การคูณเฟเซอร์${\displaystyle เอ๋^{i\theta }e^{i\omega t}}$โดยค่าคงที่เชิงซ้อน${\displaystyle Be^{i\phi }}$ทำให้เกิดเฟเซอร์อีกตัวหนึ่ง นั่นหมายความว่าผลกระทบเพียงอย่างเดียวของมันคือการเปลี่ยนแปลงแอมพลิจูดและเฟสของไซนูซอยด์พื้นฐาน: $${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Re} \left(\left(Ae^{i\theta }\cdot Be^{i\phi }\right)\cdot e^{i\omega t}\right)\\={}&\operatorname {Re} \left(\left(ABe^{i(\theta +\phi )}\right)\cdot e^{i\omega t}\right)\\={}&AB\cos(\omega t+(\theta +\phi )).\end{aligned}}}$$

ในสาขาอิเล็กทรอนิกส์${\displaystyle Be^{i\phi }}$สัญลักษณ์เฟเซอร์จะใช้แทน ค่าอิมพีแดนซ์ ซึ่งไม่ขึ้นกับเวลา โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันไม่ใช่สัญลักษณ์ย่อสำหรับเฟเซอร์อื่น การคูณกระแสเฟเซอร์ด้วยอิมพีแดนซ์จะได้แรงดันเฟเซอร์ แต่ผลคูณของเฟเซอร์สองตัว (หรือการยกกำลังสองของเฟเซอร์) จะแทนผลคูณของคลื่นไซน์สองตัว ซึ่งเป็นการดำเนินการที่ไม่เป็นเชิงเส้นและสร้างส่วนประกอบความถี่ใหม่ สัญลักษณ์เฟเซอร์สามารถใช้แทนระบบที่มีความถี่เดียวเท่านั้น เช่น ระบบเชิงเส้นที่ถูกกระตุ้นด้วยคลื่นไซน์

ผลรวมของเฟเซอร์หลายตัวจะสร้างเฟเซอร์อีกตัวหนึ่ง นั่นเป็นเพราะผลรวมของคลื่นไซน์ที่มีความถี่เดียวกันก็จะได้คลื่นไซน์ที่มีความถี่นั้นเช่นกัน: $${\displaystyle {\begin{aligned}&A_{1}\cos(\omega t+\theta _{1})+A_{2}\cos(\omega t+\theta _{2})\\[3pt]={}&\operatorname {Re} \left(A_{1}e^{i\theta _{1}}e^{i\omega t}\right)+\operatorname {Re} \left(A_{2}e^{i\theta _{2}}e^{i\omega t}\right)\\[3pt]={}&\operatorname {Re} \left(A_{1}e^{i\theta _{1}}e^{i\omega t}+A_{2}e^{i\theta _{2}}e^{i\omega t}\right)\\[3pt]={}&\operatorname {Re} \left(\left(A_{1}e^{i\theta _{1}}+A_{2}e^{i\theta _{2}}\right)e^{i\omega t}\right)\\[3pt]={}&\operatorname {Re} \left(\left(A_{3}e^{i\theta _{3}}\right)e^{i\omega t}\right)\\[3pt]={}&A_{3}\cos(\omega t+\theta _{3}),\end{aligned}}}$$ ที่ไหน: $${\displaystyle A_{3}^{2}=(A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2})^{2}+(A_{1}\sin \theta _{1}+A_{2}\sin \theta _{2})^{2},}$$

และถ้าเราพิจารณา${\textstyle \theta _{3}\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right]}$, แล้ว${\displaystyle \theta _{3}}$เป็น:

• ${\textstyle \operatorname {sgn}(A_{1}\sin(\theta _{1})+A_{2}\sin(\theta _{2}))\cdot {\frac {\pi }{2}},}$ถ้า${\displaystyle A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}=0,}$กับ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ฟังก์ชัน signum ;
• ${\displaystyle \arctan \left({\frac {A_{1}\sin \theta _{1}+A_{2}\sin \theta _{2}}{A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}}}\right),}$ถ้า${\displaystyle A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}>0}$;
• ${\displaystyle \pi +\arctan \left({\frac {A_{1}\sin \theta _{1}+A_{2}\sin \theta _{2}}{A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}}}\right),}$ถ้า${\displaystyle A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}<0}$.

