ในทางคณิตศาสตร์ปริภูมิเวกเตอร์เรียงลำดับหรือปริภูมิเวกเตอร์เรียงลำดับบางส่วนคือปริภูมิเวกเตอร์จริงที่มีลำดับบางส่วนซึ่งเข้ากันได้กับการดำเนินการในปริภูมิเวกเตอร์

กำหนดให้เป็นปริภูมิเวกเตอร์${\displaystyle X}$เหนือกว่าตัวเลขที่แท้จริง${\displaystyle \mathbb {R} }$และการสั่งซื้อล่วงหน้า${\displaystyle \,\leq \,}$ในกองถ่าย${\displaystyle X,}$ทั้งคู่${\displaystyle (X,\leq )}$เรียกว่าปริภูมิเวกเตอร์ที่มีลำดับก่อนหลังและเรากล่าวว่าลำดับก่อนหลัง${\displaystyle \,\leq \,}$เข้ากันได้กับโครงสร้างปริภูมิเวกเตอร์ของ${\displaystyle X}$และโทร${\displaystyle \,\leq \,}$การสั่งซื้อล่วงหน้า เวกเตอร์บน${\displaystyle X}$ถ้าสำหรับทั้งหมด${\displaystyle x,y,z\in X}$และ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$กับ${\displaystyle r\geq 0}$สัจพจน์สองข้อต่อไปนี้เป็นไปตามเงื่อนไข

1. ${\displaystyle x\leq y}$หมายความว่า${\displaystyle x+z\leq y+z,}$
2. ${\displaystyle y\leq x}$หมายความว่า${\displaystyle ry\leq rx.}$

ถ้า${\displaystyle \,\leq \,}$เป็นลำดับบางส่วนที่เข้ากันได้กับโครงสร้างปริภูมิเวกเตอร์ของ${\displaystyle X}$แล้ว${\displaystyle (X,\leq )}$เรียกว่าปริภูมิเวกเตอร์เรียงลำดับและ${\displaystyle \,\leq \,}$เรียกว่าลำดับบางส่วนของเวกเตอร์บน${\displaystyle X.}$ สัจพจน์ทั้งสองข้อบ่งชี้ว่าการแปลและการแปลงแบบโฮโมเทตีเชิงบวกเป็นการแปลงอัตโนมัติของโครงสร้างลำดับและการแมป${\displaystyle x\mapsto -x}$เป็นการสมสัณฐานกับโครงสร้างลำดับคู่ขนานปริภูมิเวกเตอร์เรียงลำดับเป็นกลุ่มเรียงลำดับภายใต้การดำเนินการบวก โปรดทราบว่า${\displaystyle x\leq y}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle -y\leq -x.}$

เซตย่อย${\displaystyle C}$ของปริภูมิเวกเตอร์${\displaystyle X}$เรียกว่ากรวยถ้าพิจารณาจากความเป็นจริงทั้งหมด${\displaystyle r>0,}$${\displaystyle rC\subseteq C}$กรวยจะเรียกว่ากรวยปลายแหลม ก็ต่อ เมื่อมันมีจุดกำเนิดอยู่ภายใน กรวย${\displaystyle C}$จะเป็นนูนก็ต่อเมื่อ${\displaystyle C+C\subseteq C.}$จุดตัดของกลุ่มกรวย (หรือกรวยนูน) ที่ไม่ว่างเปล่า ใดๆ ก็จะได้เป็นกรวย (หรือกรวยนูน) เช่นกัน และเช่นเดียวกันกับ การรวมกันของกลุ่มกรวย (หรือกรวยนูน) ที่เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ (ภายใต้การรวมเซต ) กรวย${\displaystyle C}$ในปริภูมิเวกเตอร์${\displaystyle X}$กล่าวกันว่ากำลังสร้างขึ้นหาก${\displaystyle X=CC.}$^{[ 1 ]}

