ในการจัดเรียงแบบ lin⊥lin การระบายความร้อนเกิดขึ้นผ่านปรากฏการณ์ซิซิฟัส พิจารณาคลื่นระนาบแม่เหล็กไฟฟ้าสองลูกที่เคลื่อนที่สวนทางกัน มีแอมพลิจูดเท่ากัน และมีโพลาไรเซชันเชิงเส้นตั้งฉากกัน${\displaystyle {\vec {E_{1}}}=E_{0}e^{ikz}{\hat {x}}}$และ${\displaystyle {\vec {E_{2}}}=E_{0}e^{-ikz}{\hat {y}}}$โดยที่ k คือเลขคลื่น${\displaystyle k=\textstyle {\frac {2\pi }{\แลมบ์ดา }}}$การซ้อนทับของ${\displaystyle {\vec {E_{1}}}}$และ${\displaystyle {\vec {E_{2}}}}$กำหนดให้เป็นดังนี้:

${\displaystyle {\vec {E}}_{tot}={\frac {E_{0}}{\sqrt {2}}}\left(\cos(kz){\frac {{\hat {x}}+{\hat {y}}}{\sqrt {2}}}-i\sin(kz){\frac {-{\hat {x}}+{\hat {y}}}{\sqrt {2}}}\right)}$

แนะนำระบบพิกัดคู่ใหม่${\displaystyle {\hat {x}}'=\textstyle {\frac {{\hat {x}}+{\hat {y}}}{\sqrt {2}}}}$และ${\displaystyle {\hat {y}}'=\textstyle {\frac {-{\hat {x}}+{\hat {y}}}{\sqrt {2}}}}$สามารถเขียนฟิลด์ได้ดังนี้:

${\displaystyle {\vec {E}}_{tot}={\frac {E_{0}}{\sqrt {2}}}\left(\cos(kz){\hat {x}}'-i\sin(kz){\hat {y}}'\right)}$

การโพลาไรเซชันของสนามรวมเปลี่ยนแปลงไปตามค่า z ตัวอย่างเช่น เราจะเห็นว่าที่${\displaystyle z=0}$สนามมีการโพลาไรซ์เชิงเส้นตามแนว${\displaystyle {\hat {x}}'}$, ที่${\displaystyle z=\textstyle {\frac {\แลมบ์ดา }{8}}}$สนามดังกล่าวได้ทิ้งการโพลาไรซ์แบบวงกลมไว้ ณ${\displaystyle z=\textstyle {\frac {\lambda }{4}}}$สนามมีการโพลาไรซ์เชิงเส้นตามแนว${\displaystyle {\hat {y}}'}$, ที่${\displaystyle z=\textstyle {\frac {3\แลมบ์ดา }{8}}}$สนามมีโพลาไรเซชันแบบวงกลมขวา และที่${\displaystyle z=\textstyle {\frac {\lambda }{2}}}$สนามดังกล่าวมีการโพลาไรซ์เชิงเส้นอีกครั้งตามแนว${\displaystyle {\hat {x}}'}$.

