การประมาณคลื่นหมุนเป็นการประมาณที่ใช้ในทัศนศาสตร์อะตอมและเรโซแนนซ์แม่เหล็กในการประมาณนี้ เทอมในแฮมิลโทเนียนที่สั่นอย่างรวดเร็วจะถูกละเลย นี่เป็นการประมาณที่ถูกต้องเมื่อรังสีแม่เหล็กไฟฟ้า ที่ใช้ ใกล้เคียงกับเรโซแนนซ์กับการเปลี่ยนสถานะของอะตอม และความเข้มต่ำ^{[ 1 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เทอมในแฮมิลโทเนียนที่สั่นด้วยความถี่จะถูกละเลย ในขณะที่เทอมที่สั่นด้วยความถี่จะถูกเก็บไว้ โดยที่คือความถี่ของแสง และคือความถี่ของการเปลี่ยนสถานะ ${\displaystyle \โอเมก้า _{L}+\โอเมก้า _{0}}$${\displaystyle \โอเมก้า _{L}-\โอเมก้า _{0}}$${\displaystyle \omega _{L}}$${\displaystyle \omega _{0}}$

ชื่อของการประมาณค่านี้มาจากรูปแบบของแฮมิลโทเนียนในภาพปฏิสัมพันธ์ดังแสดงด้านล่าง การเปลี่ยนมาใช้ภาพนี้จะทำให้การเปลี่ยนแปลงของอะตอมอันเนื่องมาจากแฮมิลโทเนียนของอะตอมที่สอดคล้องกันถูกดูดซับเข้าไปในระบบketเหลือเพียงการเปลี่ยนแปลงอันเนื่องมาจากปฏิสัมพันธ์ของอะตอมกับสนามแสงเท่านั้นที่จะต้องพิจารณา ในภาพนี้เองที่สามารถละเลยพจน์ที่แกว่งอย่างรวดเร็วที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้ได้ เนื่องจากในบางแง่ ภาพปฏิสัมพันธ์สามารถคิดได้ว่าหมุนไปพร้อมกับระบบ ket ดังนั้นจึงเก็บเฉพาะส่วนของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่หมุนไปพร้อมกันโดยประมาณเท่านั้น ส่วนที่หมุนสวนทางกันจะถูกทิ้งไป

การประมาณคลื่นหมุนมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด แต่แตกต่างจาก การประมาณ แบบฆราวาส^{[ 2 ]}

เพื่อความง่าย ให้พิจารณาระบบอะตอมสองระดับที่มีสถานะพื้นฐานและสถานะกระตุ้นเป็นและตามลำดับ (โดยใช้สัญลักษณ์วงเล็บ Dirac ) ให้ผลต่างพลังงานระหว่างสถานะเป็นเพื่อให้เป็นความถี่การเปลี่ยนสถานะของระบบ จากนั้นแฮมิลโทเนียน ที่ไม่ถูกรบกวน ของอะตอมสามารถเขียนได้เป็น ${\displaystyle |{\text{g}}\rangle }$${\displaystyle |{\text{e}}\rangle }$${\displaystyle \hbar \omega _{0}}$${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle H_{0}={\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|-{\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|}$.

สมมติว่าอะตอมได้รับอิทธิพล จาก สนามไฟฟ้า คลาสสิกภายนอกที่ มีความถี่ซึ่งกำหนดโดย เช่นคลื่นระนาบที่แผ่กระจายในอวกาศ ภายใต้การประมาณแบบไดโพลแฮมิลโทเนียนปฏิสัมพันธ์ระหว่างอะตอมและสนามไฟฟ้าสามารถแสดงได้ดังนี้ ${\displaystyle \omega _{L}}$${\displaystyle {\vec {E}}(t)={\vec {E}__{0}e^{-i\omega _{L}t}+{\vec {E}__{0}^{*}e^{i\omega _{L}t}}$

${\displaystyle H_{1}=-{\vec {d}}\cdot {\vec {E}}}$,

โดยที่คือตัวดำเนินการโมเมนต์ไดโพลของอะตอม แฮมิลโทเนียนทั้งหมดสำหรับระบบอะตอม-แสงจึงเป็นดังนี้ อะตอมไม่มีโมเมนต์ไดโพลเมื่ออยู่ในสถานะพลังงานเฉพาะดังนั้น นี่หมายความว่า การกำหนดช่วยให้สามารถเขียนตัวดำเนินการไดโพลได้เป็น ${\displaystyle {\vec {d}}}$${\displaystyle H=H_{0}+H_{1}.}$${\displaystyle \left\langle {\text{e}}\left|{\vec {d}}\right|{\text{e}}\right\rangle =\left\langle {\text{g}}\left|{\vec {d}}\right|{\text{g}}\right\rangle =0.}$${\displaystyle {\vec {d}}_{\text{eg}}\mathrel {:=} \left\langle {\text{e}}\left|{\vec {d}}\right|{\text{g}}\right\rangle }$