กำหนดให้เป็นปริภูมิเวกเตอร์ที่มีการเรียงลำดับล่วงหน้า${\displaystyle X,}$เซตย่อย${\displaystyle X^{+}}$ขององค์ประกอบทั้งหมด${\displaystyle x}$ใน${\displaystyle (X,\leq )}$น่าพอใจ${\displaystyle x\geq 0}$เป็นกรวยนูนปลาย แหลม (กล่าวคือ กรวยนูนที่บรรจุอยู่ภายใน)${\displaystyle 0}$) เรียกว่ากรวยบวกของ${\displaystyle X}$และแสดงด้วย${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {PosCone} X.}$ องค์ประกอบของกรวยบวกเรียกว่าค่าบวกถ้า${\displaystyle x}$และ${\displaystyle y}$เป็นองค์ประกอบของปริภูมิเวกเตอร์ที่มีการเรียงลำดับล่วงหน้า${\displaystyle (X,\leq ),}$แล้ว${\displaystyle x\leq y}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle yx\in X^{+}.}$กรวยบวกจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ${\displaystyle X}$เป็นเซตที่กำหนดทิศทางภายใต้${\displaystyle \,\leq .}$ กำหนดให้กรวยนูนปลายแหลมใดๆ${\displaystyle C}$อาจนิยามคำว่า "สั่งซื้อล่วงหน้า" ได้${\displaystyle \,\leq \,}$บน${\displaystyle X}$ซึ่งเข้ากันได้กับโครงสร้างปริภูมิเวกเตอร์ของ${\displaystyle X}$โดยการประกาศสำหรับทุกคน${\displaystyle x,y\in X,}$ที่${\displaystyle x\leq y}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle yx\in C;}$ กรวยบวกของปริภูมิเวกเตอร์ที่เรียงลำดับล่วงหน้าที่ได้นี้คือ${\displaystyle C.}$ ดังนั้นจึงมีความสอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างกรวยนูนปลายแหลมและลำดับเวกเตอร์บน${\displaystyle X.}$^{[ 1 ]} ถ้า${\displaystyle X}$หากมีการจัดลำดับล่วงหน้าแล้ว เราอาจสร้างความสัมพันธ์สมมูลบน${\displaystyle X}$โดยการกำหนด${\displaystyle x}$เทียบเท่ากับ${\displaystyle y}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle x\leq y}$และ${\displaystyle y\leq x;}$ ถ้า${\displaystyle N}$ชั้นสมมูลนั้นมีจุดกำเนิดอยู่ด้วยหรือไม่${\displaystyle N}$เป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์ของ${\displaystyle X}$และ${\displaystyle X/N}$เป็นปริภูมิเวกเตอร์เรียงลำดับภายใต้ความสัมพันธ์:${\displaystyle A\leq B}$หากและเพียงแต่ว่ามันมีอยู่จริง${\displaystyle a\in A}$และ${\displaystyle b\in B}$โดยที่${\displaystyle a\leq b.}$^{[ 1 ]}

เซตย่อยของ${\displaystyle C}$ของปริภูมิเวกเตอร์${\displaystyle X}$เรียกว่ากรวยแท้ถ้าเป็นกรวยนูนที่ตรงตามเงื่อนไข${\displaystyle C\cap (-C)=\{0\}.}$ โดยชัดเจน${\displaystyle C}$เป็นกรวยที่เหมาะสมหาก (1)${\displaystyle C+C\subseteq C,}$(2)${\displaystyle rC\subseteq C}$สำหรับทุกคน${\displaystyle r>0,}$และ (3)${\displaystyle C\cap (-C)=\{0\}.}$^{[ 2 ]} จุดตัดของกลุ่มกรวยที่เหมาะสมที่ไม่ว่างเปล่าใดๆ ก็คือกรวยที่เหมาะสมอีกอันหนึ่ง กรวยที่เหมาะสมแต่ละอัน${\displaystyle C}$ในปริภูมิเวกเตอร์จริง จะเหนี่ยวนำให้เกิดลำดับบนปริภูมิเวกเตอร์โดยการกำหนด${\displaystyle x\leq y}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle yx\in C,}$และยิ่งไปกว่านั้น กรวยบวกของปริภูมิเวกเตอร์เรียงลำดับนี้จะเป็น${\displaystyle C.}$ดังนั้น จึงมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างกรวยนูนที่เหมาะสมของ${\displaystyle X}$และลำดับย่อยเวกเตอร์บน${\displaystyle X.}$

โดยการเรียงลำดับเวกเตอร์ทั้งหมดบน${\displaystyle X}$เราหมายถึงคำสั่งซื้อทั้งหมดบน${\displaystyle X}$ซึ่งเข้ากันได้กับโครงสร้างปริภูมิเวกเตอร์ของ${\displaystyle X.}$ ตระกูลของการเรียงลำดับเวกเตอร์ทั้งหมดบนปริภูมิเวกเตอร์${\displaystyle X}$มีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับตระกูลของกรวยที่เหมาะสมทั้งหมดซึ่งมีค่าสูงสุดภายใต้การรวมเซต^{[ 1 ]} การเรียงลำดับเวกเตอร์ทั้งหมดไม่สามารถเป็นแบบอาร์คิมีเดียนได้หากมิติ ของมัน เมื่อพิจารณาเป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือจำนวนจริง มีค่ามากกว่า 1 ^{[ 1 ]}

ถ้า${\displaystyle R}$และ${\displaystyle S}$เป็นการเรียงลำดับสองแบบของปริภูมิเวกเตอร์ที่มีกรวยบวก${\displaystyle P}$และ${\displaystyle Q,}$ตามลำดับ เราจึงกล่าวว่า${\displaystyle R}$ละเอียดกว่า​${\displaystyle S}$ถ้า${\displaystyle P\subseteq Q.}$^{[ 2 ]}

ช่วงลำดับในปริภูมิเวกเตอร์ที่มีการเรียงลำดับล่วงหน้า คือเซตที่มีรูปแบบดังนี้ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}[a,b]&=\{x:a\leq x\leq b\},\\[0.1ex][a,b[&=\{x:a\leq x<b\},\\]a,b]&=\{x:a<x\leq b\},{\text{ หรือ }}\\]a,b[&=\{x:a<x<b\}.\\\end{alignedat}}}$$ จากสัจพจน์ข้อที่ 1 และ 2 ข้างต้น สรุปได้ว่า${\displaystyle x,y\in [a,b]}$และ${\displaystyle 0<t<1}$หมายความว่า${\displaystyle tx+(1-t)y}$เป็นของ${\displaystyle [a,b];}$ ดังนั้นช่วงลำดับเหล่านี้จึงเป็นนูน เซตย่อยจะเรียกว่ามีขอบเขตลำดับหากบรรจุอยู่ในช่วงลำดับบางช่วง^{[ 2 ]} ในปริภูมิเวกเตอร์จริงที่มีลำดับก่อนหน้า ถ้าสำหรับ${\displaystyle x\geq 0}$จากนั้นช่วงของรูปแบบ${\displaystyle [-x,x]}$ มีความสมดุล^{[ 2 ]} หน่วยลำดับของปริภูมิเวกเตอร์ที่เรียงลำดับล่วงหน้าคือองค์ประกอบใดๆ${\displaystyle x}$โดยที่เซต${\displaystyle [-x,x]}$ดูดซับ^{[ 2 ]}​

เซตของฟังก์ชันเชิงเส้น ทั้งหมด บนปริภูมิเวกเตอร์ที่มีการเรียงลำดับล่วงหน้า${\displaystyle X}$เซตที่แปลงช่วงลำดับทุกช่วงให้เป็นเซตที่มีขอบเขตเรียกว่าเซตคู่ขอบเขตลำดับของ${\displaystyle X}$และแสดงด้วย${\displaystyle X^{\operatorname {b} }.}$^{[ 2 ]} ถ้าปริภูมิมีลำดับ ปริภูมิคู่ขอบเขตลำดับของปริภูมิคู่นั้นจะเป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์ของปริภูมิคู่พีชคณิต

เซตย่อย${\displaystyle A}$ของปริภูมิเวกเตอร์เรียงลำดับ${\displaystyle X}$เรียกว่าสมบูรณ์ตามลำดับ (order complete)ถ้าสำหรับทุกเซตย่อยที่ไม่ว่างเปล่า${\displaystyle B\subseteq A}$โดยที่${\displaystyle B}$ลำดับถูกจำกัดใน${\displaystyle A,}$ทั้งคู่${\displaystyle \sup B}$และ${\displaystyle \inf B}$มีอยู่และเป็นองค์ประกอบของ${\displaystyle A.}$เรากล่าวว่าปริภูมิเวกเตอร์เรียงลำดับ${\displaystyle X}$คำสั่งซื้อเสร็จสมบูรณ์แล้วหรือไม่${\displaystyle X}$เป็นเซตย่อยที่สมบูรณ์ตามลำดับของ${\displaystyle X.}$^{[ 3 ]}

ถ้า${\displaystyle X}$ถ้าเป็นปริภูมิเวกเตอร์ที่มีการเรียงลำดับล่วงหน้าแล้ว สำหรับทุก ๆ${\displaystyle x,y\in X,}$

• ${\displaystyle x\geq 0}$และ${\displaystyle y\geq 0}$บ่งบอก${\displaystyle x+y\geq 0.}$^{[ 4 ]}
• ${\displaystyle x\leq y}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle -y\leq -x.}$^{[ 4 ]}
• ${\displaystyle x\leq y}$และ${\displaystyle r<0}$บ่งบอก${\displaystyle rx\geq ry.}$^{[ 4 ]}
• ${\displaystyle x\leq y}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle y=\sup\{x,y\}}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle x=\inf\{x,y\}}$^{[ 4 ]}
• ${\displaystyle \sup\{x,y\}}$มีอยู่ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle \inf\{-x,-y\}}$มีอยู่จริง ในกรณีนั้น${\displaystyle \inf\{-x,-y\}=-\sup\{x,y\}.}$^{[ 4 ]}
• ${\displaystyle \sup\{x,y\}}$มีอยู่ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle \inf\{x,y\}}$มีอยู่จริง ซึ่งในกรณีนี้สำหรับทั้งหมด${\displaystyle z\in X,}$^{[ 4 ]}
  • ${\displaystyle \sup\{x+z,y+z\}=z+\sup\{x,y\},}$และ
  • ${\displaystyle \inf\{x+z,y+z\}=z+\inf\{x,y\}}$
  • ${\displaystyle x+y=\inf\{x,y\}+\sup\{x,y\}.}$
• ${\displaystyle X}$เป็นแลตทิซเวกเตอร์ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle \sup\{0,x\}}$มีอยู่สำหรับทุกคน${\displaystyle x\in X.}$^{[ 4 ]}