หรือโดยใช้กฎของโคไซน์บนระนาบเชิงซ้อน (หรือเอกลักษณ์ตรีโกณมิติสำหรับความแตกต่างของมุม ): $${\displaystyle A_{3}^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}-2A_{1}A_{2}\cos(180^{\circ }-\Delta \theta )=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos(\Delta \theta ),}$$ ที่ไหน${\displaystyle \Delta \theta =\theta _{1}-\theta _{2}.}$

จุดสำคัญคือA และθ ไม่ขึ้นอยู่กับωหรือtซึ่งเป็นสิ่งที่ทำให้การเขียนสัญลักษณ์เฟเซอร์เป็นไปได้ การพึ่งพาเวลาและความถี่สามารถถูกระงับและแทรกกลับเข้าไปในผลลัพธ์ได้ ตราบใดที่การดำเนินการที่ใช้ระหว่างนั้นมีแต่การสร้างเฟเซอร์อีกตัวหนึ่งเท่านั้น ใน การเขียน สัญลักษณ์มุมการดำเนินการที่แสดงข้างต้นจะเขียนได้ดังนี้: $${\displaystyle A_{1}\angle \theta _{1}+A_{2}\angle \theta _{2}=A_{3}\angle \theta _{3}.}$$

อีกวิธีหนึ่งในการมองการบวกคือ การบวกเวกเตอร์ สองตัว ที่มีพิกัด[ A cos( ωt + θ ), A sin( ωt + θ )]และ[ A cos( ωt + θ ), A sin( ωt + θ )]เข้าด้วยกันในเชิงเวกเตอร์ เพื่อให้ได้เวกเตอร์ลัพธ์ที่มีพิกัด[ A cos( ωt + θ ), A sin( ωt + θ )] (ดูภาพเคลื่อนไหว)

ในทางฟิสิกส์ การบวกแบบนี้เกิดขึ้นเมื่อคลื่นไซน์แทรกซ้อนกัน ไม่ว่าจะเป็นแบบเสริมหรือแบบหักล้าง แนวคิดเวกเตอร์สถิตให้ข้อมูลเชิงลึกที่เป็นประโยชน์เกี่ยวกับคำถามเช่นนี้: "ความแตกต่างของเฟสระหว่างคลื่นไซน์สามลูกที่เหมือนกันจะต้องเป็นเท่าใดจึงจะหักล้างกันได้อย่างสมบูรณ์?" ในกรณีนี้ ลองนึกภาพเวกเตอร์สามตัวที่มีความยาวเท่ากันมาวางต่อกันโดยให้หัวสุดท้ายตรงกับหางแรก เห็นได้ชัดว่ารูปร่างที่ตรงตามเงื่อนไขเหล่านี้คือสามเหลี่ยมด้านเท่าดังนั้นมุมระหว่างเฟเซอร์แต่ละตัวกับตัวถัดไปคือ 120° (2π/ 3เรเดียน) หรือหนึ่ง ในสามของความยาวคลื่นλ / 3ดังนั้นความแตกต่างของเฟสระหว่างแต่ละคลื่นจะต้องเป็น 120° เช่นเดียวกับในกรณีของ กำลัง ไฟฟ้าสามเฟส

กล่าวอีกนัยหนึ่ง สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่า: $${\displaystyle \cos(\omega t)+\cos \left(\omega t+{\frac {2\pi }{3}}\right)+\cos \left(\omega t-{\frac {2\pi }{3}}\right)=0.}$$

