ในทฤษฎีโฮโมโทปีแผนที่แฟนทอมคือแผนที่ต่อเนื่องของคอมเพล็กซ์ CWซึ่งการจำกัดของไปยังซับคอมเพล็กซ์จำกัดใดๆ นั้นไม่มีสาระสำคัญ (กล่าวคือnullhomotopic ) J. Frank Adamsและ Grant Walker ( 1964 ) ได้สร้างตัวอย่างที่ไม่ธรรมดาตัวแรกที่รู้จักของแผนที่ดังกล่าวที่มีมิติจำกัด (ตอบคำถามของPaul Olum ) หลังจากนั้นไม่นาน คำศัพท์ "แผนที่แฟนทอม" ก็ถูกบัญญัติขึ้นโดย Brayton Gray ( 1966 ) ซึ่งสร้างแผนที่แฟนทอมที่มีสาระสำคัญอย่างเสถียรจากปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟเชิงซ้อนมิติอนันต์ไปยัง[ ^{1 ] หัวข้อ}นี้ได้รับการวิเคราะห์ในวิทยานิพนธ์ของ Gray ซึ่งส่วนใหญ่ได้รับการขยายความและตีพิมพ์ในภายหลังใน (Gray & McGibbon  1993 ) โครงสร้างที่คล้ายกันนี้ถูกกำหนดไว้สำหรับแผนที่ของสเปกตรัม^{[ 2 ]}${\textstyle f:X\to Y}$${\textstyle f}$${\textstyle Z\subset X}$${\textstyle Y}$${\textstyle S^{3}}$

ให้เป็นจำนวนคาร์ดินัลปกติมอร์ฟิซึมในหมวดหมู่โฮโมโทปีของสเปกตรัมเรียกว่า แผนที่แฟนทอม - ถ้าสำหรับสเปกตรัม s ใดๆ ที่มี เซลล์น้อยกว่า ค่าประกอบใดๆ จะหายไป^{[ 3 ]}${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle f:x\to y}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle s\to x\xrightarrow {f} y}$