กรวย${\displaystyle C}$กล่าวกันว่ากำลังสร้างขึ้นหาก${\displaystyle C-C}$เท่ากับปริภูมิเวกเตอร์ทั้งหมด^{[ 2 ]} ถ้า${\displaystyle X}$และ${\displaystyle W}$เป็นปริภูมิเวกเตอร์เรียงลำดับที่ไม่ใช่ปริภูมิเวกเตอร์ธรรมดา 2 ปริภูมิ ซึ่งแต่ละปริภูมิมีกรวยบวก${\displaystyle P}$และ${\displaystyle Q,}$แล้ว${\displaystyle P}$กำลังสร้างขึ้นใน${\displaystyle X}$ก็ต่อเมื่อเซตนั้น${\displaystyle C=\{u\in L(X;W):u(P)\subseteq Q\}}$กรวยที่เหมาะสมใน${\displaystyle L(X;W),}$ซึ่งเป็นปริภูมิของแผนที่เชิงเส้นทั้งหมดจาก${\displaystyle X}$เข้าไปข้างใน${\displaystyle W.}$ ในกรณีนี้ ลำดับที่กำหนดโดย${\displaystyle C}$เรียกว่าลำดับมาตรฐานของ${\displaystyle L(X;W).}$^{[ 2 ]} โดยทั่วไปแล้ว ถ้า${\displaystyle M}$เป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์ใดๆ ของ${\displaystyle L(X;W)}$โดยที่${\displaystyle C\cap M}$เป็นกรวยที่เหมาะสม ลำดับที่กำหนดโดย${\displaystyle C\cap M}$เรียกว่าลำดับมาตรฐานของ${\displaystyle M.}$^{[ 2 ]}

อนุญาต${\displaystyle X}$เป็นปริภูมิเวกเตอร์เรียงลำดับ เรากล่าวว่าปริภูมิเวกเตอร์เรียงลำดับ${\displaystyle X}$เป็นไปตามลำดับของอาร์คิมีเดียนและลำดับของ${\displaystyle X}$เป็นแบบอาร์คิมีเดียนถ้าเมื่อใดก็ตามที่${\displaystyle x}$ใน${\displaystyle X}$เป็นเช่นนั้น${\displaystyle \{nx:n\in \mathbb {N} \}}$เป็นสาขาหลัก (นั่นคือ มีอยู่บางส่วน)${\displaystyle y\in X}$โดยที่${\displaystyle nx\leq y}$สำหรับทุกคน${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$) แล้ว${\displaystyle x\leq 0.}$^{[ 2 ]} ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี(TVS) ที่เป็นปริภูมิเวกเตอร์เรียงลำดับ จำเป็นต้องเป็นปริภูมิเวกเตอร์อาร์คิมีเดียน หากกรวยบวกของปริภูมิเวกเตอร์นั้นเป็นแบบปิด ^{[ 2 ]}

เรากล่าวว่าปริภูมิเวกเตอร์ที่มีการเรียงลำดับล่วงหน้า${\displaystyle X}$มีการเรียงลำดับอย่างเป็นระเบียบและการเรียงลำดับนั้นเป็นระเบียบก็ต่อเมื่อเป็นการเรียงลำดับแบบอาร์คิมีเดียน${\displaystyle X^{+}}$แยกแยะจุดต่างๆ ใน${\displaystyle X.}$^{[ 2 ]} คุณสมบัตินี้รับประกันว่ามีรูปแบบเชิงเส้นบวกจำนวนมากพอที่จะสามารถใช้เครื่องมือของความเป็นคู่เพื่อศึกษาปริภูมิเวกเตอร์เรียงลำดับได้อย่างประสบความสำเร็จ ^{[ 2 ]}

ปริภูมิเวกเตอร์เรียงลำดับเรียกว่าแลตทิซเวกเตอร์ถ้าสำหรับทุกองค์ประกอบ${\displaystyle x}$และ${\displaystyle y,}$สูงสุด​${\displaystyle \sup(x,y)}$และอินฟิมัม${\displaystyle \inf(x,y)}$มีอยู่^{[ 2 ]}

ตลอดให้${\displaystyle X}$เป็นปริภูมิเวกเตอร์ที่มีลำดับล่วงหน้าและมีกรวยบวก${\displaystyle C.}$

พื้นที่ย่อย

ถ้า${\displaystyle M}$เป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์ของ${\displaystyle X}$จากนั้นจึงเรียงลำดับตามหลักการ${\displaystyle M}$เหนี่ยวนำโดย${\displaystyle X}$กรวยบวกของ${\displaystyle C}$คือลำดับบางส่วนที่เกิดจากกรวยนูนปลายแหลม${\displaystyle C\cap M,}$กรวยนี้เหมาะสมหรือไม่ ถ้า${\displaystyle C}$เหมาะสม^{[ 2 ]}