${\displaystyle {\vec {d}}={\vec {d}}_{\text{eg}}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|+{\vec {d}}_{\text{eg}}^{*}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|}$

(โดยที่ หมายถึงค่าสังยุคเชิงซ้อน ) จากนั้นสามารถแสดงแฮมิลโทเนียนปฏิสัมพันธ์ได้ดังนี้${\displaystyle ^{*}}$

${\displaystyle H_{1}=-\hbar \left(\Omega e^{-i\omega _{L}t}+{\tilde {\Omega }}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i\omega _{L}t}+\Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|}$

โดยที่คือความถี่ราบีและคือความถี่หมุนสวนทางกัน เพื่อให้เข้าใจว่าทำไมจึงเรียกว่าความถี่หมุนสวนทางกันลองพิจารณาการแปลงเอกภาพไปยังภาพปฏิสัมพันธ์หรือภาพดิแรกโดยที่แฮมิลโทเนียนที่แปลงแล้วกำหนดโดย ${\displaystyle \Omega =\hbar ^{-1}{\vec {d}}_{\text{eg}}\cdot {\vec {E}}_{0}}$${\displaystyle {\tilde {\Omega }}\mathrel {:=} \hbar ^{-1}{\vec {d}}_{\text{eg}}\cdot {\vec {E}}_{0}^{*}}$${\displaystyle {\tilde {\Omega }}}$${\displaystyle H_{1,I}}$

${\displaystyle H_{1,I}=-\hbar \left(\Omega e^{-i\Delta \omega t}+{\tilde {\Omega }}e^{i(\omega _{L}+\omega _{0})t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i(\omega _{L}+\omega _{0})t}+\Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|,}$

ความคลาดเคลื่อนระหว่างสนามแสงกับอะตอมอยู่ ที่ใด${\displaystyle \Delta \omega \mathrel {:=} \omega _{L}-\omega _{0}}$

นี่คือจุดที่ใช้การประมาณคลื่นหมุน การประมาณไดโพลได้รับการสมมติขึ้น และเพื่อให้การประมาณนี้ยังคงใช้ได้ สนามไฟฟ้าจะต้องอยู่ใกล้กับเรโซแนนซ์กับการเปลี่ยนสถานะของอะตอม ซึ่งหมายความว่าและเลขชี้กำลังเชิงซ้อนที่คูณกันและสามารถพิจารณาได้ว่ามีการแกว่งอย่างรวดเร็ว ดังนั้นในช่วงเวลาที่สำคัญ การแกว่งจะเฉลี่ยเป็น 0 อย่างรวดเร็ว การประมาณคลื่นหมุนจึงเป็นการอ้างว่าสามารถละเลยเทอมเหล่านี้ได้ และดังนั้นแฮมิลโทเนียนจึงสามารถเขียนได้ในภาพปฏิสัมพันธ์ดังนี้ ${\displaystyle \Delta \omega \ll \omega _{L}+\omega _{0}}$${\displaystyle {\tilde {\Omega }}}$${\displaystyle {\tilde {\Omega }}^{*}}$

${\displaystyle H_{1,I}^{\text{RWA}}=-\hbar \Omega e^{-i\Delta \omega t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|.}$

สุดท้าย เมื่อแปลงกลับไปเป็นภาพของชโรดิงเกอร์ อีกครั้ง แฮมิลโทเนียนจะได้ดังนี้

${\displaystyle H^{\text{RWA}}={\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|-{\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega e^{-i\omega _{L}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|.}$

เกณฑ์อีกประการหนึ่งสำหรับการประมาณคลื่นหมุนคือเงื่อนไขการเชื่อมต่อที่อ่อน นั่นคือความถี่ราบีควรน้อยกว่าความถี่การเปลี่ยนผ่านมาก^{[ 1 ]}

ในขั้นตอนนี้ การประมาณคลื่นหมุนเสร็จสมบูรณ์แล้ว ขั้นตอนแรกที่นิยมทำต่อจากนั้นคือการกำจัดความขึ้นอยู่กับเวลาที่เหลืออยู่ในแฮมิลโทเนียนโดยใช้การแปลงเอกภาพอีกครั้ง

จากคำจำกัดความข้างต้น แฮมิลโทเนียนปฏิสัมพันธ์คือ

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}=-{\vec {d}}\cdot {\vec {E}}&=-\left({\vec {d}}_{\text{eg}}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|+{\vec {d}}_{\text{eg}}^{*}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|\right)\cdot \left({\vec {E}}_{0}e^{-i\omega _{L}t}+{\vec {E}}_{0}^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)\\&=-\left({\vec {d}}_{\text{eg}}\cdot {\vec {E}}_{0}e^{-i\omega _{L}t}+{\vec {d}}_{\text{eg}}\cdot {\vec {E}}_{0}^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|\\&-\left({\vec {d}}_{\text{eg}}^{*}\cdot {\vec {E}}_{0}e^{-i\omega _{L}t}+{\vec {d}}_{\text{eg}}^{*}\cdot {\vec {E}}_{0}^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|\\&=-\hbar \left(\Omega e^{-i\omega _{L}t}+{\tilde {\Omega }}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i\omega _{L}t}+\Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|,\end{aligned}}}$

ตามที่กล่าวไว้ ขั้นตอนต่อไปคือการหาแฮมิลโทเนียนในภาพปฏิสัมพันธ์การแปลงเอกภาพที่ต้องการคือ: ${\displaystyle H_{1,I}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=e^{iH_{0}t/\hbar }\\&=e^{i\omega _{0}t/2(|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|-|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|)}\\&=\cos \left({\frac {\omega _{0}t}{2}}\right)\left(|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|+|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|\right)+i\sin \left({\frac {\omega _{0}t}{2}}\right)\left(|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|-|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|\right)\\&=e^{-i\omega _{0}t/2}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|+e^{i\omega _{0}t/2}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|\\&=e^{-i\omega _{0}t/2}\left(|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|+e^{i\omega _{0}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|\right)\end{aligned}}}$

โดยขั้นตอนที่ 3 สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ การขยาย อนุกรมเทย์เลอร์และใช้ความเป็นตั้งฉากของสถานะและโปรดทราบว่าการคูณด้วยเฟสโดยรวมของบนตัวดำเนินการเอกภาพจะไม่ส่งผลกระทบต่อฟิสิกส์พื้นฐาน ดังนั้นในการใช้งานต่อไปของเราจะละเลยมัน การประยุกต์ใช้จะได้ผลลัพธ์ดังนี้: ${\displaystyle |{\text{g}}\rangle }$${\displaystyle |{\text{e}}\rangle }$${\displaystyle e^{i\omega _{0}t/2}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1,I}&\equiv UH_{1}U^{\dagger }\\&=-\hbar \left(\Omega e^{-i\omega _{L}t}+{\tilde {\Omega }}e^{i\omega _{L}t}\right)e^{i\omega _{0}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i\omega _{L}t}+\Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|e^{-i\omega _{0}t}\\&=-\hbar \left(\Omega e^{-i\Delta \omega t}+{\tilde {\Omega }}e^{i(\omega _{L}+\omega _{0})t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i(\omega _{L}+\omega _{0})t}+\Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|\ .\end{aligned}}}$

ต่อไปนี้เราจะนำ RWA มาใช้โดยการกำจัดพจน์ที่หมุนสวนทางกันตามที่อธิบายไว้ในหัวข้อก่อนหน้านี้:

${\displaystyle H_{1,I}^{\text{RWA}}=-\hbar \Omega e^{-i\Delta \omega t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|+-\hbar \Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|}$

สุดท้ายนี้ เราจะแปลงแฮมิลโทเนียนโดยประมาณกลับไปเป็นภาพของชโรดิงเกอร์: ${\displaystyle H_{1,I}^{\text{RWA}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}^{\text{RWA}}&=U^{\dagger }H_{1,I}^{\text{RWA}}U\\&=-\hbar \Omega e^{-i\Delta \omega t}e^{-i\omega _{0}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|e^{i\omega _{0}t}\\&=-\hbar \Omega e^{-i\omega _{L}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|.\end{aligned}}}$

แฮมิลโทเนียนของอะตอมไม่ได้รับผลกระทบจากการประมาณ ดังนั้นแฮมิลโทเนียนทั้งหมดในภาพของชโรดิงเกอร์ภายใต้การประมาณคลื่นหมุนจึงเป็นดังนี้

${\displaystyle H^{\text{RWA}}=H_{0}+H_{1}^{\text{RWA}}={\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|-{\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega e^{-i\omega _{L}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|.}$