ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในระบบพลวัตแผนที่เวียนเกิดแรกหรือแผนที่ปวงกาเร (Poincaré map ) ซึ่งตั้งชื่อตามอองรี ปวงกาเร (Honri Poincaré ) คือจุดตัดของวงโคจรคาบในปริภูมิสถานะของระบบพลวัตต่อเนื่องกับปริภูมิย่อยที่มีมิติต่ำกว่า เรียกว่า ส่วนตัดปวงกาเร (Poincaré section ) ซึ่งตั้งฉากกับการไหลของระบบ กล่าวโดยละเอียดกว่านั้น คือ เราพิจารณาวงโคจรคาบที่มีเงื่อนไขเริ่มต้นภายในส่วนตัดของปริภูมิ ซึ่งออกจากส่วนตัดนั้นในภายหลัง และสังเกตจุดที่วงโคจรนี้กลับมายังส่วนตัดนั้นเป็นครั้งแรก จากนั้นเราสร้างแผนที่เพื่อส่งจุดแรกไปยังจุดที่สอง จึงเป็นที่มาของชื่อแผนที่เวียนเกิดแรกการที่ส่วนตัดปวงกาเรตั้งฉากกับการไหลของระบบ หมายความว่า วงโคจรคาบที่เริ่มต้นบนปริภูมิย่อยนั้นจะไหลผ่านส่วนตัดนั้น ไม่ใช่ไหลขนานกับมัน

แผนที่ปวงกาเรสามารถตีความได้ว่าเป็นระบบพลวัตแบบไม่ต่อเนื่องที่มีปริภูมิสถานะซึ่งมีมิติเล็กกว่าระบบพลวัตแบบต่อเนื่องดั้งเดิมหนึ่งมิติ เนื่องจากมันรักษาคุณสมบัติหลายอย่างของวงโคจรแบบคาบและกึ่งคาบของระบบดั้งเดิมไว้ และมีปริภูมิสถานะที่มีมิติน้อยกว่า จึงมักถูกใช้ในการวิเคราะห์ระบบดั้งเดิมในวิธีที่ง่ายกว่า ในทางปฏิบัติแล้ว สิ่งนี้ไม่สามารถทำได้เสมอไป เนื่องจากไม่มีวิธีการทั่วไปในการสร้างแผนที่ปวงกาเร

แผนที่ปวงกาเรแตกต่างจากแผนภาพการเกิดซ้ำตรงที่ พื้นที่ ไม่ใช่เวลา เป็นตัวกำหนดเวลาในการลงจุด ตัวอย่างเช่น ตำแหน่งของดวงจันทร์เมื่อโลกอยู่ใกล้ ดวงอาทิตย์ที่สุด (perihelion) คือแผนภาพการเกิดซ้ำ แต่ตำแหน่งของดวงจันทร์เมื่อเคลื่อนผ่านระนาบที่ตั้งฉากกับวงโคจรของโลกและผ่านดวงอาทิตย์และโลกที่จุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด คือแผนที่ปวงกาเร มิเชล เอโนนใช้แผนที่ปวงกาเรในการศึกษาการเคลื่อนที่ของดาวฤกษ์ในกาแล็กซีเพราะเส้นทางของดาวฤกษ์ที่ฉายลงบนระนาบจะดูเหมือนเป็นเส้นที่พันกันยุ่งเหยิง ในขณะที่แผนที่ปวงกาเรแสดงโครงสร้างได้ชัดเจนกว่า

ให้ ( R , M , φ ) เป็นระบบพลวัตทั่วโลกโดยที่RคือจำนวนจริงMคือปริภูมิเฟสและφ คือฟังก์ชันวิวัฒนาการให้ γ เป็นวงโคจรคาบผ่านจุดpและSเป็นภาคตัดขวางที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ในระดับท้องถิ่นของφผ่านจุด pซึ่งเรียกว่าภาคตัดปวงกาเรผ่านจุด p

เมื่อกำหนด ย่านใกล้เคียง แบบเปิดและเชื่อมต่อกันของpแล้ว ฟังก์ชันหนึ่งจะสามารถใช้งานได้${\displaystyle U\subset S}$

${\displaystyle P:U\to S}$

เรียกว่าแผนที่ปวงกาเรสำหรับวงโคจร γ บนส่วนตัดปวงกาเรSที่ผ่านจุดpถ้า

• P ( p ) = p
• P ( U ) คือย่านใกล้เคียงของpและP : U → P ( U ) คือการแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียล
• สำหรับทุกจุดxในUวงโคจรครึ่งบวกของxจะตัดกับSเป็นครั้งแรกที่P ( x )

พิจารณาระบบสมการเชิงอนุพันธ์ต่อไปนี้ในพิกัดเชิงขั้ว: ${\displaystyle (\theta ,r)\in \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {R} ^{+}}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\theta }}=1\\{\dot {r}}=(1-r^{2})r\end{cases}}}$

การไหลของระบบสามารถหาได้โดยการอินทิเกรตสมการ: สำหรับส่วนประกอบ เราจะได้เพียงแค่ ในขณะที่สำหรับส่วนประกอบ เราจำเป็นต้องแยกตัวแปรและอินทิเกรต: ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta (t)=\theta _{0}+t}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{(1-r^{2})r}}dr=\int dt\Longrightarrow \log \left({\frac {r}{\sqrt {1-r^{2}}}}\right)=t+c}$