พื้นที่หาร

อนุญาต${\displaystyle M}$เป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์ของปริภูมิเวกเตอร์เรียงลำดับ${\displaystyle X,}$${\displaystyle \pi :X\to X/M}$เป็นการฉายภาพแบบแคนอนิก และปล่อยให้${\displaystyle {\hat {C}}:=\pi (C).}$ แล้ว${\displaystyle {\hat {C}}}$เป็นกรวยใน${\displaystyle X/M}$ซึ่งก่อให้เกิดการเรียงลำดับล่วงหน้าแบบแคนอนิกบนปริภูมิผลหาร${\displaystyle X/M.}$ ถ้า${\displaystyle {\hat {C}}}$กรวยที่เหมาะสมใน${\displaystyle X/M}$แล้ว${\displaystyle {\hat {C}}}$ทำให้${\displaystyle X/M}$ลงในปริภูมิเวกเตอร์เรียงลำดับ^{[ 2 ]} ถ้า${\displaystyle M}$เป็น${\displaystyle C}$-อิ่มตัวแล้ว${\displaystyle {\hat {C}}}$กำหนดลำดับมาตรฐานของ${\displaystyle X/M.}$^{[ 1 ]} โปรดทราบว่า${\displaystyle X=\mathbb {R} _{0}^{2}}$ยกตัวอย่างปริภูมิเวกเตอร์เรียงลำดับที่${\displaystyle \pi (C)}$ไม่ใช่กรวยที่ถูกต้อง

ถ้า${\displaystyle X}$นอกจากนี้ยังเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี (TVS) และถ้าสำหรับแต่ละย่านใกล้เคียง${\displaystyle V}$ของต้นกำเนิดใน${\displaystyle X}$มีชุมชนแห่งหนึ่งอยู่${\displaystyle U}$ของต้นกำเนิดเช่นนั้น${\displaystyle [(U+N)\cap C]\subseteq V+N}$แล้ว${\displaystyle {\hat {C}}}$เป็นกรวยปกติสำหรับโทโพโลยีผลหาร^{[ 1 ]}

ถ้า${\displaystyle X}$เป็นแลตทิซเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีและ${\displaystyle M}$เป็น โครงสร้าง ย่อยของแข็ง ปิด ของ${\displaystyle X}$แล้ว${\displaystyle X/L}$นอกจากนี้ยังเป็นแลตทิซเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีด้วย^{[ 1 ]}

ผลิตภัณฑ์

ถ้า${\displaystyle S}$หากเซตใด ๆ ก็ตามมีพื้นที่ว่าง${\displaystyle X^{S}}$ของฟังก์ชันทั้งหมดจาก${\displaystyle S}$เข้าไปข้างใน${\displaystyle X}$เรียงลำดับตามหลักการโดยกรวยที่เหมาะสม${\displaystyle \left\{f\in X^{S}:f(s)\in C{\text{ for all }}s\in S\right\}.}$^{[ 2 ]}

สมมติว่า${\displaystyle \left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$เป็นกลุ่มของปริภูมิเวกเตอร์ที่มีการเรียงลำดับล่วงหน้า และกรวยบวกของ${\displaystyle X_{\alpha }}$เป็น${\displaystyle C_{\alpha }.}$ แล้ว${\textstyle C:=\prod _{\alpha }C_{\alpha }}$เป็นกรวยนูนปลายแหลมใน${\textstyle \prod _{\alpha }X_{\alpha },}$ซึ่งกำหนดลำดับมาตรฐานบน${\textstyle \prod _{\alpha }X_{\alpha };}$${\displaystyle C}$กรวยที่เหมาะสมถ้าทั้งหมด${\displaystyle C_{\alpha }}$เป็นกรวยที่เหมาะสม^{[ 2 ]}

ผลรวมโดยตรงของพีชคณิต

ผลรวมโดยตรงทางพีชคณิต${\textstyle \bigoplus _{\alpha }X_{\alpha }}$ของ${\displaystyle \left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$เป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์ของ${\textstyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }}$นั่นคือการกำหนดลำดับของปริภูมิย่อยแบบแคนอนิกที่สืบทอดมาจาก${\textstyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }.}$^{[ 2 ]} ถ้า${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$เป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์เรียงลำดับของปริภูมิเวกเตอร์เรียงลำดับ${\displaystyle X}$แล้ว${\displaystyle X}$คือผลรวมโดยตรงที่เรียงลำดับของปริภูมิย่อยเหล่านี้ หากเป็นไอโซมอร์ฟิซึมเชิงพีชคณิตแบบแคนอนิกของ${\displaystyle X}$บน${\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }}$(ด้วยลำดับผลิตภัณฑ์มาตรฐาน) เป็น ไอโซมอร์ฟิ ซึมลำดับ^{[ 2 ]}

• จำนวนจริงที่มีลำดับปกติจะก่อให้เกิดปริภูมิเวกเตอร์ที่มีลำดับสมบูรณ์ สำหรับจำนวนเต็ม ทั้งหมด${\displaystyle n\geq 0,}$พื้นที่ยุคลิด${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$เมื่อพิจารณาว่าเป็นปริมาณเวกเตอร์เหนือจำนวนจริงที่มีการเรียงลำดับแบบพจนานุกรมจะได้ปริมาณเวกเตอร์ที่มีการเรียงลำดับล่วงหน้าซึ่งมีลำดับเป็นแบบอาร์คิมีเดียนก็ต่อเมื่อ${\displaystyle n=1}$[ ^{4 ]​}
• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$เป็นปริภูมิเวกเตอร์เรียงลำดับที่มี${\displaystyle \,\leq \,}$ความสัมพันธ์ที่กำหนดในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งต่อไปนี้ (เรียงลำดับจากความแข็งแกร่งน้อยไปมาก กล่าวคือ จำนวนคู่ที่ลดลง):
  • ลำดับตามพจนานุกรม :${\displaystyle (a,b)\leq (c,d)}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle a<c}$หรือ${\displaystyle (a=c{\text{ and }}b\leq d).}$นี่คือลำดับทั้งหมดกรวยบวกกำหนดโดย${\displaystyle x>0}$หรือ${\displaystyle (x=0{\text{ and }}y\geq 0),}$กล่าวคือ ในระบบพิกัดเชิงขั้วเซตของจุดที่มีพิกัดเชิงมุมที่สอดคล้องกับเงื่อนไข${\displaystyle -\pi /2<\theta \leq \pi /2,}$พร้อมกับต้นกำเนิด
  • ${\displaystyle (a,b)\leq (c,d)}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle a\leq c}$และ${\displaystyle b\leq d}$( คำสั่งซื้อสินค้าจำนวนสองชุด)${\displaystyle \mathbb {R} }$กับ${\displaystyle \leq }$นี่คือลำดับบางส่วน กรวยบวกกำหนดโดย${\displaystyle x\geq 0}$และ${\displaystyle y\geq 0,}$นั่นคือ ในระบบพิกัดเชิงขั้ว${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi /2,}$พร้อมกับต้นกำเนิด
  • ${\displaystyle (a,b)\leq (c,d)}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle (a<c{\text{ and }}b<d)}$หรือ${\displaystyle (a=c{\text{ and }}b=d)}$( การปิดสะท้อนกลับของผลคูณโดยตรงของสำเนาสองชุดของ)${\displaystyle \mathbb {R} }$โดยมี "<") นี่ก็เป็นลำดับบางส่วนเช่นกัน กรวยบวกกำหนดโดย${\displaystyle (x>0{\text{ and }}y>0)}$หรือ${\displaystyle x=y=0),}$นั่นคือ ในระบบพิกัดเชิงขั้ว${\displaystyle 0<\theta <\pi /2,}$พร้อมกับต้นกำเนิด

