ความถี่ราบี (Rabi frequency) คือความถี่ที่ แอม พลิจูดความน่าจะเป็น ของ ระดับพลังงานอะตอมสอง ระดับ ผันผวนในสนามแม่เหล็กไฟฟ้าที่สั่น ความถี่ราบีเป็นสัดส่วนกับโมเมนต์ไดโพลการเปลี่ยนสถานะของสองระดับและแอมพลิจูด ( ไม่ใช่ความเข้ม ) ของสนามแม่เหล็กไฟฟ้าการถ่ายโอนประชากรระหว่างระดับของระบบสองระดับดังกล่าว เมื่อได้รับแสงที่ตรงกับความแตกต่างของพลังงานระหว่างสองระดับอย่างแม่นยำ จะเกิดขึ้นที่ความถี่ราบี เมื่อแสงตกกระทบเบี่ยงเบนจากความแตกต่างของพลังงานนี้ (เบี่ยงเบนจากเรโซแนนซ์) การถ่ายโอนประชากรจะเกิดขึ้นที่ความถี่ราบีแบบทั่วไปความถี่ราบีเป็นแนวคิดกึ่งคลาสสิก เนื่องจากถือว่าอะตอมเป็นวัตถุที่มีระดับพลังงาน ควอนตัม และสนามแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นคลื่นต่อเนื่อง${\displaystyle \Omega }$

ในบริบทของ การทดลอง นิวเคลียร์แมกเนติกเรโซแนนซ์ ความถี่ราบีคือความถี่การสั่นไหวของเวกเตอร์สนามแม่เหล็กสุทธิของตัวอย่างรอบสนามคลื่นความถี่วิทยุ (โปรดทราบว่านี่แตกต่างจากความถี่ลาร์มอร์ซึ่งเป็นลักษณะเฉพาะของการหมุนควงของสนามแม่เหล็กตามขวางรอบสนามแม่เหล็กสถิต)

พิจารณาสถานะพลังงาน สองสถานะ ของระบบควอนตัมที่มีแฮมิลโทเนียน(ตัวอย่างเช่น นี่อาจเป็นแฮมิลโทเนียนของอนุภาคในศักยภาพ เช่น อะตอมไฮโดรเจนหรืออะตอมโลหะอัลคาไล):${\displaystyle {\หมวก {H}__{0}}$${\displaystyle {\frac {1}{r}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}(\mathbf {r} ,t)&=e^{-i\omega _{1}t}|1\rangle \\\psi _{2}(\mathbf {r} ,t)&=e^{-i\omega _{2}t}|2\rangle \end{aligned}}}$$

โดยมีค่าไอเกนและตามลำดับ เราต้องการพิจารณาแฮมิลโทเนียนที่ขึ้นอยู่กับเวลา${\displaystyle \hbar \omega _{1}}$${\displaystyle \hbar \omega _{2}}$

$${\displaystyle {\hat {\mathcal {H}}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}(t)}$$

โดยที่ พลังงานศักย์ ของสนามแม่เหล็กไฟฟ้า อยู่ที่ใดเมื่อพิจารณาพลังงานศักย์เป็นการรบกวนเราสามารถคาดหวังได้ว่าสถานะเฉพาะของแฮมิลโทเนียนที่ถูกรบกวนจะเป็นส่วนผสมของสถานะเฉพาะของแฮมิลโทเนียนดั้งเดิมที่มีสัมประสิทธิ์ขึ้นอยู่กับเวลา:${\displaystyle {\hat {V}}(t)=e\mathbf {r} \cdot \mathbf {E} _{0}\cos(\omega t)}$

$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=c_{1}(t)e^{-i\omega _{1}t}|1\rangle +c_{2}(t)e^{-i\omega _{2}t}|2\rangle }$$

นำค่านี้ไปแทนใน สมการชโรดิงเกอร์ที่ขึ้นอยู่กับเวลา

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}={\hat {\mathcal {H}}}\Psi (\mathbf {r} ,t)}$$

เมื่อนำผลคูณภายในของและมาใช้ และใช้เงื่อนไขความเป็นตั้งฉากของสถานะเฉพาะเราจะได้สมการสองสมการในสัมประสิทธิ์และ:${\displaystyle e^{i\omega _{1}t}\langle 1|}$${\displaystyle e^{i\omega _{2}t}\langle 2|}$${\displaystyle \langle i|j\rangle =\delta _{i,j}}$${\displaystyle c_{1}(t)}$${\displaystyle c_{2}(t)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}i{\dot {c}__{1}(t)&={\frac {c_{1}(t)\cos(\omega t)}{\hbar }}\langle 1|e\mathbf {r} \cdot \mathbf {E} _{0}|1\rangle +{\frac {e^{i\omega _{0}t}c_{2}(t)\cos(\omega t)}{\hbar }}\langle 1|e\mathbf {r} \cdot \mathbf {E} _{0}|2\rangle \\i{\dot {c}__{2}(t)&={\frac {c_{2}(t)\cos(\omega t)}{\hbar }}\langle 2|e\mathbf {r} \cdot \mathbf {E} _{0}|2\rangle +{\frac {e^{-i\omega _{0}t}c_{1}(t)\cos(\omega t)}{\hbar }}\langle 2|e\mathbf {r} \cdot \mathbf {E} _{0}|1\rangle \end{aligned}}}$$

โดยที่. สองพจน์ในวงเล็บคือองค์ประกอบเมทริกซ์ไดโพลที่แทรกเข้าไปในเวกเตอร์โพลาไรเซชันของสนามแม่เหล็กไฟฟ้า เมื่อพิจารณาฟังก์ชันเฉพาะเชิงพื้นที่สมมาตรทรงกลมของศักยภาพอะตอมไฮโดรเจน องค์ประกอบ เมทริกซ์แนวทแยงจะเข้าใกล้ศูนย์ ทำให้เราได้ .${\displaystyle \omega _{0}=\omega _{1}-\omega _{2}}$${\displaystyle |i\rangle }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}i{\dot {c}__{1}(t)&={\frac {c_{2}(t)\cos(\omega t)}{\hbar }}\langle 1|e\mathbf {r} \cdot \mathbf {E} _{0}|2\rangle e^{i\omega _{0}t}\\i{\dot {c}__{2}(t)&={\frac {c_{1}(t)\cos(\omega t)}{\hbar }}\langle 2|e\mathbf {r} \cdot \mathbf {E} _{0}|1\rangle e^{-i\omega _{0}t}\end{aligned}}}$$

หรือ

$${\displaystyle {\begin{aligned}i{\dot {c}}_{1}(t)&=\Omega c_{2}(t)\cos(\omega t)e^{i\omega _{0}t}\\i{\dot {c}}_{2}(t)&=\Omega ^{*}c_{1}(t)\cos(\omega t)e^{-i\omega _{0}t}\end{aligned}}}$$

ตรงนี้คือความถี่ของราบี${\displaystyle \โอเมก้า$ :=\Omega _{1,2}} ${\displaystyle \Omega _{i,j}={\frac {\langle i|e\mathbf {r} \cdot \mathbf {E} _{0}|j\rangle }{\hbar }}}$

ในตัวเศษ เรามีโมเมนต์ไดโพลของการเปลี่ยนสถานะ ซึ่งกำลังสองของแอมพลิจูดแสดงถึงความแรงของการปฏิสัมพันธ์ระหว่างสนามแม่เหล็กไฟฟ้ากับอะตอม และคือแอมพลิจูดของสนามไฟฟ้าเวกเตอร์ซึ่งรวมถึงโพลาไรเซชัน ตัวเศษมีมิติของพลังงาน ดังนั้นการหารด้วยจะได้ความถี่เชิงมุม${\displaystyle i\to j}$${\displaystyle \mathbf {E} _{0}={\hat {\epsilon }}E_{0}}$${\displaystyle \hbar }$

เมื่อเปรียบเทียบกับไดโพลแบบคลาสสิก จะเห็นได้ชัดว่าอะตอมที่มีโมเมนต์ไดโพลขนาดใหญ่จะอ่อนไหวต่อการรบกวนจากสนามไฟฟ้า มากกว่า ผลคูณดอทประกอบด้วยปัจจัย θ โดยที่ θ คือมุมระหว่างโพลาไรเซชันของแสงและโมเมนต์ไดโพลของการเปลี่ยนสถานะ เมื่อมุมทั้งสองขนานกัน ปฏิสัมพันธ์จะแรงที่สุด เมื่อมุมทั้งสองตั้งฉากกัน จะไม่มีปฏิสัมพันธ์เกิดขึ้นเลย${\displaystyle \cos \theta }$${\displaystyle \theta }$

ถ้าเราเขียนสมการเชิงอนุพันธ์ที่พบข้างต้นใหม่:

$${\displaystyle {\begin{aligned}i{\dot {c}}_{1}(t)=\Omega c_{2}(t)\cos(\omega t)e^{i\omega _{0}t}&\to {\frac {\Omega c_{2}}{2}}(e^{i(\omega +\omega _{0})t}+e^{-i(\omega -\omega _{0})t})\\i{\dot {c}}_{2}(t)=\Omega ^{*}c_{1}(t)\cos(\omega t)e^{-i\omega _{0}t}&\to {\frac {\Omega ^{*}c_{1}}{2}}(e^{i(\omega -\omega _{0})t}+e^{-i(\omega +\omega _{0})t})\end{aligned}}}$$

และใช้การประมาณคลื่นหมุนซึ่งสมมติว่าเพื่อให้เราสามารถตัดพจน์การสั่นความถี่สูงออกไปได้ เราจะได้${\displaystyle \omega +\omega _{0}>>\omega -\omega _{0}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}i{\dot {c}}_{1}(t)&={\frac {\Omega c_{2}}{2}}e^{i\delta t}\\i{\dot {c}}_{2}(t)&={\frac {\Omega ^{*}c_{1}}{2}}e^{-i\delta t}\end{aligned}}}$$

ซึ่งเรียกว่าค่าความคลาดเคลื่อนระหว่างความถี่ของเลเซอร์และความถี่ของอะตอม${\displaystyle \delta =\omega -\omega _{0}}$

เราสามารถแก้สมการเหล่านี้ได้ โดยสมมติว่า ณ เวลาอะตอมอยู่ในสถานะ(เช่น) เพื่อหาค่า${\displaystyle t=0}$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle c_{1}(0)=1}$

$${\displaystyle |c_{2}(t)|^{2}={\frac {\Omega ^{2}\sin ^{2}{\bigg (}{\frac {{\sqrt {\Omega ^{2}+\delta ^{2}}}t}{2}}{\bigg )}}{\Omega ^{2}+\delta ^{2}}}}$$

นี่คือความน่าจะเป็นที่เป็นฟังก์ชันของการปรับความถี่และเวลาของประชากรในสถานะกราฟที่แสดงเป็นฟังก์ชันของการปรับความถี่และการเพิ่มเวลาจาก 0 ถึง จะได้ดังนี้:${\displaystyle |2\rangle }$${\displaystyle t={\frac {\pi }{\Omega }}}$

เราพบว่าประชากรจะแกว่งไปมาระหว่างสองสถานะนี้ด้วยความถี่ราบี${\displaystyle \delta =0}$

ปริมาณนี้มักเรียกว่า "ความถี่ราบีแบบทั่วไป" สำหรับกรณีที่การแกว่งของราบีเกิดขึ้นที่ความถี่นี้ โดยที่คือค่าเบี่ยงเบนความถี่ซึ่งเป็นการวัดว่าแสงอยู่ห่างจากความถี่เรโซแนนซ์เมื่อเทียบกับการเปลี่ยนผ่านมากแค่ไหน ตัวอย่างเช่น เมื่อพิจารณาภาพเคลื่อนไหวข้างต้นที่ความถี่ออฟเซ็ต ±1.73 จะเห็นได้ว่าในช่วงเวลาที่การแกว่งที่เรโซแนนซ์ครบ 1/2 รอบราบี การแกว่งที่ความถี่ออฟเซ็ตดังกล่าวจะครบหนึ่ง รอบ เต็มดังนั้นจึงมีความถี่ราบีเป็นสองเท่าของความถี่เรโซแนนซ์ (เช่น ไม่มีค่าเบี่ยงเบนความถี่) ดังที่สมการนี้ทำนายไว้ นอกจากนี้ โปรดสังเกตว่าเมื่อความถี่ของแสงตกกระทบห่างจากความถี่การเปลี่ยนผ่านมากขึ้น แอมพลิจูดของการแกว่งของราบีจะลดลง ดังที่แสดงโดยเส้นประในกราฟข้างต้น${\displaystyle {\sqrt {\Omega ^{2}+\delta ^{2}}}}$${\displaystyle \delta \neq 0}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \Omega _{i,j}}$

การสั่นแบบราบีที่สอดคล้องกันอาจถูกขับเคลื่อนโดยการเปลี่ยนผ่านแบบสองโฟตอน ได้เช่นกัน ในกรณีนี้ เราพิจารณาระบบที่มีระดับพลังงานอะตอมสามระดับ ได้แก่, , และโดยที่เป็นสถานะกลางที่มีความถี่ที่สอดคล้องกันและสนามแม่เหล็กไฟฟ้าที่มีส่วนประกอบความถี่สองส่วน:${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |i\rangle }$${\displaystyle |2\rangle }$${\displaystyle |i\rangle }$${\displaystyle \omega _{i}}$

$${\displaystyle {\hat {V}}(t)=e\mathbf {r} \cdot \mathbf {E} _{L1}\cos(\omega _{L1}t)+e\mathbf {r} \cdot \mathbf {E} _{L2}\cos(\omega _{L2}t)}$$