การกลับนิพจน์สุดท้ายจะได้

${\displaystyle r(t)={\sqrt {\frac {e^{2(t+c)}}{1+e^{2(t+c)}}}}}$

และตั้งแต่

${\displaystyle r(0)={\sqrt {\frac {e^{2c}}{1+e^{2c}}}}}$

เราพบว่า

${\displaystyle r(t)={\sqrt {\frac {e^{2t}r_{0}^{2}}{1+r_{0}^{2}(e^{2t}-1)}}}={\sqrt {\frac {1}{1+e^{-2t}\left({\frac {1}{r_{0}^{2}}}-1\right)}}}}$

ดังนั้น การไหลของระบบจึงเป็นดังนี้

${\displaystyle \Phi _{t}(\theta ,r)=\left(\theta _{0}+t,{\sqrt {\frac {1}{1+e^{-2t}\left({\frac {1}{r_{0}^{2}}}-1\right)}}}\right)}$

ลักษณะการไหลของกระแสน้ำเป็นดังนี้:

• มุมจะเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องและในอัตราคงที่${\displaystyle \theta }$
• รัศมีมีแนวโน้มเข้าสู่จุดสมดุลสำหรับทุกค่า${\displaystyle r}$${\displaystyle {\bar {r}}=1}$

ดังนั้น วิธีแก้ปัญหาโดยใช้ข้อมูลเริ่มต้นจึงวาดเส้นโค้งเกลียวที่มีแนวโน้มเข้าใกล้รัศมีวงกลม 1 ${\displaystyle (\theta _{0},r_{0}\neq 1)}$

เราสามารถใช้แกนแนวนอนบวกเป็นระนาบปวงกาเรสำหรับการไหลนี้ได้ กล่าวคือ : เห็นได้ชัดว่าเราสามารถใช้เป็นพิกัดบนระนาบได้ ทุกจุดในจะกลับไปยังระนาบเดิมหลังจากช่วงเวลาหนึ่ง(สามารถเข้าใจได้โดยการดูวิวัฒนาการของมุม) เราสามารถใช้แผนที่ปวงกาเรเป็นการจำกัดของไปยังระนาบ ที่ คำนวณณ เวลาแผนที่ปวงกาเรจึงเป็นดังนี้ :${\displaystyle \Sigma =\{(\theta ,r)\ :\ \theta =0\}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle t=2\pi }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \พี _{2\pi }|_{\ซิกมา }}$${\displaystyle \Psi (r)={\sqrt {\frac {1}{1+e^{-4\pi }\left({\frac {1}{r^{2}}}-1\right)}}}}$

พฤติกรรมของวงโคจรของระบบพลวัตแบบไม่ต่อเนื่องมีดังต่อไปนี้: ${\displaystyle (\ซิกมา ,\mathbb {Z} ,\Psi )}$

• จุดนั้นคงที่ ดังนั้นสำหรับทุกๆ.${\displaystyle r=1}$${\displaystyle \Psi ^{n}(1)=1}$${\displaystyle n}$
• จุดอื่นๆ ทุกจุดมีแนวโน้มเข้าใกล้จุดสมดุลอย่างต่อเนื่องสำหรับ.${\displaystyle \Psi ^{n}(z)\ถึง 1}$${\displaystyle n\to \pm \infty }$

แผนที่ปวงกาเรสามารถตีความได้ว่าเป็นระบบพลวัตแบบไม่ต่อเนื่องความเสถียรของวงโคจรคาบของระบบดั้งเดิมมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับความเสถียรของจุดตรึงของแผนที่ปวงกาเรที่สอดคล้องกัน

ให้ ( R , M , φ ) เป็นระบบพลวัตเชิงอนุพันธ์ที่มีวงโคจรคาบ γ ผ่านจุดpให้

${\displaystyle P:U\to S}$

ให้ เป็นแผนที่ปวงกาเรที่สอดคล้องกันผ่านจุดpเรากำหนด

${\displaystyle P^{0}:=\operatorname {id} _{U}}$

${\displaystyle P^{n+1}:=P\circ P^{n}}$

${\displaystyle P^{-n-1}:=P^{-1}\circ P^{-n}}$

และ

${\displaystyle P(n,x):=P^{n}(x)}$

ดังนั้น ( Z , U , P ) จึงเป็นระบบพลวัตแบบไม่ต่อเนื่องที่มีปริภูมิสถานะUและฟังก์ชันวิวัฒนาการ

${\displaystyle P:\mathbb {Z} \times U\to U.}$

ตามนิยามแล้ว ระบบนี้มีจุดคงที่อยู่ที่ p

วงโคจรคาบ γ ของระบบพลวัตต่อเนื่องจะมีเสถียรภาพก็ต่อเมื่อจุดตรึงpของระบบพลวัตแบบไม่ต่อเนื่องมีเสถียรภาพ เท่านั้น

วงโคจรคาบ γ ของระบบพลวัตต่อเนื่องจะมีเสถียรภาพเชิง อะซิ้มโทติก ก็ต่อเมื่อจุดตรึงpของระบบพลวัตแบบไม่ต่อเนื่องมีเสถียรภาพเชิงอะซิ้มโทติก

• การเกิดซ้ำของปวงกาเร
• แผนที่เฮนอน
• แผนภาพการเกิดซ้ำ
• ฟังก์ชันการสะท้อนของมิโรเนนโก
• การวัดที่ไม่เปลี่ยนแปลง

• Shivakumar Jolad, แผนที่ปวงกาเรและการประยุกต์ใช้กับปัญหา 'แม่เหล็กหมุน' (2005)