ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการวิเคราะห์เชิง ฟังก์ชัน ฟังก์ชันเชิงเส้นบวกบนปริภูมิเวกเตอร์เรียงลำดับ${\displaystyle (V,\leq )}$เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น${\displaystyle f}$บน${\displaystyle V}$ดังนั้นสำหรับองค์ประกอบเชิงบวก ทั้งหมด${\displaystyle v\in V,}$นั่นคือ${\displaystyle v\geq 0,}$มันถือว่า $${\displaystyle f(v)\geq 0.}$$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันเชิงเส้นบวกรับประกันว่าจะให้ค่าที่ไม่เป็นลบสำหรับองค์ประกอบที่เป็นบวก ความสำคัญของฟังก์ชันเชิงเส้นบวกอยู่ที่ผลลัพธ์ต่างๆ เช่นทฤษฎีบทการแทนค่าของ Riesz–Markov–Kakutani

เมื่อไร${\displaystyle V}$เนื่องจากเป็น ปริภูมิเวกเตอร์ เชิงซ้อนจึงถือว่าสำหรับทุก ๆ${\displaystyle v\geq 0,}$${\displaystyle f(v)}$เป็นเรื่องจริง เช่นในกรณีที่${\displaystyle V}$C *-พีชคณิตที่มีปริภูมิย่อยที่มีลำดับบางส่วนของสมาชิกสมมาตรในตัวเอง บางครั้งลำดับบางส่วนจะถูกกำหนดให้กับปริภูมิย่อยเท่านั้น${\displaystyle W\subseteq V,}$และคำสั่งบางส่วนนั้นไม่ได้ครอบคลุมถึงทั้งหมด${\displaystyle V,}$ในกรณีดังกล่าว องค์ประกอบเชิงบวกของ${\displaystyle V}$องค์ประกอบเชิงบวกของ${\displaystyle W,}$โดยการใช้สัญลักษณ์อย่างไม่ถูกต้อง ซึ่งหมายความว่าสำหรับพีชคณิต C* ฟังก์ชันเชิงเส้นบวกจะส่งค่าใดๆ${\displaystyle x\in V}$เท่ากับ${\displaystyle s^{\ast }s}$สำหรับบางคน${\displaystyle s\in V}$ไปสู่จำนวนจริง ซึ่งเท่ากับจำนวนเชิงซ้อนสังยุคของมัน และด้วยเหตุนี้ ฟังก์ชันเชิงเส้นบวกทั้งหมดจึงรักษาคุณสมบัติสมมาตรในตัวเองของจำนวนจริงดังกล่าว${\displaystyle x.}$คุณสมบัตินี้ถูกนำไปใช้ในการสร้าง GNSเพื่อเชื่อมโยงฟังก์ชันเชิงเส้นบวกบนพีชคณิต C* กับ ผล คูณภายใน

มีกลุ่มเวกเตอร์สเปซเชิงทอพอโลยีเรียงลำดับ ขนาดใหญ่พอสมควร ซึ่งรูปแบบเชิงเส้นบวกทุกรูปแบบจะต้องต่อเนื่อง^{[ 1 ]} ซึ่งรวมถึง แลตทิซเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี ทั้งหมดที่สมบูรณ์ตามลำดับ^{[ 1 ]}

ทฤษฎีบทให้${\displaystyle X}$เป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบเรียงลำดับที่มีกรวยบวก${\displaystyle C\subseteq X}$และปล่อยให้${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$หมายถึงกลุ่มของเซตย่อยที่มีขอบเขตทั้งหมดของ${\displaystyle X.}$ จากนั้นเงื่อนไขต่อไปนี้แต่ละข้อก็เพียงพอที่จะรับประกันว่าฟังก์ชันเชิงเส้นบวกทุกตัวบน${\displaystyle X}$เป็นค่าต่อเนื่อง:

1. ${\displaystyle C}$มีพื้นที่ภายในเชิงทอพอโลยีที่ไม่ว่างเปล่า (ใน${\displaystyle X}$). ^{[ 1 ]}
2. ${\displaystyle X}$สมบูรณ์และสามารถวัดได้และ${\displaystyle X=CC.}$^{[ 1 ]}
3. ${\displaystyle X}$เป็นเรื่องเกี่ยวกับการเกิดและ${\displaystyle C}$เป็นกฎที่เข้มงวดแบบกึ่งสมบูรณ์${\displaystyle {\mathcal {B}}}$-กรวยใน${\displaystyle X.}$^{[ 1 ]}
4. ${\displaystyle X}$คือขีดจำกัดเชิงอุปนัยของครอบครัว${\displaystyle \left(X_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$ของปริภูมิ Fréchet ที่เรียงลำดับ โดยสัมพันธ์กับตระกูลของแผนที่เชิงเส้นบวก โดยที่${\displaystyle X_{\alpha }=C_{\alpha }-C_{\alpha }}$สำหรับทุกคน${\displaystyle \alpha \in A,}$ที่ไหน${\displaystyle C_{\alpha }}$คือกรวยบวกของ${\displaystyle X_{\alpha }.}$^{[ 1 ]}

ทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นผลงานของ H. Bauer และ Namioka โดยอิสระ^{[ 1 ]}

ทฤษฎีบท : ^{[ 1 ]}ให้${\displaystyle X}$เป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบเรียงลำดับ (TVS) ที่มีกรวยบวก${\displaystyle C,}$อนุญาต${\displaystyle M}$เป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์ของ${\displaystyle E,}$และปล่อยให้${\displaystyle f}$เป็นรูปแบบเชิงเส้นบน${\displaystyle M.}$แล้ว${\displaystyle f}$มีการขยายไปสู่รูปแบบเชิงเส้นบวกต่อเนื่องบน${\displaystyle X}$ก็ต่อเมื่อมีบริเวณใกล้เคียงแบบนูนอยู่เท่านั้น${\displaystyle U}$ของ${\displaystyle 0}$ใน${\displaystyle X}$โดยที่${\displaystyle \operatorname {Re} f}$มีขอบเขตบน${\displaystyle M\cap (UC).}$

บทสรุป : ^{[ 1 ]}ให้${\displaystyle X}$เป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีที่มีลำดับและมีกรวยบวก${\displaystyle C,}$อนุญาต${\displaystyle M}$เป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์ของ${\displaystyle E.}$ถ้า${\displaystyle C\cap M}$ประกอบด้วยจุดภายในของ${\displaystyle C}$จากนั้นรูปแบบเชิงเส้นบวกต่อเนื่องทุกรูปแบบบน${\displaystyle M}$มีการขยายไปสู่รูปแบบเชิงเส้นบวกต่อเนื่องบน${\displaystyle X.}$

บทสรุป : ^{[ 1 ]}ให้${\displaystyle X}$เป็นปริภูมิเวกเตอร์เรียงลำดับที่มีกรวยบวก${\displaystyle C,}$อนุญาต${\displaystyle M}$เป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์ของ${\displaystyle E,}$และปล่อยให้${\displaystyle f}$เป็นรูปแบบเชิงเส้นบน${\displaystyle M.}$แล้ว${\displaystyle f}$มีการขยายไปสู่รูปแบบเชิงเส้นบวกบน${\displaystyle X}$ก็ต่อเมื่อมีเซตย่อยดูดซับ นูนอยู่เท่านั้น${\displaystyle W}$ใน${\displaystyle X}$ประกอบด้วยต้นกำเนิดของ${\displaystyle X}$โดยที่${\displaystyle \operatorname {Re} f}$มีขอบเขตบน${\displaystyle M\cap (WC).}$

พิสูจน์: เพียงแค่บริจาคก็เพียงพอแล้ว${\displaystyle X}$ด้วยโทโพโลยีแบบนูนเฉพาะที่ที่ดีที่สุด${\displaystyle W}$เข้าไปในย่านหนึ่ง${\displaystyle 0\in X.}$