ในตัวอย่างของคลื่นสามลูก ความแตกต่างของเฟสระหว่างคลื่นลูกแรกและลูกสุดท้ายคือ 240° ในขณะที่สำหรับคลื่นสองลูก การแทรกสอดแบบหักล้างจะเกิดขึ้นที่ 180° ในกรณีที่มีคลื่นจำนวนมาก เฟสเซอร์จะต้องเรียงตัวเป็นวงกลมเพื่อให้เกิดการแทรกสอดแบบหักล้าง ดังนั้นเฟสเซอร์แรกจึงเกือบขนานกับเฟสเซอร์สุดท้าย ซึ่งหมายความว่าสำหรับแหล่งกำเนิดจำนวนมาก การแทรกสอดแบบหักล้างจะเกิดขึ้นเมื่อคลื่นลูกแรกและลูกสุดท้ายมีเฟสต่างกัน 360 องศา ซึ่งเท่ากับความยาวคลื่นเต็ม${\displaystyle \lambda }$นี่คือเหตุผลที่ในการเลี้ยวเบนของ แสงผ่านช่องแคบเดี่ยว จุดต่ำสุดจะเกิดขึ้นเมื่อแสงจากขอบด้านไกลเดินทางไกลกว่าแสงจากขอบด้านใกล้เป็นระยะทางเต็มความยาวคลื่น

เมื่อเวกเตอร์เดี่ยวหมุนทวนเข็มนาฬิกา ปลายของเวกเตอร์ที่จุด A จะหมุนครบหนึ่งรอบ 360° หรือ 2π เรเดียน ซึ่งแสดงถึงหนึ่งวัฏจักรที่สมบูรณ์ หากนำความยาวของปลายเวกเตอร์ที่เคลื่อนที่ในช่วงเวลาต่างๆ มาแสดงบนกราฟดังที่แสดงไว้ข้างต้น จะได้รูปคลื่นไซน์ที่เริ่มต้นจากด้านซ้ายที่เวลาศูนย์ ตำแหน่งแต่ละตำแหน่งตามแกนแนวนอนแสดงถึงเวลาที่ผ่านไปนับตั้งแต่เวลาศูนย์t = 0เมื่อเวกเตอร์อยู่ในแนวนอน ปลายของเวกเตอร์จะแสดงมุมที่ 0°, 180° และ 360°

ในทำนองเดียวกัน เมื่อปลายของเวกเตอร์อยู่ในแนวตั้ง จะแสดงค่าสูงสุดที่เป็นบวก ( + A ) ที่ 90° หรือπ ⁄ 2และค่าสูงสุดที่เป็นลบ ( − A ) ที่ 270° หรือ3 π ⁄ 2จากนั้นแกนเวลาของรูปคลื่นจะแสดงมุมในหน่วยองศาหรือเรเดียนที่เฟเซอร์เคลื่อนที่ไป ดังนั้นเราจึงกล่าวได้ว่าเฟเซอร์แสดงถึงค่าแรงดันหรือกระแสที่ปรับขนาดแล้วของเวกเตอร์หมุนซึ่ง "หยุดนิ่ง" อยู่ที่จุดเวลาใดจุดหนึ่ง ( t ) และในตัวอย่างข้างต้นนี้ คือที่มุม 30°

บางครั้งเมื่อเราวิเคราะห์รูปคลื่นสลับ เราอาจจำเป็นต้องทราบตำแหน่งของเฟเซอร์ ซึ่งแสดงถึงปริมาณสลับ ณ ช่วงเวลาใดเวลาหนึ่ง โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อเราต้องการเปรียบเทียบรูปคลื่นสองแบบที่แตกต่างกันบนแกนเดียวกัน ตัวอย่างเช่น แรงดันและกระแส เราได้สมมติในรูปคลื่นข้างต้นว่ารูปคลื่นเริ่มต้นที่เวลาt = 0โดยมีมุมเฟสที่สอดคล้องกันในหน่วยองศาหรือเรเดียน

แต่ถ้าคลื่นลูกที่สองเริ่มต้นทางด้านซ้ายหรือด้านขวาของจุดศูนย์นี้ หรือถ้าเราต้องการแสดงความสัมพันธ์ระหว่างคลื่นทั้งสองในรูปแบบเฟเซอร์ เราจะต้องคำนึงถึงความแตกต่างของเฟสΦของคลื่นด้วย ลองพิจารณาแผนภาพด้านล่างจากบทเรียนเรื่องความแตกต่างของเฟสก่อนหน้านี้

อนุพันธ์หรือปริพันธ์ของเฟเซอร์ เทียบ กับเวลา จะสร้างเฟเซอร์อีกตัวหนึ่ง ^{[ b ]} ตัวอย่างเช่น: $${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Re} \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\mathord {\left(Ae^{i\theta }\cdot e^{i\omega t}\right)}}\right)\\={}&\operatorname {Re} \left(Ae^{i\theta }\cdot i\omega e^{i\omega t}\right)\\={}&\operatorname {Re} \left(Ae^{i\theta }\cdot e^{i\pi /2}\omega e^{i\omega t}\right)\\={}&\operatorname {Re} \left(\omega Ae^{i(\theta +\pi /2)}\cdot e^{i\omega t}\right)\\={}&\omega A\cdot \cos \left(\omega t+\theta +{\frac {\pi }{2}}\right).\end{aligned}}}$$

ดังนั้น ในการแสดงผลแบบเฟเซอร์อนุพันธ์เทียบกับเวลาของสัญญาณไซน์จึงกลายเป็นเพียงการคูณด้วยค่าคงที่${\textstyle i\omega =e^{i\pi /2}\cdot \omega }$.

ในทำนองเดียวกัน การหาปริพันธ์ของเฟเซอร์เทียบเท่ากับการคูณด้วย${\textstyle {\frac {1}{i\omega }}={\frac {e^{-i\pi /2}}{\omega }}.}$ปัจจัยที่ขึ้นอยู่กับเวลา${\displaystyle e^{i\omega t},}$ไม่ได้รับผลกระทบ

เมื่อเราแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นด้วยพีชคณิตเฟเซอร์ เราก็แค่ทำการแยกตัวประกอบเท่านั้น${\displaystyle e^{i\omega t}}$นำค่าออกจากทุกพจน์ของสมการ แล้วนำกลับไปแทนในคำตอบ ตัวอย่างเช่น พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์ต่อไปนี้สำหรับแรงดันตกคร่อมตัวเก็บประจุในวงจร RC : $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \,v_{\text{C}}(t)}{\mathrm {d} t}}+{\frac {1}{RC}}v_{\text{C}}(t)={\frac {1}{RC}}v_{\text{S}}(t).}$$

เมื่อแหล่งจ่ายแรงดันในวงจรนี้เป็นแบบไซน์: $${\displaystyle v_{\text{S}}(t)=V_{\text{P}}\cdot \cos(\omega t+\theta ),}$$

เราอาจเปลี่ยนแทนได้${\displaystyle v_{\text{S}}(t)=\operatorname {Re} \left(V_{\text{s}}\cdot e^{i\omega t}\right).}$

$${\displaystyle v_{\text{C}}(t)=\operatorname {Re} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right),}$$ โดยที่เฟเซอร์${\displaystyle V_{\text{s}}=V_{\text{P}}e^{i\theta },}$และเฟเซอร์${\displaystyle V_{\text{c}}}$คือปริมาณที่ไม่ทราบค่าที่จะต้องหาค่า

ในการเขียนแบบย่อด้วยเฟเซอร์ สมการเชิงอนุพันธ์จะลดรูปเหลือดังนี้: $${\displaystyle i\omega V_{\text{c}}+{\frac {1}{RC}}V_{\text{c}}={\frac {1}{RC}}V_{\text{s}}.}$$

อนุพันธ์

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {Re} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)+{\frac {1}{RC}}\operatorname {Re} (V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t})={\frac {1}{RC}}\operatorname {Re} \left(V_{\text{s}}\cdot e^{i\omega t}\right)}$

