 4 ⟨4:1⟩ 1 4 ⟨1:3⟩ 12 ⟨2:2⟩ 12 ⟨3:1⟩ 4 6 ⟨1:2⟩ 12 ⟨2:1⟩ 6 4 ⟨1:1⟩ 4 1

เนื่องจากทรงสี่หน้ามีสมมาตรสามทาง ความสัมพันธ์ของอัตราส่วนจึงใช้ได้กับคู่แนวทแยงในทั้งสองทิศทาง เช่นเดียวกับคู่แนวนอนที่แสดงไว้

อัตราส่วนเหล่านี้ถูกควบคุมโดยเลขชี้กำลังของพจน์ที่อยู่ติดกันในการกระจายพหุนามสามพจน์ ตัวอย่างเช่น อัตราส่วนหนึ่งในภาพประกอบด้านบนคือ:

4 ⟨1:3⟩ 12

พจน์ที่สอดคล้องกันของการกระจายพหุนามสามพจน์มีดังนี้:

$4A^{3}B^{1}C^{0}$ และ $12A^{2}B^{1}C^{1}$

กฎต่อไปนี้ใช้กับสัมประสิทธิ์ของพจน์ที่อยู่ติดกันทุกคู่ในการกระจายพหุนามสามพจน์:

เลขชี้กำลังของตัวแปรตัวหนึ่งยังคงไม่เปลี่ยนแปลง ( ในกรณีนี้คือ B ) และสามารถละเลยได้
สำหรับตัวแปรอีกสองตัว เลขชี้กำลังตัวหนึ่งเพิ่มขึ้น 1 และเลขชี้กำลังอีกตัวลดลง 1
- เลขชี้กำลังของAคือ 3 และ 2 (โดยเลขชี้กำลังที่มากกว่าจะอยู่ทางซ้ายมือ)
- เลขชี้กำลังของCคือ 0 และ 1 (โดยเลขชี้กำลังที่มากกว่าจะอยู่ทางด้านขวา)
สัมประสิทธิ์และเลขชี้กำลังที่มากขึ้นมีความสัมพันธ์กัน:
- 4 × 3 = 12 × 1
- 4 / 12 = 1 / 3
สมการเหล่านี้ให้ผลลัพธ์เป็นอัตราส่วน: "1:3"

กฎเกณฑ์เหมือนกันสำหรับคู่แนวนอนและแนวทแยงทั้งหมด ตัวแปรA, B, Cจะเปลี่ยนแปลงไป

ความสัมพันธ์ของอัตราส่วนนี้เป็นอีกวิธีหนึ่ง (ที่ค่อนข้างยุ่งยาก) ในการคำนวณสัมประสิทธิ์ของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า:

สัมประสิทธิ์ของพจน์ที่อยู่ติดกันเท่ากับสัมประสิทธิ์ของพจน์ปัจจุบันคูณด้วยเลขชี้กำลังของพจน์ปัจจุบันของตัวแปรที่ลดลงหารด้วยเลขชี้กำลังของพจน์ที่อยู่ติดกันของตัวแปรที่เพิ่มขึ้น

อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์ที่อยู่ติดกันอาจเข้าใจได้ชัดเจนยิ่งขึ้นเมื่อแสดงในรูปแบบสัญลักษณ์ แต่ละพจน์สามารถมีพจน์ที่อยู่ติดกันได้มากถึงหกพจน์:

สำหรับx = 0:

C(x,y,z-1)=C(x,y-1,z)\cdot {\frac {z}{y}},\quad C(x,y-1,z)=C(x,y,z-1)\cdot {\frac {y}{z}}

สำหรับy = 0: $C(x-1,y,z)=C(x,y,z-1)\cdot {\frac {x}{z}},\quad C(x,y,z-1)=C(x-1,y,z)\cdot {\frac {z}{x}}$