ลองพิจารณาตัวอย่างเช่น${\displaystyle V,}$พีชคณิต C* ของเมทริกซ์จัตุรัสเชิงซ้อน ที่มีองค์ประกอบบวกเป็นเมทริกซ์บวก กำหนด ฟังก์ชันร่องรอยที่กำหนดบนพีชคณิต C* นี้เป็นฟังก์ชันบวก เนื่องจากค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์บวกกำหนดใดๆ ก็ตามเป็นบวก ดังนั้นร่องรอยของมันจึงเป็นบวก

ลองพิจารณาพื้นที่ของ Riesz ดูสิ${\displaystyle \mathrm {C} _{\mathrm {c} }(X)}$ของฟังก์ชัน ต่อเนื่องค่าเชิงซ้อนทั้งหมด ที่มี ขอบเขตจำกัด บนปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกะทัดรัดเฉพาะที่${\displaystyle X.}$พิจารณาการวัดแบบปกติของโบเรล${\displaystyle \mu }$บน${\displaystyle X,}$และใช้งานได้จริง${\displaystyle \psi }$กำหนดโดย$${\displaystyle \psi (f)=\int _{X}f(x)d\mu (x)\quad {\text{ สำหรับทุก }}f\in \mathrm {C} _{\mathrm {c} }(X).}$$ดังนั้น ฟังก์ชันนี้เป็นบวก (ปริพันธ์ของฟังก์ชันบวกใดๆ จะเป็นจำนวนบวก) ยิ่งไปกว่านั้น ฟังก์ชันบวกใดๆ บนปริภูมินี้จะมีรูปแบบนี้ ดังที่ได้จากทฤษฎีบทการแทนของรีสซ์-มาร์คอฟ-คาคูทานิ

อนุญาต${\displaystyle M}$เป็นพีชคณิต C* (โดยทั่วไปแล้ว คือระบบตัวดำเนินการในพีชคณิต C*)${\displaystyle A}$) ด้วยเอกลักษณ์${\displaystyle 1.}$อนุญาต${\displaystyle M^{+}}$แทนเซตขององค์ประกอบบวกใน${\displaystyle M.}$

ฟังก์ชันเชิงเส้น${\displaystyle \rho }$บน${\displaystyle M}$กล่าวกันว่าผลเป็นบวกหาก${\displaystyle \rho (a)\geq 0,}$สำหรับทุกคน${\displaystyle a\in M^{+}.}$

ทฤษฎีบทฟังก์ชันเชิงเส้น${\displaystyle \rho }$บน${\displaystyle M}$จะเป็นบวกก็ต่อเมื่อ${\displaystyle \rho }$มีขอบเขตและ${\displaystyle \|\rho \|=\rho (1).}$^{[ 2 ]}

เมื่อกำหนดพื้นที่แล้ว${\displaystyle C}$ระบบราคาอาจมองได้ว่าเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นบวกต่อเนื่องบน${\displaystyle C}$.

• องค์ประกอบเชิงบวก– กลุ่มที่มีลำดับบางส่วนที่เข้ากันได้หน้าที่แสดงคำอธิบายสั้น ๆ ของเป้าหมายการเปลี่ยนเส้นทาง 
• ตัวดำเนินการเชิงเส้นบวก– แนวคิดในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน 

• ริชาร์ด คาดิสัน , พื้นฐานทฤษฎีพีชคณิตตัวดำเนินการ เล่ม 1  : ทฤษฎีเบื้องต้น , สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน. ISBN 978-0821808191.
• นาริซี, ลอว์เรนซ์; เบคเกนสไตน์, เอ็ดเวิร์ด (2011). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์ (  ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). โบคา ราตัน, ฟลอริดา: สำนักพิมพ์ CRC. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 . 
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอ โล ยีGTMเล่ม 8 (  ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์ Springer New York. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 . 
• เทรฟส์, ฟรองซัวส์ (2549) [2510] ปริภูมิเวกเตอร์ทอพอโลยี การแจกแจง และเคอร์เนล Mineola, NY: สิ่งพิมพ์โดเวอร์ไอเอสบีเอ็น 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .