ในเรขาคณิตทฤษฎีบทของ Pickให้สูตรสำหรับพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมแบบง่าย ที่มีพิกัด จุดยอดเป็นจำนวนเต็มโดยพิจารณาจากจำนวนจุดจำนวนเต็มภายในและบนขอบเขต ผลลัพธ์นี้ได้รับการอธิบายครั้งแรกโดยGeorg Alexander Pickในปี 1899 ^{[ 2 ]} Hugo Steinhausได้เผยแพร่ทฤษฎีบทนี้ในภาษาอังกฤษ ในหนังสือ Mathematical Snapshotsฉบับปี 1950 ^{[ 3 ] [ 4 ]}ทฤษฎีบทนี้มีการพิสูจน์หลายวิธี และสามารถขยายไปสู่สูตรสำหรับรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่ใช่แบบง่ายบางประเภทได้

สมมติว่ารูปหลายเหลี่ยมมีพิกัดจำนวนเต็มสำหรับจุดยอดทั้งหมด ให้เป็นจำนวนจุดจำนวนเต็มภายในรูปหลายเหลี่ยม และให้เป็นจำนวนจุดจำนวนเต็มบนขอบของรูปหลายเหลี่ยม (รวมทั้งจุดยอดและจุดตามด้าน) แล้วพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมนี้คือ: ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]} ตัวอย่างที่แสดงมีจุดภายในและจุดขอบ ดังนั้นพื้นที่ของมันคือตารางหน่วย ${\displaystyle i}$${\displaystyle b}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle A=i+{\frac {b}{2}}-1.}$$${\displaystyle i=7}$${\displaystyle b=8}$${\displaystyle A=7+{\tfrac {8}{2}}-1=10}$

การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้วิธีหนึ่งเกี่ยวข้องกับการแบ่งรูปหลายเหลี่ยมออกเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดจำนวนเต็มสามจุดและไม่มีจุดจำนวนเต็มอื่น ๆ จากนั้นสามารถพิสูจน์ได้ว่ารูปสามเหลี่ยมที่แบ่งย่อยแต่ละรูปมีพื้นที่เท่ากับดังนั้น พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมทั้งหมดจึงเท่ากับครึ่งหนึ่งของจำนวนรูปสามเหลี่ยมที่แบ่งย่อย หลังจากเชื่อมโยงพื้นที่กับจำนวนรูปสามเหลี่ยมในลักษณะนี้แล้ว การพิสูจน์จะสรุปโดยใช้สูตรโพลีเฮดรัลของออยเลอร์เพื่อเชื่อมโยงจำนวนรูปสามเหลี่ยมกับจำนวนจุดกริดในรูปหลายเหลี่ยม^{[ 5 ]}${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$

ส่วนแรกของการพิสูจน์นี้แสดงให้เห็นว่าสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดจำนวนเต็มสามจุดและไม่มีจุดจำนวนเต็มอื่น ๆ จะมีพื้นที่เท่ากับตามที่สูตรของ Pick ระบุไว้ การพิสูจน์ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าสามเหลี่ยมทั้งหมดสามารถปูระนาบได้โดยสามเหลี่ยมที่อยู่ติดกันจะหมุน 180° จากกันและกันรอบขอบที่ใช้ร่วมกัน^{[ 9 ]}สำหรับการปูระนาบด้วยสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดจำนวนเต็มสามจุดและไม่มีจุดจำนวนเต็มอื่น ๆ แต่ละจุดของตารางจำนวนเต็มจะเป็นจุดยอดของกระเบื้องหกแผ่น เนื่องจากจำนวนสามเหลี่ยมต่อจุดตาราง (หก) เป็นสองเท่าของจำนวนจุดตารางต่อสามเหลี่ยม (สาม) ดังนั้นสามเหลี่ยมจึงมีความหนาแน่นในระนาบเป็นสองเท่าของจุดตาราง บริเวณใด ๆ ที่ปรับขนาดของระนาบจะมีสามเหลี่ยมเป็นสองเท่า (ในขีดจำกัดเมื่อตัวประกอบมาตราส่วนเข้าสู่ค่าอนันต์) ของจำนวนจุดตารางที่มีอยู่ ดังนั้นแต่ละสามเหลี่ยมจึงมีพื้นที่ตามที่จำเป็นสำหรับการพิสูจน์^{[ 5 ]}${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$

การพิสูจน์ทางเลือกที่แสดงว่าสามเหลี่ยมเหล่านี้มีพื้นที่นั้นใช้ทฤษฎีบทของมินคอฟสกีที่ว่าเซต แบบนูนสมมาตร ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกริดและไม่มีจุดกริดภายในอื่นจะมีพื้นที่เท่ากับการนำไปใช้กับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากสามเหลี่ยมที่กำหนดให้แปดชุดแสดงให้เห็นว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยมนั้นมีค่าไม่เกินแต่ตามสูตรเชือกผูกรองเท้าพื้นที่ของสามเหลี่ยมดังกล่าวเป็นครึ่งจำนวนเต็ม บวก ดังนั้นพื้นที่ต้องเท่ากับ^{[ 10 ]}${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle \leq 4}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$

สิ่งนี้พิสูจน์สูตรของ Pick สำหรับรูปหลายเหลี่ยมที่เป็นหนึ่งในสามเหลี่ยมพิเศษเหล่านี้แล้ว รูปหลายเหลี่ยมอื่นๆ สามารถแบ่งย่อยเป็นสามเหลี่ยมพิเศษได้: เพิ่มส่วนของเส้นตรงที่ไม่ตัดกันภายในรูปหลายเหลี่ยมระหว่างจุดกริดคู่หนึ่งจนกว่าจะไม่สามารถเพิ่มส่วนของเส้นตรงได้อีก รูปหลายเหลี่ยมเดียวที่ไม่สามารถแบ่งย่อยด้วยวิธีนี้ได้คือสามเหลี่ยมพิเศษที่กล่าวถึงข้างต้น ดังนั้น มีเพียงสามเหลี่ยมพิเศษเท่านั้นที่จะปรากฏในการแบ่งย่อยที่ได้ เนื่องจากสามเหลี่ยมพิเศษแต่ละรูปมีพื้นที่รูปหลายเหลี่ยมที่มีพื้นที่จะถูกแบ่งย่อยเป็นสามเหลี่ยมพิเศษ^{[ 5 ]}${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle 2A}$

การแบ่งรูปหลายเหลี่ยมออกเป็นรูปสามเหลี่ยมจะก่อให้เกิดกราฟระนาบและสูตรของออยเลอร์จะให้สมการที่ใช้กับจำนวนจุดยอด ขอบ และหน้าของกราฟระนาบใดๆ จุดยอดก็คือจุดบนตารางของรูปหลายเหลี่ยม มีจำนวนหน้าก็คือรูปสามเหลี่ยมของการแบ่งย่อย และบริเวณเดียวบนระนาบที่อยู่นอกรูปหลายเหลี่ยม จำนวนรูปสามเหลี่ยมคือดังนั้นโดยรวมแล้วมีหน้า ในการนับขอบ ให้สังเกตว่ามีด้านของรูปสามเหลี่ยมในการแบ่งย่อย แต่ละขอบภายในรูปหลายเหลี่ยมเป็นด้านของรูปสามเหลี่ยมสองรูป อย่างไรก็ตาม มีขอบของรูปสามเหลี่ยมที่อยู่ตามขอบของรูปหลายเหลี่ยมและเป็นส่วนหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมเพียงรูปเดียว ดังนั้น จำนวนด้านของรูปสามเหลี่ยมจึงเป็นไปตามสมการซึ่งสามารถหาจำนวนขอบได้เมื่อแทนค่า, , และลงในสูตรของออยเลอร์จะ ได้ สูตรของพิกได้มาจากการแก้สมการเชิงเส้นนี้สำหรับ^{[ 5 ]}การคำนวณทางเลือกแต่คล้ายคลึงกันเกี่ยวข้องกับการพิสูจน์ว่าจำนวนขอบของการแบ่งย่อยเดียวกันคือซึ่งนำไปสู่ผลลัพธ์เดียวกัน^{[ 11 ]}${\displaystyle V-E+F=2}$${\displaystyle V=i+b}$${\displaystyle 2A}$${\displaystyle F=2A+1}$${\displaystyle 6A}$${\displaystyle b}$${\displaystyle 6A=2E-b}$${\displaystyle E={\tfrac {6A+b}{2}}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle V-E+F=2}$$${\displaystyle (i+b)-{\frac {6A+b}{2}}+(2A+1)=2.}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle E=3i+2b-3}$

นอกจากนี้ยังสามารถดำเนินการในทิศทางตรงกันข้ามได้ โดยใช้ทฤษฎีบทของ Pick (ซึ่งพิสูจน์ด้วยวิธีที่แตกต่างกัน) เป็นพื้นฐานในการพิสูจน์สูตรของ Euler ^{[ 6 ] [ 12 ]}

วิธีการพิสูจน์ทฤษฎีบทของพิกก์แบบอื่นที่ไม่ใช้สูตรของออยเลอร์มีดังต่อไปนี้

• เราสามารถแยกรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนดออกเป็นรูปสามเหลี่ยมแบบเรียกซ้ำได้ โดยอนุญาตให้รูปสามเหลี่ยมบางรูปในการแบ่งย่อยมีพื้นที่มากกว่า 1/2 ทั้งพื้นที่และจำนวนจุดที่ใช้ในสูตรของ Pick จะบวกกันในลักษณะเดียวกัน ดังนั้นความจริงของสูตรของ Pick สำหรับรูปหลายเหลี่ยมทั่วไปจึงมาจากความจริงของสูตรสำหรับรูปสามเหลี่ยม รูปสามเหลี่ยมใดๆ จะแบ่งกล่องขอบเขต ออก เป็นตัวรูปสามเหลี่ยมเองและรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เพิ่มเติม และพื้นที่ของทั้งกล่องขอบเขตและรูปสามเหลี่ยมมุมฉากนั้นคำนวณได้ง่าย การรวมการคำนวณพื้นที่เหล่านี้เข้าด้วยกันทำให้ได้สูตรของ Pick สำหรับรูปสามเหลี่ยม และการรวมรูปสามเหลี่ยมเข้าด้วยกันทำให้ได้สูตรของ Pick สำหรับรูปหลายเหลี่ยมใดๆ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 13 ]}
• อีกทางเลือกหนึ่ง แทนที่จะใช้ช่องตารางที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดตาราง ก็สามารถใช้ช่องตารางที่มีจุดยอดอยู่ที่จุดตารางได้ ช่องตารางเหล่านี้จะแบ่งรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนดออกเป็นชิ้นๆ ซึ่งสามารถนำมาจัดเรียงใหม่ได้ (โดยการจับคู่ช่องสี่เหลี่ยมตามขอบแต่ละด้านของรูปหลายเหลี่ยม) ให้เป็นโพลีโอมีโนที่มีพื้นที่เท่าเดิม^{[ 14 ]}
• ทฤษฎีบทของ Pick อาจได้รับการพิสูจน์โดยอาศัยการบูรณาการเชิงซ้อนของฟังก์ชันคาบสองเท่าที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันวงรีของ Weierstrass เช่นกัน^{[ 15 ]}
• การใช้สูตรผลรวมปัวซงกับฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของรูปหลายเหลี่ยมนำไปสู่การพิสูจน์อีกแบบหนึ่ง^{[ 16 ]}

ทฤษฎีบทของ Pick ถูกรวมอยู่ในรายการ "100 ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ยอดนิยม" บนเว็บไซต์ในปี 1999 ซึ่งต่อมา Freek Wiedijk ได้นำมาใช้เป็น เกณฑ์ มาตรฐานเพื่อทดสอบประสิทธิภาพของโปรแกรมช่วยพิสูจน์ ต่างๆ ณ ปี 2024 ทฤษฎีบทของ Pick ได้รับการกำหนดรูปแบบและพิสูจน์แล้วในโปรแกรมช่วยพิสูจน์เพียงสองโปรแกรมจากสิบโปรแกรมที่ Wiedijk บันทึกไว้^{[ 17 ]}

การสรุปทฤษฎีบทของ Pick สำหรับรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่ใช่รูปหลายเหลี่ยมแบบง่ายนั้นซับซ้อนกว่าและต้องการข้อมูลมากกว่าแค่จำนวนจุดยอดภายในและขอบ^{[ 3 ] [ 18 ]}ตัวอย่างเช่นรูปหลายเหลี่ยมที่มีhรูซึ่งล้อมรอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมจำนวนเต็มแบบง่ายที่ไม่ทับซ้อนกันและไม่ทับซ้อนกับขอบ จะมีพื้นที่^{[ 19 ]}$${\displaystyle A=i+{\frac {b}{2}}+h-1.}$$

นอกจากนี้ยังสามารถขยายทฤษฎีบทของ Pick ไปยังภูมิภาคที่ล้อมรอบด้วยกราฟเส้นตรงระนาบที่ ซับซ้อนกว่า ซึ่งมีพิกัดจุดยอดเป็นจำนวนเต็ม โดยใช้เงื่อนไขเพิ่มเติมที่กำหนดโดยใช้ลักษณะเฉพาะของออยเลอร์ของภูมิภาคและขอบเขต^{[ 18 ]}หรือไปยังรูปหลายเหลี่ยมที่มีรูปหลายเหลี่ยมขอบเขตเดียวที่สามารถตัดกันได้ โดยใช้สูตรที่เกี่ยวข้องกับจำนวนรอบของรูปหลายเหลี่ยมรอบจุดจำนวนเต็มแต่ละจุด รวมทั้งจำนวนรอบทั้งหมด^{[ 3 ]}

รูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าของรีฟในสามมิติมีจุดจำนวนเต็มสี่จุดเป็นจุดยอดและไม่มีจุดจำนวนเต็มอื่น ๆ แต่ไม่ได้มีปริมาตรเท่ากันทั้งหมด ดังนั้นจึงไม่มีทฤษฎีบทของพิกในสามมิติที่แสดงปริมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นฟังก์ชันของจำนวนจุดภายในและจุดขอบเท่านั้น^{[ 20 ]}อย่างไรก็ตาม ปริมาตรเหล่านี้สามารถแสดงได้โดยใช้พหุนามเออร์ฮาร์ตแทน^{[ 21 ] [ 22 ]}

หัวข้อทางคณิตศาสตร์อื่นๆ อีกหลายหัวข้อเชื่อมโยงพื้นที่ของภูมิภาคกับจำนวนจุดกริดทฤษฎีบทของ Blichfeldtกล่าวว่ารูปร่างทุกรูปสามารถแปลให้มีพื้นที่อย่างน้อยเท่ากับพื้นที่ของรูปร่างนั้นในจุดกริดได้^{[ 23 ]}ปัญหาของวงกลม Gaussเกี่ยวข้องกับการจำกัดขอบเขตของข้อผิดพลาดระหว่างพื้นที่และจำนวนจุดกริดในวงกลม^{[ 24 ]}ปัญหาของการนับจุดจำนวนเต็มในทรงหลายเหลี่ยมนูนเกิดขึ้นในหลายสาขาของคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์^{[ 25 ]} ในด้านการประยุกต์ใช้เครื่องวัดพื้นที่แบบจุดเป็นอุปกรณ์ที่ใช้ความโปร่งใสในการประมาณพื้นที่ของรูปร่างโดยการนับจุดกริดที่รูปร่างนั้นมีอยู่^{[ 26 ]}ลำดับFareyเป็นลำดับของจำนวนตรรกยะที่มีตัวส่วนจำกัด ซึ่งการวิเคราะห์เกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทของ Pick ^{[ 27 ]}

อีกวิธีง่ายๆ ในการคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมคือสูตรเชือกผูกรองเท้า สูตรนี้จะให้พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมแบบง่ายใดๆ เป็นผลรวมของพจน์ที่คำนวณจากพิกัดของคู่จุดยอดที่อยู่ติดกัน ซึ่งแตกต่างจากทฤษฎีบทของ Pick ตรงที่สูตรเชือกผูกรองเท้าไม่จำเป็นต้องให้พิกัดของจุดยอดเป็นจำนวนเต็ม^{[ 28 ]}

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทของพิก (Pick's theorem )

• ทฤษฎีบทของพิกก์โดยเอ็ด เพ็กก์ จูเนียร์จากโครงการสาธิตของวูล์ฟแรม
• การหาค่า Pi โดยใช้ทฤษฎีบทของ Pickโดย Mark Dabbs จากGeoGebra