พิจารณาอะตอมที่ทำปฏิกิริยากับสนามที่มีความถี่ต่ำกว่าความถี่การเปลี่ยนสถานะจากสถานะอะตอม${\displaystyle F_{g}=\textstyle {\frac {1}{2}}}$และ${\displaystyle F_{e}=\textstyle {\frac {3}{2}}}$(${\displaystyle \hbar {}\omega {}_{field}<E_{eg}}$การเปลี่ยนแปลงของโพลาไรเซชันตามแนวแกน z ส่งผลให้เกิดการเปลี่ยนแปลงในการเลื่อนของแสงในระดับย่อยซีแมนของอะตอมตามแกน z สัมประสิทธิ์เคล็บช์-กอร์แดนที่เชื่อมต่อ${\displaystyle |g,m_{F}=-\textstyle {\frac {1}{2}}\rangle }$รัฐต่อ${\displaystyle |e,m_{F}=-\textstyle {\frac {3}{2}}\rangle }$สถานะมีขนาดใหญ่กว่าการเชื่อมต่อถึง 3 เท่า${\displaystyle |g,m_{F}=\textstyle {\frac {1}{2}}\rangle }$รัฐต่อ${\displaystyle |e,m_{F}=-\textstyle {\frac {1}{2}}\rangle }$รัฐ ดังนั้นสำหรับ${\displaystyle \sigma ^{-}}$การโพลาไรซ์ทำให้การเปลี่ยนแปลงของแสงมีขนาดใหญ่กว่าถึงสามเท่าสำหรับ${\displaystyle |g,m_{F}=-\textstyle {\frac {1}{2}}\rangle }$รัฐนั้นดีกว่าสำหรับ${\displaystyle |e,m_{F}=\textstyle {\frac {1}{2}}\rangle }$รัฐ สถานการณ์กลับกันสำหรับ${\displaystyle \sigma ^{+}}$การโพลาไรซ์ โดยการเลื่อนของแสงมีขนาดใหญ่กว่าถึงสามเท่าสำหรับ${\displaystyle |g,m_{F}=\textstyle {\frac {1}{2}}\rangle }$รัฐมากกว่ารัฐ${\displaystyle |e,m_{F}=-\textstyle {\frac {1}{2}}\rangle }$เมื่อโพลาไรเซชันเป็นเชิงเส้น จะไม่มีความแตกต่างในการเลื่อนของแสงระหว่างสองสถานะ ดังนั้นพลังงานของสถานะจะแกว่งไปมาในแกน z ด้วยคาบ${\displaystyle \textstyle {\frac {\lambda }{2}}}$.

เมื่ออะตอมเคลื่อนที่ไปตามแกน z มันจะถูกกระตุ้นด้วยแสงไปยังสถานะที่มีการเปลี่ยนแปลงความสว่างเชิงลบมากที่สุด อย่างไรก็ตาม กระบวนการกระตุ้นด้วยแสงนั้นต้องใช้เวลาช่วงหนึ่ง${\displaystyle \tau }$สำหรับค่าเลขคลื่นสนาม k และความเร็วอะตอม v ที่ทำให้${\displaystyle kv\approx \tau {}^{-1}}$อะตอมจะเคลื่อนที่ขึ้นเนินเป็นส่วนใหญ่ขณะเคลื่อนที่ไปตามแกน z ก่อนที่จะถูกผลักกลับลงไปยังสถานะต่ำสุด ในช่วงความเร็วนี้ อะตอมจะเคลื่อนที่ขึ้นเนินมากกว่าลงเนิน และค่อยๆ สูญเสียพลังงานจลน์ ทำให้ลดอุณหภูมิลง ปรากฏการณ์นี้เรียกว่า ปรากฏการณ์ ซิซิฟัสตามชื่อตัวละครในเทพนิยายกรีก โปรดทราบว่าเงื่อนไขเริ่มต้นสำหรับความเร็วนี้จำเป็นต้องให้อะตอมเย็นลงแล้ว เช่น ผ่านการทำความเย็นแบบดอปเปลอร์

แสดงสนามไฟฟ้า รวม เป็น${\displaystyle {\vec {E}}(z,t)=E^{+}(z)e^{-i\omega _{L}t}+cc}$เราสามารถให้เหตุผลได้ว่า ส่วนประกอบความถี่บวกนั้นแสดงออกมาได้ดังนี้${\displaystyle {\vec {E}}^{+}(z)={\vec {\epsilon }}E_{0}e^{ikz}+{\vec {\epsilon }}'E_{0}'e^{-ikz}}$, ที่ไหน${\displaystyle {\vec {\epsilon }}}$และ${\displaystyle {\vec {\epsilon }}}$' คือเวกเตอร์โพลาไรเซชันตามแนวแกนบางแกน ในกรณีนี้ เราจะพิจารณาระบบพิกัดคาร์ทีเซียนเพื่อให้คุ้นเคย จากนั้น เราจะพิจารณากรณีที่เรามีโพลาไรเซชันแบบวงกลม สองทิศทางที่ตรงข้ามกัน หรือ:

${\displaystyle {\vec {\epsilon }}=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}(\epsilon _{x}+i\epsilon _{y})}$

${\displaystyle {\vec {\epsilon }}'={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\epsilon _{x}-i\epsilon _{y})}$

ที่ไหน${\displaystyle {\epsilon }_{x}}$และ${\displaystyle {\epsilon }_{y}}$คือแอมพลิจูดของเวกเตอร์โพลาไรเซชันตาม แกน xและ แกน yตามลำดับ เมื่อแทนค่าลงในนิพจน์สนามไฟฟ้าความถี่บวกของเรา เราจะสังเกตได้ว่า:

${\displaystyle {\vec {E}}^{+}(z)=\epsilon _{1}{\frac {1}{\sqrt {2}}}(E_{0}'-E_{0})-\epsilon _{2}{\frac {1}{\sqrt {2}}}(E_{0}'+E_{0})}$

โดยที่เราใช้เอกลักษณ์ของออยเลอร์เพื่อลดความซับซ้อนของเวกเตอร์โพลาไรเซชัน${\displaystyle {\vec {\epsilon }}}$และ${\displaystyle {\vec {\epsilon }}}$แปลงเป็นรูปแบบต่อไปนี้:

${\displaystyle \epsilon _{1}=\epsilon _{x}\cos {(kz)}-\epsilon _{y}\sin(kz)}$

${\displaystyle \epsilon _{2}=\epsilon _{x}\sin {(kz)}+\epsilon _{y}\cos(kz)}$

ผลลัพธ์ที่ได้คือสนามไฟฟ้ารวมที่มีการโพลาไรซ์แบบวงรีจากการโพลาไรซ์แบบวงรีนี้เอง เมื่อเวกเตอร์หนึ่งเคลื่อนที่ไปตามแกนการแพร่กระจาย แกนของวงรีจะหมุนตามไปด้วยมุม -kz ซึ่งจะรักษาการโพลาไรซ์แบบวงรีของสนามไฟฟ้ารวมเอาไว้ได้ ไม่ว่าจะอยู่ที่ตำแหน่งใดบนแกนการแพร่กระจายก็ตาม

ดังนั้นจึงไม่มีปรากฏการณ์ซิซิฟัส การหมุนของโพลาไรเซชันกลับนำไปสู่ความไม่สมดุลของประชากรที่เกิดจากการเคลื่อนที่ในระดับซีแมน ซึ่งก่อให้เกิดความไม่สมดุลของความดันรังสี ส่งผลให้การเคลื่อนที่ของอะตอมลดลง ความไม่สมดุลของประชากรเหล่านี้มีอยู่เฉพาะในสถานะที่มี${\displaystyle F=1}$หรือสูงกว่านั้น

พิจารณาคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าสองคลื่นที่ความถี่ต่างกันจากการเปลี่ยนสถานะของอะตอม${\displaystyle F_{g}=1\rightarrow F_{e}=2}$โดยมีแอมพลิจูดเท่ากัน ทีนี้ ลองพิจารณาอะตอมที่เคลื่อนที่ไปตาม แกน zด้วยความเร็วvอะตอมจะมองเห็นโพลาไรเซชันหมุนด้วยความถี่${\displaystyle kv}$ในกรอบอ้างอิงที่หมุน การโพลาไรเซชันจะคงที่ อย่างไรก็ตาม จะมีสนามเฉื่อยเนื่องจากการหมุนของกรอบอ้างอิง เทอมเฉื่อยนี้จะปรากฏในแฮมิลโท เนียน ดังต่อไปนี้