สมการที่ 1

เนื่องจากหลักการนี้ต้องใช้ได้กับทุกคน${\displaystyle t}$โดยเฉพาะอย่างยิ่ง:${\textstyle t-{\frac {\pi }{2\omega }},}$ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {Im} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)+{\frac {1}{RC}}\operatorname {Im} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)={\frac {1}{RC}}\operatorname {Im} \left(V_{\text{s}}\cdot e^{i\omega t}\right).}$

สมการที่ 2

นอกจากนี้ยังเห็นได้ชัดเจนว่า: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {Re} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)&=\operatorname {Re} \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\mathord {\left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)}}\right)=\operatorname {Re} \left(i\omega V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {Im} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)&=\operatorname {Im} \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\mathord {\left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)}}\right)=\operatorname {Im} \left(i\omega V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right).\end{aligned}}}$$

แทนค่าเหล่านี้ลงในสมการที่ 1และสมการที่ 2แล้วคูณสมการที่ 2ด้วย${\displaystyle i,}$และเมื่อนำสมการทั้งสองมารวมกันจะได้: $${\displaystyle {\begin{aligned}i\omega V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}+{\frac {1}{RC}}V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}&={\frac {1}{RC}}V_{\text{s}}\cdot e^{i\omega t}\\\left(i\omega V_{\text{c}}+{\frac {1}{RC}}V_{\text{c}}\right)\!\cdot e^{i\omega t}&=\left({\frac {1}{RC}}V_{\text{s}}\right)\cdot e^{i\omega t}\\i\omega V_{\text{c}}+{\frac {1}{RC}}V_{\text{c}}&={\frac {1}{RC}}V_{\text{s}}.\end{aligned}}}$$

เมื่อแก้สมการหาค่าแรงดันของตัวเก็บประจุเฟสเซอร์จะได้: $${\displaystyle V_{\text{c}}={\frac {1}{1+i\omega RC}}\cdot V_{\text{s}}={\frac {1-i\omega RC}{1+(\omega RC)^{2}}}\cdot V_{\text{P}}e^{i\theta }.}$$

ดังที่เราได้เห็นแล้ว ปัจจัยการคูณ${\displaystyle V_{\text{s}}}$แสดงถึงความแตกต่างของแอมพลิจูดและเฟสของ${\displaystyle v_{\text{C}}(t)}$เมื่อเทียบกับ${\displaystyle V_{\text{P}}}$และ${\displaystyle \theta .}$

ในรูปแบบพิกัดเชิงขั้ว พจน์แรกของนิพจน์สุดท้ายคือ: $${\displaystyle {\frac {1-i\omega RC}{1+(\omega RC)^{2}}}={\frac {1}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}\cdot e^{-i\phi (\omega )},}$$ ที่ไหน${\displaystyle \phi (\omega )=\arctan(\omega RC)}$.

ดังนั้น: $${\displaystyle v_{\text{C}}(t)=\operatorname {Re} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)={\frac {1}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}\cdot V_{\text{P}}\cos(\omega t+\theta -\phi (\omega )).}$$

ปริมาณที่เรียกว่าอิมพีแดนซ์ เชิงซ้อน คืออัตราส่วนของเฟเซอร์สองตัว ซึ่งไม่ใช่เฟเซอร์ เพราะมันไม่สอดคล้องกับฟังก์ชันที่เปลี่ยนแปลงแบบไซน์

ด้วยเฟเซอร์ เทคนิคการแก้ วงจร DCสามารถนำไปใช้แก้วงจร AC เชิงเส้นได้^{[ a ]}

กฎของโอห์มสำหรับตัวต้านทาน

ตัวต้านทานไม่มีความล่าช้าของเวลา ดังนั้นจึงไม่เปลี่ยนแปลงเฟสของสัญญาณ ดังนั้นสมการV = IR จึง ยังคงใช้ได้

กฎของโอห์มสำหรับตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุ

V = IZโดยที่ Zคืออิมพีแดนซ์เชิงซ้อน

กฎวงจรของ Kirchhoff

ทำงานกับแรงดันไฟฟ้าและกระแสไฟฟ้าในรูปของเฟเซอร์ที่ซับซ้อน

ในวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ เรามีกำลังจริง ( P ) ซึ่งเป็นตัวแทนของกำลังเฉลี่ยที่เข้าสู่วงจร และกำลังเสมือน ( Q ) ซึ่งแสดงถึงกำลังที่ไหลไปมา นอกจากนี้เรายังสามารถกำหนดกำลังเชิงซ้อนS = P + jQและกำลังปรากฏ ซึ่งเป็นขนาดของS ได้อีกด้วย กฎกำลังสำหรับวงจรไฟฟ้ากระแสสลับที่แสดงในรูปของเฟเซอร์คือS = VI ^* (โดยที่I ^*คือค่าสังยุคเชิงซ้อนของIและขนาดของเฟเซอร์แรงดันและกระแสVและIคือ ค่า RMSของแรงดันและกระแสตามลำดับ)

จากข้อมูลนี้ เราสามารถใช้เทคนิคการวิเคราะห์วงจรต้านทานด้วยเฟเซอร์เพื่อวิเคราะห์วงจร AC เชิงเส้นความถี่เดียวที่มีตัวต้านทาน ตัวเก็บประจุ และตัวเหนี่ยวนำวงจร AC เชิงเส้นหลายความถี่และวงจร AC ที่มีรูปคลื่นต่างกันสามารถวิเคราะห์เพื่อหาแรงดันและกระแสได้โดยการแปลงรูปคลื่นทั้งหมดเป็นส่วนประกอบคลื่นไซน์ (โดยใช้อนุกรมฟูริเยร์ ) ที่มีขนาดและเฟส จากนั้นวิเคราะห์แต่ละความถี่แยกกัน ตามที่ทฤษฎีบทการซ้อนทับ อนุญาต วิธีการแก้ปัญหานี้ใช้ได้เฉพาะกับอินพุตที่เป็นไซน์และสำหรับโซลูชันที่อยู่ในสถานะคงที่ กล่าวคือ หลังจากที่การเปลี่ยนแปลงชั่วคราวทั้งหมดหายไปแล้ว^{[ 16 ]}

แนวคิดนี้มักเกี่ยวข้องกับการแสดงค่าอิมพีแดนซ์ทางไฟฟ้าในกรณีนี้ มุมเฟสคือผลต่างของเฟสระหว่างแรงดันไฟฟ้าที่จ่ายให้กับอิมพีแดนซ์และกระแสไฟฟ้าที่ไหลผ่านอิมพีแดนซ์นั้น

ในการวิเคราะห์ระบบไฟฟ้ากระแสสลับสามเฟส โดยทั่วไปแล้วจะมีการกำหนดเฟเซอร์ชุดหนึ่งเป็น รากที่สามเชิงซ้อนของเอกภาพซึ่งแสดงในรูปกราฟิกเป็นขนาดหน่วยที่มุม 0, 120 และ 240 องศา การพิจารณาปริมาณในวงจรไฟฟ้ากระแสสลับหลายเฟสเป็นเฟเซอร์ ช่วยให้วงจรสมดุลสามารถลดความซับซ้อนลงได้ และวงจรไม่สมดุลสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นผลรวมทางพีชคณิตของส่วนประกอบสมมาตรวิธีการนี้ช่วยลดความซับซ้อนของงานที่จำเป็นในการคำนวณทางไฟฟ้า เช่น แรงดันตก การไหลของกำลัง และกระแสลัดวงจร ในบริบทของการวิเคราะห์ระบบไฟฟ้า มุมเฟสมักจะระบุเป็นองศาและขนาดจะระบุเป็น ค่า RMSแทนที่จะเป็นแอมพลิจูดสูงสุดของคลื่นไซน์

เทคนิคซิงโครเฟเซอร์ใช้เครื่องมือดิจิทัลในการวัดเฟเซอร์ที่แสดงถึงแรงดันไฟฟ้าของระบบส่งกำลัง ณ จุดต่างๆ ทั่วเครือข่ายส่งกำลัง ความแตกต่างระหว่างเฟเซอร์บ่งชี้ถึงการไหลของพลังงานและความเสถียรของระบบ

ภาพเฟรมหมุนโดยใช้เฟเซอร์สามารถเป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพในการทำความเข้าใจการมอดูเลชั่นแบบอนาล็อก เช่นการมอดูเลชั่นแอมพลิจูด (และรูปแบบต่างๆ^{[ 17 ]} ) และ การมอดูเลชั่ นความถี่

$${\displaystyle x(t)=\operatorname {Re} \left(Ae^{i\theta }\cdot e^{i2\pi f_{0}t}\right),}$$ โดยที่พจน์ในวงเล็บถือเป็นเวกเตอร์หมุนในระนาบเชิงซ้อน

เฟเซอร์มีความยาว${\displaystyle A}$หมุนทวนเข็มนาฬิกาด้วยอัตราเร็ว${\displaystyle f_{0}}$รอบต่อวินาที และ ณ เวลา${\displaystyle t=0}$สร้างมุมของ${\displaystyle \theta }$โดยพิจารณาจากแกนจริงบวก

รูปคลื่น${\displaystyle x(t)}$จากนั้นสามารถมองได้ว่าเป็นการฉายภาพของเวกเตอร์นี้ลงบนแกนจริง รูปคลื่นที่ถูกมอดูเลตจะแสดงด้วยเฟเซอร์นี้ (ตัวพา) และเฟเซอร์เพิ่มเติมอีกสองตัว (เฟเซอร์มอดูเลต) หากสัญญาณมอดูเลตเป็นโทนเสียงเดียวในรูปแบบ${\displaystyle Am\cos {2\pi f_{m}t}}$, ที่ไหน${\displaystyle m}$คือความลึกของการมอดูเลชั่นและ${\displaystyle f_{m}}$คือความถี่ของสัญญาณมอดูเลต ดังนั้นสำหรับการมอดูเลตแอมพลิจูด เฟเซอร์มอดูเลตสองตัวจะกำหนดโดย

$${\displaystyle {1 \over 2}Ame^{i\theta }\cdot e^{i2\pi (f_{0}+f_{m})t},}$$$${\displaystyle {1 \over 2}Ame^{i\theta }\cdot e^{i2\pi (f_{0}-f_{m})t}.}$$

เฟเซอร์การมอดูเลชั่นทั้งสองตัวมีเฟสตรงกัน โดยผลรวมเวกเตอร์ของทั้งสองตัวจะมีเฟสตรงกับเฟเซอร์ตัวพาเสมอ อีกทางเลือกหนึ่งคือการใช้เฟเซอร์สองตัวหมุนสวนทางกันรอบปลายของเฟเซอร์ตัวพาด้วยอัตราหนึ่ง${\displaystyle f_{m}}$เมื่อเทียบกับเฟเซอร์พาหะ กล่าวคือ

$${\displaystyle {1 \over 2}Ame^{i\theta }\cdot e^{i2\pi f_{m}t},}$$$${\displaystyle {1 \over 2}Ame^{i\theta }\cdot e^{-i2\pi f_{m}t}.}$$

การมอดูเลชั่นความถี่เป็นการแสดงผลที่คล้ายกัน ยกเว้นว่าเฟเซอร์มอดูเลชั่นไม่ได้อยู่ในเฟสเดียวกับคลื่นพาห์ ในกรณีนี้ ผลรวมเวกเตอร์ของเฟเซอร์มอดูเลชั่นจะเลื่อนไป 90° จากเฟสของคลื่นพาห์ โดยหลักการแล้ว การแสดงผลแบบมอดูเลชั่นความถี่ต้องใช้เฟเซอร์มอดูเลชั่นขนาดเล็กเพิ่มเติมอีกด้วย${\displaystyle 2f_{m},3f_{m}}$เป็นต้น แต่ในทางปฏิบัติส่วนใหญ่ มักละเลยสิ่งเหล่านี้ เพราะผลกระทบของมันมีน้อยมาก