การเปลี่ยนสถานะด้วยโฟตอนสองตัวไม่เหมือนกับการกระตุ้นจากสถานะพื้นฐานไปยังสถานะกลาง แล้วจากสถานะกลางไปยังสถานะกระตุ้นแต่ในทางกลับกัน อะตอมจะดูดซับโฟตอนสองตัวพร้อมกันและถูกกระตุ้นโดยตรงระหว่างสถานะเริ่มต้นและสถานะสุดท้าย ความถี่ของโฟตอนทั้งสองต้องสอดคล้องกับความถี่ของการเปลี่ยนสถานะด้วยโฟตอนสองตัว (ความแตกต่างระหว่างความถี่ของสถานะเริ่มต้นและสถานะสุดท้าย):

$${\displaystyle {\begin{aligned}&|\omega _{L1}-\omega _{L2}|=\omega _{2}-\omega _{1}\\&\Delta =|\omega _{L1}-(\omega _{i}-\omega _{1})|\gg 0\end{aligned}}}$$

ค่าเดลต้าเป็นตัวกำหนดอัตราการกระเจิงของสถานะตัวกลาง ยิ่งค่าเดลต้ามากเท่าไร เวลาคงสภาพก็จะยิ่งนานขึ้นเท่านั้น

เราสามารถหาความถี่ราบีของโฟตอนสองตัวได้โดยกลับไปใช้สมการเดิม

$${\displaystyle {\begin{aligned}i{\dot {c}}_{1}(t)&={\frac {\Omega _{1i}c_{i}}{2}}e^{i\Delta t}\\i{\dot {c}}_{i}(t)&={\frac {\Omega _{1i}^{*}c_{1}}{2}}e^{-i\Delta t}\end{aligned}}}$$

ซึ่งตอนนี้อธิบายถึงการกระตุ้นระหว่างสถานะพื้นฐานและสถานะระดับกลาง เรารู้ว่าเรามีคำตอบแล้ว

$${\displaystyle c_{i}(t)={\frac {\Omega _{1i}\sin {\bigg (}{\frac {{\tilde {\Omega }}_{1i}t}{2}}{\bigg )}}{{\tilde {\Omega }}_{1i}}}}$$

ความถี่ราบีทั่วไปสำหรับการเปลี่ยนสถานะจากสถานะเริ่มต้นไปยังสถานะกลางอยู่ที่ใด ใน ทำนองเดียวกัน สำหรับการเปลี่ยนสถานะจากสถานะกลางไปยังสถานะสุดท้าย เรามีสมการดังนี้${\displaystyle {\tilde {\Omega }}_{1i}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}i{\dot {c}}_{i}(t)&={\frac {\Omega _{i2}c_{2}}{2}}e^{i\Delta t}\\i{\dot {c}}_{2}(t)&={\frac {\Omega _{i2}^{*}c_{i}}{2}}e^{-i\Delta t}\end{aligned}}}$$

ทีนี้เราแทนค่าลงในสมการข้างต้นสำหรับ${\displaystyle c_{i}(t)}$${\displaystyle {\dot {c}}_{2}(t)}$

$${\displaystyle i{\dot {c}}_{2}(t)={\frac {\Omega _{i2}^{*}\Omega _{1i}\sin {\bigg (}{\frac {{\tilde {\Omega }}_{1i}t}{2}}{\bigg )}}{2{\tilde {\Omega }}_{1i}}}e^{-i\Delta t}}$$

สัมประสิทธิ์เป็นสัดส่วนกับ:

$${\displaystyle c_{2}(t)\propto {\frac {\Omega _{i2}\Omega _{1i}}{2\Delta }}}$$

นี่คือความถี่ราบีสองโฟตอน^{[ 1 ]}เป็นผลคูณของความถี่ราบีแต่ละความถี่สำหรับ การเปลี่ยนผ่าน และหารด้วยค่าเบี่ยงเบนจากสถานะกลาง${\displaystyle |1\rangle \to |i\rangle }$${\displaystyle |i\rangle \to |2\rangle }$${\displaystyle |i\rangle }$

• วงจรฤดูหนาว
• ราบี อิซิดอร์
• การแกว่งแบบราบีสุญญากาศ
• วิธีการเรโซแนนซ์ของราบี