สำหรับz = 0: $C(x,y-1,z)=C(x-1,y,z)\cdot {\frac {y}{x}},\quad C(x-1,y,z)=C(x,y-1,z)\cdot {\frac {x}{y}}$

โดยที่ C( x,y,z ) คือสัมประสิทธิ์ และx, y, zคือเลขชี้กำลัง ในยุคก่อนเครื่องคิดเลขพกพาและคอมพิวเตอร์ส่วนบุคคล วิธีนี้ถูกใช้เป็นทางลัดสำหรับเด็กนักเรียนในการเขียนการกระจายทวินามโดยไม่ต้องทำการกระจายทางพีชคณิตที่ยุ่งยากหรือการคำนวณแฟกทอเรียลที่ลำบาก

ความสัมพันธ์กับสามเหลี่ยมปาสคาล

เป็นที่ทราบกันดีว่าตัวเลขตามขอบด้านนอกทั้งสามของ ชั้นที่ n ของทรง ^สี่หน้าเป็นตัวเลขเดียวกันกับ แถว ^ที่nของสามเหลี่ยมปาสคาล อย่างไรก็ตาม ความสัมพันธ์นั้นกว้างขวางกว่าแค่ตัวเลขแถวเดียว ความสัมพันธ์นี้แสดงให้เห็นได้ชัดเจนที่สุดโดยการเปรียบเทียบสามเหลี่ยมปาสคาลลงมาถึงแถวที่ 4 กับชั้นที่ 4 ของทรงสี่หน้า

สามเหลี่ยมปาสคาล 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 ชั้นทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า 4 1 4 6 4 1 4 12 12 4 6 12 6 4 4 1

การคูณตัวเลขของแต่ละแถวของสามเหลี่ยมปาสคาลลงไปจนถึง แถว ^ที่nด้วยตัวเลขของ แถว ^ที่nจะสร้าง ชั้น ^ที่nของทรงสี่เหลี่ยมพีระมิด ในตัวอย่างต่อไปนี้ แถวของสามเหลี่ยมปาสคาลใช้ แบบอักษร ตัวเอียงและแถวของทรงสี่เหลี่ยมพีระมิดใช้แบบอักษรตัวหนา^[²^]

× 1 = 1

1 1 × 4 = 4 4

1 2 1 × 6 = 6 12 6

1 3 3 1 × 4 = 4 12 12 4

1 4 6 4 1 × 1 =

1 4 6 4 1

ตัวคูณ (1 4 6 4 1) ประกอบเป็นเส้นที่ 4 ของสามเหลี่ยมปาสคาล

ความสัมพันธ์นี้แสดงให้เห็นถึงวิธีที่เร็วที่สุดและง่ายที่สุดในการคำนวณตัวเลขสำหรับชั้นใด ๆ ของทรงสี่เหลี่ยมพีระมิดโดยไม่ต้องคำนวณแฟกทอเรียล ซึ่งจะทำให้ตัวเลขมีขนาดใหญ่มากอย่างรวดเร็ว ( เครื่องคิดเลข ความแม่นยำสูงจะทำงานช้าลงมากเมื่อเกินชั้นที่ 200 ของทรงสี่เหลี่ยมพีระมิด)

ถ้าสัมประสิทธิ์ของสามเหลี่ยมปาสคาลมีสัญลักษณ์เป็น C( i,j ) และสัมประสิทธิ์ของทรงสี่หน้ามีสัญลักษณ์เป็น C( n,i,j ) โดยที่nคือชั้นของทรงสี่หน้าiคือแถว และjคือคอลัมน์ ความสัมพันธ์นี้สามารถแสดงในเชิงสัญลักษณ์ได้ดังนี้:

C(i,j)\times C(n,i)=C(n,i,j),\quad 0\leq i\leq n,\ 0\leq j\leq i

[ i, j, nในที่นี้ไม่ใช่เลขชี้กำลัง แต่เป็นเพียงดัชนีการกำหนดหมายเลขตามลำดับ]