${\displaystyle {\hat {H}}_{rot}=kvF_{z}}$

ในที่นี้เราจะเห็นว่าเทอมความเฉื่อยมีลักษณะคล้ายสนามแม่เหล็กตามแนว${\displaystyle {\hat {z}}}$โดยมีแอมพลิจูดที่ทำให้ความถี่การหมุนควงแบบลาร์มอร์เท่ากับความถี่การหมุนในกรอบอ้างอิงของห้องปฏิบัติการ สำหรับค่า v เล็กๆ เทอมนี้ในแฮมิลโทเนียนสามารถจัดการได้โดยใช้ทฤษฎีการรบกวน

การเลือกโพลาไรเซชันในเฟรมหมุนที่จะคงที่ตาม${\displaystyle {\hat {y}}}$สถานะอะตอมที่ไม่ถูกรบกวนคือสถานะอะตอมของ${\displaystyle {\hat {F}}_{y}}$เทอมการหมุนในแฮมิลโทเนียนทำให้เกิดการรบกวนในสถานะไอเกนของอะตอม ส่งผลให้ระดับย่อยซีแมนปนเปื้อนซึ่งกันและกัน${\displaystyle F_{g}=1}$ที่${\displaystyle |g,m_{f}=0\rangle _{y}}$แสงมีการเบี่ยงเบนมากกว่า${\displaystyle |g,m_{f}=\pm {1}\rangle _{y}}$สถานะต่างๆ ดังนั้น ประชากรในสถานะสมดุลของ${\displaystyle |g,m_{f}=0\rangle _{y}}$สูงกว่ารัฐอื่นๆ ประชากรเท่ากันสำหรับ${\displaystyle |g,m_{f}=\pm {1}\rangle _{y}}$รัฐต่างๆ ดังนั้น รัฐต่างๆ จึงมีความสมดุลกับ${\displaystyle \langle {\hat {F}}_{y}\rangle =0}$อย่างไรก็ตาม เมื่อเราเปลี่ยนฐาน เราจะเห็นว่าประชากรไม่สมดุลในฐาน z และมีค่าที่ไม่เป็นศูนย์อยู่${\displaystyle \langle {\hat {F}}_{z}\rangle }$แปรผันตามความเร็วของอะตอม: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \langle {\hat {F}}_{z}\rangle ={\frac {40\hbar {}kv}{17\Delta _{0}^{'}}}}$

ที่ไหน${\displaystyle \Delta _{0}^{'}}$คือการเลื่อนของแสงสำหรับ${\displaystyle m_{F}=0}$สถานะดังกล่าว มีความไม่สมดุลของประชากรที่เกิดจากการเคลื่อนไหวในระดับย่อยของซีแมนในฐาน z สำหรับแสงสีแดงที่เบี่ยงเบนความถี่${\displaystyle \Delta _{0}^{'}}$เป็นค่าลบ ดังนั้นจำนวนประชากรในจึงจะสูงขึ้น${\displaystyle |g,m_{f}=-1\rangle }$สถานะที่อะตอมเคลื่อนที่ไปทางขวา (ความเร็วเป็นบวก) และมีจำนวนประชากรในสถานะนั้นสูงกว่า${\displaystyle |g,m_{f}=1\rangle }$สถานะที่อะตอมเคลื่อนที่ไปทางซ้าย (ความเร็วติดลบ) จากสัมประสิทธิ์ของ Clebsch-Gordanเราจะเห็นว่า${\displaystyle |g,m_{f}=-1\rangle }$รัฐนั้นมีโอกาสดูดซับได้มากกว่าถึงหกเท่า${\displaystyle \sigma ^{-}}$โฟตอนเคลื่อนที่ไปทางซ้ายมากกว่า${\displaystyle \sigma ^{+}}$โฟตอนเคลื่อนที่ไปทางขวา ส่วนการเคลื่อนที่ไปทางขวาจะเป็นไปในทางตรงกันข้าม${\displaystyle |g,m_{f}=1\rangle }$เมื่ออะตอมเคลื่อนที่ไปทางขวา มันมีแนวโน้มที่จะดูดซับโฟตอนที่เคลื่อนที่ไปทางซ้ายมากกว่า และในทำนองเดียวกัน เมื่ออะตอมเคลื่อนที่ไปทางซ้าย มันมีแนวโน้มที่จะดูดซับโฟตอนที่เคลื่อนที่ไปทางขวามากกว่า ดังนั้นจึงเกิดแรงดันรังสีที่ไม่สมดุลเมื่ออะตอมเคลื่อนที่ ซึ่งจะลดทอนการเคลื่อนที่ของอะตอม ทำให้ความเร็วลดลง และด้วยเหตุนี้อุณหภูมิจึงลดลงตามทฤษฎีจลน์