เฉพาะลำดับที่สองเท่านั้นที่เป็นเซตย่อยของ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4},}$ปิด; ดูลำดับบางส่วนในปริภูมิเชิงทอพอโลยี

สำหรับลำดับที่สาม " ช่วงเวลา " สองมิติ${\displaystyle p<x<q}$เป็นเซตเปิดที่สร้างโทโพโลยีขึ้นมา

• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$เป็นปริภูมิเวกเตอร์เรียงลำดับที่มี${\displaystyle \,\leq \,}$ความสัมพันธ์ที่กำหนดในลักษณะเดียวกัน ตัวอย่างเช่น สำหรับลำดับที่สองที่กล่าวถึงข้างต้น:
  • ${\displaystyle x\leq y}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle x_{i}\leq y_{i}}$สำหรับ${\displaystyle i=1,\dots ,n.}$
• ปริภูมิรีซ (Riesz space)คือปริภูมิเวกเตอร์ที่มีลำดับ โดยลำดับนั้นก่อให้เกิดแลตทิซ (lattice )
• พื้นที่ของฟังก์ชันต่อเนื่องบน${\displaystyle [0,1]}$ที่ไหน${\displaystyle f\leq g}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$สำหรับทุกคน${\displaystyle x}$ใน${\displaystyle [0,1].}$
• อนุญาต${\displaystyle {\mbox{Sym}}_{n}(\mathbb {R} )}$แสดงถึงความสมมาตร${\displaystyle n\times n}$เมทริกซ์ที่มีสมาชิกเป็นจำนวนจริงลำดับโลว์เนอร์${\displaystyle \preccurlyeq }$บนเมทริกซ์สมมาตรสองเมทริกซ์${\displaystyle A,B\in {\mbox{Sym}}_{n}(\mathbb {R} )}$ถูกกำหนดโดย${\displaystyle A\preccurlyeq B\Leftrightarrow B-A}$เป็นเมทริกซ์กึ่งบวกกำหนด (positive semi-definite ) กรวยบวกของมันคือเซตของเมทริกซ์กำหนดบวกทั้งหมดตามคำนิยาม ยิ่งไปกว่านั้นทฤษฎีบทสเปกตรัมที่ใช้กับเมทริกซ์สมมาตรแสดงให้เห็นว่ากรวยนี้เป็นกรวยก่อกำเนิด (generating cone)

• Order topology (functional analysis) – Topology of an ordered vector space
• Ordered field – Algebraic object with an ordered structure
• Ordered group – Group with a compatible partial orderPages displaying short descriptions of redirect targets
• Ordered ring
• Ordered topological vector space
• Partially ordered space – Partially ordered topological space
• Product order – Construction in order theory
• Riesz space – Partially ordered vector space, ordered as a lattice
• Topological vector lattice
• Vector lattice – Partially ordered vector space, ordered as a latticePages displaying short descriptions of redirect targets

• Aliprantis, Charalambos D; Burkinshaw, Owen (2003). Locally solid Riesz spaces with applications to economics (Second ed.). Providence, R. I.: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3408-8.
• Bourbaki, Nicolas; Elements of Mathematics: Topological Vector Spaces; ISBN 0-387-13627-4.
• นาริซี, ลอว์เรนซ์; เบคเกนสไตน์, เอ็ดเวิร์ด (2011). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์ (  ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). โบคา ราตัน, ฟลอริดา: สำนักพิมพ์ CRC. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 . 
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอ โล ยีGTMเล่ม 8 (  ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์ Springer New York. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 . 
• หว่อง (1979). พื้นที่ชวาร์ตซ์ พื้นที่นิวเคลียร์ และผลคูณเทนเซอร์เบอร์ลิน นิวยอร์ก: สปริงเกอร์-เวอร์แลกISBN 3-540-09513-6. OCLC 5126158 .