คุณสมบัติอื่นๆ

การสร้างเลขชี้กำลัง

สามารถกำหนด ชั้นn ใดๆ ได้ในขั้นตอนเดียวโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

\left(b^{d\left(n+1\right)}+b^{d}+1\right)^{n},

โดยที่bคือฐาน และdคือจำนวนหลักของสัมประสิทธิ์พหุนามกลาง ใดๆ นั่นคือ

\textstyle d=1+\left\lfloor \log _{b}{n \choose k_{1},k_{2},k_{3}}\right\rfloor ,\ \sum _{i=1}^{3}{k_{i}}=n,\ \left\lfloor {\frac {n}{3}}\right\rfloor \leq k_{i}\leq \left\lceil {\frac {n}{3}}\right\rceil ,

จากนั้นวนซ้ำตัวเลขของผลลัพธ์ด้วยd ( n +1) เว้นระยะห่างด้วยdและลบเลขศูนย์นำหน้าออก

วิธีการนี้ เมื่อปรับให้เข้ากับมิติใดๆ ก็ตาม สามารถนำไปใช้เพื่อหาชิ้นส่วนของซิมเพล็กซ์ของปาสคาลได้

ตัวอย่าง

สำหรับฐานb = 10, n = 5, d = 2:

\textstyle \left(10^{12}+10^{2}+1\right)^{5}

= 1000000000101 ⁵ = 1000000000505000000102010000010303010000520302005010510100501 1 1 1 000000000505 00 00 00 00 05 05 .. .. .. .5 .5 000000102010 00 00 00 10 20 10 .. .. .. 10 20 10 ~ 000010303010 ~ 00 00 10 30 30 10 ~ .. .. 10 30 30 10 000520302005 00 05 20 30 20 05 ... 20 30 20 .5 010510100501 01 05 10 10 05 01 .1 .5 10 10 .5 .1 ห่อด้วยd(n+1) เว้นระยะด้วยd ลบศูนย์นำหน้าออก

สำหรับฐานb = 10, n = 20, d = 9:

\textstyle \left(10^{189}+10^{9}+1\right)^{20}

ชั้นที่ 20 ของพีระมิดของปาสคาล

ผลรวมของสัมประสิทธิ์ของแต่ละชั้นตามแถว

การรวมตัวเลขในแต่ละแถวของชั้นnในพีระมิดของปาสคาลจะได้ผลลัพธ์ดังนี้

\left(b^{d}+2\right)^{n},

โดยที่bคือฐานและdคือจำนวนหลักของผลรวมของแถว 'กลาง' (แถวที่มีผลรวมมากที่สุด)

สำหรับฐานb = 10:

1 ~ 1 \ 1 ~ 1 \ 1 ~ 1 \ 1 ~ 1 \ 1 ~ 1 --- 1 \ 1 ~ 02 \ 2 \ 2 ~ 04 \ 3 \ 3 ~ 06 \ 4 \ 4 ~ 08 1 ----- 1 \ 2 \ 1 ~ 04 \ 3 \ 6 \ 3 ~ 12 \ 6 \12 \ 6 ~ 24 1 02 --------- 1 \ 3 \ 3 \ 1 ~ 08 \ 4 \12 \12 \ 4 ~ 32 1 04 04 ------------- 1 \ 4 \ 6 \ 4 \ 1 ~ 16 1 06 12 08 ------------------ 1 08 24 32 16 102 ⁰ 102 ¹ 102 ² 102 ³ 102 ⁴

ผลรวมของสัมประสิทธิ์ของชั้นตามคอลัมน์

การรวมตัวเลขในแต่ละคอลัมน์ของชั้นnในพีระมิดของปาสคาลจะได้ผลลัพธ์ดังนี้

\left(b^{2d}+b^{d}+1\right)^{n},

โดยที่bคือฐานและdคือจำนวนหลักของผลรวมของคอลัมน์ 'กลาง' (คอลัมน์ที่มีผลรวมมากที่สุด)

สำหรับฐานb = 10:

1 |1| |1| |1| | 1| | 1| --- 1| |1 |2| |2| |3| |3| | 4| | 4| | 5| | 5| 1 ----- 1| |2| |1 |3| |6| |3| | 6| |12| | 6| |10| |20| |10| 1 1 1 --------- 1| |3| |3| |1 | 4| |12| |12| | 4| |10| |30| |30| |10| 1 2 3 2 1 ------------- 1| | 4| | 6| | 4| | 1 | 5| |20| |30| |20| | 5| 1 3 6 7 6 3 1 -------------------------- 1| | 5| |10| |10| | 5| | 1 1 04 10 16 19 16 10 04 01 -------------------------------- 1 05 15 30 45 51 45 30 15 05 01 111 ⁰ 111 ¹ 111 ² 111 ³ 10101 ⁴ 10101 ⁵

ส่วนขยายมิติสูงกว่า

แทนที่จะพิจารณาค่ากำลังของพหุนามทวินามหรือพหุนามไตรนาม ( หรือ) ซึ่งส่งผลให้เกิดสามเหลี่ยมปาสคาลและพีระมิดปาสคาล เราอาจพิจารณาค่าสัมประสิทธิ์เมื่อยกกำลังพหุนามหลายพจน์ด้วยกำลังต่างๆ แทน หากพหุนามหลายพจน์มีพจน์ ค่าสัมประสิทธิ์ที่ได้สามารถจัดเรียงเพื่อสร้างซิมเพล็กซ์มิติ n ได้ ค่าในระดับของซิมเพล็กซ์คือค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามหลายพจน์โดยที่เปลี่ยนแปลงไปตามคู่ของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบทั้งหมดที่รวมกันได้แต่ละหน้าของซิมเพล็กซ์มิติ n จะให้สำเนาของซิมเพล็กซ์มิติ n และเกิดขึ้นจากการพิจารณาพจน์เหล่านั้นในการขยายพหุนามหลายพจน์ซึ่งไม่ปรากฏ (เช่น ปรากฏด้วยกำลัง) การจัดเรียงจุดสำหรับถึง(ลำดับA189225ในOEIS )) ลงในซิมเพล็กซ์แสดงไว้ด้านล่าง $(x+y)^{n}$ $(x+y+z)^{n}$ $x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{m}$ $m$ $m$ $n$ ${\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!\cdot k_{2}!\cdots k_{m}!}}$ $k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}$ $m$ $n$ $m$ $m-1$ $x_{m}$ $0$ $m=1$ $m=4$

จำนวนสัมประสิทธิ์

สำหรับ ส่วนประกอบที่ n ( ( m − 1) -simplex) ของ m -simplex ของ Pascal จำนวนสัมประสิทธิ์ของการกระจายพหุนามที่ประกอบขึ้นเป็นส่วนประกอบนั้นกำหนดโดย:

{(n-1)+(m-1) \choose (m-1)}+{n+(m-2) \choose (m-2)}={n+(m-1) \choose (m-1)}=\left(\!\!{\binom {m}{n}}\!\!\right),

(โดยที่แบบหลังคือ สัญกรณ์ แบบเลือกหลายตัวเลือก ) เราสามารถมองสิ่งนี้ได้ว่าเป็นผลรวมของจำนวนสัมประสิทธิ์ของส่วนประกอบ ที่ ( n − 1) (ซิมเพล็กซ์ ( m − 1) ) ของซิมเพล็กซ์ mของปาสคาลกับจำนวนสัมประสิทธิ์ของส่วนประกอบ ที่ n (ซิมเพล็กซ์ ( m − 2) ) ของซิมเพล็ก ซ์ ( m − 1) ของปาสคาล หรือโดยจำนวนของการแบ่งส่วนที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ กำลังที่ nระหว่างเลขชี้กำลัง m ตัว

ความคล้ายคลึงกับสามเหลี่ยมปาสคาลและสัมประสิทธิ์พหุนาม

ตารางนี้สรุปคุณสมบัติของการกระจายพหุนามสามพจน์และการแจกแจงพหุนามสามพจน์ และเปรียบเทียบกับการกระจายและการแจกแจงทวินามและพหุนามหลายพจน์:

ประเภทของพหุนาม	ไบโนเมียล	ไตรนาม	หลายนาม
ลำดับของพหุนาม	2	3	ม
ตัวอย่างของพหุนาม	⁠ ⁠ $A+B$	⁠ ⁠ $A+B+C$	⁠ ⁠ $A+B+C+\cdots +M$
โครงสร้างทางเรขาคณิต^[1]	สามเหลี่ยม	จัตุรมุข	เอ็ม -ซิมเพล็กซ์
โครงสร้างองค์ประกอบ	เส้น	ชั้น	กลุ่ม
ความสมมาตรขององค์ประกอบ	2 ทาง	3 ทาง	เอ็ม -เวย์
จำนวนคำต่อองค์ประกอบ	n +1	⁠( n +1)( n +2)/2⁠	⁠( n +1)( n +2)...( n + m −1)/( m −1)!=( n + m −1)!/n !( m −1)!⁠
ผลรวมของสัมประสิทธิ์ต่อองค์ประกอบ	2 ^น.	3 ^น.	ม.น.
ตัวอย่างของคำศัพท์	เอ^xบาย	A ^x B ^y C ^z	A ^x B ^y C ^z ... M ^m
ผลรวมของเลขชี้กำลัง ทุกพจน์	n	n	n
สมการสัมประสิทธิ์^[2]	⁠n !/x ! y !⁠	⁠n !/x ! y ! z !⁠	⁠n !/x ! y ! z ! ... x !⁠
ผลรวมของสัมประสิทธิ์ "ข้างต้น"	2	3	ม
อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์ที่อยู่ติดกัน	2	6	ม ( ม −1)

^1ซิมเพล็กซ์คือรูปทรงเรขาคณิตเชิงเส้นที่ง่ายที่สุดที่มีอยู่ในมิติใดๆ ทรงสี่หน้าและรูปสามเหลี่ยมเป็นตัวอย่างใน 3 และ 2 มิติ ตามลำดับ
สูตรสำหรับสัมประสิทธิ์ทวินามมักจะแสดงเป็น⁠n !/x !( n − x )!โดยที่n − x = y

ลิงก์ภายนอก

เหนือกว่าเรขาคณิตแบบแบนราบ: เรขาคณิตสำหรับศตวรรษที่ 21 ตอนที่ 1: ทรงสี่หน้าของปาสคาล
พีระมิดของปาสคาล หรือ ทรงสี่เหลี่ยมพีระมิดของปาสคาล?
ซิมพลิซของปาสคาล

ดึงข้อมูลมาจาก " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Pascal%27s_pyramid&oldid=1329701506 "

พีระมิดของปาสคาล

โครงสร้างของทรงสี่หน้า

ภาพรวมของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า

การเชื่อมต่อการขยายพหุนามสามพจน์

การเชื่อมโยงการแจกแจงแบบไตรนาม

การบวกค่าสัมประสิทธิ์ระหว่างชั้น

อัตราส่วนระหว่างสัมประสิทธิ์ของชั้นเดียวกัน

ความสัมพันธ์กับสามเหลี่ยมปาสคาล

คุณสมบัติอื่นๆ

การสร้างเลขชี้กำลัง

ตัวอย่าง

ผลรวมของสัมประสิทธิ์ของแต่ละชั้นตามแถว

ผลรวมของสัมประสิทธิ์ของชั้นตามคอลัมน์

ส่วนขยายมิติสูงกว่า

จำนวนสัมประสิทธิ์

ความคล้ายคลึงกับสามเหลี่ยมปาสคาลและสัมประสิทธิ์พหุนาม

ลิงก์ภายนอก

ข้อมูลสำคัญจากบทความ