โปรดสังเกตความคล้ายคลึงกับการระบายความร้อนแบบดอปเปลอร์ในแรงดันรังสีที่ไม่สมดุลอันเนื่องมาจากการเคลื่อนที่ของอะตอม แรงดันที่ไม่สมดุลในการระบายความร้อนแบบ PG ไม่ได้เกิดจากการเลื่อนดอปเปลอร์ แต่เกิดจากความไม่สมดุลของประชากรที่ถูกเหนี่ยวนำ การระบายความร้อนแบบดอปเปลอร์ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์${\displaystyle \textstyle {\frac {kv}{\Gamma }}}$ที่ไหน${\displaystyle \Gamma }$คืออัตราการกระเจิง ในขณะที่การระบายความร้อนของ PG ขึ้นอยู่กับ${\displaystyle \textstyle {\frac {kv}{\Delta _{0}^{'}}}}$ที่ความเข้มต่ำ${\displaystyle \Delta _{0}^{'}\ll \Gamma }$ซึ่งแสดงให้เห็นว่าการระบายความร้อนแบบ PG ทำงานได้ที่ความเร็วอะตอมและอุณหภูมิที่ต่ำกว่าการระบายความร้อนแบบดอปเปลอร์

วิธีการระบายความร้อน PG ทั้งสองวิธีนั้นเหนือกว่าขีดจำกัดของดอปเปลอร์ และถูกจำกัดด้วยขีดจำกัดของการดีดกลับของโฟตอนหนึ่งตัวแทน:

${\displaystyle kT_{\mathrm {recoil} }={\frac {\hbar {}^{2}k^{2}}{2M}}}$

โดยที่ M คือมวลอะตอม

สำหรับค่าเบี่ยงเบนความถี่ที่กำหนด${\displaystyle \delta }$และความถี่ของราบี${\displaystyle \Omega }$โดยขึ้นอยู่กับความเข้มของแสง การกำหนดค่าทั้งสองแบบแสดงการปรับขนาดที่คล้ายกันที่ความเข้มต่ำ (${\displaystyle \Omega \ll |\delta |}$) และการปรับจูนขนาดใหญ่ (${\displaystyle \delta \gg \Gamma }$):

${\displaystyle kT=\alpha {}{\frac {\hbar {}\Omega ^{2}}{|\delta |}}}$

ที่ไหน${\displaystyle \alpha }$เป็นค่าคงที่ไร้มิติที่ขึ้นอยู่กับการกำหนดค่าและชนิดของอะตอม ดูเอกสารอ้างอิง^{[ 8 ]}สำหรับการพิสูจน์ผลลัพธ์เหล่านี้อย่างครบถ้วน

ดังนั้น เพื่อลดอุณหภูมิ จึงแนะนำให้ใช้ความถี่ราบี${\displaystyle \Omega }$มีขนาดใหญ่กว่าการปรับจูนอย่างมาก${\displaystyle \delta }$(กล่าวคือ ควรลดการปรับจูนที่ไม่ตรงกันให้น้อยที่สุด)